Функции и анализ в математике
59 Questions
0 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Кто первым выдвинул понятие функции в математике?

  • Эйлер (correct)
  • Ньютон
  • Лейбниц
  • Галилео

    • Как Эйлер определяет функцию переменного количества?

  • Как любое уравнение с неизвестной
  • Как графическое представление данных
  • Как аналитическое выражение из переменного количества и чисел (correct)
  • Как фиксированное значение в зависимости от времени

    • Какие действия Эйлер называет алгебраическими?

  • Нахождение корней и логарифмирование
  • Сложение, деление, интегрирование
  • Сложение, вычитание, умножение, деление (correct)
  • Возведение в степень и дифференцирование

    • Какой тип функций Эйлер особенно рассматривает?

    <p>Тригонометрические и показательные функции</p> Signup and view all the answers

    Какое выражение допустимо для экспоненты по мнению Эйлера?

    <p>$e^{x}=(1+{ rac{x}{ extbf{∞}}})^{ extbf{∞}}$</p> Signup and view all the answers

    Как Эйлер преобразует аналитические выражения?

    <p>Использует преобразования, аналогичные алгебраическим</p> Signup and view all the answers

    Что означало для Эйлера понятие функции?

    <p>Это выражение для счёта</p> Signup and view all the answers

    Какие из перечисленных функций являются трансцендентными?

    <p>Логарифмические функции</p> Signup and view all the answers

    Каково основное различие функций по Эйлеру?

    <p>По способу их составления</p> Signup and view all the answers

    Какой из следующих примеров является функцией, у которой ряд Маклорена расходится?

    <p>f(x) = e^{-1/x^2}</p> Signup and view all the answers

    Кто из mathematicians первым дал анализу строгое логическое обоснование?

    <p>Коши</p> Signup and view all the answers

    Что такое производная функции?

    <p>Изменение выходного значения функции по отношению к изменению входного</p> Signup and view all the answers

    Какой символ обычно используется для обозначения производной?

    <p>f'</p> Signup and view all the answers

    Что изучает дифференциальное исчисление?

    <p>Определение, свойства и применение производных функций</p> Signup and view all the answers

    Какое понятие связано с угловым коэффициентом касательной к кривой в точке?

    <p>Производная</p> Signup and view all the answers

    Какой математик разработал теорию меры?

    <p>Жордан</p> Signup and view all the answers

    Какой из перечисленных математических понятий не является частью классического анализа?

    <p>Теория множеств</p> Signup and view all the answers

    Какое утверждение о функции $ rac{1}{1+x^2}$ верно?

    <p>Эта функция является аналитической.</p> Signup and view all the answers

    Что такое ряд Маклорена?

    <p>Разложение функции в ряд</p> Signup and view all the answers

    Что такое производная от функции возведения в квадрат?

    <p>2x</p> Signup and view all the answers

    Что изучает анализ в контексте его применения?

    <p>Математическую физику и дифференциальные уравнения</p> Signup and view all the answers

    Что из следующего описывает понятие '(ε, δ)'-язык в математике?

    <p>Формализация предела</p> Signup and view all the answers

    Что обозначает символ dx в контексте интегрирования?

    <p>Бесконечно малую величину</p> Signup and view all the answers

    Что такое первообразная функции f(x)?

    <p>Функция, отличающаяся от f(x) на константу</p> Signup and view all the answers

    Что утверждает теорема Ньютона – Лейбница?

    <p>Дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями</p> Signup and view all the answers

    Какое из утверждений верно для определённых интегралов?

    <p>Определённый интеграл равен разности значений первообразной на границах</p> Signup and view all the answers

    Какой метод обозначается при нахождении первообразной функции?

    <p>Вычислением интегралa</p> Signup and view all the answers

    Что обозначает символ C в первообразной функции?

    <p>Постоянная интегрирования</p> Signup and view all the answers

    Что происходит с производной функции y = x² + C?

    <p>Она равна 2x</p> Signup and view all the answers

    Какой процесс легче осуществить в рамках теоремы Ньютона – Лейбница?

