Plan de Trabajo de Matemáticas

Plan de Trabajo del Estudiante (Plan de Estudio del Estudiante)

Información General

• El plan de trabajo está diseñado para [Nombre del estudiante] en la materia de Matemáticas
• El objetivo principal es mejorar la comprensión de conceptos matemáticos y la resolución de problemas

Objetivos Específicos

• Dominar operaciones básicas con números reales (suma, resta, multiplicación y división).
• Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas.
• Entender y aplicar conceptos de geometría básica.
• Desarrollar razonamiento lógico y habilidades para resolver problemas.

Cronograma de Actividades

• El cronograma detalla los temas, actividades, recursos y evaluaciones semanales a lo largo de 8 semanas.
• Los temas incluyen números reales, ecuaciones lineales y cuadráticas, y geometría básica.
• Las actividades comprenden repasos, estudios, resolución de problemas y ejercicios.
• Los recursos incluyen libros de texto, ejercicios y videos en línea, calculadoras, reglas, compases y transportadores.
• Las evaluaciones incluyen cuestionarios, exámenes cortos, talleres prácticos y un proyecto de resolución de problemas.
• El examen final tiene un peso del 50% de la calificación, el proyecto de resolución de problemas tiene un peso del 50% de la calificación.

Semana 1: Números Reales

• Tema: Operaciones y propiedades (suma, resta, multiplicación, división).
• Actividades: Repaso de operaciones básicas, estudio de propiedades.
• Recursos: Libro de texto, ejercicios en línea.
• Evaluación: Cuestionario sobre operaciones y propiedades.

Semana 2: Ecuaciones lineales

• Tema: Resolución de ecuaciones lineales con una incógnita.
• Actividades: Planteamiento y resolución de problemas.
• Recursos: Libro de texto, ejercicios en línea, videos explicativos.
• Evaluación: Examen corto sobre resolución de ecuaciones lineales y problemas.

Semana 3: Ecuaciones Cuadráticas

• Tema: Resolución por factorización, fórmula general y completando el cuadrado.
• Actividades: Resolución de ecuaciones.
• Recursos: Libro de texto, ejercicios en línea, calculadora.
• Evaluación: Examen corto.

Semana 4: Geometría Básica (Ángulos y Triángulos)

• Tema: Estudio de ángulos y sus propiedades, clasificación de triángulos, Teorema de Pitágoras.
• Actividades: Resolución de problemas de geometría.
• Recursos: Libro de texto, regla, compás, transportador.
• Evaluación: Taller de resolución de problemas.

Semana 5: Geometría Básica (Figuras Planas y Áreas)

• Tema: Cálculo de áreas de cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos.
• Actividades: Cálculo de áreas de figuras planas.
• Recursos: Libro de texto, regla, calculadora.
• Evaluación: Examen práctico de cálculo de áreas.

Semana 6: Razonamiento Lógico y Resolución de Problemas

• Tema: Resolución de problemas usando conceptos aprendidos y estrategias de resolución.
• Actividades: Uso de conceptos matemáticos aprendidos para resolver problemas y estrategias de resolución.
• Recursos: Libro de texto, ejercicios en línea, problemas de práctica.
• Evaluación: Presentación de un proyecto de resolución de problemas.

Semanas 7 y 8: Repaso General y Examen Final

• Tema: Repaso de todos los temas vistos.
• Actividades: Resolución de dudas.
• Recursos: Libro de texto, apuntes, ejercicios de repaso.
• Evaluación: Examen final (50% de la calificación final), entrega de proyecto (50% de la calificación final).

Recursos Adicionales

• Tutorías personalizadas.
• Grupos de estudio.
• Material de apoyo en línea.

Criterios de Evaluación

• Exámenes cortos: 20%
• Talleres y proyectos: 30%
• Examen final: 50%

Compromisos del Estudiante

• Asistir a clases y tutorías.
• Realizar actividades y tareas.
• Estudiar de forma constante.
• Participar en clase y en grupos de estudio.
• Buscar ayuda cuando sea necesario.

