Algoritmi e Strutture Dati: Albero Ricoprente Minimo
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Questions and Answers

In un albero di copertura T, quali sono i componenti necessari per modificare il cammino da u a v?

  • Un nuovo nodo
  • Un arco esclusivo da T
  • Un arco esistente
  • Un arco (x, y) con x ∈ X e y ∈ V − X (correct)

In un albero di copertura, è possibile modificare il cammino da u a v senza alcun arco esistente.

False (B)

Qual è la condizione necessaria affinché il cammino da u a v in T contenga almeno un arco?

Dev'essere presente un arco (x, y) con x ∈ X e y ∈ V − X.

In un albero di copertura, il cammino da u a v deve passare per un arco (x, y) con x appartenente a ______ e y a V − X.

<p>X</p> Signup and view all the answers

Abbina gli elementi seguenti:

<p>Albero di copertura = Struttura che unisce tutti i nodi senza cicli Cammino da u a v = Sequence di nodi attraverso cui si può passare Arco (x, y) = Collegamento tra due nodi X e V − X = Due insiemi di nodi in un albero</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo agli archi sicuri?

<p>Un arco è considerato sicuro se fa parte di un albero di copertura minimo. (C)</p> Signup and view all the answers

Se T non contiene l'arco (u, v), allora (u, v) non può essere sicuro per A.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il taglio (X, V − X) nel contesto del teorema I?

<p>Un partizionamento del grafo che rispetta il sottoinsieme A.</p> Signup and view all the answers

L'arco (u, v) deve essere _____ per essere considerato sicuro per A.

<p>leggero</p> Signup and view all the answers

Abbina i termini con le loro descrizioni:

<p>Albero di copertura minimo = Un sottogruppo di archi che mantiene la connessione del grafo con il peso minimo. Arco leggero = L'arco con il costo minore in un taglio. Taglio = Una suddivisione dei nodi in due insiemi. Sottoinsieme A = Un insieme di archi che sono parte di un albero di copertura.</p> Signup and view all the answers

Quale nodo viene scelto per l'aggiornamento nel ciclo per il nodo 0?

<p>Nodo 5 (A)</p> Signup and view all the answers

Il nodo 4 viene aggiornato quando si sceglie il nodo 7.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è il risultato quando si sceglie il nodo 2 nel ciclo?

<p>Non si aggiorna nessun nodo.</p> Signup and view all the answers

Nel ciclo, il nodo 1 viene scelto per aggiornare il nodo __________.

<p>5</p> Signup and view all the answers

Abbina i nodi con i loro aggiornamenti corretti:

<p>Nodo 0 = Aggiorna i nodi 5 e 7 Nodo 7 = Non aggiorna il nodo 4 Nodo 2 = Non aggiorna nessun nodo Nodo 1 = Aggiorna il nodo 5</p> Signup and view all the answers

Quale nodo non viene aggiornato quando si sceglie il nodo 4?

<p>Nessun nodo (B)</p> Signup and view all the answers

Il nodo 5 viene aggiornato automaticamente quando si sceglie il nodo 7.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Che nodi vengono aggiornati quando il nodo 0 viene scelto?

<p>Nodi 5 e 7.</p> Signup and view all the answers

Quale dei seguenti punti è vero riguardo all'algoritmo di Kruskal?

<p>Non crea cicli (B)</p> Signup and view all the answers

L'algoritmo di Prim inizia con un insieme di archi vuoto.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è lo scopo principale dell'algoritmo di Prim?

<p>Costruire un albero di copertura minimo (MST)</p> Signup and view all the answers

In un grafo, un arco è considerato 'sicuro' se __________.

<p>non crea un ciclo</p> Signup and view all the answers

Abbina i seguenti concetti agli algoritmi corretti:

<p>Inizializzazione dell insieme vuoto = Algoritmo di Kruskal Scelta di un arco di peso minimo = Algoritmo di Prim Evitare cicli = Algoritmo di Kruskal Minimo da V-Q a Q = Algoritmo di Prim</p> Signup and view all the answers

Quale di queste affermazioni è falsa riguardo all'algoritmo di Prim?

<p>Aggiunge sempre l'arco più pesante. (D)</p> Signup and view all the answers

L'algoritmo di Prim opera applicando ripetutamente un passo finché non ci sono più nodi in Q.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Che cosa rappresenta 'Q' nell'algoritmo di Prim?

