Álgebra de Boole y códigos digitales

• Informática es una palabra francesa formada por la contracción de "INFORmación" y "autoMATICA".
• La Real Academia Española define la informática como el conjunto de conocimientos científicos y técnicos que hacen posible el tratamiento automático y racional de la información a través de computadoras.
• De esta definición se desprende que la informática es a la vez ciencia e ingeniería.
• El tratamiento automático se refiere a que las máquinas realizan tareas de captura, proceso y presentación de información.
• El tratamiento racional implica que todo el proceso está regulado por un programa de instrucciones que sigue el razonamiento humano.
• El objetivo del tratamiento racional es el tratamiento automático de la información usando la computadora.

Sistemas de Numeración

• Un sistema de numeración es un conjunto de reglas para nombrar y escribir números usando un número finito de símbolos.
• Un sistema de numeración se puede representar N (S, R)
• N es el sistema de numeración considerado (decimal, binario, etc.).
• S son los símbolos permitidos en el sistema de numeración.
• R son las reglas que indican qué números son válidos.

Base del Sistema de Numeración

• La base del sistema de numeración es el número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional.
• Un sistema de numeración posicional con base b utiliza b símbolos diferentes para escribir números.
  • Por ejemplo, el sistema decimal tiene base 10 y utiliza los símbolos {0, 1, ..., 9}.
  • El sistema binario tiene base 2 y utiliza los símbolos {0, 1}.
  • El sistema octal tiene base 8 y utiliza los símbolos {0, 1, ..., 7}.
  • El sistema hexadecimal tiene base 16 y utiliza los símbolos {0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F}.

Clasificación de Sistemas de Numeración

• Los sistemas de numeración se clasifican en posicionales y no posicionales.
• En sistemas posicionales, el valor de un dígito depende del símbolo utilizado y su posición en el número.
• En sistemas no posicionales, el valor de un dígito es el valor del símbolo y no depende de su posición.
  • Ejemplos de sistemas no posicionales son la numeración egipcia, romana, griega y babilónica.

Teorema Fundamental de la Numeración

• En un sistema de numeración de base b mayor que 1, cualquier número natural N puede descomponerse de la siguiente forma:
• N = ∑(Di * Bi) desde i = -k hasta n-1
  • Donde:
    • N es un número válido en el sistema de numeración.
    • b es la base del sistema de numeración (número de símbolos permitidos).
    • di es un símbolo del sistema de numeración.
    • n es el número de dígitos en la parte entera.
    • ; es la coma fraccionaria, que separa la parte entera de la fraccionaria. - k es el número de dígitos en la parte decimal.

Sistema Binario

• Base 2.
• Utiliza los dígitos 0 y 1.
• Es el sistema utilizado internamente en circuitos digitales.

Sistema Decimal

• Proviene del sistema indoarábigo.
• Base 10.
• Utiliza los dígitos del 0 al 9.
• Es un sistema posicional, por lo que el valor de los símbolos depende de su posición relativa al punto decimal.

Sistema Octal

• Sistema posicional.
• Base 8.
• Utiliza los dígitos del 0 al 7.
• Su aritmética es similar a los sistemas decimal y binario.

Sistema Hexadecimal

• Base 16.
• Sistema posicional.
• Utiliza los dígitos del 0 al 9 y las letras A a F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).
• Su aritmética es similar a los sistemas decimal, binario y octal.

Conversión entre Sistemas

• Decimal a Binario: Se divide la parte entera por 2 y se multiplica la parte decimal por 2.
• Decimal a Hexadecimal: Se divide la parte entera por 16 y se multiplica la parte decimal por 16.
• Decimal a Octal: Se divide la parte entera por 8 y se multiplica la parte decimal por 8.

Conversiones a Decimal

• Para convertir de octal, hexadecimal o binario a decimal, se cuentan los pesos empezando desde la coma hacia la izquierda (desde 0) y hacia la derecha (desde -1).
• Luego, se multiplica por 8 (si es octal), 16 (si es hexadecimal) o 2 (si es binario).

Conversiones Directas

• Octal a Binario: Cada dígito octal se reemplaza por su equivalente binario de 3 bits.
• Hexadecimal a Binario: Cada dígito hexadecimal se reemplaza por su equivalente binario de 4 bits.
• Binario a Hexadecimal: Se separa en grupos de 4 bits desde la coma hacia la izquierda y hacia la derecha, completando con ceros si es necesario.
• Octal a Hexadecimal: Se convierte a binario y luego se separa en cuartetos, y finalmente se complementa con ceros a los extremos.

