أنواع الزوايا والمثلثات

البرهان غير المباشر

• التبرير المباشر يبدأ بمعطيات صحيحة وتثبت أن النتيجة صحيحة.
  • في هذه الطريقة يكون البرهان مباشر.
• التبرير غير المباشر تفترض أن النتيجة خاطئة، ثم تبين أن هذا الافتراض يؤدي إلى تناقض مع:
  • المعطيات.
  • أو مع أي حقيقة سابقة كتعريف.
  • أو مسلمة.
  • أو نظرية.
  • جميع خطوات البرهان تكون صحيحة منطقيا، لذلك يثبت خطأ الافتراض.
  • يسمى هذا برهان غير مباشر أو برهان بالتناقض.
• خطوات كتابة البرهان غير المباشر:
  • حدد النتيجة التي ستبرهنها.
  • افترض أن نفيها (عكسها) صحيح.
  • استعمل التبرير المنطقي لتبين أن هذا الافتراض يؤدي إلى تناقض مع المعطيات أو مع حقيقة أخرى، مثل تعريف أو مسلمة أو نظرية.
  • بما أن الافتراض الذي بدأت به أدى إلى تناقض، فبين أن النتيجة الأصلية المطلوب إثباتها يجب أن تكون صحيحة.
• في متباينة ضلع - زاوية إذا كان أحد أضلاع مثلث أطول من ضلع آخر، فإن قياس الزاوية المقابلة للضلع الأطول يكون أكبر من قياس الزاوية المقابلة للضلع الأصغر.
• في متباينة زاوية - ضلع إذا كان قياس إحدى زوايا مثلث أكبر من قياس زاوية أخرى فإن الضلع المقابل للزاوية الكبرى يكون أطول من الضلع المقابل للزاوية الصغرى.

زوايا المضلع

• قطر المضلع هو قطعة مستقيمة تصل بين أي رأسين غير متتاليين فيه.
• مجموع قياسات زوايا المضلع يساوي مجموع قياسات زوايا المثلثات التي تتشكل عند رسم جميع الأقطار الممكنة من أحد الرؤوس.
• المضلع هو شكل مغلق يتكون من ثلاث قطع مستقيمة أو أكثر تلتقي كل قطعة بطرفي قطعتين أخريين من المضلع ، ولا تقع أي نقطتين منها على استقامة واحدة وتكون رؤوس المضلع هي أطراف القطع المستقيمة فيهه.
• الزاوية الداخلية هي الزاوية المحصورة بين ضلعين متجاورين في مضلع وتقع داخله.
• مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع محدب = (n-2)180 حيث n عدد أضلاعه.
  • نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع محدب تستخدم لإيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع والقياسات المجهولة لزواياه.
• المضلع المحدب هو مضلع يكون قياس أي من زواياه الداخلية أقل من 180 ولا يقطع امتداد أي ضلع فيه أي ضلع آخر من أضلاع المضلع.
• عكس المضلع المحدب = مضلع مقعر.
• تذكر أن جميع الزوايا الداخلية للمضلع المنتظم متطابقة ويمكنك استخدام هذه الحقيقة ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع لإيجاد قياس الزاوية الداخلية لأي مضلع منتظم.
• المضلع المنتظم هو مضلع محدب جميع اضلاعه متطابقة وجميع زواياه متطابقة.
• الزوايا الخارجية لمضلع محدب هي زاوية محصورة بين أحد أضلاعه وامتداد ضلع آخر.
• مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع مجموع قياسات الزوايا الخارجية بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس في كل حالة يساوي 360 درجة.
• لإيجاد قياس زاوية خارجية لمضلع منتظم يمكنك إيجاد قياس زاوية داخلية وطرح هذا القياس من 180 لأن الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية المرتبطة بها متكاملتان.
• أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع مهندس وعالم بالحساب عرف باسم أبي كامل الحاسب وله رسالة في المضلع ذي الزوايا الخمس وذي الزوايا العشر.

متوازي الأضلاع

• متوازي الأضلاع شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين.
• خصائص متوازي الأضلاع
  • كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متطابقان.
  • كل زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع متطابقتان.
  • كل زاويتين متحالفتين في متوازي الأضلاع متكاملتان.
  • إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة فإن زواياه الأربع قوائم.
• في رسم الأشكال تكتب النظريات بمصطلحات عامة ، أما في البرهان فيجب رسم شكل بحيث يمكن من خلاله الإشارة إلى القطع المستقيمة والزوايا بصورة دقيقة.
• قطر متوازي الأضلاع قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر.
  • قطر متوازي الأضلاع يقسمه الي مثلثين متطابقين.
  • يمكنك استعمال معلومة قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر لتحديد إحداثيات نقطة تقاطع قطري متوازي أضلاع في المستوى الإحداثي إذا علمت إحداثيات رؤوسه.
  • شروط متوازي الأضلاع
    • إذا كان كل ضلعين متقابلين متوازيين فإنه متوازي أضلاع بحسب التعريف ، ولكن ليس هذا هو الشرط الوحيد.
    • الشرط الاول في الشكل الرباعي إذا كان كل ضلعين متقابلين متطابقين فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
    • الشرط الثاني إذا كانت كل زاويتين متقابلتين متطابقتين فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
    • الشرط الثالث إذا كان قطرا شكل رباعي ينصف كل منهما الآخر فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
    • الشرط الرابع إذا كان فيه ضلعان متقابلان متوازيين ومتطابقين فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
      • يمكنك استعمال الجبر مع شروط متوازي الأضلاع لإيجاد القيم المجهولة التي تجعل شكلا رباعيا متوازي أضلاع.
• صيغة نقطة المنتصف لبيان أن شكلا رباعيا يمثل متوازي أضلاع يمكنك استعمال صيغة نقطة المنتصف فإذا كانت نقطتا المنتصف للقطرين متساويتين فإن القطرين ينصف كل منهما الآخر.
• يمكننا استعمال صيغ المسافة بين نقطتين والميل ونقطة المنتصف لتحديد إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع أم لا
• البرهان الإحداثي هو برهان تستعمل فيه أشكال في المستوى الإحداثي والجبر لإثبات مفاهيم هندسية يمكن التعبير عن إحداثيات رؤوس المثلثات بمتغيرات.
• رينيه ديكارت عالم رياضي فرنسي وهو أول من استعمل المستوى الإحداثي وقيل إنه فكر أولا بربط كل موقع في مستوى مع زوج من الأعداد.

