Algebra Lineare - Quiz
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Questions and Answers

Qual è la struttura di un campo dei numeri complessi?

(C, +, *)

L'insieme dei numeri complessi è dato da: (a, b) | a, b ∈ ______

R

In R (l'insieme dei numeri reali) è possibile risolvere l'equazione x² = -1.

False (B)

Quali sono le proprietà che soddisfa il prodotto per scalare in uno spazio vettoriale?

<p>Elemento neutro (A), Distributiva (B), Esiste l'opposto (C), Associativa (D), Commutativa (E)</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per combinazione lineare di due vettori?

<p>è il vettore λv + μw, dove λ e μ sono coefficienti reali.</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il rango di una matrice?

<p>il numero di pivot in una qualsiasi forma a scalini.</p> Signup and view all the answers

Un sistema lineare AX=B ammette soluzioni se e solo se rg(A) = rg(A|B).

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa indica la trasposta di una matrice?

<p>la stessa matrice con le righe e colonne scambiate.</p> Signup and view all the answers

Due vettori u e v in R^n, con n = 2 o 3, sono paralleli se le rette su cui giacciono sono parallele.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Due vettori u e v sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è uguale a zero.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta un sistema di generatori di uno spazio vettoriale V?

<p>un insieme di vettori che, combinati linearmente, possono generare qualsiasi altro vettore di V.</p> Signup and view all the answers

Tutti gli spazi vettoriali ammettono un sistema di generatori finito.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Un insieme di vettori {v1, ..., vk} in uno spazio vettoriale è linearmente indipendente se la combinazione lineare λ1v1 + ... + λkvk = 0 implica che λ1 = ... = λk = ______

<p>0</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per base di uno spazio vettoriale?

<p>un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano l'intero spazio vettoriale.</p> Signup and view all the answers

Una funzione f: V→W si dice applicazione lineare se soddisfa le seguenti condizioni: f(v1+v2) = f(v1) +f(v2) e f(λv) = λf(v), per ogni v1, v2 e v dello spazio vettoriale V e λ ∈ R.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il nucleo di una applicazione lineare?

<p>l'insieme di tutti i vettori v ∈ V tali che f(v) = 0.</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta l'immagine di una applicazione lineare?

<p>l'insieme dei valori assunti dalla funzione f.</p> Signup and view all the answers

Cosa afferma il Teorema della nullità e del rango?

<p>la dimensione del nucleo più la dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale di partenza.</p> Signup and view all the answers

Come si costruisce la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare?

<p>si sceglie una base per lo spazio vettoriale di partenza e una base per lo spazio vettoriale di arrivo, quindi si calcolano le coordinate dell'immagine di ogni vettore di base secondo la base di arrivo.</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per autovalore di un'applicazione lineare?

<p>un numero reale λ per cui esiste un vettore non nullo v tale che f(v) = λv.</p> Signup and view all the answers

Una matrice è diagonalizzabile se esiste una base di autovettori che la diagonalizza.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa sono le funzioni suriettive?

<p>funzioni che ogni elemento del codominio ha almeno una controimmagine nel dominio.</p> Signup and view all the answers

Una funzione è biettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per funzione monotona crescente?

<p>una funzione per cui, se x1 &lt; x2, allora f(x1) ≤ f(x2).</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per funzioni asintotiche?

<p>due funzioni per le quali il limite del loro rapporto, al tendere della variabile indipendente a infinito o a un punto specifico, è uguale a 1.</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per funzione o-piccola di un'altra?

<p>il limite del loro rapporto, al tendere della variabile indipendente a infinito, è uguale a 0.</p> Signup and view all the answers

Cosa afferma il Teorema degli zeri?

<p>se una funzione è continua su un intervallo chiuso e assume valori di segno opposto agli estremi dell'intervallo, allora esiste almeno un punto all'interno dell'intervallo in cui la funzione si annulla.</p> Signup and view all the answers

Cosa afferma il Teorema di Weierstrass?