Operaciones Fundamentales

• Suma y Resta
• Octal: Se opera como un reloj del 0 al 7 (suma horaria, resta antihoraria).
• Hexadecimal: Se opera como un reloj del 0 al 9 y de la A a la F (suma horaria, resta antihoraria).

Binario: Operaciones Fundamentales

• Suma:
  • 0 + 0 = 0
  • 0 + 1 = 1
  • 1 + 0 = 1
  • 1 + 1 = 10
• Resta:
  • 0 - 0 = 0
  • 0 - 1 = 1 (prestando 1)
  • 1 - 0 = 1
  • 1 - 1 = 0

Representación de Números con Signo

• Los computadores utilizan diferentes métodos para la representación interna de números enteros (positivos y negativos)
• Los métodos más comunes son:
  • Signo y Magnitud
  • Complemento a la base (complemento a dos si la base es 2)
  • Complemento a la base menos uno (complemento a uno si la base es 2) Todas las representaciones utilizan el bit de mayor peso para representar el signo: 0 para positivo (+) y 1 para negativo (-).
• En cualquier sistema de numeración posicional, el cero representa los positivos y b-1 representa los negativos, donde b es la base del sistema.
  • Por ejemplo, el negativo en decimal es 9, en binario es 1, en octal es 7 y en hexadecimal es F.

Representación en Signo Magnitud

• En esta representación, el bit más significativo indica el signo (0 para positivo, 1 para negativo).
• El resto de los bits representan la magnitud del número.

Cálculo del Valor en Base 10

• Para un número N en signo magnitud de n bits:
• NSM = ((1-2an-1) ∑ ai2i) desde i = 0 hasta n-2
• Cuando se quiere representar un número negativo el bit de signo vale 1, y cuando es positivo vale 0.

Complemento de la Base

• Cn = bm - N Donde:
  • C es el Complemento
  • b es la base
  • m es el módulo, la cantidad de dígitos utilizados, que debe contener el dígito de signo.
  • N es el número a complementar.

Complemento a la Base Disminuida

• CNb-1 = (bm - 1) - N
• Donde:
  • C es el Complemento
  • b es la base
  • m es el módulo, la cantidad de dígitos utilizados, que debe contener el dígito de signo.
  • N es el número a complementar.

Métodos de Conversión Directa

• Bit de Signo: El bit más a la izquierda (el más significativo) representa el signo.
• Magnitud: El valor absoluto del número.
• Signo: 0 para positivo (+), 1 para negativo (-).
• Signo Magnitud: El bit de signo indica el signo, y la magnitud se mantiene igual.
• Complemento a 1: Se intercambian todos los dígitos del número (0 por 1 y 1 por 0).
• Complemento a 2: A partir del primer 1 (contando de derecha a izquierda), los dígitos quedan igual, luego se intercambian los 0 por 1 y los 1 por 0.

Representación Interna de Datos

• La información en un sistema informático puede representarse de forma alfanumérica o numérica.
  • Alfanuméricas: ASCII, EBCDIC
    • Numéricas: Coma fija, Coma flotante

Códigos de Representación Alfanumérica

• Permiten representar números, letras y caracteres de control en lenguaje binario.
• Los sistemas de codificación representan una cantidad determinada de símbolos en binario.
• A cada símbolo corresponde una combinación de bits.

Código ASCII

• Código Estándar Americano para el Intercambio de Información (American Standard Code for Information Interchange).
• Permite combinar números y letras en un mensaje.
• Originalmente, tenía 128 caracteres.
• Permite representar dígitos del 0 al 9, letras mayúsculas y minúsculas, caracteres especiales y caracteres de control.

Otros Códigos Alfanuméricos

• EBCDIC: Código de Intercambio Decimal Codificado en Binario Extendido (Extended BCD Interchange Code), desarrollado por IBM.
• UNICODE: Se utiliza para el manejo de fuentes en el procesamiento de palabras, definido por ISO 10646.

BCD - Binary Code Digit

• Facilita la relación entre números decimales (base 10) y su correspondiente valor en binario (base 2).
• A diferencia del binario puro (potencias de 2), los códigos BCD se basan en una tabla que muestra los números decimales del 0 al 9 y sus correspondientes "traducciones" en BCD.
• Tipos de BCD:
  • BCD puro
• BCD Puro: Binary Code Digit
  • Es un estándar para representar números decimales en sistema binario, donde cada dígito decimal se codifica con una secuencia de 4 bits.
• BCD Exceso 3: Se obtiene sumando 3 a cada combinación del BCD natural.
  • Su característica de simetría lo hace muy útil en operaciones de resta y división.
• Código BCD Aiken
  • Código BCD con una distribución diferente.
  • Los pesos son: 2 - 4 - 2 - 1.
  • Útil para realizar operaciones de resta y división.

