Álgebra de Boole y códigos digitales

¿Qué es la informática?

• Informática es una palabra de origen francés, formada por la contracción de "INFORmación" y "autoMATICA".
• Definida por la Real Academia Española como el conjunto de conocimientos científicos y técnicas para el tratamiento automático y racional de la información por medio de computadoras.
• Es una ciencia e ingeniería que requiere estudios teóricos y experimentales.
• El tratamiento automático se refiere a las tareas de captura, proceso y presentación de información realizadas por las máquinas.
• El tratamiento racional implica que el proceso está regulado por un programa que sigue el razonamiento humano, con el objetivo de automatizar la información usando la computadora.

Sistemas de Numeración

• Un sistema de numeración es un conjunto de reglas que permiten nombrar y escribir cualquier número a partir de un número finito de símbolos.
• Un sistema de numeración puede representarse como N = (S, R), donde:
  • N es el sistema de numeración considerado (decimal, binario, etc.).
  • S son los símbolos permitidos del sistema de numeración.
  • R son las reglas que indican qué números son válidos y cuáles no.

Tipos de Sistemas de Numeración

• Los sistemas de numeración se clasifican en posicionales y no posicionales.
• En los sistemas posicionales, el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado como de su posición en el número.
• En los sistemas no posicionales, el valor de los dígitos es el valor del símbolo utilizado, independientemente de su posición.

Sistemas No-Posicionales

• Ejemplos de sistemas no posicionales son el Egipcio, Griego, Romano y Babilónico.

Sistemas Posicionales

• El número de símbolos permitidos en un sistema posicional se conoce como la base del sistema.
• Un sistema de numeración posicional base b significa que se disponen de b símbolos diferentes para escribir los números.
• También significa que b unidades forman una unidad de orden superior.
• Ejemplos de sistemas posicionales:
  • Binario: usa los símbolos 0 y 1 (base 2).
  • Octal: usa los símbolos 0 al 7 (base 8).
  • Decimal: usa los símbolos 0 al 9 (base 10).
  • Hexadecimal: usa los símbolos 0 al 9 y A, B, C, D, E, F (base 16).
• Otros sistemas incluyen el Ternario (base 3), Cuaternario (base 4), Quinario (base 5), Senario (base 6) y Eptal (base 7).

Teorema Fundamental de la Numeración

• Dado un sistema de numeración de base b con b > 1, cualquier número natural N puede descomponerse de la forma: N = Σ (di * bi), donde:
  • N es un número válido en el sistema.
  • b es la base del sistema.
  • di es un símbolo permitido en el sistema.
  • n es el número de dígitos en la parte entera.
  • La coma (,) separa la parte entera de la parte fraccionaria.
  • k es el número de dígitos en la parte decimal.

Sistemas Binarios

• El sistema binario es utilizado internamente por el hardware de las computadoras actuales.
• Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0 (base 2).
• Cada dígito de un número binario se denomina BIT (contracción de Binary Digit).
• En un número binario, cada símbolo tiene un valor diferente según su posición.

Sistema Octal

• El sistema octal es el sistema numérico en base 8 y utiliza los dígitos del 0 al 7.
• Para convertir un número decimal a octal, se divide sucesivamente por 8 hasta llegar a un cociente de 0. Los residuos de las divisiones, en orden inverso, indican el número en octal.
• Para convertir de base 8 a base decimal, se multiplica cada dígito por 8 elevado a la posición del dígito y se suman los resultados.
• Es más fácil pasar de binario a octal agrupando los dígitos binarios en grupos de 3.

Sistema Hexadecimal

• El sistema hexadecimal emplea 16 símbolos (0-9 y A-F).
• A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15.

Conversiones en el Sistema de Numeración

• Conversión Decimal a Binario: Dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes obtenidos por 2, hasta que el cociente sea 0 y unir los restos en orden inverso.

Conversión Binario a Decimal

• Numerar los dígitos de derecha a izquierda comenzando desde cero, asignar a cada número la correspondiente potencia base 2 y al final se suman las potencias.

Suma y Resta de Números Binarios

• La suma binaria es similar a la decimal, pero se produce un acarreo cuando la suma excede de uno.
• La resta binaria es similar a la decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente cuando es necesario.
• Si se toma una unidad prestada, esa unidad debe devolverse sumándola a la posición siguiente.

