التكامل بالتجزئ في الدوال المثلثية

التكامل بالتجزئ

مفهوم التكامل بالتجزئ

• تقنية تستخدم لتبسيط وحل التكاملات المعقدة.
• تعتمد على قاعدة التكامل بالتجزئ:
  • ∫ u dv = uv - ∫ v du
  • حيث u و dv تتغير حسب الوظيفة المدروسة.

الدوال المثلثية

• تشمل:
  • sin(x)
  • cos(x)
  • tan(x)
  • sec(x)
  • csc(x)
  • cot(x)

خطوات تطبيق التكامل بالتجزئ على الدوال المثلثية

1. اختيار u و dv:

   • اختر u كدالة يسهل اشتقاقها (مثل sin(x) أو ln(x)).
   • اختر dv كدالة يمكن تكاملها بسهولة (مثل cos(x) أو dx).

2. احسب du و v:

   • اشتق u للحصول على du.
   • اجمع dv للحصول على v.

3. تطبيق قاعدة التكامل بالتجزئ:

   • استخدم الصيغة: ∫ u dv = uv - ∫ v du
   • قم بتبسيط المعادلة الناتجة.

4. حل التكامل المتبقي:

   • احل ∫ v du إذا كان ذلك ممكنًا، باستخدام طرق أخرى إذا لزم الأمر.

أمثلة على التكامل بالتجزئ باستخدام الدوال المثلثية

• مثال 1: ∫ x sin(x) dx

  • اختار u = x و dv = sin(x) dx
  • ثم احسب du = dx و v = -cos(x)
  • استعمل القاعدة للحصول على ∫ x sin(x) dx = -x cos(x) + ∫ cos(x) dx.

• مثال 2: ∫ x cos(x) dx

  • اختار u = x و dv = cos(x) dx
  • ثم احسب du = dx و v = sin(x)
  • استعمل القاعدة للحصول على ∫ x cos(x) dx = x sin(x) - ∫ sin(x) dx.

ملاحظات مهمة

• بعض التكاملات قد تتطلب تطبيق التكامل بالتجزئ أكثر من مرة.
• تأكد من تبسيط المعادلات الناتجة في كل خطوة.
• تحقق من صحة الحل باستخدام الاشتقاق.

مفهوم التكامل بالتجزئ

• تقنية رياضية تهدف لتبسيط التكاملات المعقدة.
• تعتمد على قاعدة التكامل بالتجزئ: ∫ u dv = uv - ∫ v du.
• تتغير اختيارات u و dv بناءً على الوظيفة المعنية.

الدوال المثلثية

• تشمل الدوال الأساسية:
  • sin(x)
  • cos(x)
  • tan(x)
  • sec(x)
  • csc(x)
  • cot(x)

خطوات تطبيق التكامل بالتجزئ

• اختيار u و dv:

  • يجب اختيار u كدالة تنخفض فيها عملية الاشتقاق (مثلاً sin(x) أو ln(x)).
  • اختر dv كدالة يمكن تكاملها بسهولة مثل cos(x) أو dx.

• احسب du و v:

  • اشتق u للحصول على du.
  • اجمع dv للحصول على v.

• تطبيق قاعدة التكامل بالتجزئ:

  • استعمل الصيغة ∫ u dv = uv - ∫ v du.
  • قم بتبسيط المعادلة الناتجة لتسهيل الحل.

• حل التكامل المتبقي:

  • إذا بقي تكامل ∫ v du، حاول حله باستخدام طرق أخرى.

أمثلة على التكامل بالتجزئ

• مثال 1: ∫ x sin(x) dx

  • u = x، dv = sin(x) dx.
  • du = dx، v = -cos(x).
  • النتيجة: ∫ x sin(x) dx = -x cos(x) + ∫ cos(x) dx.

• مثال 2: ∫ x cos(x) dx

  • u = x، dv = cos(x) dx.
  • du = dx، v = sin(x).
  • النتيجة: ∫ x cos(x) dx = x sin(x) - ∫ sin(x) dx.

ملاحظات مهمة

• إمكانية الحاجة لتطبيق التكامل بالتجزئ أكثر من مرة على نفس التكامل.
• ضرورة تبسيط المعادلات بشكل دوري خلال الحل.
• التأكد من صحة الحل من خلال عملية الاشتقاق.