<p>se una funzione è continua su un intervallo chiuso, allora la funzione assume sia un valore massimo che un valore minimo su quell'intervallo.</p> Signup and view all the answers

Cosa afferma il Teorema dei valori intermedi?

<p>se una funzione è continua su un intervallo e f(a) ≠ f(b), allora la funzione assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b) su quell'intervallo.</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per punto di discontinuità eliminabile di una funzione?

<p>un punto in cui il limite della funzione esiste finito, ma il valore della funzione in quel punto è diverso dal limite.</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per punto di discontinuità di prima specie o salto finito di una funzione?

<p>un punto in cui il limite destro e il limite sinistro della funzione esistono finiti, ma sono diversi.</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per punto di discontinuità di seconda specie o discontinuità essenziale di una funzione?

<p>un punto in cui il limite destro e il limite sinistro della funzione esistono finiti e sono uguali, ma non coincidono con il valore della funzione nel punto.</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per punto di discontinuità di terza specie di una funzione?

<p>un punto in cui il limite destro e il limite sinistro della funzione esistono finiti e sono uguali, ma non coincidono con il valore della funzione nel punto, e il punto appartiene al dominio della funzione.</p> Signup and view all the answers

Una funzione è derivabile in un punto se il limite del rapporto incrementale esiste finito.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa sono i punti angolosi nel grafico di una funzione?

<p>punti in cui le derivate destra e sinistra esistono finite, ma sono diverse.</p> Signup and view all the answers

Cosa sono le cuspidi nel grafico di una funzione?

<p>punti in cui le derivate destra e sinistra esistono infinite, ma di segno opposto.</p> Signup and view all the answers

Cosa sono i flessi a tangente verticale nel grafico di una funzione?

<p>punti in cui le derivate destra e sinistra esistono infinite e hanno lo stesso segno.</p> Signup and view all the answers

Un punto stazionario di una funzione f(x) è un punto in cui la derivata prima f'(x) è uguale a 0.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Il Teorema di Fermat afferma che, se una funzione ammette un massimo o minimo locale in un punto interno al dominio e la funzione è derivabile in quel punto, allora la derivata prima è nulla.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Il Teorema di Rolle afferma che, se una funzione f(x) è continua nell'intervallo [a, b] e derivabile nell'intervallo (a, b) e f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) in cui f'(c) = 0.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Il Teorema di Lagrange o del valor medio afferma che, se una funzione f(x) è continua nell'intervallo [a, b] e derivabile nell'intervallo (a, b), allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) in cui f'(c) è uguale al rapporto incrementale della funzione f(x) in [a, b].

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa afferma il Teorema di de l'Hôpital?

<p>che il limite del rapporto tra due funzioni, entrambe nulle o infinite in un punto, è uguale al limite del rapporto tra le loro derivate.</p> Signup and view all the answers

Una funzione è convessa in un intervallo se la sua derivata seconda è non negativa in quell'intervallo.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per integrale indefinito?

<p>la famiglia di tutte le primitive di una funzione.</p> Signup and view all the answers

Il Teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che, se f(x) è una funzione continua su un intervallo [a, b] e F(x) è una primitiva di f(x), allora l'integrale definito di f(x) su [a, b] è uguale a F(b) - F(a).

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per integrale improprio?

<p>un integrale in cui l'intervallo di integrazione è illimitato o la funzione integranda è illimitata in uno o più punti dell'intervallo.</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per derivata parziale di una funzione di più variabili?

<p>la derivata della funzione rispetto a una delle variabili, considerando le altre variabili come costanti.</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il gradiente di una funzione di più variabili?

<p>il vettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione rispetto a ciascuna delle variabili.</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per derivata direzionale di una funzione?

