Функции и анализ в математике
59 Questions
0 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to Lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Кто первым выдвинул понятие функции в математике?

  • Эйлер (correct)
  • Ньютон
  • Лейбниц
  • Галилео

Как Эйлер определяет функцию переменного количества?

  • Как любое уравнение с неизвестной
  • Как графическое представление данных
  • Как аналитическое выражение из переменного количества и чисел (correct)
  • Как фиксированное значение в зависимости от времени

Какие действия Эйлер называет алгебраическими?

  • Нахождение корней и логарифмирование
  • Сложение, деление, интегрирование
  • Сложение, вычитание, умножение, деление (correct)
  • Возведение в степень и дифференцирование

Какой тип функций Эйлер особенно рассматривает?

<p>Тригонометрические и показательные функции (D)</p> Signup and view all the answers

Какое выражение допустимо для экспоненты по мнению Эйлера?

<p>$e^{x}=(1+{ rac{x}{ extbf{∞}}})^{ extbf{∞}}$ (D)</p> Signup and view all the answers

Как Эйлер преобразует аналитические выражения?

<p>Использует преобразования, аналогичные алгебраическим (D)</p> Signup and view all the answers

Что означало для Эйлера понятие функции?

<p>Это выражение для счёта (D)</p> Signup and view all the answers

Какие из перечисленных функций являются трансцендентными?

<p>Логарифмические функции (A)</p> Signup and view all the answers

Каково основное различие функций по Эйлеру?

<p>По способу их составления (A)</p> Signup and view all the answers

Какой из следующих примеров является функцией, у которой ряд Маклорена расходится?

<p>f(x) = e^{-1/x^2} (A)</p> Signup and view all the answers

Кто из mathematicians первым дал анализу строгое логическое обоснование?

<p>Коши (B)</p> Signup and view all the answers

Что такое производная функции?

<p>Изменение выходного значения функции по отношению к изменению входного (B)</p> Signup and view all the answers

Какой символ обычно используется для обозначения производной?

<p>f' (D)</p> Signup and view all the answers

Что изучает дифференциальное исчисление?

<p>Определение, свойства и применение производных функций (A)</p> Signup and view all the answers

Какое понятие связано с угловым коэффициентом касательной к кривой в точке?

<p>Производная (A)</p> Signup and view all the answers

Какой математик разработал теорию меры?

<p>Жордан (A)</p> Signup and view all the answers

Какой из перечисленных математических понятий не является частью классического анализа?

<p>Теория множеств (B)</p> Signup and view all the answers

Какое утверждение о функции $ rac{1}{1+x^2}$ верно?

<p>Эта функция является аналитической. (D)</p> Signup and view all the answers

Что такое ряд Маклорена?

<p>Разложение функции в ряд (D)</p> Signup and view all the answers

Что такое производная от функции возведения в квадрат?

<p>2x (B)</p> Signup and view all the answers

Что изучает анализ в контексте его применения?

<p>Математическую физику и дифференциальные уравнения (D)</p> Signup and view all the answers

Что из следующего описывает понятие '(ε, δ)'-язык в математике?

<p>Формализация предела (D)</p> Signup and view all the answers

Что обозначает символ dx в контексте интегрирования?

<p>Бесконечно малую величину (A)</p> Signup and view all the answers

Что такое первообразная функции f(x)?

<p>Функция, отличающаяся от f(x) на константу (C), Функция, производная которой равна f(x) (D)</p> Signup and view all the answers

Что утверждает теорема Ньютона – Лейбница?

<p>Дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями (C)</p> Signup and view all the answers

Какое из утверждений верно для определённых интегралов?

<p>Определённый интеграл равен разности значений первообразной на границах (D)</p> Signup and view all the answers

Какой метод обозначается при нахождении первообразной функции?

<p>Вычислением интегралa (C)</p> Signup and view all the answers

Что обозначает символ C в первообразной функции?

<p>Постоянная интегрирования (D)</p> Signup and view all the answers

Что происходит с производной функции y = x² + C?

<p>Она равна 2x (B)</p> Signup and view all the answers

Какой процесс легче осуществить в рамках теоремы Ньютона – Лейбница?

<p>Нахождение значения первообразной (B)</p> Signup and view all the answers

Какое из утверждений верно о дифференциальных уравнениях?

<p>Они связывают неизвестные функции с их производными (A)</p> Signup and view all the answers

Какое значение имеет интегральное выражение ∫a^b f(x) dx?