<p>L'insieme dei nodi non ancora inclusi nell'albero minimo.</p> Signup and view all the answers

Qual è la complessità totale dell'algoritmo di Prim?

<p>O((|V| + |E|) log |V|) (D)</p> Signup and view all the answers

Il costo dell'inizializzazione dell'algoritmo di Prim è O(|E|).

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Quale struttura dati può essere utilizzata come coda di priorità per implementare l'algoritmo di Prim?

<p>Heap minimo</p> Signup and view all the answers

Il costo delle estrazioni del minimo nell'algoritmo di Prim è O(|V| __ |V|).

<p>log</p> Signup and view all the answers

Abbina i costi delle operazioni con la loro complessità:

<p>Inizializzazione = O(|V|) Estrazioni del minimo = O(|V| log |V|) Risimmetrazione dello heap = O(|E| log |V|) Costo totale = O((|V| + |E|) log |V|)</p> Signup and view all the answers

Quale affermazione riguardo ai costi dell'algoritmo di Prim è vera?

<p>Il costo inizializzazione è O(|V|). (D)</p> Signup and view all the answers

L'algoritmo di Prim utilizza un heap massimo per la gestione delle priorità.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è il costo di risistemazione dello heap binario dopo il decremento delle chiavi nell'algoritmo di Prim?

<p>O(|E| log |V|)</p> Signup and view all the answers

Quale invariante afferma che se t.π non è nil, allora t.π appartiene a V - Q?

<p>Invariante I (D)</p> Signup and view all the answers

L'arco (u.π, u) è sempre un arco di peso minimo nella costruzione del minimo albero di copertura.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cos'è un MST?

<p>Minimum Spanning Tree (minimo albero di copertura)</p> Signup and view all the answers

Un arco è considerato __________ se collega due componenti connesse.

<p>sicuro</p> Signup and view all the answers

Abbina le seguenti affermazioni con il loro significato:

<p>Invariante I = Tutti i vertici in Q possono avere un predecessore non nullo in V - Q Invariante II = Ogni arco deve essere di peso minimo tra un vertice di Q e uno di V - Q Corollario 1 = Un arco sicuro è quello che non crea cicli Algoritmo di Prim = Costruzione di un MST mediante archi leggeri</p> Signup and view all the answers

Qual è una delle condizioni iniziali per l'algoritmo di Prim?

<p>S deve iniziare con un unico vertice (A)</p> Signup and view all the answers

Il corpo del ciclo dell'algoritmo di Prim non ha alcun impatto sull'invariante.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il simbolo π nel contesto dell'algoritmo di Prim?

<p>Il predecessore del vertice t</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Albero di copertura minimo che contiene A

Un albero di copertura minimo che contiene un sottoinsieme di archi A è un albero che contiene tutti i nodi del grafo, ha il peso minimo possibile e include tutti gli archi in A.

Arco che attraversa un taglio

Un arco che attraversa un taglio (X, V - X) è un arco che ha un estremo in X e l'altro in V - X.

Arco leggero

Un arco leggero è un arco con il peso minore tra tutti gli archi che attraversano un dato taglio.

Arco sicuro per A

Un arco è sicuro per A se è presente in ogni albero di copertura minimo che contiene A.

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Teorema I

Il teorema dimostra che se un arco leggero attraversa un taglio che rispetta A e non è nell'albero di copertura minimo T, allora è possibile costruire un altro albero di copertura minimo T' che contiene A e l'arco in questione. Questo dimostra che l'arco è sicuro per A.

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Cosa succede nel ciclo 4.Simulazione?

Nel ciclo 4.Simulazione, si sceglie il nodo 0 e si aggiornano i suoi nodi adiacenti.

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Cosa succede nel ciclo 4.Simulazione?

Nell'iterazione 4.Simulazione, si seleziona il nodo 7 e si aggiorna il nodo 4.

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Cosa succede nel ciclo 4.Simulazione?

Nell'iterazione 4.Simulazione, si seleziona il nodo 4, ma non si aggiorna nessun nodo.

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Cosa succede nel ciclo 4.Simulazione?

Si sceglie il nodo 2 nel ciclo 4.Simulazione, ma non si aggiorna nessun nodo.

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Cosa succede nel ciclo 4.Simulazione?

Si sceglie il nodo 1 e si aggiorna il nodo 5 nell'iterazione 4.Simulazione.

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Cosa succede nel ciclo di simulazione?

Nel ciclo di simulazione vengono scelti i nodi 5 e 7, e vengono aggiornati i loro nodi adiacenti.

