Algoritmi e Strutture Dati: Albero Ricoprente Minimo
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Questions and Answers

In un albero di copertura T, quali sono i componenti necessari per modificare il cammino da u a v?

  • Un nuovo nodo
  • Un arco esclusivo da T
  • Un arco esistente
  • Un arco (x, y) con x ∈ X e y ∈ V − X (correct)

    • In un albero di copertura, è possibile modificare il cammino da u a v senza alcun arco esistente.

    False

    Qual è la condizione necessaria affinché il cammino da u a v in T contenga almeno un arco?

    Dev'essere presente un arco (x, y) con x ∈ X e y ∈ V − X.

    In un albero di copertura, il cammino da u a v deve passare per un arco (x, y) con x appartenente a ______ e y a V − X.

    <p>X</p> Signup and view all the answers

    Abbina gli elementi seguenti:

    <p>Albero di copertura = Struttura che unisce tutti i nodi senza cicli Cammino da u a v = Sequence di nodi attraverso cui si può passare Arco (x, y) = Collegamento tra due nodi X e V − X = Due insiemi di nodi in un albero</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo agli archi sicuri?

    <p>Un arco è considerato sicuro se fa parte di un albero di copertura minimo.</p> Signup and view all the answers

    Se T non contiene l'arco (u, v), allora (u, v) non può essere sicuro per A.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Cosa rappresenta il taglio (X, V − X) nel contesto del teorema I?

    <p>Un partizionamento del grafo che rispetta il sottoinsieme A.</p> Signup and view all the answers

    L'arco (u, v) deve essere _____ per essere considerato sicuro per A.

    <p>leggero</p> Signup and view all the answers

    Abbina i termini con le loro descrizioni:

    <p>Albero di copertura minimo = Un sottogruppo di archi che mantiene la connessione del grafo con il peso minimo. Arco leggero = L'arco con il costo minore in un taglio. Taglio = Una suddivisione dei nodi in due insiemi. Sottoinsieme A = Un insieme di archi che sono parte di un albero di copertura.</p> Signup and view all the answers

    Quale nodo viene scelto per l'aggiornamento nel ciclo per il nodo 0?

    <p>Nodo 5</p> Signup and view all the answers

    Il nodo 4 viene aggiornato quando si sceglie il nodo 7.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Qual è il risultato quando si sceglie il nodo 2 nel ciclo?

    <p>Non si aggiorna nessun nodo.</p> Signup and view all the answers

    Nel ciclo, il nodo 1 viene scelto per aggiornare il nodo __________.

    <p>5</p> Signup and view all the answers

    Abbina i nodi con i loro aggiornamenti corretti:

    <p>Nodo 0 = Aggiorna i nodi 5 e 7 Nodo 7 = Non aggiorna il nodo 4 Nodo 2 = Non aggiorna nessun nodo Nodo 1 = Aggiorna il nodo 5</p> Signup and view all the answers

    Quale nodo non viene aggiornato quando si sceglie il nodo 4?

    <p>Nessun nodo</p> Signup and view all the answers

    Il nodo 5 viene aggiornato automaticamente quando si sceglie il nodo 7.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Che nodi vengono aggiornati quando il nodo 0 viene scelto?

    <p>Nodi 5 e 7.</p> Signup and view all the answers

    Quale dei seguenti punti è vero riguardo all'algoritmo di Kruskal?

    <p>Non crea cicli</p> Signup and view all the answers

    L'algoritmo di Prim inizia con un insieme di archi vuoto.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Qual è lo scopo principale dell'algoritmo di Prim?

    <p>Costruire un albero di copertura minimo (MST)</p> Signup and view all the answers

    In un grafo, un arco è considerato 'sicuro' se __________.

    <p>non crea un ciclo</p> Signup and view all the answers

    Abbina i seguenti concetti agli algoritmi corretti:

    <p>Inizializzazione dell insieme vuoto = Algoritmo di Kruskal Scelta di un arco di peso minimo = Algoritmo di Prim Evitare cicli = Algoritmo di Kruskal Minimo da V-Q a Q = Algoritmo di Prim</p> Signup and view all the answers

    Quale di queste affermazioni è falsa riguardo all'algoritmo di Prim?

    <p>Aggiunge sempre l'arco più pesante.</p> Signup and view all the answers

    L'algoritmo di Prim opera applicando ripetutamente un passo finché non ci sono più nodi in Q.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Che cosa rappresenta 'Q' nell'algoritmo di Prim?

    <p>L'insieme dei nodi non ancora inclusi nell'albero minimo.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la complessità totale dell'algoritmo di Prim?

    <p>O((|V| + |E|) log |V|)</p> Signup and view all the answers

    Il costo dell'inizializzazione dell'algoritmo di Prim è O(|E|).

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Quale struttura dati può essere utilizzata come coda di priorità per implementare l'algoritmo di Prim?

