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Questions and Answers
Quelle est la valeur de $f'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$?
Quelle est la valeur de $f'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$?
- ∞
- 0
- −1 (correct)
- 1
Quel est le domaine de la fonction $f(x)$?
Quel est le domaine de la fonction $f(x)$?
- Les réels sauf zéro
- Tous les réels (correct)
- Les réels positifs
- Les réels négatifs
Que représente la limite de $arctan(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$?
Que représente la limite de $arctan(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$?
- 0
- $ ext{π}$
- $ rac{ ext{π}}{2}$ (correct)
- $− rac{ ext{π}}{2}$
Comment peut-on exprimer $f(x)$ pour $x < 0$?
Comment peut-on exprimer $f(x)$ pour $x < 0$?
Quel est le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0?
Quel est le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0?
Quelle condition est équivalente à $|x| ≤ α$?
Quelle condition est équivalente à $|x| ≤ α$?
Quelle expression représente la fonction d'une valeur absolue pour un produit?
Quelle expression représente la fonction d'une valeur absolue pour un produit?
Quel est le symbole utilisé pour caractériser une équation de limite?
Quel est le symbole utilisé pour caractériser une équation de limite?
Quelle inégalité est vraie si $x ≥ α$?
Quelle inégalité est vraie si $x ≥ α$?
Quel est le bon signe si $x$ est à la fois supérieur et inférieur à un certain nombre $α$?
Quel est le bon signe si $x$ est à la fois supérieur et inférieur à un certain nombre $α$?
Comment exprimer $|x|^° = x^°$ pour une valeur absolue?
Comment exprimer $|x|^° = x^°$ pour une valeur absolue?
Quel est le résultat de l'expression $|x| = |y|$ dans une équation d'égalité?
Quel est le résultat de l'expression $|x| = |y|$ dans une équation d'égalité?
Que signifie l'expression $x ≤ −α$ dans les inégalités?
Que signifie l'expression $x ≤ −α$ dans les inégalités?
Quelle est la forme correcte de la fonction F(x) dans l'expression fournie ?
Quelle est la forme correcte de la fonction F(x) dans l'expression fournie ?
Quelle variable est multipliée par 'x' dans l'expression F(x) - y ?
Quelle variable est multipliée par 'x' dans l'expression F(x) - y ?
Quel est le terme constant dans l'expression fournie ?
Quel est le terme constant dans l'expression fournie ?
Quel est le coefficient devant le terme x^3 dans F(x) ?
Quel est le coefficient devant le terme x^3 dans F(x) ?
Quelle inégalité est représentée par x < a − 7 ?
Quelle inégalité est représentée par x < a − 7 ?
Quelle est la forme correcte de la dérivée F'(x) ?
Quelle est la forme correcte de la dérivée F'(x) ?
Quel est le produit de 'a - 4' et la variable x dans l'expression donnée ?
Quel est le produit de 'a - 4' et la variable x dans l'expression donnée ?
Quelle expression représente le terme -45x dans l'expression fournie ?
Quelle expression représente le terme -45x dans l'expression fournie ?
Quelle est l'expression correcte pour la fonction lorsqu'elle est approchée par $x \to Q$?
Quelle est l'expression correcte pour la fonction lorsqu'elle est approchée par $x \to Q$?
Quel est le comportement correct de la fonction lorsque $x$ tend vers une certaine valeur?
Quel est le comportement correct de la fonction lorsque $x$ tend vers une certaine valeur?
Quel terme ne devrait pas apparaître dans l'expression de la fonction?
Quel terme ne devrait pas apparaître dans l'expression de la fonction?
Lors de l'évaluation de limites, que nécessite la fonction $f (x)$?
Lors de l'évaluation de limites, que nécessite la fonction $f (x)$?
Quelle variable dans l'expression de la fonction dénote une dépendance sur $x$?
Quelle variable dans l'expression de la fonction dénote une dépendance sur $x$?
Que peut-on dire de l'expression $lim f(x)= a$?
Que peut-on dire de l'expression $lim f(x)= a$?
Quel est le rôle du terme $ε(x)$ dans l'expression de la fonction?
Quel est le rôle du terme $ε(x)$ dans l'expression de la fonction?
Quelle notation pourrait indiquer la direction d'une approche infinie?
Quelle notation pourrait indiquer la direction d'une approche infinie?
Quelle partie d'une fonction est traditionnellement associée à des valeurs constantes?
Quelle partie d'une fonction est traditionnellement associée à des valeurs constantes?
Quel est le terme utilisé pour désigner le polynôme de degré n dans l'équation f(x) + g(x) ?
Quel est le terme utilisé pour désigner le polynôme de degré n dans l'équation f(x) + g(x) ?
Quelle est la forme correcte de la relation pour le produit de deux fonctions f(x) et g(x) ?
Quelle est la forme correcte de la relation pour le produit de deux fonctions f(x) et g(x) ?
Quelle fonction représente la somme de f(x) et g(x) ?