<p>Площадь под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] (C)</p> Signup and view all the answers

Какую формулу Эйлер вывел для экспоненты и тригонометрических функций?

<p>e^{ ext{i}x} = ext{cos}(x) + ext{i} ext{sin}(x) (B)</p> Signup and view all the answers

Что представлял собой подход Лагранжа к понятию производной?

<p>Производная определялась без использования бесконечно малых. (A)</p> Signup and view all the answers

Какую теорему основал Эйлер в связи с кривыми на плоскости?

<p>Теорема о том, что не для каждой кривой существует аналитическое выражение. (D)</p> Signup and view all the answers

Какую известную формулу вывел Эйлер, основываясь на экспоненциальных функциях?

<p>Формула связи экспоненты и тригонометрии. (D)</p> Signup and view all the answers

Что утверждал Лагранж о разложении функций в ряды?

<p>Некоторые функции не могут быть разложены в ряд в определенных точках. (C)</p> Signup and view all the answers

Что такое дифференциальный коэффициент в теориях Лагранжа и Эйлера?

<p>Это производная функции. (A)</p> Signup and view all the answers

Какую технику использовал Эйлер в доказательстве своих формул?

<p>Метод бесконечно большого. (B)</p> Signup and view all the answers

Какая концепция о кривых была развита Эйлером?

<p>Существуют кривые, которые не имеют единых аналитических выражений. (A)</p> Signup and view all the answers

Какое утверждение касательно интегралов сделал Эйлер?

<p>Интегралы могут приводить к новым функциям. (B)</p> Signup and view all the answers

Какой метод Лагранж использовал для работы с производными?

<p>Метод степенных рядов. (D)</p> Signup and view all the answers

Что такое ext{Γ}-функция согласно Эйлеру?

<p>Это функция, представляющая обобщение понятия факториала. (A)</p> Signup and view all the answers

Какую роль сыграли работы Лагранжа в теории аналитических функций?

<p>Они обосновали понятие производной и интеграла. (C)</p> Signup and view all the answers

Как Эйлер отбирал предельные переходы согласно своему методу?

<p>Он отбрасывал бесконечно малые величины. (C)</p> Signup and view all the answers

Что такое разностное соотношение?

<p>Это отношение разности значений функции к разности аргументов. (A)</p> Signup and view all the answers

Что такое производная функции в точке?

<p>Это угол наклона касательной к графику функции в данной точке. (A)</p> Signup and view all the answers

Как определяется производная квадратичной функции f(x) = x^2?

<p>Как лимит разностного соотношения при h стремящемся к нулю. (D)</p> Signup and view all the answers

Что такое определённый интеграл?

<p>Это площадь под кривой между двумя точками. (D)</p> Signup and view all the answers

Для какого метода вычисления площади под кривой используется сумма Римана?

<p>Для вычисления интегралов. (C)</p> Signup and view all the answers

Каково значение производной функции f(x) = x^2 в точке x = 3?

<p>6 (B)</p> Signup and view all the answers

Что означает символ интегрирования ∫?

<p>Он обозначает операцию интегрирования. (D)</p> Signup and view all the answers

Что такое касательная к графику функции?

<p>Линия, которая касается графика функции в одной точке. (B)</p> Signup and view all the answers

Что обозначает предел при h стремящемся к нулю в контексте производной?

<p>Определение производной. (D)</p> Signup and view all the answers

Как называется производная от функции возведения в квадрат?

<p>2x (A)</p> Signup and view all the answers

Какова основная идея интегрирования?

<p>Вычисление площади под кривой. (B)</p> Signup and view all the answers

Как определяется неопределённый интеграл?

<p>Как производная функции. (A)</p> Signup and view all the answers

Что происходит, если h = 0 в разностном соотношении?

<p>Производная не может быть вычислена. (B)</p> Signup and view all the answers

К какому методу относится использование промежутков для вычисления площади под кривой?

<p>Метод интегрирования. (B)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Определение функции Эйлером

В 1692 году Лейбниц впервые использовал термин "функция", но именно Эйлер вывел его на первый план, определив функцию как "выражение для счета" (Rechnungsausdrϋck) или аналитическое выражение, которое может быть составлено из переменных и постоянных.

Функция переменного количества

По мнению Эйлера, функция переменной величины — это аналитическое выражение, которое составлено из этой переменной и чисел или постоянных величин.