    <p>Heap minimo</p> Signup and view all the answers

    Il costo delle estrazioni del minimo nell'algoritmo di Prim è O(|V| __ |V|).

    <p>log</p> Signup and view all the answers

    Abbina i costi delle operazioni con la loro complessità:

    <p>Inizializzazione = O(|V|) Estrazioni del minimo = O(|V| log |V|) Risimmetrazione dello heap = O(|E| log |V|) Costo totale = O((|V| + |E|) log |V|)</p> Signup and view all the answers

    Quale affermazione riguardo ai costi dell'algoritmo di Prim è vera?

    <p>Il costo inizializzazione è O(|V|).</p> Signup and view all the answers

    L'algoritmo di Prim utilizza un heap massimo per la gestione delle priorità.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Qual è il costo di risistemazione dello heap binario dopo il decremento delle chiavi nell'algoritmo di Prim?

    <p>O(|E| log |V|)</p> Signup and view all the answers

    Quale invariante afferma che se t.π non è nil, allora t.π appartiene a V - Q?

    <p>Invariante I</p> Signup and view all the answers

    L'arco (u.π, u) è sempre un arco di peso minimo nella costruzione del minimo albero di copertura.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Cos'è un MST?

    <p>Minimum Spanning Tree (minimo albero di copertura)</p> Signup and view all the answers

    Un arco è considerato __________ se collega due componenti connesse.

    <p>sicuro</p> Signup and view all the answers

    Abbina le seguenti affermazioni con il loro significato:

    <p>Invariante I = Tutti i vertici in Q possono avere un predecessore non nullo in V - Q Invariante II = Ogni arco deve essere di peso minimo tra un vertice di Q e uno di V - Q Corollario 1 = Un arco sicuro è quello che non crea cicli Algoritmo di Prim = Costruzione di un MST mediante archi leggeri</p> Signup and view all the answers

    Qual è una delle condizioni iniziali per l'algoritmo di Prim?

    <p>S deve iniziare con un unico vertice</p> Signup and view all the answers

    Il corpo del ciclo dell'algoritmo di Prim non ha alcun impatto sull'invariante.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Cosa rappresenta il simbolo π nel contesto dell'algoritmo di Prim?

    <p>Il predecessore del vertice t</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Algoritmi e Strutture Dati

    • L'obiettivo dello studio è comprendere il concetto di "albero ricoprente minimo" e sviluppare algoritmi per trovarlo.

    Albero Ricoprente

    • Un albero ricoprente di un grafo connesso e non orientato è un sottografo che comprende tutti i nodi del grafo.
    • È aciclico e connesso.

    Peso di un Grafo

    • Il peso di un grafo pesato è la somma dei pesi di tutti i suoi archi.

    Albero Ricoprente Minimo

    • Il problema è quello di trovare un albero ricoprente di un grafo pesato con peso minimo.
    • Un albero ricoprente minimo non è necessariamente unico.
    • L'esempio nel testo mostra un albero ricoprente con peso 32.

    Algoritmo Generico

    • L'algoritmo generico per trovare un albero ricoprente minimo itera fino a che l'insieme di archi non costituisce un albero ricoprente.
    • In ogni iterazione, trova un arco "sicuro" per l'insieme di archi corrente e lo aggiunge.
    • Un arco "sicuro" è un arco che non crea cicli e che ha un peso minore o uguale di qualsiasi altro arco che attraversa lo stesso taglio nell'albero in corso di costruzione.

    Tagli

    • Un taglio di un grafo divide i vertici in due insiemi (X e V-X).
    • Un arco attraversa il taglio se un suo estremo è in X e l'altro in V-X.
    • Un arco leggero è un arco di peso minimo che attraversa il taglio.

    Criterio per Archi Sicuri

    • Un arco (u,v) è sicuro per un insieme di archi A se il taglio (X, V-X) rispetta A, (u,v) attraversa il taglio e il suo peso è minore di qualsiasi altro arco che attraversa lo stesso taglio.

    Algoritmo di Kruskal

    • Questo algoritmo costruisce un albero ricoprente minimo ordinando gli archi in ordine crescente di peso.
    • In ogni passo, si controlla se l'aggiunta dell'arco attuale crea un ciclo nel grafo.
    • Se non crea un ciclo, l'arco viene aggiunto all'albero ricoprente minimo.
    • Questo algoritmo usa una struttura dati per insiemi disgiunti per controllare le connessioni. La complessità di questo algoritmo è O(|E| log |V|).

    Algoritmo di Prim

    • Questo algoritmo inizia da un nodo principale e costruisce l'albero ricoprente minimo albero, aggiungendo in ogni passo l'arco di peso minimo che collega un nodo nell'albero a uno esterno.
    • Questo algoritmo usa una coda di priorità per memorizzare i nodi che possono essere aggiunti all'albero ricoprente minimo.
    • La complessità di questo algoritmo è O((|V| + |E|) log |V|).

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