Quelle fonction représente la somme de f(x) et g(x) ?
Dans l'expression f(x) = Tn(x) + x n ε(x), que représente Tn(x) ?
Dans l'expression f(x) = Tn(x) + x n ε(x), que représente Tn(x) ?
Quelle est la valeur de g(x) dans l'expression donnée ?
Quelle est la valeur de g(x) dans l'expression donnée ?
Quel est le facteur essentiel dans l'équation de g(x) ?
Quel est le facteur essentiel dans l'équation de g(x) ?
Dans l'ensemble des équations, quels termes sont ajoutés dans le cas de f(x) · g(x) ?
Dans l'ensemble des équations, quels termes sont ajoutés dans le cas de f(x) · g(x) ?
Comment est désignée la composition des fonctions Pn(x) et Qn(x) ?
Comment est désignée la composition des fonctions Pn(x) et Qn(x) ?
Quel élément modifie le comportement asymptotique dans les polynômes ?
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Que représente le terme ε(x) dans les expressions de fonction ?
Que représente le terme ε(x) dans les expressions de fonction ?
Quel est l'effet d'un terme linéaire additionnel dans une fonction quadratique ?
Quel est l'effet d'un terme linéaire additionnel dans une fonction quadratique ?
Comment s'appelle la formule pour évaluer f(x) si g(x) est connu ?
Comment s'appelle la formule pour évaluer f(x) si g(x) est connu ?
Dans l'équation g(x) = -x + x², quel est le rôle de -x ?
Dans l'équation g(x) = -x + x², quel est le rôle de -x ?
Quelle est la formulation correcte de la fonction $f(x)$ mentionnée dans le contenu ?
Quelle est la formulation correcte de la fonction $f(x)$ mentionnée dans le contenu ?
Quelle propriété est vraie pour tous les $x$ réels concernant $arctan(x)$ ?
Quelle propriété est vraie pour tous les $x$ réels concernant $arctan(x)$ ?
La formule $arctan(x) + arctan( rac{1}{x})$ conduit à quel résultat pour $x > 0$ ?
La formule $arctan(x) + arctan( rac{1}{x})$ conduit à quel résultat pour $x > 0$ ?
Quel est le domaine de la fonction $f(x) = arctan(x) + arctan(x - x)$ ?
Quel est le domaine de la fonction $f(x) = arctan(x) + arctan(x - x)$ ?
Comment est définie la fonction $g(x) = arctan( rac{x}{ ext{√2}})$ ?
Comment est définie la fonction $g(x) = arctan( rac{x}{ ext{√2}})$ ?
Quel résultat obtient-on lorsque l’on additionne $arctan(x)$ et $arctan(x + rac{1}{x})$ ?
Quel résultat obtient-on lorsque l’on additionne $arctan(x)$ et $arctan(x + rac{1}{x})$ ?
Pour quel type de $x$ est-ce que $arctan(-x) = -arctan(x)$ ?
Pour quel type de $x$ est-ce que $arctan(-x) = -arctan(x)$ ?
Quel est l'objectif principal de la fonction $f$ définie dans le contenu ?
Quel est l'objectif principal de la fonction $f$ définie dans le contenu ?
Quelle est la valeur de $arctan(0)$ ?
Quelle est la valeur de $arctan(0)$ ?
Que représente l'expression $arctan( ext{𝑥}) + arctan(y)$ lorsque $y = -x$ ?
Que représente l'expression $arctan( ext{𝑥}) + arctan(y)$ lorsque $y = -x$ ?
Quel est le comportement asymptotique de la fonction $arctan(x)$ pour $x$ tendant vers l'infini ?
Quel est le comportement asymptotique de la fonction $arctan(x)$ pour $x$ tendant vers l'infini ?
Quelle valeur est obtenue par $arctan(1)$ ?
Quelle valeur est obtenue par $arctan(1)$ ?
Quel est le rapport entre $arctan(x)$ et $tan(x)$ pour tout $x$ réel ?
Quel est le rapport entre $arctan(x)$ et $tan(x)$ pour tout $x$ réel ?
Quelle est la limite de $arctan(x)$ lorsque $x$ tend vers moins l'infini ?
Quelle est la limite de $arctan(x)$ lorsque $x$ tend vers moins l'infini ?
Flashcards
Définition de f(x)
Définition de f(x)
Une fonction f(x) définie par des parties selon la valeur de x.
Fonction arctan
Fonction arctan
Fonction trigonométrique inverse. Représente l'angle dont la tangente est x.
Domaine de f(x)
Domaine de f(x)
Intervalles de valeurs de x pour lesquels f(x) est définie.