Suma y Resta Octal y Hexadecimal

• Resta Octal: al restar, si el sustraendo es mayor que el minuendo, se toma una unidad de la columna izquierda que equivale a 8 unidades.
• Suma Octal: Se debe considerar la regla que 7 + 1 = 10.
• Suma Hexadecimal: Si la suma de dos números en una columna es mayor que 15, se suma 1 a la columna de la izquierda y se resta 16 al resultado.
• Resta Hexadecimal: Al restar, si se "piden cifras", se pasa 16 a la columna de la derecha.

Representación de Números con Signo

• Las computadoras usan métodos para representar números enteros positivos y negativos, estos métodos son:
  • Signo y magnitud.
  • Complemento a la base.
  • Complemento a la base menos uno.
• En la implementación del circuito, los más utilizados son:
  • Complemento a dos (si la base es 2).
  • Complemento a uno (si la base es 2).
• Todas las representaciones utilizan el bit de mayor peso para representar el signo: positivo (+) o negativo (-). Por convención:
  • 0 representa positivo (+).
  • 1 representa negativo (-).
• En cualquier sistema de numeración posicional, cero "0" representa "+" y “b-1” representa los negativos, donde b es la base del sistema.

Representación de Números con Signo: Signo Magnitud

• En la representación de un número entero con signo y magnitud, el bit más significativo representa el signo (bit de signo).
• Los bits restantes representan la magnitud.
• Si se quiere representar un número negativo, el bit de signo es 1.
• Si se quiere representar un número positivo, el bit de signo es 0.

Representación de Números con Signo: Complemento a la Base

• Para el complemento a la base, se utiliza la fórmula C = bm - N, donde:
  • C es el complemento.
  • b es la base.
  • m es la cantidad de dígitos utilizados (debe incluir el dígito de signo).
  • N es el número a complementar.

Representación de Números con Signo: Complemento a la Base - 1

• Para el complemento a la base -1, se utiliza la fórmula C = (bm - 1) - N, donde:
  • C es el complemento.
  • b es la base.
  • m es la cantidad de dígitos utilizados (debe incluir el dígito de signo).
  • N es el número a complementar.

Métodos de Conversión Directa

• Bit de signo: El bit más a la izquierda de la representación.
• Magnitud: El valor del número.
• Signo:
  • 0 para (+).
  • 1 para (-).
• Signo Magnitud: El bit de signo indica positivo o negativo; la magnitud se mantiene igual.
• Complemento a 1: Se intercambian todos los dígitos del número, 0 por 1 y 1 por 0.
• Complemento a 2: A partir del primer 1 contando de derecha a izquierda, los dígitos quedan igual; luego se intercambian los 0s por 1s y los 1s por 0s.

Representación Interna de Datos - Codificación Alfanumérica

• Los sistemas informáticos usan las siguientes formas para representar los datos e informaciones:
  • Alfanuméricas:
    • ASCII
    • EBCDIC
  • Numéricas:
    • Coma fija
    • Coma flotante.

Códigos de Representación Alfanumérica

• Los códigos alfanuméricos permiten representar números, letras y otros caracteres de control en lenguaje binario.
• Los sistemas de codificación alfanumérica sirven para representar una cantidad determinada de símbolos en binario.
• Cada símbolo tiene una combinación de bits asignada.
• El código ASCII es un código alfanumérico que permite combinar números y letras y originalmente tenía 128 caracteres (dígitos del 0 al 9, letras mayúsculas y minúsculas, caracteres especiales y caracteres de control).
• ASCII fue creado en 1963 por el Comité Estadounidense de Estándares o "ASA". Este organismo cambio su nombre en 1969 por "Instituto Estadounidense de Estándares Nacionales" o "ANSI". En 1967 se agregaron letras minúsculas y caracteres de control lo que se conoce como US-ASCII (caracteres del 0 al 127).
• Otros códigos alfanuméricos:
  • EBCDIC: Extended BCD Interchange Code, desarrollado por IBM.
  • UNICODE: Código usado para el procesamiento de palabras y permite la representación de múltiples alfabetos. Está definido por ISO 10646.

