การหาฟังก์ชันย้อนกลับ

Function Inverse

• Definition: An inverse function reverses the effect of the original function. If ( f(x) ) is a function, then its inverse, denoted as ( f^{-1}(x) ), satisfies the equation:

  • ( f(f^{-1}(x)) = x )
  • ( f^{-1}(f(x)) = x )

• Existence of Inverse:

  • A function must be bijective (both injective and surjective) to have an inverse.
    • Injective (One-to-One): Different inputs produce different outputs.
    • Surjective (Onto): Every possible output is covered by some input.

• Finding the Inverse:

  1. Replace ( f(x) ) with ( y ).
  2. Swap ( x ) and ( y ).
  3. Solve for ( y ).
  4. Replace ( y ) with ( f^{-1}(x) ).

• Examples:

  • For ( f(x) = 2x + 3 ):
    1. ( y = 2x + 3 )
    2. Swap: ( x = 2y + 3 )
    3. Solve: ( y = \frac{x - 3}{2} )
    4. Inverse: ( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} )

• Graphical Interpretation:

  • The graph of a function and its inverse are symmetric about the line ( y = x ).
  • To find the inverse graphically, reflect the original graph over the line ( y = x ).

• Common Inverse Functions:

  • Linear: ( f(x) = mx + b ) has an inverse ( f^{-1}(x) = \frac{x - b}{m} ).
  • Quadratic: Only has an inverse if restricted to a domain (e.g., ( f(x) = x^2 ) for ( x \geq 0 ) gives ( f^{-1}(x) = \sqrt{x} )).
  • Exponential: ( f(x) = a^x ) has an inverse ( f^{-1}(x) = \log_a(x) ).
  • Logarithmic: ( f(x) = \log_a(x) ) has an inverse ( f^{-1}(x) = a^x ).

• Properties of Inverse Functions:

  • The domain of ( f ) is the range of ( f^{-1} ) and vice versa.
  • If ( f ) is continuous and has an inverse, then ( f^{-1} ) is also continuous.

• Special Considerations:

  • For functions that are not one-to-one, restrict the domain to find a usable inverse.
  • Always verify the inverse by checking the original equations.

ฟังก์ชันผกผัน

• คำจำกัดความ: ฟังก์ชันผกผันจะย้อนผลของฟังก์ชันเดิม หาก ( f(x) ) เป็นฟังก์ชัน จะมีฟังก์ชันผกผัน ( f^{-1}(x) ) ซึ่งทำให้ได้สมการ:
  • ( f(f^{-1}(x)) = x )
  • ( f^{-1}(f(x)) = x )

การมีอยู่ของฟังก์ชันผกผัน

• ฟังก์ชันต้องเป็น ฟังก์ชันสองทาง (bijective) เพื่อที่จะมีฟังก์ชันผกผัน โดยต้องเป็น
  • Injective (หนึ่งต่อหนึ่ง): ค่าอินพุตที่แตกต่างกันให้ค่าเอาต์พุตที่แตกต่างกัน
  • Surjective (ทุกค่า): ทุกค่าเอาต์พุตที่เป็นไปได้จะต้องถูกคลุมด้วยค่าอินพุตบางค่า

วิธีการหาฟังก์ชันผกผัน

• แทนที่ ( f(x) ) ด้วย ( y )
• สลับ ( x ) และ ( y )
• แก้หาค่า ( y )
• แทนที่ ( y ) ด้วย ( f^{-1}(x) )

ตัวอย่าง

• สำหรับ ( f(x) = 2x + 3 ):
  • ( y = 2x + 3 )
  • สลับ: ( x = 2y + 3 )
  • แก้: ( y = \frac{x - 3}{2} )
  • ฟังก์ชันผกผัน: ( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} )

การตีความทางกราฟ

• กราฟของฟังก์ชันและฟังก์ชันผกผันมีความสมมาตรรอบเส้น ( y = x )
• เพื่อหาฟังก์ชันผกผันแบบกราฟ สามารถสะท้อนกราฟเดิมไปยังเส้น ( y = x )

ฟังก์ชันผกผันที่พบบ่อย

• เชิงเส้น: ( f(x) = mx + b ) มีฟังก์ชันผกผัน ( f^{-1}(x) = \frac{x - b}{m} )
• พหุนามกำลังสอง: จะมีฟังก์ชันผกผันได้เฉพาะเมื่อจำกัดโดเมน เช่น ( f(x) = x^2 ) สำหรับ ( x \geq 0 ) จะให้ ( f^{-1}(x) = \sqrt{x} )
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง: ( f(x) = a^x ) มีฟังก์ชันผกผัน ( f^{-1}(x) = \log_a(x) )
• ฟังก์ชันลอกอริธึม: ( f(x) = \log_a(x) ) มีฟังก์ชันผกผัน ( f^{-1}(x) = a^x )

สมบัติของฟังก์ชันผกผัน

• โดเมนของ ( f ) คือช่วงของ ( f^{-1} ) และกลับกัน
• หาก ( f ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีฟังก์ชันผกผัน จะต้องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย

ข้อพิจารณาพิเศษ

• สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง สามารถจำกัดโดเมนเพื่อหาฟังก์ชันผกผันที่ใช้งานได้
• ควรตรวจสอบฟังก์ชันผกผันโดยทดสอบกับสมการดั้งเดิม

ฟังก์ชันย้อนกลับคือการย้อนผลของฟังก์ชันต้นฉบับ โดยฟังก์ชันต้องมีคุณสมบัติ bijective เพื่อที่จะมีฟังก์ชันย้อนกลับ เราจะเรียนรู้วิธีการหาฟังก์ชันย้อนกลับรวมถึงการตีความจากกราฟ.