Fonction f'(x)
Fonction f'(x)
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Calcul de f'(x)
Calcul de f'(x)
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Limite d'une fonction
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Valeur absolue
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Fonction
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Notation de limite
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Ensemble des nombres réels
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Fonction additive
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Séquence
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Notation mathématique
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Fonction par morceaux
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Domaine d'une fonction
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Dérivée d'une fonction
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Fonction continue
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Fonction discontinue
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Fonction croissante
Fonction croissante
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Fonction décroissante
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Limite de f(x) quand x tend vers a
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Limite à droite et à gauche
Limite à droite et à gauche
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Limite infinie
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Fonction polynomiale
Fonction polynomiale
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Degré d'une fonction polynomiale
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Fonction polynomiale de degré 1
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Fonction polynomiale de degré 2
Fonction polynomiale de degré 2
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Fonction polynomiale de degré 3
Fonction polynomiale de degré 3
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Arctangente
Arctangente
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Domaine de l'arctangente
Domaine de l'arctangente
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Propriété arctan(x)+arctan(-x)
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arctan(x) + arctan(1/x)
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arctan(√(1-x²))
arctan(√(1-x²))
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Relation arctan(x)+ arctan(y)
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arctan(x) + arctan(1/x)
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arctan(√(1-x²))
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arctan(-x)
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Fonction arctangente
Fonction arctangente
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Identité trigonometrique
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Nombre réel
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Domaine de la fonction
Domaine de la fonction
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Fonction inverse
Fonction inverse
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Arctangente de l'inverse
Arctangente de l'inverse
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Degré d'un polynôme
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Terme constant
Terme constant
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Fonction rationnelle
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Fonction algébrique
Fonction algébrique
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Fonction transcendante
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Développement en série de Taylor
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Polynôme de Taylor
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Reste de Taylor
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Ordre d'un polynôme de Taylor
Ordre d'un polynôme de Taylor
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Fonction dérivable
Fonction dérivable
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Fonction intégrable
Fonction intégrable
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Study Notes
Cours d'Analyse - M1109
- Cours-Slides de l'année 2023-2024
- Enseignant : Ibrahim ZALZALI
- Université Libanaise, Faculté des Sciences, Section I
Chapitre 1 : Le Corps des Réels
- L'ensemble des nombres réels (noté R) est muni d'une relation d'inégalité.
- Propriétés de l'inégalité :
- Si a ≤ b et c ∈ R, alors a + c ≤ b + c.
- Si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c.
- Si a ≤ b et c ≤ d, alors a + c ≤ b + d.
- Si a ≤ b et 0 ≤ c, alors ac ≤ bc.
- Autres propriétés :
- Si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b > 0 .
- Si a < b < 0 ou 0 < a < b, alors 1/a < 1/b.
- Si a < 0 < b, alors 1/a < 0 < 1/b.
- Si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c < d, alors ac < bd.
Section 2 : Valeur Absolue d'un Réel
- La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, est définie comme suit :
- |x| = x si x > 0
- |x| = -x si x ≤ 0
- Propriétés de la valeur absolue :
- |x| = 0 si et seulement si x = 0.
- x ≤ |x|
- |x - y| = |y - x|
- |xy| = |x| |y|
- |x²| = x²
Section 3 : Partie Entière d'un Réel
- La partie entière d'un réel x, notée E(x), est le plus grand entier inférieur ou égal à x.
- Propriétés :
- E(x) = x si et seulement si x est un entier.
- E(x) ≤ x < E(x) + 1, pour tout x ∈ R.
- E(x + k) = E(x) + k, pour tout k ∈ Z et x ∈ R.
- x < y ⇒ E(x) < E(y).
Section 4 : Le Principe de Récurrence
- Méthode mathématique pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un certain rang.
- Deux conditions pour la vérité d'une affirmation P(n) :
- P(no) est vraie pour un entier naturel no.
- Si P(n) est vraie, alors P(n + 1) est vraie pour tous les entiers n ≥ n0.
Chapitre 2 : Limite et Continuité
- Définition de la limite d'une fonction en un point.
- Opérations sur les limites (somme, produit, quotient).
- Formes indéterminées.
- Définition de la continuité en un point.
- Théorème des gendarmes (encadrement).
Section 3 : Continuité en un point
- Définition de la continuité en un point pour une fonction.
- Prolongement par continuité quand la limite existe mais la fonction n'est pas définie en ce point.
Section 4 : Le théorème des valeurs intermédiaires
- Pour une fonction continue sur un intervalle [a, b], si f(a) et f(b) ont des signes opposés, il existe un point c dans l'intervalle où f(c) = 0.
Chapitre 3 : Dérivation
- Définition de la dérivée en un point.
- Propriétés de la dérivée.
- Définition de la dérivée à droite et à gauche d'une fonction en un point.
Section 2 : Le théorème des accroissements finis (TAF)
- Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, il existe un point c dans l'intervalle ]a, b[ tel que f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).
Section 1: Dérivées en un Point
- Définition formalisée de la dérivée en un point d'une fonction.
- Exemples et exercices de calculs de dérivées.
### Section 2 : Le théorème des accroissements finis (TAF).
- Théorème précisant l'existence d'un point c dans un intervalle où la pente de la tangente à la fonction est égale à la pente de la corde reliant les deux points extrêmes de l'intervalle.
- Exercice sur l'application du théorème.
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