<p>il limite del rapporto incrementale della funzione lungo una direzione specifica, quando la variabile indipendente varia secondo un vettore unitario</p> Signup and view all the answers

Una funzione f(x, y) è differenziabile in un punto P se tutte le derivate parziali esistono e il limite del rapporto incrementale di f(x, y) è uguale a zero quando il vettore h tende a zero.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Il Teorema della condizione necessaria alla differenziabilità afferma che, se una funzione f(x, y) è differenziabile in un punto P, allora la funzione è continua in P, è derivabile in P lungo ogni direzione v ∈ R² tale che ||v|| = 1 e la derivata direzionale di f(x, y) in P lungo v è uguale al prodotto scalare del gradiente di f(x, y) in P con v.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta l'Hessiana di una funzione?

<p>la matrice quadrata le cui componenti sono le derivate parziali seconde della funzione.</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta un'equazione differenziale?

<p>una equazione che coinvolge una funzione incognita e le sue derivate.</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta una soluzione particolare di un'equazione differenziale?

<p>una funzione specifica che soddisfa l'equazione differenziale.</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il problema di Cauchy per un'equazione differenziale?

<p>un problema che consiste nel trovare la soluzione particolare di un'equazione differenziale che soddisfa una condizione iniziale specifica.</p> Signup and view all the answers

Un'equazione differenziale del primo ordine è un'equazione differenziale in cui compare la funzione incognita e la sua prima derivata.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Un'equazione differenziale a variabili separabili è un'equazione differenziale del tipo y' = f(x)g(y), dove f(x) è una funzione solo di x e g(y) è una funzione solo di y.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Un'equazione differenziale lineare del primo ordine è un'equazione differenziale del tipo y'(x) + a(x)y(x) = f(x), dove a(x) e f(x) sono funzioni continue.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per equazione differenziale omogenea?

<p>un'equazione differenziale in cui il termine costante è nullo.</p> Signup and view all the answers

Un'equazione differenziale del secondo ordine è un'equazione differenziale in cui compare la funzione incognita e le sue prime due derivate.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta la soluzione generale di un'equazione differenziale del secondo ordine?

<p>una famiglia di soluzioni che dipende da due costanti arbitrarie.</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Algebra Lineare

  • La definizione di campo di numeri complessi descrive una struttura di campo (C, +, *), dove la tripla (C, +, ) è definita da un insieme C di elementi, un'operazione additiva "+" e un'operazione moltiplicativa "".

  • Le operazioni "+" e "*" godono della proprietà associativa, commutativa ed esistono elementi neutri (0 e 1) ed opposti e inversi.

  • I numeri complessi estendono i numeri reali per includere soluzioni a equazioni come x² = -1.

  • I vettori sono elementi di Rⁿ, definite come n-tuple di numeri reali e la loro lunghezza è n.

  • Uno spazio vettoriale V è dato da (V + , ). V è un insieme di vettori, "+" è l'operatore di somma ed "" è l'operatore di prodotto per scalare.

  • Le proprietà di uno spazio vettoriale, includono proprietà associative, commutative, l'esistenza dell'elemento neutro "0" e della proprietà inversa dei vettori.

Matrici

  • Una matrice è costituita da elementi in R con m righe e n colonne.

  • Una matrice è una tabella di numeri reali in cui aᵢⱼ ∈ R, con i ∈ {1, ...,m} e j ∈ {1, ..., n}.

  • Data una matrice A ∈ Mm,n una forma scalare di A è una matrice ottenuta tramite operazioni sulle righe di tipo scambio e combinazioni,

  • Il rango di una matrice è il numero di pivot in una matrice in forma scalini.

  • Il rango è sempre maggiore o uguale a zero ed è unico.

Sistemi Lineari

  • Un sistema lineare è rappresentato nella forma AX = B.

  • Il teorema di Rouchè-Capelli afferma che un sistema lineare AX = B ammette soluzioni se e soltanto se il rango della matrice A è uguale al rango della matrice completa (A|B).

Algebra e Geometria

  • Due vettori sono paralleli se le rette su cui giacciano sono parallele.

  • Due vettori sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è zero.

  • Dato uno spazio vettoriale V, un sistema di generatori per V è un sottoinsieme di V tale che ogni vettore di V può essere espresso come combinazione lineare dei suoi elementi.