    <p>Нахождение значения первообразной</p> Signup and view all the answers

    Какое из утверждений верно о дифференциальных уравнениях?

    <p>Они связывают неизвестные функции с их производными</p> Signup and view all the answers

    Какое значение имеет интегральное выражение ∫a^b f(x) dx?

    <p>Площадь под графиком функции f(x) на отрезке [a, b]</p> Signup and view all the answers

    Какую формулу Эйлер вывел для экспоненты и тригонометрических функций?

    <p>e^{ ext{i}x} = ext{cos}(x) + ext{i} ext{sin}(x)</p> Signup and view all the answers

    Что представлял собой подход Лагранжа к понятию производной?

    <p>Производная определялась без использования бесконечно малых.</p> Signup and view all the answers

    Какую теорему основал Эйлер в связи с кривыми на плоскости?

    <p>Теорема о том, что не для каждой кривой существует аналитическое выражение.</p> Signup and view all the answers

    Какую известную формулу вывел Эйлер, основываясь на экспоненциальных функциях?

    <p>Формула связи экспоненты и тригонометрии.</p> Signup and view all the answers

    Что утверждал Лагранж о разложении функций в ряды?

    <p>Некоторые функции не могут быть разложены в ряд в определенных точках.</p> Signup and view all the answers

    Что такое дифференциальный коэффициент в теориях Лагранжа и Эйлера?

    <p>Это производная функции.</p> Signup and view all the answers

    Какую технику использовал Эйлер в доказательстве своих формул?

    <p>Метод бесконечно большого.</p> Signup and view all the answers

    Какая концепция о кривых была развита Эйлером?

    <p>Существуют кривые, которые не имеют единых аналитических выражений.</p> Signup and view all the answers

    Какое утверждение касательно интегралов сделал Эйлер?

    <p>Интегралы могут приводить к новым функциям.</p> Signup and view all the answers

    Какой метод Лагранж использовал для работы с производными?

    <p>Метод степенных рядов.</p> Signup and view all the answers

    Что такое ext{Γ}-функция согласно Эйлеру?

    <p>Это функция, представляющая обобщение понятия факториала.</p> Signup and view all the answers

    Какую роль сыграли работы Лагранжа в теории аналитических функций?

    <p>Они обосновали понятие производной и интеграла.</p> Signup and view all the answers

    Как Эйлер отбирал предельные переходы согласно своему методу?

    <p>Он отбрасывал бесконечно малые величины.</p> Signup and view all the answers

    Что такое разностное соотношение?

    <p>Это отношение разности значений функции к разности аргументов.</p> Signup and view all the answers

    Что такое производная функции в точке?

    <p>Это угол наклона касательной к графику функции в данной точке.</p> Signup and view all the answers

    Как определяется производная квадратичной функции f(x) = x^2?

    <p>Как лимит разностного соотношения при h стремящемся к нулю.</p> Signup and view all the answers

    Что такое определённый интеграл?

    <p>Это площадь под кривой между двумя точками.</p> Signup and view all the answers

    Для какого метода вычисления площади под кривой используется сумма Римана?

    <p>Для вычисления интегралов.</p> Signup and view all the answers

    Каково значение производной функции f(x) = x^2 в точке x = 3?

    <p>6</p> Signup and view all the answers

    Что означает символ интегрирования ∫?

    <p>Он обозначает операцию интегрирования.</p> Signup and view all the answers

    Что такое касательная к графику функции?

    <p>Линия, которая касается графика функции в одной точке.</p> Signup and view all the answers

    Что обозначает предел при h стремящемся к нулю в контексте производной?

    <p>Определение производной.</p> Signup and view all the answers

    Как называется производная от функции возведения в квадрат?

    <p>2x</p> Signup and view all the answers

    Какова основная идея интегрирования?

    <p>Вычисление площади под кривой.</p> Signup and view all the answers

    Как определяется неопределённый интеграл?

