Matematicas I: Geometría plana 2.1 (uex- educacion primaria)
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Questions and Answers

¿Qué propiedad tiene un ángulo obtuso?

  • Mide exactamente 90°
  • Mide más de 0° pero menos de 90°
  • Mide exactamente 180°
  • Mide más de 90° pero menos de 180° (correct)

    • ¿Cómo se define un ángulo cóncavo?

  • Mide exactamente 360°
  • Mide más de 180° pero menos de 360° (correct)
  • Mide exactamente 90°
  • Mide menos de 180°

    • Los ángulos complementarios se caracterizan por:

  • Sumar 180°
  • Sumar 90° (correct)
  • Ser iguales
  • Ser consecutivos

    • ¿Qué condición debe cumplir una bisectriz?

    <p>Dividir un ángulo en dos partes iguales</p> Signup and view all the answers

    Los ángulos opuestos por el vértice son:

    <p>Iguales en medida</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se clasifican los ángulos consecutivos?

    <p>Tienen un lado común y el mismo vértice</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué propiedad comparten dos ángulos conjugados?

    <p>Sumar 360°</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la medida de un ángulo nulo?

    <p>0°</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el resultado de sumar los ángulos 56º 20' 40" y 37º 42' 15"?

    <p>94º 02' 55&quot;</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se concluye si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos correspondientes son iguales?

    <p>Las rectas son paralelas.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué significa que los ángulos alternos internos son congruentes?

    <p>Son iguales.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el resultado de restar 125º 15' 30" menos 24º 50' 40"?

    <p>100º 24' 50&quot;</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué forma un ángulo recto al bisecar dos ángulos suplementarios adyacentes?

    <p>Un ángulo de 90 grados.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se establece sobre los ángulos exteriores si los ángulos alternos internos son congruentes?

    <p>Son suplementarios.</p> Signup and view all the answers

    Si los ángulos suplementarios son de 70º y 110º, ¿cuál es la medida de cada bisectriz?

    <p>85º cada una.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se entiende por figura convexa?

    <p>Una figura donde todos los segmentos que unen puntos dentro de la figura permanecen dentro de la figura.</p> Signup and view all the answers

    Si dos rectas son paralelas, ¿qué ocurre al ser cortadas por una transversal?

    <p>Los ángulos correspondientes son iguales.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se define una figura cóncava?

    <p>Una figura que contiene al menos un segmento que no permanece dentro de ella.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el resultado de dividir un plano con dos rectas secantes?

    <p>El plano se divide en cuatro partes.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué es un semiplano cerrado?

    <p>La unión de una recta y una de las dos regiones que crea.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué ocurre con el segmento PQ si P pertenece a un subconjunto y Q a otro, según el axioma de partición?

    <p>El segmento PQ intersecta a la recta r en algún punto.</p> Signup and view all the answers

    ¿En cuántas partes queda dividido un plano al quitarle dos rectas paralelas?

    <p>Tres partes.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se entiende por la circunferencia en el contexto de curvas cerradas?

    <p>Una curva cerrada donde todos los puntos están a la misma distancia de un centro.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuántas partes quedan divididas al retirar tres rectas concurrentes de un plano?

    <p>Seis partes.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el eje principal del estudio en geometría?

    <p>La descripción, clasificación y estudio de propiedades de figuras geométricas.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué son los axiomas en geometría?

    <p>Principios auto-evidentes que no requieren demostración.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué establece el primer postulado de Euclides?

    <p>Que es posible trazar una línea entre dos puntos.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se considera un axioma de igualdad?

    <p>Si A es igual a B, entonces A más C es igual a B más C.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué es un poliedro en el contexto de la geometría?

    <p>Un sólido tridimensional con múltiples caras planas.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se clasifican los elementos básicos de las figuras geométricas?

    <p>En puntos, líneas, y planos.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué significa la transitividad en los axiomas?

    <p>Que dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se entiende por los 'Elementos de Euclides' en geometría?

    <p>Son definitivos, axiomas y postulados que forman la base de la geometría.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el axioma que establece que por dos puntos distintos pasa una única recta?

    <p>Axioma de determinación de rectas</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se considera un punto en geometría?

    <p>Un objeto sin dimensiones que indica un lugar</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuándo se considera que tres puntos son alineados?

    <p>Cuando existe una recta que pasa por ellos</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué define una figura geométrica según los axiomas?

    <p>Un conjunto cerrado de puntos delimitados por líneas</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál de los siguientes postulados se relaciona con los ángulos rectos?

    <p>Todos los ángulos rectos son iguales entre sí</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué establece el axioma de existencia del plano?