Redundantes - Código Gray

• Es un tipo especial de código binario no ponderado, los dígitos que componen el código no tienen un peso asignado.
• Entre cualquier combinación de dígitos y la siguiente, solo hay una diferencia de un dígito (bit).
  • Ventajas en la transmisión de datos y diseño de circuitos.
• Es llamado Código progresivo o cíclico.
  • La progresión también sucede entre la última y la primera combinación.
• La característica de cambiar solo un dígito asegura menos posibilidades de error.

Códigos de Hamming

• Conjunto de códigos correctores en k dígitos binarios. Permiten identificar dos operaciones:
  • Construcción (en el emisor).
  • Interpretación (en el receptor).
• Las combinaciones posibles, por lo que no se pueden detectar errores.

Construcción

• Se parte de n dígitos de distancia mínima uno.
• Los n dígitos son "dígitos de datos".
• Se añaden p (cp-1 ... c1, c0) dígitos de control o paridad.
• El nuevo código tiene una longitud de palabra de l = n + p.

Interpretación

• Se comprueba si la combinación recibida es correcta, detectando el dígito que varió en transmisión.
• Los p dígitos añadidos actúan como dígitos de control, formando una palabra binaria.

Representación de Números Reales

• El estándar IEEE 754 define representaciones para números de coma flotante con precisión simple (32 bits) y doble (64 bits). Las representaciones son las que utilizan los procesadores de la familia x86.

Representación de 32 bits

• El bit más significativo almacena el signo de la mantisa.
• Los siguientes 8 bits guardan la representación del exponente.
  • Los restantes 23 bits almacenan la mantisa.
• El exponente se representa en "exceso 127", con un desplazamiento de 127. Pasos a tener en cuenta: Se separa el signo y se representa en el bit de signo.
• Se normaliza el número en binario.
• Se calcula un exponente sesgado.
• Se omite el primer "1" de la mantisa y se representa el número.

Representación de Doble Precisión

• El bit más significativo se utiliza para almacenar el signo de la mantisa, los siguientes 11 bits representan el exponente, y los 52 bits restantes representan la menatista.
• El exponente se representa en exceso de 11 bits.

Mantisa Normalizada

• Se tiene una mantisa normalizada con un bit entero y los restantes fraccionarios, con la forma "1,X", donde X es el valor de bits.
• Se tiene un bit implícito: el dígito 1 entero, está oculto y no se almacena en la representación, permitiendo así ganar precisión.

Circuitos Lógicos y Digitales - Introducción al Álgebra de Boole

• Un sistema es un conjunto de elementos relacionados que a su vez forman un sistema (subsistema). Los sistemas electrónicos se clasifican en:
  • Electrónicos
    • Analógicos
    • Digitales
      • Combinacionales.
      • Secuenciales.

Sistemas Digitales

• Es aquel cuyos elementos son digitales, solo adoptan valores discretos.
• Los Sistemas Digitales necesitan de un álgebra binaria.
• El álgebra de Boole (George Boole 1854), es la más apropiada para el estudio.
• Claude Shannon (1938) adaptó el álgebra para la aplicación en sistemas digitales.

George Boole

• Matemático inglés que definió un tipo de álgebra con valores verdaderos o falsos, con designados por 0 y 1.
• Los símbolos NO representan números, sino dos estados diferentes como encendido/apagado o abierto/cerrado.

Circuitos Lógicos y Digitales - Postulados y Teoremas

• Es útil definir la bivalente, compuesta por dos elementos.
• El álgebra es un conjunto de elementos binarios relacionados por operaciones lógicas producto [.] y suma [+].
  • Suma lógica
  • Producto lógico
  • Negación lógica

Álgebra de Boole - Operaciones Básicas

• Suma Lógica (OR): Denominado "O". Es la operación donde 0 + 0 =0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1,1 + 1 = 1
• Producto Lógico (AND) Denominado "Y". Es la operación donde 0 Y 0 =0, 0 Y 1 = 0, 1 Y 0 = 0, 1 Y 1 = 1
• Negación Lógica (NOT): Denominado "N". Es la operación donde N = 0, sino 1, o N=1, sino 0.