Códigos de Representación Numérica

• BCD (Binary Coded Decimal):
  • Ayuda a ver la relación entre un número decimal y su correspondiente en binario.
  • Se basa en una tabla con los números decimales del 0 al 9 y sus traducciones en BCD.
  • Tipos de BCD: BCD puro
• BCD puro (Binary Code Digit):
  • Un estándar para representar números decimales en binario, donde cada dígito decimal se codifica con una secuencia de 4 bits.

Código BCD Exceso 3

• El código Exceso 3 se obtiene sumando "3" a cada combinación del código BCD natural.
• No tiene ponderación.
• Es simétrico.
• Es útil en las operaciones de resta y división.

Código BCD Aiken

• Similar pero con los "pesos" distribuidos diferente que el BCD, en el BCD natural los pesos son (8 – 4 – 2 – 1) y en el código Aiken la distribución es (2-4-2-1)
• Útil para realizar operaciones de resta y división.

Representaciones Redundantes (Código Gray)

• Es un tipo especial de código binario no ponderado.
• Entre una combinación de dígitos y la siguiente solo hay una diferencia de un dígito (bit).
• Es un código progresivo o cíclico.
• Minimiza las posibilidades de error al cambiar de un código al siguiente, asegurando menos.
• Se llama así por el nombre del físico Frank Gray de los laboratorios Bell.

Códigos de Hamming

• Conjunto de códigos correctores en k dígitos binarios.
• Operaciones:
  • Construcción: realizada en el centro emisor.
  • Interpretación: realizada en el centro receptor.
• Construcción: Comienza con un código de n dígitos de distancia mínima uno. Estos n dígitos son "dígitos de datos”. Luego se añaden p (cp-1, c2, c1, co) dígitos de control dando como resultado un código de longitud l=n+p.
• Interpretación: Se debe comprobar si una combinación de un código de Hamming es correcta y detectar el digito que varió en la trasmisión, si no es así. Los dígitos añadidos actúan como dígitos de control para formar una palabra binaria.

Representación de Números Reales

• El estándar IEEE 754 define representaciones para números de coma flotante con precisión simple y doble (32 y 64 bits).
• En la representación de 32 bits, el bit más significativo almacena el signo de la mantisa; los siguientes 8 bits, la representación del exponente; y los restantes 23 bits, la mantisa.
• El exponente se representa en exceso de 8 bits, con un desplazamiento de 127.
• En la representación de doble precisión, el bit más significativo es el signo de la mantisa; los siguientes 11 bits, el exponente; y los restantes 52 bits, la mantisa.
• El exponente se representa en exceso de 11 bits, con un desplazamiento de 1023.
• En ambos casos se tiene una mantisa normalizada con un bit entero y los restantes fraccionarios ("1,X"). El dígito 1 (entero) esta oculto y por lo tanto no es almacenado en la representación, permitiendo así ganar precisión.

Circuitos Lógicos y Digitales - Introducción al Algebra de Boole

• Un sistema es un conjunto de elementos que guardan una relación entre sí a su vez puede ser otro sistema (subsistema). Los sistemas electrónicos se clasifican en:
  • Electrónicos
    • Analógicos
    • Digitales
      • Combinacionales
      • Secuenciales
• Un sistema digital es aquel cuyos elementos son digitales (sólo discretos). Para poder realizar el estudio de los Sistemas Digitales se necesita estudiar una álgebra binaria.
• El Álgebra de George Boole (1854).
• Claude Shannon en 1938 adaptó esta álgebra para la aplicación en sistemas digitales.

Biografía de George Boole

• George Boole nació el 2 de noviembre de 1815.
• Fue un matemático inglés que definió un tipo de álgebra con sólo dos valores: verdadero o falso.
• Estos valores se designan por 0 y 1.
• Estos símbolos no representan números si no dos tipos de estados diferentes dentro de un dispositivo, como encendido o apagado, abierto o cerrado.

Postulados y Teoremas del Algebra de Boole

• Dentro de las álgebras de Boole, es necesario definir la bivalente (compuesta por dos elementos).
• Álgebra es un conjunto de elementos binarios relacionados mediante las operaciones lógicas producto [.] y suma [+].
• Cumplen con lo siguiente:
  • Suma lógica.
  • Producto lógico.
  • Negación lógica.