  • Una base di uno spazio vettoriale è un sistema di generatori linearmente indipendenti.

Applicazioni Lineari

  • Un'applicazione lineare è una funzione da uno spazio vettoriale V ad uno spazio vettoriale W che è sia additiva che omogenea.

  • La matrice rappresentativa di un'applicazione lineare rispetto a due basi date è determinata dalle immagini dei vettori della base di partenza.

  • Il nucleo di un'applicazione lineare f: V → W è l'insieme dei vettori v ∈ V tali che f(v) = 0w.

Autovalori e Autovettori

  • Un autovalore λ di una trasformazione lineare f su V è un numero tale che esiste un vettore non nullo v (autovettore) per cui f(v) = λv.

  • Una matrice è diagonalizzabile se è possibile trovare una base di autovettori per lo spazio.

  • Le condizioni per la diagonalizzabilità comportano uguaglianza tra le molteplicità geometriche e algebriche per ogni autovalore.

Algebra e Geometria Analitica

  • Una retta in forma parametrica è definita da un punto e un vettore direzionale.

  • Un piano in forma parametrica è definito da un punto e due vettori direzionali.

  • Le equazioni cartesiane di una retta o di un piano sono le equazioni dei piani normali alle rette o ai piani.

Analisi (Successioni e Limiti)

  • Una successione converge a un limite se i suoi valori si avvicinano sempre di più a quel limite.

  • Una successione diverge a infinito se i suoi valori diventano arbitrariamente grandi in modulo.

  • Il teorema del confronto stabilisce che se una successione è delimitata tra due successioni convergenti ad uno stesso limite, allora la successione data convergerà allo stesso limite.

  • Il teorema della permanenza del segno stabilisce che se una successione converge ad un valore positivo (negativo), allora la successione sarà positiva (negativa) a partire da un certo indice.

  • Espressione per il limite di una successione, in funzione della variabile, che porta ad un valore definito.

  • Espressione per il modulo di una successione illimitata.

  • Rappresentazioni dei limiti delle varie funzioni matematiche più comuni, da risolvere.

Analisi (Derivate)

  • Una funzione, in un determinato punto, è derivabile se esiste il limite che la definisce.

  • Geometricamente la derivata si comporta come il coefficiente angolare della retta tangente.

  • Le derivate di una funzione, di tipo pari (coseno, potenze pari) e dispari (seno, potenze dispari).

  • La definizione di derivata, ed eventuali formule di calcolo. Diverse tipologie di funzioni.

  • Il teorema di Fermat stabilisce che se una funzione ammette un punto di estremo locale e è derivabile, allora la sua derivata in quel punto deve essere zero.

  • Il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua su un intervallo e derivabile nel suo interno, e assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, allora esiste un punto nell'intervallo in cui la derivata è zero.

  • Il teorema di Lagrange afferma che se una funzione è continua e derivabile in un intervallo, allora esiste un punto in cui la derivata è pari alla pendenza della secante che unisce i punti iniziale e finale.

Analisi (Integrali)

  • L'integrale di una funzione su un intervallo rappresenta l'area sottesa alla curva e delimitata dall'asse x e le ordinate di a e di b.

  • La derivata di una funzione integrale è la funzione integranda.

  • Metodi di sostituzione per il calcolo di integrali.

  • I diversi tipi di integrali (integrali indefiniti e integrali definiti) con relativi calcoli.

  • Calcolo degli integrali fondamentali.

  • Tecnica di calcolo dell'integrale improprio, per quando l'estremo dell'integrale non è finito.

  • Calcolo degli integrali per sostituzione.

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Description

Questo quiz esplora i concetti fondamentali dell'algebra lineare, inclusi i numeri complessi, gli spazi vettoriali e le matrici. Metterai alla prova la tua comprensione delle operazioni associativa e commutativa, così come le proprietà degli spazi vettoriali. Preparati a raccogliere punti sulla tua conoscenza di questa disciplina matematicamente ricca.

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