    <p>Los puntos se agrupan en conjuntos parciales llamados planos</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué es una circunferencia según los axiomas geométricos?

    <p>El conjunto de puntos equidistantes de un punto central</p> Signup and view all the answers

    Al prolongar indefinidamente dos rectas que intersectan de tal modo que los ángulos interiores del mismo lado suman menos de dos rectos, ¿qué sucede?

    <p>Se cortan en el lado donde se encuentran los ángulos interiores</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué determina una recta y un punto exterior?

    <p>Un plano</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se llaman dos rectas que tienen un único punto en común?

    <p>Rectas secantes</p> Signup and view all the answers

    Si dos rectas son coplanares y no tienen puntos en común, ¿qué relación tienen?

    <p>Son paralelas</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué es un segmento concatenado?

    <p>Segmentos que comparten un extremo</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la característica de una curva simple?

    <p>No tiene auto-intersección</p> Signup and view all the answers

    Si las rectas r y s no son coplanares, ¿cómo se denominarán?

    <p>Alabeadas</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se entiende por un haz de rectas?

    <p>Conjunto de rectas que pasan por un mismo punto</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué es una curva simple cerrada?

    <p>Curva que forma un bucle cerrado</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Tema 2: Geometría Plana

    • La geometría plana estudia las figuras geométricas en un plano.
    • Se divide en 3 partes: componentes elementales de las figuras geométricas, curvas y polígonos en el plano y teorema de Thales y poliedros.
    • El significado etimológico de la palabra geometría es "medida de la tierra".

    ¿Geometría?

    • Su origen fue práctico, relacionado a las actividades de reconstrucción de los límites de las parcelas de terreno que tenían que hacer los egipcios después de las inundaciones del río Nilo.

    Elementos de Euclides

    • Los Elementos de Euclides consisten en definiciones, axiomas, postulados, teoremas, construcciones y demostraciones.
    • Los axiomas responden a la realidad y son auto-evidentes.
    • Definición y demostración son las dos operaciones fundamentales para el desarrollo de una teoría deductiva.

    Axiomas (Nociones Comunes)

    • Un axioma es una proposición tan clara y evidente que es aceptable sin demostración.

    • En matemáticas, los axiomas son los principios indemostrables sobre los que se construye una teoría mediante un razonamiento deductivo.

    • Se presentan 5 axiomas:

      • Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. (Transitividad).
      • Si a cosas iguales se les añaden iguales, los resultados son iguales.
      • Si a cosas iguales se sustraen cosas iguales, los resultados son iguales.
      • Las cosas que se superponen entre sí son iguales entre sí.
      • El total es mayor que una parte.

    Postulados

    • Se listan 5 postulados:

      • Dados dos puntos, siempre existe una recta que pasa por ellos.
      • Toda línea recta finita puede extenderse indefinidamente en la misma dirección.
      • Con un punto como centro y cualquier radio dado se puede trazar una circunferencia.
      • Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. -Si una recta corta a otras dos de tal modo que los ángulos interiores del mismo lado sumen menos de dos rectos, al prolongar indefinidamente estas dos rectas, se cortan en ese mismo lado.

    Conceptos Primarios de la Geometría

    • Los elementos básicos de la geometría plana son el punto, la recta, el plano y el espacio.
    • Punto: El objeto más pequeño del espacio, sin dimensiones.
    • Recta: Sucesión de puntos, con una dimensión.
    • Plano: Formado por varias líneas consecutivas unidas entre sí, con dos dimensiones.
    • Espacio: Ocupa un lugar en el espacio, con tres dimensiones.

    Axiomas de Existencia

    • El punto es un objeto geométrico sin dimensiones que indica un lugar en el espacio.
    • Se reconoce la existencia de infinitos puntos que forman el espacio.
    • Tres puntos no alineados determinan un plano.

    Axiomas de Existencia del Plano

    • Los puntos del espacio se agrupan en conjuntos parciales de infinitos puntos llamados planos.
    • Tres puntos no alineados determinan un plano.
    • Se define a las figuras planas como subconjuntos o partes de un plano.

    Axiomas de Existencia de Rectas

    • Las rectas son subconjuntos de un plano formados por infinitos puntos.
    • Dos puntos distintos determinan una única recta.
    • Tres o más puntos son colineales si están contenidos en una recta.

    Teoremas

    • Una recta y un punto exterior determinan un plano.
    • Dos rectas distintas que tienen un solo punto en común determinan un plano.
    • Si un punto pertenece a dos planos, entonces existe una recta que contiene al punto y a los dos planos.

    Posiciones Relativas de Rectas

    • Rectas secantes: Dos rectas que tienen un único punto en común.
    • Rectas paralelas: Dos rectas que no tienen ningún punto en común.
    • Haz de rectas: Conjunto de todas las rectas que pasan por un punto, con ese punto como base del haz.