Métodos Cuantitativos

Información del Examen

• Examen a libro cerrado.
• Se permite una calculadora científica (no un teléfono).
• Duración: 2 horas.
• Total: 100 puntos.
• Responder a todas las preguntas.
• Mostrar el procedimiento.
• La hoja de fórmulas está al final.

Pregunta 1

• Una empresa produce caramelos.
• El peso se distribuye normalmente con una media de 10g y desviación estándar de 0.5g.

Pregunta 1(a)

• Determinar la proporción de caramelos con peso superior a 11g.
• Sea $X$ el peso de un caramelo.
• $X \sim N(10, 0.5^2)$.
• $P(X > 11) = P(Z > \frac{11-10}{0.5}) = P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$.

Pregunta 1(b)

• Determinar la proporción de caramelos con peso inferior a 9.5g.
• $P(X < 9.5) = P(Z < \frac{9.5 - 10}{0.5}) = P(Z < -1) = 0.1587$.

Pregunta 1(c)

• Se introduce un caramelo "gigante" que pesa más que el 99% de los caramelos estándar.
• Determinar el peso mínimo de un caramelo "gigante".
• $P(X < x) = 0.99$.
• $P(Z < z) = 0.99$ implica que $z = 2.33$.
• $z = \frac{x - 10}{0.5} = 2.33$.
• $x = 10 + 2.33 \times 0.5 = 11.165$.

Pregunta 1(d)

• Los caramelos se venden en paquetes de 5.
• Determinar la probabilidad de que el peso medio de los caramelos en un paquete sea inferior a 9.75g.
• Sea $\bar{X}$ el peso medio de los caramelos en un paquete.
• $E[\bar{X}] = 10$.
• $Var[\bar{X}] = \frac{0.5^2}{5} = 0.05$.
• $\bar{X} \sim N(10, 0.05)$.
• $P(\bar{X} < 9.75) = P(Z < \frac{9.75 - 10}{\sqrt{0.05}}) = P(Z < -1.118) = 0.1318$.

Pregunta 2

• Una empresa ofrece un servicio de reparto.
• El tiempo necesario para entregar un paquete se distribuye uniformemente entre 0 y 40 minutos.

Pregunta 2(a)

• Escribir la función de densidad de probabilidad del tiempo de entrega.
• $f(x) = \frac{1}{40}$ para $0 \le x \le 40$.

Pregunta 2(b)

• Determinar la probabilidad de que una entrega tarde más de 30 minutos.
• $P(X > 30) = \frac{40 - 30}{40} = \frac{10}{40} = 0.25$.

Pregunta 2(c)

• Determinar el tiempo de entrega esperado.
• $E[X] = \frac{0 + 40}{2} = 20$.

Pregunta 2(d)

• Determinar la varianza del tiempo de entrega.
• $Var[X] = \frac{(40 - 0)^2}{12} = \frac{1600}{12} = 133.33$.

Pregunta 3

• Un investigador de mercado pregunta a la gente si les gusta la pizza y si les gusta el helado.
• 60% de las personas les gusta la pizza.
• 80% de las personas les gusta el helado.
• 20% de las personas les gusta tanto la pizza como el helado.

Pregunta 3(a)

• Determinar la proporción de personas a las que les gusta la pizza o el helado o ambos.
• $P(P \cup I) = P(P) + P(I) - P(P \cap I) = 0.6 + 0.8 - 0.2 = 1.2$ incorrecto
• $P(P \cup I) = 0.6 + 0.8 - 0.2 = 1.2$ Sin embargo, la probabilidad no puede exceder 1, por lo tanto:
• $P(P \cup I) = 1$

Pregunta 3(b)

• Determinar la proporción de personas a las que no les gusta la pizza y no les gusta el helado.
• $P(P' \cap I') = 1 - P(P \cup I) = 1 - (0.6 + 0.8 - 0.2) = 1 - 1.2 = -0.2$ incorrecto
• $P(\text{no } P \text{ y no } I) = 1 - P(P \cup I) = 1 - (0.6 + 0.8 - 0.2) = 1 - 1.2 = -0.2$. Sin embargo, la probabilidad no puede ser menor que cero, por lo tanto:
• $P(\text{no } P \text{ y no } I) = 0$.