المستطيل

• المستطيل هو متوازي أضلاع زواياه الأربع قوائم.
• خصائص المستطيل
  • الزوايا الأربع قوائم.
  • كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان.
  • كل زاويتين متقابلتين متطابقتان.
  • كل زاويتين متحالفتين متكاملتان.
  • القطران ينصف كل مهما الآخر.
• قطر المستطيل إذا كان متوازي الأضلاع مستطيلا ، فإن قطريه متطابقتان.
• الزوايا القوائم أنه إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة فإن زواياه الأربع قوائم.
• الزاويتان المتبادلتان داخليا بالنسبة لقطر إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين فإن كل زاويتين متبادلتين داخليا متطابقتان ، وينطبق هذا على الزاويتين المتبادلتين بالنسبة لقطر متوازي الأضلاع.
• إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقتين فإنه مستطيل.
• المستطيل ومتوازي الأضلاع كل مستطيل متوازي أضلاع مستطيلا.

المعين والمربع

• المعين هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متطابقة.
  • للمعين جميع خصائص متوازي الأضلاع.
• قطرا المعين إذا كان متوازي أضلاع معينا ، فإن قطريه متعامدان.
• إذا كان متوازي أضلاع معينا فإن كل قطر فيه ينصف كلا من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما.
• المربع هو متوازي اطلع جميع أضلاعه متطابقة وجميع زواياه قوائم تذكر أن متوازي الأضلاع الذي زواياه الأربع قوائم يكون مستطيلا ومتوازي الأضلاع الذي اضلاعه الأربعة متطابقة يكون معينا.
• المربع والمعين كل مربع معين ، ولكن ليس كل معين مربعا وكل مربع مستطيل وليس كل مستطيل مربعا .
• جميع خصائص متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين تنطبق على المربع فمثلا فطرا المربع ينصف كل منهما اخر ( متوازي أضلاع ( وهما متطابقان ( مستطيل ) ومتعامدان (معين).
• الشروط الكافية للمعين والمربع
  • إذا كان قطرا متوازي أضلاع متعامدین فانه معين.
  • إذا نصف قطر متوازي أضلاع كلا من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما فان متوازي الأضلاع يكون معينا.
  • . إذا كان ضلعان متتالين في متوازي الأضلاع متطابقين فإنه معين إذا كان الشكل الرباعي مستطيلا ومعينا فإنه مربع

المثلثاث المتطابقة

• المثلثات المتطابقة بما أن للمعين أربعة أضلاع متطابقة فإن كلا من قطريه يقسمه إلى مثلثين متطابقي الضلعين ومتطابقين وإذا رسم القطران فإنهما يقسمات المعين إلى أربعة مثلثات قائمة ومتطابقة.-:
• تمثيل الشكل بيانيا عند تحليل شكل رباعي باستعمال الهندسة الإحداثية لمساعدتك في وضع مين.

شبه المنحرف وشكل الطائرة الورقية

• شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان فقط متوازيان يسميان قاعدتي شبه المنحرف.
• يسمى الضلعان غير المتوازيين ساقي شبه المنحرف.
• زاويتا القاعدة مكون كل منهما من قاعدة واحد ضلعي الساقين إذا كان ساقا شبه المحرف متطابقين فانه يسمى شبه منحرف متطابق الساقين
• تشابه المنحرف: إذا كان شبه المنحرف متطابق، الساقين، فإن. زاويتي .كل. قاعدة متطابقتان نظرية:  إذا کانت زاویتا قاعدة في شبه المنحرف متطابقتين فأنه منطابق الساقين منظورية :. يكون شبه المنحرف متطابق، الساقين اذا وفقط إذا كان قطراه متطابقین قاعدة في كل الشبه. المنحرف منطابق الساقين

القطعة الوصية

القطعة المتوسطة تسمى في المحطة المنحرف، ايضا النجمة المنصب. القطعة المتوسط بشپه المنحرف و في قطعة مستقيمة تصل بين متصفين ياقه. نظرية القطعة المنفردة و تشبه المنطقه هي القطعة المتوسطة يسته منفردة توازي كلا من القاعدتين وطولها يساوي نصف المجموع طولي القاعدتين الشكل الطائرة البرق ي.

• ي شكل رباعي بيت يكون. من زرين متمايز من الأضلاع البرازة المتطابقة الشكل الطاولة.
• قطرة شكل الطائرة الشرقية وتعاد شکل الطائرة الورية زوج وبعد فقد الزواي.
• المتقابلة المطلقة هم الزاويتان السورتان بين كل ضلعين غير متجاورين الطابقن