Algoritmos y Eficiencia de Funcion f

La expresión 𝑛 − 𝑖 + 1 representa una cota válida para un bucle que itera hasta 𝑛, donde 𝑖 incrementa en cada iteración. Esta cota indica cuántas iteraciones quedan por realizar.

La variable 𝑗 no necesariamente decrece en todas las iteraciones dentro del bucle, dependiendo de los valores del vector 𝑣. Para que la expresión 𝑛 − 𝑖 + 1 sea una cota válida, debe decrecer en cada iteración, pero eso puede no estar garantizado.

Si 𝑛 ≤ 4, el valor inicial de 𝑖 es 0, y la expresión 𝑛 − 𝑖 + 1 se vuelve negativa. Esto indica que no es una cota válida, ya que una cota debe ser siempre no negativa.

La función 𝑓 analiza un vector 𝑣 y busca subsecuencias ordenadas de tamaño 𝑘 dentro de un rango definido por 𝑛.

La función 𝑓( [3, 3, 4, 5], 3, 4) no cumple la precondición porque 𝑛 (4) no es menor que v.size() (4), lo que implica que el rango de búsqueda excede el tamaño del vector.

La función 𝑓( [1, 2, 3, 4, 5], 1, 3) no cumple la postcondición porque para 𝑘 = 1 (longitud de la subsecuencia), no se encuentran subsecuencias ordenadas de tamaño 1 que se encuentren dentro del rango definido por 𝑛 = 3.

La función 𝑓([1, 1, 9, 0, 3, 4, 4], 2, 5) busca subsecuencias ordenadas de tamaño 2 (𝑘) dentro del vector 𝑣, y encuentra 4 subsecuencias que cumplen con la condición en el rango definido por 𝑛.

Ninguna de las llamadas a 𝑓 proporcionadas en las opciones cumple correctamente tanto la precondición como la postcondición especifica.

La notación asintótica Ω se utiliza para definir el límite inferior de una función. Si f(n) ∈ Ω(g(n)), significa que f(n) crece al menos tan rápido como g(n) para n suficientemente grande.

El teorema del límite establece que si el límite de la razón entre dos funciones tiende a un valor constante, entonces las dos funciones tienen el mismo orden asintótico.

La notación asintótica O se utiliza para definir el límite superior de una función. Si f(n) ∈ O(g(n)), significa que f(n) crece como máximo tan rápido como g(n) para n suficientemente grande.

La notación asintótica Θ se utiliza para definir un límite superior e inferior de una función. Si f(n) ∈ Θ(g(n)), significa que f(n) crece a la misma velocidad que g(n) para n suficientemente grande.

Si el límite de la razón entre dos funciones tiende a 0, entonces la primera función crece más lentamente que la segunda función. En este caso, la primera función es un subconjunto de la segunda función.

Si el límite de la razón entre dos funciones tiende a un valor constante diferente de 0, entonces las dos funciones tienen el mismo orden asintótico. En este caso, las dos funciones pertenecen al mismo conjunto.

Si el límite de la razón entre dos funciones tiende a infinito, entonces la primera función crece más rápido que la segunda función. En este caso, la primera función no es un subconjunto de la segunda función.

La complejidad temporal de un algoritmo mide el tiempo que tarda en ejecutarse en función del tamaño de la entrada. Las notaciones asintóticas se utilizan para describir el comportamiento de la complejidad temporal para entradas grandes.

La generalización es una técnica que consiste en añadir parámetros o resultados adicionales a una función. Esto puede resultar en funciones más versátiles, facilitar el diseño de algoritmos recursivos, mejorar la eficiencia de los algoritmos recursivos e incluso obtener versiones recursivas finales de funciones recursivas lineales no finales.

La generalización de funciones permite crear algoritmos recursivos ya que se pueden definir recursivamente algunos algoritmos añadiendo parámetros adicionales. Un ejemplo de esto es la búsqueda binaria.

Las técnicas de generalización pueden mejorar la eficiencia de los algoritmos recursivos mediante la adición de parámetros o resultados adicionales. Esto permite optimizar el proceso recursivo.