Álgebra de Boole - Operaciones Basicas

• Suma Lógica:
  • Denominada también operación "O" (OR)
  • La operación responde la una tabla que representa la funcion
• Producto Lógico:
  • Denominada también operación "Y" (AND).
  • La operación responde la una tabla que representa la funcion
• Negación Lógica:
  • Denominada también operación "N" (NOT).
  • La operación responde la una tabla que representa la funcion

Propiedades del Algebra de Boole

• Las propiedades del conjunto de elementos que pueden tomar dos valores diferenciados, “0” o “1”, que están relacionados a dos operaciones binarias de “+” y “*”:
  • Propiedad Conmutativa:
    • De la suma: a + b = b + a
    • Del producto: a * b = b * a
  • Elemento Identidad o Neutro:
    • De la suma: a + 0 = a
    • Del producto: a * 1= a
  • Complemento o Inversión Lógica:
    • De la suma: a + a' = 1
    • Del producto: a * a' = 0
  • Propiedad Distributiva:
    • Del producto respecto a la suma: a + (b * c) = (a + b) * (a + c)
    • De la suma respecto al producto: a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

Teoremas del Algebra de Boole:

1. Dualidad: Si una igualdad lógica es válida, sigue siendo válida si se intercambian los operadores (+ y .) y los elementos de identidad (0 y 1).
2. En el álgebra: una +1=1/a.0=0
3. Ley de Idempotencia: a +a=a/a.a=a
4. Ley de Involución: (a')'=a
5. Las operaciones lógicas son asociativas: a +( b+c)=(a+b) + c / a. (b. c) = (a .b) . c
6. Absorción: un=a +(a.b) /a =a. (a+b)
7. Leyes de De Morgan:
   • (a+b+c+d ...+n)' = a' . b' . c' . d' ..........n'
   • (u.b.c. d .......n)' =a'+ b'+ c'+ d' + ..........+ n'

Reglas del Algebra de Boole

• Respecto a la suma (OR):
  • A+0 = A
  • A+1 = 1
  • A+A = A
  • A + A' = 1
• Respecto al producto (AND):
  • A * 0 = 0
  • A * 1 = A
  • A*A = A -A * A' = 0
• Respecto a la negación (NOT):
  • A= A
  • A+ B =A* B
  • A* B=A + B

Puertas Logicas NOR y NAND

• Las funciones NOR y NAND se representan con una puerta lógica NOR (Not OR) o NAND (Not AND), seguida de un círculo pequeño en la salida para indicar la inversión.

Universalidad de las Compuertas NAND y NOR

• Las compuertas NAND y NOR son "universales", puesto que se pueden realizar todas las funciones lógicas.

Puertas Logicas XOR y XNOR

• XOR
  • OR Exclusiva
• XNOR
  • Coincidencia

Karnaugh Simplificación de Funciones

• En 1953 el Ingeniero Maurice Karnaugh ideó un método que permitía minimizar funciones lógicas mediante la confección de tablas o mapas del estado de sus variables.
• El método de simplificación de Karnaugh es recomendable utilizarlo para sistemas con un número de variables de entrada comprendidas entre 2 y 5 variables.
• Para aplicar la simplificación de la función lógica por karnaugh primero es necesario realizar la tabla de la verdad del problema o tener la función lógica del circuito a simplificar.
• Una vez que tenemos la tabla o función lógica es cuando aplicamos la simplificación por el método de karnaugh.

Funciones de Karnaugh

• Se dibuja una tabla de Karnaugh con tantas casillas como combinaciones tenga, según el número de variables (2n).

Simplificacion

• Para simplificar una función lógica con el método de Karnaugh se agrupan 1s en grupos de 1, 2, 4, 8, 16, etc.
• Se debe hacer la mayor agrupación posible de unos, se permite que un 1 pertenezca a varias agrupaciones.
• Las agrupaciones se realizan en vertical u horizontal (cuadrados o rectángulos) pero nunca en diagonal.
• No se permiten agrupaciones de 3 o 5 unos.