    Posiciones Relativas de Rectas Coplanares

    • Rectas secantes: Rectas que tienen un punto en común.
    • Rectas paralelas: Rectas que no tienen ningún punto en común.
    • Rectas coincidentes: Son la misma recta.
    • Rectas alabeadas: No están en el mismo plano.

    Cuadro Resumen de Relaciones entre Líneas Rectas

    • Se resumen diferentes tipos de relaciones entre rectas, incluyendo rectas paralelas, secantes, oblicuas y perpendiculares, así como rectas coincidentes y rectas que se cruzan pero no se cortan.

    Ejemplos en la Vida Real

    • Se dan ejemplos de rectas paralelas, secantes y perpendiculares en el mundo real.

    Tipos de Rectas

    • La sección describe diferentes tipos de rectas.

    Segmentos

    • Un segmento es la intersección de dos semirrectas que comparten un mismo origen.
    • Existen segmentos concatenados donde el único punto en común es un extremo.
    • Los segmentos consecutivos están concatenados y en la misma recta.

    Curvas

    • Una curva es una línea continua que varía de dirección gradualmente.
    • Una curva simple no tiene auto-intersecciones.
    • Una curva simple cerrada es una curva simple que forma un bucle cerrado.
    • El interior y exterior de una curva simple cerrada se denominan regiones.

    Figuras Cóncavas y Convexas

    • Figura convexa: Un segmento entre dos puntos cualesquiera de la figura está completamente contenido en la figura.
    • Figura cóncava: Al menos un segmento entre dos puntos de la figura no está completamente contenido en la figura.
    • Circunferencia: Curva cerrada, convexa, donde todos sus puntos están a la misma distancia de un punto central llamado centro, a esa distancia se le llama radio.

    Axioma de Partición del Plano por una Recta

    • Una línea recta divide un plano en dos semiplanos.
    • Un semiplano cerrado es la unión de la recta borde con la figura de uno de los semiplanos.

    Axioma de Partición del Plano por una Recta.

    • Para toda recta en un plano, hay dos subconjuntos del plano.
    • Si dos puntos están en el mismo subconjunto, el segmento que los une está contenido en el subconjunto.
    • Si uno de los puntos está en un subconjunto y el otro en el otro, el segmento que los une interseca a la recta en un punto.

    Cuántas Partes de un Plano al Quitarle Rectas

    • Se calcula el número de regiones en las que un plano queda dividido al quitarle diferentes números de rectas.

    Matices y Dificultades sobre el concepto de Ángulo

    • Se describe que el concepto de ángulo puede ser difícil para los estudiantes.
    • Se presenta un ejemplo de las dificultades que pueden tener los estudiantes al definir el ángulo.

    ¿Cuánto mide este ángulo?

    • Se recalca que esta pregunta no tiene una respuesta única.
    • Se puede usar medidas aproximadas, o indicar varias medidas validas.

    Conceptualización de Ángulo en los Elementos de Euclides

    • Se proporciona las definiciones para el concepto de ángulo.

    Ángulo como Región del Plano

    • Se define un ángulo como el conjunto de puntos comunes a dos semiplanos, cuyos contornos se encuentran en un solo punto.
    • Se define un ángulo convexo como la intersección de dos semiplanos.

    Regiones Angulares y Ángulos

    • Región angular: intersección de dos semiplanos cuyas rectas bordes son secantes.
    • Vértice: punto de intersección de las rectas borde.
    • Lados: semirrectas intersección de cada semiplano con la recta borde del otro.

    Ángulo como Par de Líneas

    • Se define un ángulo como la parte del plano formada por dos semirrectas que tienen un origen común o dos rectas que se cortan.

    Ángulo como Región del Plano

    • Se discute cómo se diferencian los dos ángulos que se forman en un vértice, y cómo se define un ángulo negativo.

    Ángulo como Giro

    • Se define un ángulo como la cantidad de inclinación entre dos líneas o como la cantidad de rotación requerida para girar uno de los lados del ángulo hasta que coincida con el otro lado, tomando el vértice como centro de giro.

    Definiciones Intuitivas de Ángulo

    • Se definen los conceptos de ángulo usando una perspectiva dinámica (como el giro de una flecha), y como una perspectiva estática (como un rincón)

    Matices y Dificultades sobre el Concepto de Ángulo - Medida

    • Se discute las ideas preconcebidas que pueden tener los estudiantes en la medida de ángulos.
    • Se destaca que asumir que la medida del ángulo no depende de la longitud de las rectas que lo definen, y que se usan instrumentos específicos para medir la amplitud.