Modificar funciones recursivas lineales (que no terminan) para que sean recursivas finales requiere la adición de un parámetro acumulador. Este parámetro se usa para rastrear el progreso del algoritmo.

La recursión infinita ocurre cuando una función se llama a sí misma continuamente sin alcanzar un caso base. En este caso, el algoritmo se ejecuta indefinidamente sin producir un resultado.

Para garantizar que un algoritmo recursivo termine, necesita una condición de parada o caso base que evite la recursión infinita.

El algoritmo de búsqueda binaria divide repetidamente el espacio de búsqueda a la mitad en cada paso, buscando el elemento deseado dentro de la mitad adecuada.

Para garantizar la terminación del algoritmo de búsqueda binaria, la condición 𝑐 > 𝑓 debe cumplirse. De lo contrario, la recursión se produce indefinidamente.

La notación Big-O define una cota superior asintótica de un algoritmo. Indica el comportamiento del tiempo de ejecución del algoritmo a medida que el tamaño de la entrada se vuelve muy grande.

La notación Ω define una cota inferior asintótica de un algoritmo. Indica el comportamiento mínimo del tiempo de ejecución del algoritmo a medida que el tamaño de la entrada se vuelve muy grande.

La notación Θ define una cota asintótica ajustada de un algoritmo. Indica el comportamiento exacto del tiempo de ejecución del algoritmo a medida que el tamaño de la entrada se vuelve muy grande.

La pre-condición de un algoritmo especifica las condiciones que deben cumplirse antes de que el algoritmo sea llamado. Estas condiciones garantizan que el algoritmo se comporte como se espera.

Añadir parámetros adicionales a un algoritmo recursivo puede aumentar su eficiencia y generalidad.

Los algoritmos recursivos con un tamaño de problema que se reduce por sustracción tienen la forma: T(n) = c0 si 0 ≤ n ≤ n0, T(n) = aT(n - b) + cnk si n > n0. La complejidad temporal depende del valor de 'a'.

Si 'a' es mayor que 1, la complejidad temporal del algoritmo es exponencial independientemente del valor de 'b'.

Si 'a' es igual a 1, la complejidad temporal del algoritmo es polinomial en función de 'n' y 'k'.

Las versiones recursivas finales se obtienen de las versiones lineales no finales añadiendo un parámetro acumulador.

Los algoritmos recursivos pueden usarse para solucionar problemas dividiéndolos en subproblemas del mismo tipo.

Ejemplos comunes: búsqueda binaria, ordenamiento quicksort, ordenamiento mergesort.

Algoritmos recursivos: añadir parámetros adicionales puede mejorar la eficiencia y generalidad, y facilitar el diseño.

Un algoritmo recursivo que implementa la búsqueda binaria, con la precondición: 0 ≤ c ≤ f + 1 ≤ longitud(v). Busca un valor x dentro de un vector v, utilizando la recursión para dividir el rango de búsqueda a la mitad en cada llamada.

C > f. Si la condición inicial es c > f, el caso base se alcanza directamente y el algoritmo termina.

c ≤ f. Si la condición inicial es c ≤ f, el algoritmo entra en un ciclo infinito porque cada llamada recursiva mantiene c ≤ f, asegurando que el caso base nunca se alcanse.

La función f(v, x, c, f) determina la posición del elemento x en el arreglo v en un rango delimitado por c y f.

Un rango con c ≤ m ≤ f. En cada llamada recursiva se divide el rango en dos mitades (c, m) y (m, f), garantizando que ambos subrangos también cumplan la condición c ≤ m ≤ f.

El algoritmo termina si la condición inicial es c > f, ya que el caso base se alcanza directamente. El algoritmo no termina si la condición inicial es c ≤ f.

El algoritmo de búsqueda binaria es eficiente y efectivo para buscar un elemento en un arreglo ordenado. Sin embargo, es crucial comprender que el algoritmo solo termina correctamente si la condición inicial cumple c > f. En caso de c ≤ f, se producirá una recursión infinita.