Formas Normales o Canónicas de una Función Booleana

• Las formas canónicas están formadas por términos canónicos (las variables de la función, complementadas o no, aparecen en cada uno de ellos).
• Los términos canónicos pueden ser sumas canónicas o productos canónicos.
• Para una función de tres variables F(x, y, z):
  • Las sumas canónicas pueden incluír: x+y+z, x'+y+z'
  • Los productos canónicos pueden ser: xyz, x'y'z'
• Las dos formas canónicas reciben el nombre de primera y segunda forma canónica:
  • La primera forma es una suma de productos canónicos.
  • La segunda es un producto de sumas canónicas.

Formas Normales o Canonicas de una Funcion Booleana

• Los terminos de la forma canónica se les denomina:
  • Minitérminos: terminos producto o productos canónicas
  • Maxitérminos términos suma o sumas canonicas
• Minitérminos: variables lógicas que están relacionadas entre sí (producto lógico "." y sumados, es una “función suma de productos").
• Maxitérminos: variables lógicas que están relacionadas entre sí (mediante "+" y multiplicadas, es una funcion “función producto de sumas").
• Dada una tabla de verdad una función booleana (suma de todos los minitérminos que producen un 1 en función) se le denomina mintérminos (f como la suma de los Minterms mo y m.

Sistemas Digitales

• Un sistema digital es un conjunto de elementos binarios relacionados entre sí.
• Se distinguen dos tipos de variables en un sistema digital:
  • Las variables de entrada y las variables de salida.
  • Funcionamiento: variables de proceso y variables de control.
• Sistema combinacional:
  • Cada combinación de las variables de entrada se corresponde con una combinación de las variables de salida .
  • Si se repite un conjunto de valores en la entrada, se repite en la salida.
• Sistema secuencial:
  • A un mismo vector de entrada puede corresponder más de uno de salida.
  • Si se repite un conjunto de valores en las entradas, no necesariamente se repetirá en las salidas.
  • El sistema secuenciales deben poseer memoria interna.

Circuitos Combinacionales

• En un sistema combinacional las salidas son funciones lógicas de las entradas, de acuerdo a los datos de entrada.
• Clasificación según escala de integración:
  • SSI (Small Scale Integration)- hasta 10 puertas lógicas.
  • MSI (Medium Scale Integration) - hasta 100 puertas lógicas.
  • LSI (Large Scale Integration)- hasta 1000 puertas lógicas.
  • VLSI (Very Large Scale Integration) más de 1000 puertas lógicas

Circuitos Combinacionales MSI

• El diseño basado en la implementación con compuertas lógicas no siempre es adecuado. Las técnicas de integración permitieron CI más complejos. Por ejemplo en MSI se dispone de Cl de hasta 100 puertas.
• Tipos de circuitos:
  • Comunicación.
  • Aritméticos.
• La ventaja principal está en la disminución de conexiones externas, del tiempo de diseño y del la dificultad inherente al el mantenimiento.

Circuitos Combinacionales MSI - Semisumador

• Sumadores: Son circuitos integrados (CI) que realizan la suma aritmética de dos números de n bits.
• Suma binaria: + indica la suma aritmética.

Circuitos Combinacionales MSI - Sumador

• El Sumador es un semisumador que se integra para sumar dos números binarios de más de un bit.

Circuitos Combinacionales MSI - Restador

• Se implementa mediante la suma de uno de los números al complemento a dos del sustraendo.

Circuitos Combinacionales MSI - Comparador

• Comparadores: Realizan la comparación entre dos números binarios de n bits.
• Los comparadores de más bits poseen entradas adicionales para realizar comparaciones de elevado número de bits, partiendo comparadores menores.

Detector de Paridad

• En la transmisión de información pueden haber diferentes factures que producen errores, si se detectata esto, se retransmite la información o se corrige el error.
• Si se utilizaz todas las combinaciones posibles, es imposible detectar el error, ya que un cambio puede dar por resultado otra combinación válida, por lo tanto “para detectar errores es necesario no utilizar todas las combinaciones posibles”.
• Y/o corregir errores se hace necesario el concepto de distancia mínima de un código: Distancia de un código entre dos combinaciones binarias es el número de bits que cambian para pasar de una a la otra.
• La distancia entre dos representaciones binarias es el número de bits distintos entre los dos códigos.

