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Questions and Answers
Quel est le module de la différence des affixes de deux points M et M′ dans le plan?
Quel est le module de la différence des affixes de deux points M et M′ dans le plan?
- La moyenne des affixes M et M′
- La somme des modules des affixes
- La distance réelle entre M et M′ (correct)
- Le produit des affixes M et M′
Qu'est-ce qu'une similitude directe d'angle θ et de rapport k ?
Qu'est-ce qu'une similitude directe d'angle θ et de rapport k ?
- Une série de rotations et d'homothéties (correct)
- Une rotation seule à angle θ
- Une translation uniquement
- Une homothétie seule
Pour quels valeurs de a et b l'application du plan est-elle une translation?
Pour quels valeurs de a et b l'application du plan est-elle une translation?
- a = 0, b ≠ 0
- a = 1, b = 0
- a = 1, b ≠ 0 (correct)
- a ≠ 1, b = 0
Quel est le centre de l'application de similitude directe dans le plan?
Quel est le centre de l'application de similitude directe dans le plan?
Quelle condition doit être remplie pour que les points A, B et C soient considérés distincts?
Quelle condition doit être remplie pour que les points A, B et C soient considérés distincts?
Quel est l'argument de la différence entre les affixes c−b et c−a?
Quel est l'argument de la différence entre les affixes c−b et c−a?
Comment est définie l'affixe d'un vecteur entre deux points M et M′?
Comment est définie l'affixe d'un vecteur entre deux points M et M′?
Si a≠1, comment peut-on caractériser l'application du plan associée au point M?
Si a≠1, comment peut-on caractériser l'application du plan associée au point M?
Quelle est l'équation aux points fixes pour déterminer le centre A?
Quelle est l'équation aux points fixes pour déterminer le centre A?
Qu'est-ce que arg(c−b) lorsque l'on considère trois points distincts A, B et C?
Qu'est-ce que arg(c−b) lorsque l'on considère trois points distincts A, B et C?
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Study Notes
Repère orthonormé et affixes
- Un repère orthonormé est constitué des points ( O, \vec{i}, \vec{j} ).
- Le complexe ( z = a + ib ) correspond au point ( M(a, b) ) dans le plan.
- L'affixe du vecteur ( \overrightarrow{MM'} ) est donnée par ( z' - z ) lorsque ( M ) est d'affixe ( z ) et ( M' ) d'affixe ( z' ).
Distance entre deux points
- La distance entre les points ( M ) et ( M' ) est égale au module ( |z - z'| ).
Angles et arguments
- Pour les points ( A, B, C ) avec affixes ( a, b, c ), on a :
( \arg(c - b) - \arg(c - a) = (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) \mod 2\pi ).
Similitude directe
- Une similitude directe d'angle ( \theta ) et de rapport ( k > 0 ) transforme un point ( M \neq A ) en ( M' ) tel que :
( AM' = k \cdot AM ) et ( (\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AM'}) = \theta \mod 2\pi ). - Cette transformation est la combinaison d'une homothétie de centre ( A ) et de rapport ( k ) avec une rotation de centre ( A ) d'angle ( \theta ).
Propriétés des transformations
- La composition de l'homothétie et de la rotation, dans n'importe quel ordre, génère une similitude directe.
- À l'inverse, la composition de ces transformations mène à la définition d'une similitude directe.
Application des transformations sur le plan
- Pour deux nombres complexes ( a, b ) avec ( a \neq 0 ), l'application ( M(z) \mapsto M'(z') = az + b ) présente différentes propriétés selon la valeur de ( a ) :
- Translation : Si ( a = 1 ), l'affixe du vecteur de translation est ( b ).
- Similitude directe : Si ( a \neq 1 ), le rapport est ( |a| ), l'angle est un argument de ( a ), et le centre ( A ) a pour affixe la solution unique de l'équation ( z = az + b ).
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