Álgebra de Boole - Reglas

• Respecto a la Suma - OR
  • A + 0 = A
  • A + 1 = 1
  • A + A = A
  • A + A' = 1
• Respecto al Producto - AND
  • A * 0 = 0
  • A * 1 = A
  • A * A = A
  • A * A' = 0
• Respecto a la Negación - NOT
• Α = Α
• A + B = A * B (ley de Morgan)
• A * B = A + B (ley de Morgan)

Universalidad de Compuertas NAND y NOR

• Compuertas "universales" puesto que familias pueden realizar todas las funciones lógicas.
• Operadores lógicos se muestran en función de solo compuertas NOR y NAND.

Compuertas lógicas

• XOR y XNOR

XOR

• OR Exclusiva

XNOR

• Simbolo logiro

Simplificación de Funciones Karnaugh

• Maurice Karnaugh ideó un método para minimizar funciones lógicas mediante tablas o mapas del estado de variables.

• Este método es recomendable para sistemas que usan un número de variables comprendidas entre 2 o 5 variables.

• Para aplizar la simplificación primero es necesario hacer una tabla de verdad del circuito lógico a simplificar. Dibujar una tabla con tantas casillas como 2 siendon la cantidad de variables del circuitito

• Para 2 variables la tabla debe tener 4 casillas, para 3 variables 8 casillas y para 4 variables 16 casillas.

• Agrupar UNOS en grupos de 1, 2, 4, 8, 16

• La agrupación debe ser la mayor posible de unos

• Las agrupaciones se hacen en vertical u horizontal

• Nunca se agrupar grupos de 3 o 5 unos.

Formas Normales o Canónicas de una Función Booleana

• Las formas canónicas están formadas por términos canónicos:
• Se caracterizan porque todas las variables (complementadas o nó) aparecen en cada uno de ellos.
• Pueden ser sumas canónicas o productos canónicos.
• Las formas canónicas reciben los de: primera y segunda forma canónica.

Primera forma

• Es una suma de productos canónicos.

Segunda forma

• Es un producto de sumas canónicas.

Minitérminos

• Términos de la primera forma canónica (productos canónicos).
• Las variables lógicas están relacionadas por el producto lógico "." y a su vez están sumados.

Maxitérminos

• Términos de la segunda forma canónica (sumas canónicas).
• Las variables lógicas están relacionadas por "+", y a vez están multiplicados.

Función Booleana

• Puede representarse algebraicamente formando la suma de los minitérminos o el producto maxterms

Sistemas Digitales

• Conjunto de elementos binarios relacionados.
• Se distinguen dos tipos de variables:
  • Variables en la entrada.
    • Funcionalmente, se dividen en variables de proceso y de control.
  • Variables que salen.

Sistemas Combinacional

• Se combinan variables y Vector de salida, se trata de un sistema combinacional.
• En el diagrama de entrada se repite la salida.

Sistemas Secuenciales

• En este sistema no se repite un Vector de salida.
• Deben poseer una memoria interna ya que las salidas son consecuencia de los principios de sus entradas.

Circuitos combina

• Salidas son otras funcione de las entra.

Circuito combinacional

• Salidas no son otra cosa que funciones lógicas.

Escala de integración

• SSI: máximo 10 puertas logicas
  • MSI: máximo 100 puertas logicas
• LSI: máximo 1000 puertas logicas
• VLSI: 1000 puertas logicas
• Las funciones logicas muy comple son el Cl mas adecuado.

Las Tecnicas Cl mas complejos permite el diseño la implementacion. Por ejempo el MSI de hasta 100 puertas.

• El MSI y los bloques funcionales pueden aplicarse a la implementaciones lógicas de muchas variables, lo que permite disminuir las ventajas de los CI necesarios .

MSI

• Los Cl necesarios con dismunicion de tiempo

Circuitos de comunicacion

• multiplexores codicadores demultiplexadores, combertidores

Circuitos aritmeticos

• comparadores sumadores restadores multiplicadores suponganse si se desea sumar dos numeros binarios de mas de un bis Ay B ,
• Integramos Semisumadores

Restador

• En la redta binaria debe recordarse el convenio
• Si no seria el circuito para realisar la resta

Comparador

• Comperador y realisa comporasion de bit

Detector se pariedad

• Detectary correjir y evitar la retranmicion
• Distincia la cantida de diferente de dos de
• Entradas salidad activa 1 - Salida.

Repaso de los fundamentos del álgebra de Boole, incluyendo operadores lógicos y simplificación de funciones. Se exploran compuertas lógicas universales como NAND y NOR. También se discuten códigos digitales como ASCII, EBCDIC y UNICODE.