    Medidas de Ángulos

    • Describe qué se mide cuando nos referimos al tamaño de un ángulo.
    • Si los ángulos pueden incluir curvas.

    Medidas de Ángulos - Visión Dinámica y Estática

    • Explica cómo concebir la medida de un ángulo mediante su visión dinámica y estática.
    • La visión dinámica se basa en la rotación y orientación.
    • La visión estática se centra en la fracción de círculo ocupada.

    Grado Sexagesimal

    • El ángulo completo (360°) se divide en 360 partes iguales, cada parte se llama grado sexagesimal.
    • Se usa el grado sexagesimal, los minutos y segundos (a partir de 60).

    Medidas con Transportador

    • Guía paso a paso para medir ángulos usando transportador.
    • Se indica que hay dos tipos de transportadores, un circular completo y un semicircular.
    • Se explica cómo medir los ángulos con un transportador circular y cómo medir ángulos cóncavos con un transportador semicircular

    Medidas con Transportador - Ángulos Cóncavos

    • Explica cómo medir un ángulo cóncavo utilizando un transportador circular completo.
    • Da pasos para medir el ángulo cóncavo utilizando un transportador semicircular.

    Otras formas de medir ángulos sin transportador

    • Se describe cómo usar una escuadra o un cartabón para medir ángulos.

    ¿Cuánto miden los siguientes ángulos?

    • Se muestra una serie de figuras con ángulos y se pregunta por la medida de cada uno de ellos.

    Tipos de Relaciones entre Ángulos

    • Se describen relaciones entre ángulos según sus medidas y posiciones relativas.

    Clasificación según su Posición

    • Ángulos consecutivos: tienen un lado en común y el mismo vértice.
    • Ángulos adyacentes: son consecutivos y el lado no común está sobre una recta.
    • Ángulos opuestos por el vértice: tienen el mismo vértice y los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

    Clasificación según su Relación de Medidas

    • Ángulos congruentes: tienen la misma medida.
    • Ángulos complementarios: suman 90°.
    • Ángulos suplementarios: suman 180°.
    • Ángulos conjugados: suman 360°.

    Bisectriz

    • La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que divide el ángulo en dos ángulos de igual medida.
    • La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo.

    Ángulos en la Circunferencia

    • Ángulo central: vértice en el centro de la circunferencia.
    • Ángulo inscrito: vértice en la circunferencia.
    • Relación: El ángulo central es el doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco.

    Arco Capaz

    • El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales un segmento se ve con un ángulo dado.
    • Si los puntos de corte de los lados del arco con la circunferencia están en la diagonal, el arco capaz es de 90°.

    Relación entre el Arco Capaz y el Ángulo Central

    • El ángulo central es el doble del ángulo que ve un arco capaz cualquiera.

    Operaciones con Ángulos

    • Las operaciones con ángulos generalmente se realizan usando grados sexagesimales, centesimales o radianes.
    • Se describen operaciones con ángulos.

    Suma de Ángulos

    • Gráficamente, la suma de dos ángulos se obtiene uniéndolos de manera consecutiva.
    • Aritméticamente, la suma de las medidas se calcula sumando las medidas.

    Resta de Ángulos

    • Gráficamente, se colocan los ángulos de manera que el lado origen coincida y el vértice sea común.
    • Aritméticamente, la resta de ángulos implica restar las medidas.

    Operaciones con Ángulos - Sumas y Restas

    • Instrucciones y ejemplos de suma y resta de ángulos con grados, minutos y segundos.

    Línea Poligonal

    • Se define una línea poligonal como una sucesión de segmentos concatenados.
    • Se habla de lados, vértices, líneas poligonales cerradas y abiertas.
    • El perímetro de una línea poligonal cerrada es la suma de las longitudes de sus lados.

    Polígonos

    • Un polígono es una figura geométrica delimitada por una línea poligonal cerrada.
    • Los lados, vértices y ángulos de la línea poligonal cerrada definen los lados, vértices y ángulos del polígono.
    • La medida de un polígono es su área.
    • Se listan diferentes tipos de polígonos por el número de lados.

    Polígonos - Regularidad, Radio y Apotema

    • Polígono regular: todos los lados y ángulos son iguales.
    • Centro: un punto que equidista de todos los vértices y lados.
    • Radio: segmento que conecta el centro al vértice.
    • Apotema: segmento que conecta el centro de un polígono al punto medio de un lado, perpendicular al lado.

    Polígonos - Convexidad y Concavidad

    • Polígonos convexos: cualquier segmento entre dos puntos cualesquiera queda dentro del polígono.
    • Polígonos cóncavos : al menos un segmento entre dos puntos cualquiera del polígono queda fuera del polígono.
    • Una diagonal es un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

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