ББЖМ ға дайындық тапсырмалары

Вступ до математичного аналізу (1 частина)

• Математичний аналіз – це розділ математики, який вивчає безперервні функції, їх властивості та застосування.
• Основними об'єктами вивчення є:
  • Функції однієї та багатьох змінних
  • Похідні функцій (швидкість зміни)
  • Інтеграли функцій (сума значень функцій)
  • Ряди
  • Границі
• Ключові поняття:
  • Границя функції в точці та на нескінченності
  • Неперервність функції
  • Похідна функції та її геометричний та фізичний зміст
  • Правила диференціювання
  • Локальні екстремуми функцій
  • Наближення функцій за допомогою многочленів Тейлора
  • Невизначені та визначені інтеграли
  • Властивості інтегралів
  • Методи інтегрування (розкладання, підстановка)
  • Методи інтегрування за частинами
  • Застосування інтегралів у геометрії та фізиці

Функції та їх графіки

• Функція - це правило відповідності елементів однієї множини (область визначення) елементам іншої множини (область значень).
• Графік функції – це геометричне зображення функції на координатній площині.
• Основні типи функцій:
  • Лінійна
  • Квадратична
  • Поліноміальні
  • Дробно-лінійна
  • Показникова
  • Логарифмічна
  • Тригонометричні
• Різні способи задання функції:
  • Аналітично (формулою)
  • Графічно
  • Таблично

Границя функції

• Границя функції в точці – це значення, до якого прагне значення функції, коли аргумент наближається до заданої точки.
• Границя функції в нескінченності – це значення, до якого прагне значення функції, коли аргумент необмежено зростає або спадає.
• Свойства границь:
  • властивості границь суми, різниці, добутку та частки
  • границі елементарних функцій (постійної, змінної, степені, кореня)

Неперервність функції

• Неперервна функція – це функція, графік якої можна намалювати без відриву олівця від паперу.
• Визначення неперервності в точці та на проміжку.
• Розрив функції та його типи (першого та другого роду).

Похідна функції

• Похідна функції в точці – це швидкість зміни функції в даній точці.
• Геометричний та фізичний зміст похідної.
• Правила диференціювання (сума, добуток, частка, склад функцій).
• Похідні елементарних функцій.
• Застосування похідної до дослідження функцій (локальні максимуми та мінімуми, точки перегину).

Інтеграли

• Визначення первісної функції
• Невизначені інтеграли та їх основні властивості.
• Визначення визначеного інтеграла.
• Визначений інтеграл як площа криволінійної трапеції.
• Методи інтегрування (метод підстановки, інтегрування за частинами).
• Застосування інтегралів у геометрії та фізиці (обчислення площ, об'ємів, роботи).

Г.А Мухамеджанова