Способы составления функций

Эйлер подчеркивал, что ключевое различие функций заключается в том, как они составлены из переменных и постоянных величин. Он указывал на операции, которые используются для их соединения: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней и решение алгебраических уравнений.

Трансцендентные операции

Помимо "алгебраических" операций, Эйлер выделял "трансцендентные" операции, такие как показательные, логарифмические и те, которые связаны с интегральным исчислением.

Signup and view all the flashcards

Многозначность функций

Понимание Эйлера о функциях позволяло ему легко работать с многозначными функциями и не требовало указания поля, на котором рассматривается функция, поскольку выражение для счета определено для комплексных значений переменных.

Signup and view all the flashcards

Бесконечно большое число в функциях

Операции в выражении для счета допускались только в конечном числе, а трансцендентность достигалась за счет использования бесконечно большого числа (∞). Это число использовалось наряду с натуральными числами.

Signup and view all the flashcards

Пример использования бесконечности

Например, Эйлер рассматривал экспоненту как (1 + x / ∞)^∞, что в современном понимании является предельным переходом.

Signup and view all the flashcards

Преобразования аналитических выражений

Эйлер производил разнообразные преобразования с аналитическими выражениями, что позволило ему найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т.д.

Signup and view all the flashcards

Преобразование выражений для счета

Эйлер преобразовывал выражения для счета таким образом, как это делается в алгебре, без особого внимания к возможности вычислить значение функции в точке по каждой из формул.

Signup and view all the flashcards

Изучение трансцендентных функций

В отличие от Лопиталя, Эйлер уделял большое внимание изучению трансцендентных функций, особенно двух наиболее изученных классов - показательных и тригонометрических.

Signup and view all the flashcards

Важный факт о элементарных функциях

Всякая элементарная функция может быть представлена с помощью арифметических операций, логарифмирования и экспоненцирования.

Signup and view all the flashcards

Формула Эйлера для косинуса

Формула, выражающая косинус угла через сумму двух комплексных экспонент.

Signup and view all the flashcards

Формула Эйлера для экспоненты

Формула, выражающая комплексно-значную экспоненту через синус и косинус.

Signup and view all the flashcards

Метод бесконечно малых

Изучение бесконечно малых величин для определения свойств функций.

Signup and view all the flashcards

Проблема аналитической записи кривой

Задача об отыскании аналитического выражения для заданного геометрического образа.

Signup and view all the flashcards

Теория конечных разностей

Изучение свойств функций через изучение их конечных разностей.

Signup and view all the flashcards

Формула Тейлора

Формула, выражающая значение функции в точке через значения ее производных.

Signup and view all the flashcards

Определение производной Лагранжа

Определение производной как коэффициента при первом члене ряда Тейлора.

Signup and view all the flashcards

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в бесконечный ряд по степеням x.

Signup and view all the flashcards

Интеграл

Функция, производная которой равна данной.

Signup and view all the flashcards

Задача об интегрировании

Задача об отыскании решения дифференциального уравнения.

Signup and view all the flashcards

Неэлементарные функции

Новые функции, не сводимые к элементарным функциям.

Signup and view all the flashcards

Начальная задача для дифференциальных уравнений

Задача об отыскании решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.

Signup and view all the flashcards

Пример Коши функции с расходящимся рядом Маклорена

Функция вида f(x) = e^(-1/x^2) при x ≠ 0 и f(0) = 0, которая гладкая на всей вещественной оси, но ряд Маклорена для неё не сходится к значению f(x).

Signup and view all the flashcards

Пример Прингсхайма функции с расходящимся рядом Маклорена

Функция вида Ψ(x) = Σ_(k=0)^∞ cos(3^kx) / k!, которая всюду бесконечно дифференцируема, но ряд Маклорена для нее расходится.

Signup and view all the flashcards

Дифференциальное исчисление

Раздел математики, изучающий свойства и применение производных функций.

Signup and view all the flashcards

Что означает производная функции?

Производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке.

Signup and view all the flashcards

Что означает символ 'f'?

Символ, используемый для обозначения производной функции.

Signup and view all the flashcards

Что такое производная?

Изменение значения функции по отношению к изменению её аргумента.

Signup and view all the flashcards

Вклад Коши в развитие анализа

Понятие предела последовательности, введенное Коши, дало анализу логическое обоснование.