Mecanismos para Generar Sistemas de Codificación

• Uno de los mecanismos para generar sistemas de codificación es la paridad, o codificación con bit de paridad
• Hay que agregar a cada código binario de n bits un nuevo bit calculado en función de los restantes, esto da a la cantidad de unos en el código completo (original + bit de paridad), que será par o impar

Circuitos Combinacionales MSI - Codificadores

• Permiten codificar las líneas de entrada, generalmente en BCD o binario.
• Características Generales:
  • Activo a alta o lógica positiva: Las entras / salidas se activan con “1”.
  • Activo a baja o lógica negativa: Las entras / salidas se activan con “0”.
  • Habilitar(Enable): Entrada que habilita el circuito (dependiendo de la lógica activa con “1” o con “0”).
  • Prioridad: Codifica la entrada de mayor prioridad.

Codificadores

• Suelen codificar el código decimal a código binario.
• La diferencia entre el Codificador y el Decodificador:
  • Decodificador: Pocas entradas (binario y muchas salidas decimal).
  • Codificador: Muchas entradas (decimal) pocas salidas (binario).
• En los codificadores de prioridad, la salida toma el valor correspondiente a la entrada activa que tiene mayor prioridad.

Circuitos Combinacionales MSI - Decodificadores

• Un decodificador es un circuito lógico que convierte un código binario de entrada de N bits a M líneas de salida, activando una única línea para cada combinación de entrada posible.
• Funcionamiento típico: detectar la presencia de alguna combinación de bits entrada y la señala a una salida determinada.
• Tipos de entradas/salidas (alta =1 / baja = 0): - Activo a alta o lógica positiva: Las entradas / salidas, se activan con “1”. - Activo a baja lógica negativa: Las entradas / salidas, se activan con “0”. - Enable: La codificadores cuenta con una patilla de habilitación del que se habilitará segun sea lógica positiva o negativa

Dos Grupos De Decodificadores

• Tipos de decodificadores: - Generadores de funciones lógicas. - BCD a display de 7 segmentos.
• Se puede controlar un semáforo haciendo un circuito con 4 salidas, cuando una de estas salidas esté a "1", estará encendida.
• En este circuito es imposible tener 2 salidas a 1.

Circuitos Combinacionales MSI – Decodificadores 7 Segmentos

• Este decodificador se aparta de la definición general ya que cada combinación de valores de las entradas activa varias salidas, en lugar de una sola.
• Tiene 4 entradas en código BCD y salidas capaces de activar un display de siete segmento.
• Hay 2 tipos de decodificadores, que de acorde a su funcionalidad, cada uno requiere un display en particular: - Uno cuyos segmentos se activan con un uno: cátodo común. - Otro cuyos segmentos se activan con un cero: ánodo común.

Decodificador- BCD 7 Segmentos

• El display está formado por un conjunto de 7 leds conectados en un punto común en su salida
• Requiere de una entrada en código decimal binario BCD y siete salidas conectadas a cada segmento del display.

Circuitos Combinacionales MSI - Multiplexor

• Multiplexar es pasar información de “muchos” canales a un solo canal.
• Un multiplexores un circuito digital que selecciona unavariables entradas de datos de datos de valores variable y lleva su valor lógico a una única salida del circuito
• Es un circuito combinacional con 2n variables de entrada, n variables de selección a la salida de información que se utiliza como dispositivos que permiten dirigir información. El multiplexor más simple es el que sólo tiene una variable de selección

Circuitos Combinacionales MSI - Demultiplexor

• El concepto de un multiplexores similarmente relacionado al multiplexor, sin embargo con los entradas de datos como salidas y las salidas como un entrada.
• Un entrada que sale por algunas de las muúltiples salidas
• La entrada de selección (n define a su valor dado de entrada.
• Define la salida 2=2 lineas =1linea

Circuitos Combinacionales MSI - Multiplexores y Demultiplexores

• Una aplicación útil para los dispositivos multiplexores y los demultiplexores es tener cuatro sistemas donde se van a llamar a y b. Esto dará valor y se necesita enviar información hacia que se va a representar
• Va a transmitir valores a las transmisiones
• Las comunicaciones son uno que otro.

Este cuestionario explora conceptos de álgebra de Boole, incluyendo operaciones lógicas y representaciones de valores. También cubre códigos digitales como Gray, BCD Aiken y Exceso 3, y su utilidad en la informática y la electrónica.