Pregunta 3(c)

• ¿Son eventos independientes que guste la pizza y que guste el helado?
• $P(P \cap I) = 0.2$.
• $P(P) \times P(I) = 0.6 \times 0.8 = 0.48$.
• Dado que $P(P \cap I) \ne P(P) \times P(I)$, los eventos no son independientes.

Pregunta 3(d)

• ¿Son eventos mutuamente excluyentes que guste la pizza y que guste el helado?
• $P(P \cap I) = 0.2$
• Dado que $P(P \cap I) \ne 0$, los eventos no son mutuamente excluyentes

Pregunta 4

• Una empresa está realizando una campaña publicitaria.
• Antes de la campaña, el 10% de las personas reconocen la marca.
• Después de la campaña, la compañía encuesta a 20 personas y encuentra que 4 de ellas reconocen la marca.

Pregunta 4(a)

• Establecer la hipótesis nula.
• $H_0: p = 0.1$

Pregunta 4(b)

• Establecer la hipótesis alternativa.
• $H_1: p > 0.1$

Pregunta 4(c)

• Calcular el valor p.
• $X \sim B(20, 0.1)$.
• $P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) = 1 - 0.8670 = 0.1330$.

Pregunta 4(d)

• Con un nivel de significación del 5%, ¿cuál es su conclusión?
• Dado que $0.1330 > 0.05$, no rechazamos la hipótesis nula. No hay suficiente evidencia para concluir que la campaña ha tenido éxito.

Pregunta 5

• Una empresa quiere saber si los salarios son diferentes en dos de sus oficinas.
• La compañía toma una muestra aleatoria de los salarios de cada oficina.

Tabla de Resultados

Pregunta 5(a)

Poner a prueba a un nivel del 5% si el salario medio es diferente en las dos oficinas.

• $H_0: \mu_A = \mu_B$.
• $H_1: \mu_A \ne \mu_B$
• $t = \frac{\bar{x}_A - \bar{x}_B}{\sqrt{\frac{s_A^2}{n_A} + \frac{s_B^2}{n_B}}} = \frac{35000 - 38000}{\sqrt{\frac{5000^2}{12} + \frac{6000^2}{15}}} = \frac{-3000}{\sqrt{2083333.33 + 2400000}} = \frac{-3000}{\sqrt{4483333.33}} = \frac{-3000}{2117.39} = -1.417$
• Grados de libertad $= n_A + n_B - 2 = 12 + 15 - 2 = 25$.
• Valor crítico al nivel del 5% (bilateral) = 2.060.
• Dado que $|-1.417| < 2.060$, no rechazamos $H_0$. No hay suficiente evidencia para concluir que los salarios medios son diferentes en las dos oficinas.

Hoja de Fórmulas

• Resumen de las fórmulas utilizadas en las preguntas

Ecuaciones Diferenciales Parciales (PDE)

Eliminación de Constantes Arbitrarias

• Para formar una PDE, diferenciar la ecuación dada con respecto a cada variable independiente.
• Eliminar las constantes arbitrarias del sistema de ecuaciones resultante.

Ejemplo: Eliminación Constantes Arbitrarias

• Dada $z = ax + by + ab$, donde $a$ y $b$ son las constantes.
• Derivar parcialmente con respecto a $x$ y $y$ ($p = \frac{\partial z}{\partial x} = a; q = \frac{\partial z}{\partial y} = b $).
• Resulta $z = xp + yq + pq$.

Eliminación de Funciones Arbitrarias

• Diferenciar la ecuación dada con respecto a cada variable independiente.
• Eliminar las funciones arbitrarias del sistema resultante para obtener la PDE.