Signup and view all the flashcards

Вклад Пуассона, Лиувилля и Фурье в развитие анализа

Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

Signup and view all the flashcards

Вклад Вейерштрасса в развитие анализа

Арифметизация анализа и классическое определение предела через ε-δ язык.

Signup and view all the flashcards

Развитие теории интегрируемости в XIX веке

Исследование теоремы об интегрируемости по Риману привело к классификации разрывности функций.

Signup and view all the flashcards

Вклад Робинсона в развитие анализа

Разработка нестандартного анализа, который является альтернативным подходом к логическому обоснованию анализа.

Signup and view all the flashcards

Вклад Жордана и Кантора в развитие анализа

Построение теории меры Жорданом, а также теория множеств Кантора, позволили формализовать математический анализ в начале XX века.

Signup and view all the flashcards

Влияние классического анализа на развитие математики

Классический анализ - основа для развития новых разделов математики.

Signup and view all the flashcards

Разностное отношение

Это выражение, которое описывает наклон секущей линии, проходящей через две точки на графике функции.

Signup and view all the flashcards

Секущая

Это линия, которая проходит через две точки на графике функции.

Signup and view all the flashcards

Производная

Это значение наклона касательной к графику функции в определенной точке.

Signup and view all the flashcards

Производная функции

Это предел разностного отношения, когда h стремится к нулю.

Signup and view all the flashcards

Предел

Это процесс поиска предельного значения функции.

Signup and view all the flashcards

Интегрирование

Это процесс вычисления площади под кривой, определенной функцией.

Signup and view all the flashcards

Первообразная (неопределенный интеграл)

Это функция, производная которой равна исходной функции.

Signup and view all the flashcards

Определенный интеграл

Это число, равное площади под кривой в определенном интервале.

Signup and view all the flashcards

Сумма Римана

Это метод приближенного вычисления площади под кривой, путем разделения области на прямоугольники.

Signup and view all the flashcards

Площадь под кривой

Это метод приближенного вычисления площади под кривой, путем разделения области на прямоугольники.

Signup and view all the flashcards

предел sums Римана

Он представляет собой сумму бесконечного числа прямоугольников, которые приближают площадь под кривой.

Signup and view all the flashcards

Символ интеграла

Это удлиненная буква "S", обозначающая интегрирование.

Signup and view all the flashcards

Запись определенного интеграла

Это выражение, которое используется для записи определенного интеграла.

Signup and view all the flashcards

Метод приближенного вычисления определенного интеграла

Это метод приближенного вычисления определенного интеграла.

Signup and view all the flashcards

dx в исчислении Лейбница

Обозначение dx, предложенное Лейбницем, символизирует деление площади под кривой на бесконечное число прямоугольников, где ширина каждого прямоугольника Δx является бесконечно малой величиной dx.

Signup and view all the flashcards

Оператор интеграла

В современной интерпретации, ∫ _a^b… dx представляет оператор, который принимает функцию и возвращает площадь под ее графиком от a до b.

Signup and view all the flashcards

Роль dx в интеграле

dx в определенном интеграле не является числом, его нельзя умножать на f(x). Он служит указанием переменной интегрирования.

Signup and view all the flashcards

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл ∫ f(x)dx представляет семейство функций, производные которых совпадают с f(x). Это означает, что для одной функции существует множество первообразных, отличающихся на константу.

Signup and view all the flashcards

Постоянная интегрирования C

C - неопределенная константа, которая добавляется к результату неопределенного интеграла, чтобы отразить разницу между различными первообразными функции.

Signup and view all the flashcards

Теорема Ньютона-Лейбница

Теорема Ньютона-Лейбница устанавливает взаимосвязь между дифференцированием (нахождением производной) и интегрированием (нахождением первообразной).

Signup and view all the flashcards

Формулировка теоремы Ньютона-Лейбница

Теорема утверждает, что интеграл от функции f(x) от a до b равен разности значений первообразной F(x) в точках b и a.

Signup and view all the flashcards

Применение теоремы Ньютона-Лейбница

Теорема Newтона-Лейбница позволяет найти значение определенного интеграла без использования определения площади. Это значительно упрощает вычисления.

Signup and view all the flashcards

Производная интеграла

Производная интеграла от f(t) по переменной t от a до x равна значению f(x).

Signup and view all the flashcards

Значение теоремы Ньютона-Лейбница

Теорема Ньютона-Лейбница, помимо упрощения вычислений, стала основой для решения дифференциальных уравнений, что нашло широкое применение в науке и технике.