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Albero di copertura minimo (MST)

Un albero di copertura è un sottografo che include tutti i vertici del grafo originale e che è un albero. Un albero di copertura minimo (MST) è un albero di copertura con il peso totale minimo.

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Ciclo in un grafo

Un ciclo è un cammino in un grafo che inizia e termina nello stesso vertice, senza attraversare lo stesso arco due volte.

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Taglio in un grafo

L'insieme di archi che legano i vertici in due sottoinsiemi distinti del grafo.

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Arco di peso minimo in un taglio

L'arco con il peso minimo in un taglio è l'arco di peso minimo che collega i due sottoinsiemi del grafo.

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Teorema I: T' è un albero di copertura

Se esiste un arco (x, y) con x ∈ X e y ∈ V − X, rimuovere (x, y) da T e aggiungere (u, v) a T. L'operazione risultante è un albero di copertura, T'.

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Invariante del ciclo di Kruskal

L'invariante del ciclo afferma che A è un sottoinsieme degli archi di un MST di G. Questo significa che durante ogni iterazione del ciclo, gli archi in A costituiscono sempre un sottoinsieme degli archi che formeranno eventualmente l'MST finale.

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Inizializzazione dell'invariante di Kruskal

L'invariante del ciclo è reso vero dall'inizializzazione di A come insieme vuoto. Questo significa che all'inizio dell'algoritmo, A non contiene ancora alcun arco.

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Mantenimento dell'invariante di Kruskal

Il corpo del ciclo for nell'algoritmo di Kruskal mantiene l'invariante aggiungendo archi sicuri ad A. Un arco è sicuro se non crea un ciclo e se è il più leggero tra i collegamenti non utilizzati.

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Evita i cicli in Kruskal

Se aggiungere un arco crea un ciclo, l'arco non viene aggiunto ad A. Questo perché l'aggiunta di un ciclo in un MST ne aumenterebbe il peso complessivo.

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Arco sicuro in Kruskal

Se l'aggiunta di un arco non crea un ciclo, l'arco è

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Invariante del ciclo di Prim

L'invariante del ciclo di Prim afferma che V-Q è un sottografo connesso di un MST. Questo significa che durante ogni iterazione del ciclo, i nodi in V-Q formano un sottografo connesso che è parte di un albero minimale che copre il grafo.

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Inizializzazione dell'invariante di Prim

L'invariante del ciclo è reso vero dall'inizializzazione di Q come contenente tutti i nodi tranne un nodo iniziale arbitrario. Questo significa che all'inizio, l'unico nodo visitato è un nodo iniziale.

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Estensione dell'invariante di Prim

Il corpo del ciclo for nell'algoritmo di Prim seleziona l'arco più leggero che collega un nodo in V-Q ad un nodo in Q, e lo aggiunge a A. Questo processo espande il sottografo connesso in V-Q fino a coprire tutti i nodi.

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Algoritmo di Prim

L'algoritmo di Prim è un algoritmo greedy che trova un albero di copertura minimo (MST) per un grafo connesso e non orientato.

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Selezione dell'arco leggero

L'algoritmo di Prim inizia con un nodo arbitrario e iterativamente aggiunge l'arco leggero che collega un nodo nell'MST corrente a un nodo che non è ancora nell'MST.

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Condizione di fine dell'algoritmo di Prim

L'algoritmo di Prim termina quando tutti i nodi sono stati inclusi nell'MST.

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Complessità dell'algoritmo di Prim

Il costo totale dell'algoritmo di Prim è limitato da O(|E| log |V|), dove |E| è il numero di archi e |V| è il numero di nodi del grafo.

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Implementazione della coda di priorità nell'algoritmo di Prim

La coda di priorità può essere implementata usando un heap minimo, dove le priorità sono date dall'attributo d di ogni nodo.

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Costo di inicializzazione ed estrazione minima dell'algoritmo di Prim

Il costo di inicializzazione è O(|V|), mentre il costo delle estrazioni minime è O(|V| log |V|).

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Costo di ri-ordinamento dell'heap binario

Il costo di ri-ordinamento dell'heap binario dopo un eventuale decremento delle chiavi è O(|E| log |V|).

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Invariante I

L'invariante I afferma che per ogni vertice in Q (l'insieme dei vertici già inclusi nell'MST), se il suo predecessore non è nil, allora il predecessore è un vertice in V - Q (l'insieme dei vertici non ancora inclusi nell'MST).