Ejemplo: Eliminación Funciones Arbitrarias

• Dada $z = f(x^2 + y^2)$.
• Derivar parcialmente con respecto a $x$ y $y$ ($p = \frac{\partial z}{\partial x} = f'(x^2 + y^2) \cdot 2x; q = \frac{\partial z}{\partial y} = f'(x^2 + y^2) \cdot 2y $).
• Resulta $yp = xq$.

Métodos para resolver PDEs lineales de primer orden

• Método de separación de variables.
• Método de Lagrange.

Método de Separación de Variables

• Asumir una solución de la forma $u(x, y) = X(x)Y(y)$.
• Sustituir en la ecuación original y separar las variables.
• Resolver las ODEs resultantes y obtener la solución general.
• Dada $a \frac{\partial u}{\partial x} + b \frac{\partial u}{\partial y} = 0$.
• $u(x, y) = X(x)Y(y) = c e^{k(\frac{x}{a} - \frac{y}{b})}$.

Método de Lagrange

• Considerar la PDE de la forma $Pp + Qq = R$.
• Formar las ecuaciones auxiliares de Lagrange: $\frac{dx}{P} = \frac{dy}{Q} = \frac{dz}{R}$.
• Encontrar dos soluciones independientes $u(x, y, z) = c_1$ y $v(x, y, z) = c_2$.
• La solución general es $F(u, v) = 0$ o $u = f(v)$ o $v = f(u)$.

Ejemplo: Método de logrange

• Dada $y^2 p - xyq = x(z - 2y)$.
• Ecuaciones auxiliares: $\frac{dx}{y^2} = \frac{dy}{-xy} = \frac{dz}{x(z - 2y)}$.
• Soluciones independientes: $u = x^2 + y^2$ y $v = y^2 - yz$.
• Solución general: $F(x^2 + y^2, y^2 - yz) = 0$.

Comparaison de deux approches de l'explication de décisions par I.A. (Comparación de dos enfoques para explicar las decisiones de la IA)

Resumen

• El documento compara dos enfoques para explicar decisiones de IA: LIME (Local Interpretable Model-agnostic Explanations) y Anchors.
• Se centra en la fidelidad, estabilidad e inteligibilidad de cada método.

Introducción

• Se destaca la importancia de la interpretabilidad y explicabilidad en el aprendizaje automático.
• Se compara dos enfoques de explicación: LIME y Anchors.

LIME

• Aproximación local del comportamiento de un modelo complejo mediante un modelo lineal en el vecindario de una instancia.

Funcionamiento de LIME

• Perturbación de datos: Generar datos perturbados alrededor de la instancia de interés.
• Predicción del modelo: Obtener predicciones del modelo complejo para los datos perturbados.
• Ponderación: Calcular pesos basados en la proximidad a la instancia de interés.
• Aprendizaje del modelo interpretable: Entrenar un modelo lineal ponderado para aproximar las predicciones.
• Explicación: Usar los coeficientes del modelo lineal como explicación.

Ventajas de LIME

• Simplicidad y flexibilidad.
• Aplicable a cualquier modelo de "Machine Learning".

Desventajas de LIME

• Inestabilidad.
• Baja Fidelidad.

Anchors

• Identificación de reglas (anclas) que "anclan" la predicción del modelo.
• Reglas que, al cumplirse, garantizan una predicción con alta probabilidad.

Funcionamiento de Anchors

• Selección aleatoria de anclas: Generar conjuntos de condiciones (anclas).
• Estimación de la precisión: Calcular la proporción de predicciones correctas cuando se cumple el ancla.
• Selección de la mejor ancla: Elegir el ancla con mejor precisión y cobertura.
• Iteración: Repetir el proceso para encontrar otras anclas.

Ventajas de Anchors

• Intelligibilidad y precisión.
• Mayor garantía de precisión.

Desventajas de Anchors

• Complejidad computacional.
• Posible falta de cobertura de instancias.

Comparación entre LIME y Anchors

Conclusión

• LIME es simple pero inestable, mientras que Anchors es más complejo pero preciso.
• La elección depende del contexto y requisitos específicos de la aplicación.