Signup and view all the flashcards

Study Notes

Развитие анализа в XVIII веке

  • Эйлер внес значительный вклад в развитие анализа, изложив его принципы в обширном трактате.
  • В «Введении» Эйлера собраны исследования о различных представлениях элементарных функций.
  • Термин «функция» был введён Лейбницем в 1692 году, но именно Эйлер выдвинул его на первое место.
  • Изначально «функция» определялась как аналитическое выражение для счёта переменных величин и констант.
  • Эйлер перечислил алгебраические и трансцендентные действия (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней, решение уравнений, показательные и логарифмические функции и др.), которые могут комбинироваться для создания функций.
  • Эйлер использовал бесконечно большое число ∞ в выражениях, не обращая внимания на возможность вычисления значения функции в точке.
  • Эйлер представил элементарные функции в виде рядов, бесконечных произведений.
  • Он доказал, что все элементарные функции могут быть представлены с помощью арифметических действий, взятия логарифма и экспоненты.
  • Эйлер получил формулу, связывающую экспоненту и тригонометрические функции: e√(-1)x = cos x + √(-1)sin x.

Лагранж: альтернативный подход

  • Лагранж стремился исключить использование бесконечно малых величин.
  • Он ввёл аналитическую функцию как функцию, изучаемую методами анализа.
  • Функция обозначалась как f(x) и представлялась как графическая зависимость между переменными.
  • Лагранж представил функцию как ряд Тейлора, где коэффициенты являются функциями от x.
  • Ввёл понятие производной (дифференциального коэффициента).
  • Получил ряд теорем о разрешимости начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
  • Сформулировал формулу Тейлора с остаточным членом, но не рассматривал вопрос о сходимости ряда Тейлора.

Критика и дальнейшее развитие

  • Лагранж не видел необходимости в оценке точности приближения, получаемого с помощью рядов Тейлора.
  • Коши показал пример функции, не разлагающейся в степенной ряд, но дифференцируемой (функция e-1/x²).
  • Пуассон выдвинул критику к примеру Коши, утверждая различие в определении функции.
  • Прингсхайм в конце XIX века показал, что существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Маклорена для которых расходится (пример: Ψ(x)).
  • В XIX веке Коши заложил твёрдые логические основы анализа, введя понятие предела последовательности и открыв новую страницу комплексного анализа.
  • Вейерштрасс арифметизировал анализ, предложив определение предела через ε-δ-язык.

Дифференциальное исчисление

  • Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной в этой точке.
  • Дифференциальное исчисление изучает определение, свойства и применение производных.
  • Производная как функция является линейным отображением, где вход — одна функция, выход — другая.
  • Примеры производных: производная квадратичной функции x² равна 2x (функция удвоения).

Интегральное исчисление

  • Интегральное исчисление изучает определение, свойства и применение неопределённого и определённого интегралов.
  • Неопределённый интеграл — первообразная функции, то есть операция, обратная к производной.
  • Определённый интеграл — число, равное площади, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя прямыми.
  • Метод вычисления определённого интеграла — теорема Ньютона-Лейбница.

Теорема Ньютона – Лейбница

  • Связывает дифференцирование и интегрирование как взаимно обратные операции.
  • Теорема даёт алгебраический метод вычисления многих определённых интегралов и помогает при решении дифференциальных уравнений.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Quiz Team

Description

Этот квиз посвящен ключевым понятиям функционирования в математике, включая работы Эйлера. Участники смогут проверить свои знания о концепциях функций, производных и дифференциальном исчислении. Квиз охватывает как исторические аспекты, так и современные применения математического анализа.

More Like This

The Asymmetric Ciphers and Mathematics Quiz
10 questions

The Asymmetric Ciphers and Mathematics Quiz

PureCrimson avatar
PureCrimson
Euler's Formula Quiz
5 questions

Euler's Formula Quiz

ConstructiveAlexandrite avatar
ConstructiveAlexandrite
Euler's Contributions to Number Theory
12 questions

Euler's Contributions to Number Theory

TroubleFreeDesert avatar
TroubleFreeDesert
Mathematik: Die Euler'sche Zahl *e*
48 questions

Mathematik: Die Euler'sche Zahl *e*

BuoyantFlashback avatar
BuoyantFlashback
Use Quizgecko on...
Browser
Open
Browser
Browser