    <p>Как производная функции.</p> Signup and view all the answers

    Что происходит, если h = 0 в разностном соотношении?

    <p>Производная не может быть вычислена.</p> Signup and view all the answers

    К какому методу относится использование промежутков для вычисления площади под кривой?

    <p>Метод интегрирования.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Развитие анализа в XVIII веке

    • Эйлер внес значительный вклад в развитие анализа, изложив его принципы в обширном трактате.
    • В «Введении» Эйлера собраны исследования о различных представлениях элементарных функций.
    • Термин «функция» был введён Лейбницем в 1692 году, но именно Эйлер выдвинул его на первое место.
    • Изначально «функция» определялась как аналитическое выражение для счёта переменных величин и констант.
    • Эйлер перечислил алгебраические и трансцендентные действия (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней, решение уравнений, показательные и логарифмические функции и др.), которые могут комбинироваться для создания функций.
    • Эйлер использовал бесконечно большое число ∞ в выражениях, не обращая внимания на возможность вычисления значения функции в точке.
    • Эйлер представил элементарные функции в виде рядов, бесконечных произведений.
    • Он доказал, что все элементарные функции могут быть представлены с помощью арифметических действий, взятия логарифма и экспоненты.
    • Эйлер получил формулу, связывающую экспоненту и тригонометрические функции: e√(-1)x = cos x + √(-1)sin x.

    Лагранж: альтернативный подход

    • Лагранж стремился исключить использование бесконечно малых величин.
    • Он ввёл аналитическую функцию как функцию, изучаемую методами анализа.
    • Функция обозначалась как f(x) и представлялась как графическая зависимость между переменными.
    • Лагранж представил функцию как ряд Тейлора, где коэффициенты являются функциями от x.
    • Ввёл понятие производной (дифференциального коэффициента).
    • Получил ряд теорем о разрешимости начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
    • Сформулировал формулу Тейлора с остаточным членом, но не рассматривал вопрос о сходимости ряда Тейлора.

    Критика и дальнейшее развитие

    • Лагранж не видел необходимости в оценке точности приближения, получаемого с помощью рядов Тейлора.
    • Коши показал пример функции, не разлагающейся в степенной ряд, но дифференцируемой (функция e-1/x²).
    • Пуассон выдвинул критику к примеру Коши, утверждая различие в определении функции.
    • Прингсхайм в конце XIX века показал, что существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Маклорена для которых расходится (пример: Ψ(x)).
    • В XIX веке Коши заложил твёрдые логические основы анализа, введя понятие предела последовательности и открыв новую страницу комплексного анализа.
    • Вейерштрасс арифметизировал анализ, предложив определение предела через ε-δ-язык.

    Дифференциальное исчисление

    • Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной в этой точке.
    • Дифференциальное исчисление изучает определение, свойства и применение производных.
    • Производная как функция является линейным отображением, где вход — одна функция, выход — другая.
    • Примеры производных: производная квадратичной функции x² равна 2x (функция удвоения).

    Интегральное исчисление

    • Интегральное исчисление изучает определение, свойства и применение неопределённого и определённого интегралов.
    • Неопределённый интеграл — первообразная функции, то есть операция, обратная к производной.
    • Определённый интеграл — число, равное площади, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя прямыми.
    • Метод вычисления определённого интеграла — теорема Ньютона-Лейбница.

    Теорема Ньютона – Лейбница

    • Связывает дифференцирование и интегрирование как взаимно обратные операции.
    • Теорема даёт алгебраический метод вычисления многих определённых интегралов и помогает при решении дифференциальных уравнений.

    Studying That Suits You

    Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

    Quiz Team

    Description

    Этот квиз посвящен ключевым понятиям функционирования в математике, включая работы Эйлера. Участники смогут проверить свои знания о концепциях функций, производных и дифференциальном исчислении. Квиз охватывает как исторические аспекты, так и современные применения математического анализа.

    More Like This

    Use Quizgecko on...
    Browser
    Open
    Browser
    Browser