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Invariante II

L'invariante II stabilisce che per ogni vertice in Q, l'arco che lo connette al suo predecessore è l'arco di peso minimo tra il vertice e qualsiasi vertice in V - Q.

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Verifica iniziale degli invarianti

Inizialmente, l'invariante è vero perché Q è inizialmente vuoto e V - Q contiene tutti i vertici.

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Mantenimento degli invarianti

Il corpo del ciclo mantiene gli invarianti perché quando un vertice u viene estratto da Q, l'arco che lo collega al suo predecessore è un arco sicuro per A, il sottografo che rappresenta l'MST in costruzione.

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Correttezza dell'algoritmo di Prim

Il corpo del ciclo mantiene gli invarianti perché quando un vertice u viene estratto da Q, l'arco che lo collega al suo predecessore è un arco sicuro per A, il sottografo che rappresenta l'MST in costruzione.

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Arco sicuro

Un arco sicuro è un arco che è presente in ogni albero di copertura minimo che contiene un sottoinsieme di archi A.

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Corollario 1

Il Corollario 1 afferma che un arco leggero che attraversa un taglio che rispetta A è un arco sicuro per A.

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Teorema di sicurezza

Il Corollario 1 afferma che un arco leggero che attraversa un taglio che rispetta A è un arco sicuro per A.

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Study Notes

Algoritmi e Strutture Dati

  • L'obiettivo dello studio è comprendere il concetto di "albero ricoprente minimo" e sviluppare algoritmi per trovarlo.

Albero Ricoprente

  • Un albero ricoprente di un grafo connesso e non orientato è un sottografo che comprende tutti i nodi del grafo.
  • È aciclico e connesso.

Peso di un Grafo

  • Il peso di un grafo pesato è la somma dei pesi di tutti i suoi archi.

Albero Ricoprente Minimo

  • Il problema è quello di trovare un albero ricoprente di un grafo pesato con peso minimo.
  • Un albero ricoprente minimo non è necessariamente unico.
  • L'esempio nel testo mostra un albero ricoprente con peso 32.

Algoritmo Generico

  • L'algoritmo generico per trovare un albero ricoprente minimo itera fino a che l'insieme di archi non costituisce un albero ricoprente.
  • In ogni iterazione, trova un arco "sicuro" per l'insieme di archi corrente e lo aggiunge.
  • Un arco "sicuro" è un arco che non crea cicli e che ha un peso minore o uguale di qualsiasi altro arco che attraversa lo stesso taglio nell'albero in corso di costruzione.

Tagli

  • Un taglio di un grafo divide i vertici in due insiemi (X e V-X).
  • Un arco attraversa il taglio se un suo estremo è in X e l'altro in V-X.
  • Un arco leggero è un arco di peso minimo che attraversa il taglio.

Criterio per Archi Sicuri

  • Un arco (u,v) è sicuro per un insieme di archi A se il taglio (X, V-X) rispetta A, (u,v) attraversa il taglio e il suo peso è minore di qualsiasi altro arco che attraversa lo stesso taglio.

Algoritmo di Kruskal

  • Questo algoritmo costruisce un albero ricoprente minimo ordinando gli archi in ordine crescente di peso.
  • In ogni passo, si controlla se l'aggiunta dell'arco attuale crea un ciclo nel grafo.
  • Se non crea un ciclo, l'arco viene aggiunto all'albero ricoprente minimo.
  • Questo algoritmo usa una struttura dati per insiemi disgiunti per controllare le connessioni. La complessità di questo algoritmo è O(|E| log |V|).

Algoritmo di Prim

  • Questo algoritmo inizia da un nodo principale e costruisce l'albero ricoprente minimo albero, aggiungendo in ogni passo l'arco di peso minimo che collega un nodo nell'albero a uno esterno.
  • Questo algoritmo usa una coda di priorità per memorizzare i nodi che possono essere aggiunti all'albero ricoprente minimo.
  • La complessità di questo algoritmo è O((|V| + |E|) log |V|).

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Grafi, Albero Minimo Ricoprente - Appunti PDF

Description

Questo quiz esplora il concetto di albero ricoprente minimo in grafi pesati. Gli studenti apprenderanno le caratteristiche degli alberi ricoprenti, il peso dei grafi e come utilizzare algoritmi per trovare un albero ricoprente con peso minimo. È fondamentale comprendere come gli archi sicuri influenzano il risultato finale.

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