Questions and Answers
ฟังก์ชัน $f(x)$ จะมีฟังก์ชันอินเวิร์สถ้ามันมีคุณสมบัติอะไรบ้าง?
การหาฟังก์ชันอินเวิร์ส $f(x) = 2x + 3$ ด้วยวิธีการใด?
กราฟของฟังก์ชัน $f(x)$ และฟังก์ชันอินเวิร์สจะมีลักษณะอย่างไร?
ฟังก์ชันอินเวิร์สของ $f(x) = a^x$ คืออะไร?
Signup and view all the answers
ถ้าฟังก์ชัน $f(x)$ เป็นฟังก์ชันสแควร์เกินกว่า 0 ($f(x) = x^2$ สำหรับ $x geq 0$) อินเวิร์สของฟังก์ชันนี้คือ?
Signup and view all the answers
ถ้าฟังก์ชัน $f$ เป็นต่อเนื่องและมีฟังก์ชันอินเวิร์ส มันจะมีคุณสมบัติอย่างไร?
Signup and view all the answers
ลักษณะของฟังก์ชันที่จะมีอินเวิร์สที่ต้องคำนึงถึงคืออะไร?
Signup and view all the answers
เมื่อฟังก์ชัน $f$ ไม่เป็น one-to-one จะทำอย่างไรถึงจะหาฟังก์ชันอินเวิร์สได้?
Signup and view all the answers
Study Notes
Function Inverse
-
Definition: An inverse function reverses the effect of the original function. If ( f(x) ) is a function, then its inverse, denoted as ( f^{-1}(x) ), satisfies the equation:
- ( f(f^{-1}(x)) = x )
- ( f^{-1}(f(x)) = x )
-
Existence of Inverse:
- A function must be bijective (both injective and surjective) to have an inverse.
- Injective (One-to-One): Different inputs produce different outputs.
- Surjective (Onto): Every possible output is covered by some input.
- A function must be bijective (both injective and surjective) to have an inverse.
-
Finding the Inverse:
- Replace ( f(x) ) with ( y ).
- Swap ( x ) and ( y ).
- Solve for ( y ).
- Replace ( y ) with ( f^{-1}(x) ).
-
Examples:
- For ( f(x) = 2x + 3 ):
- ( y = 2x + 3 )
- Swap: ( x = 2y + 3 )
- Solve: ( y = \frac{x - 3}{2} )
- Inverse: ( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} )
- For ( f(x) = 2x + 3 ):
-
Graphical Interpretation:
- The graph of a function and its inverse are symmetric about the line ( y = x ).
- To find the inverse graphically, reflect the original graph over the line ( y = x ).
-
Common Inverse Functions:
- Linear: ( f(x) = mx + b ) has an inverse ( f^{-1}(x) = \frac{x - b}{m} ).
- Quadratic: Only has an inverse if restricted to a domain (e.g., ( f(x) = x^2 ) for ( x \geq 0 ) gives ( f^{-1}(x) = \sqrt{x} )).
- Exponential: ( f(x) = a^x ) has an inverse ( f^{-1}(x) = \log_a(x) ).
- Logarithmic: ( f(x) = \log_a(x) ) has an inverse ( f^{-1}(x) = a^x ).
-
Properties of Inverse Functions:
- The domain of ( f ) is the range of ( f^{-1} ) and vice versa.
- If ( f ) is continuous and has an inverse, then ( f^{-1} ) is also continuous.
-
Special Considerations:
- For functions that are not one-to-one, restrict the domain to find a usable inverse.
- Always verify the inverse by checking the original equations.
ฟังก์ชันผกผัน
-
คำจำกัดความ: ฟังก์ชันผกผันจะย้อนผลของฟังก์ชันเดิม หาก ( f(x) ) เป็นฟังก์ชัน จะมีฟังก์ชันผกผัน ( f^{-1}(x) ) ซึ่งทำให้ได้สมการ:
- ( f(f^{-1}(x)) = x )
- ( f^{-1}(f(x)) = x )
การมีอยู่ของฟังก์ชันผกผัน
- ฟังก์ชันต้องเป็น ฟังก์ชันสองทาง (bijective) เพื่อที่จะมีฟังก์ชันผกผัน โดยต้องเป็น
- Injective (หนึ่งต่อหนึ่ง): ค่าอินพุตที่แตกต่างกันให้ค่าเอาต์พุตที่แตกต่างกัน
- Surjective (ทุกค่า): ทุกค่าเอาต์พุตที่เป็นไปได้จะต้องถูกคลุมด้วยค่าอินพุตบางค่า
วิธีการหาฟังก์ชันผกผัน
- แทนที่ ( f(x) ) ด้วย ( y )
- สลับ ( x ) และ ( y )
- แก้หาค่า ( y )
- แทนที่ ( y ) ด้วย ( f^{-1}(x) )
ตัวอย่าง
- สำหรับ ( f(x) = 2x + 3 ):
- ( y = 2x + 3 )
- สลับ: ( x = 2y + 3 )
- แก้: ( y = \frac{x - 3}{2} )
- ฟังก์ชันผกผัน: ( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} )
การตีความทางกราฟ
- กราฟของฟังก์ชันและฟังก์ชันผกผันมีความสมมาตรรอบเส้น ( y = x )
- เพื่อหาฟังก์ชันผกผันแบบกราฟ สามารถสะท้อนกราฟเดิมไปยังเส้น ( y = x )
ฟังก์ชันผกผันที่พบบ่อย
- เชิงเส้น: ( f(x) = mx + b ) มีฟังก์ชันผกผัน ( f^{-1}(x) = \frac{x - b}{m} )
- พหุนามกำลังสอง: จะมีฟังก์ชันผกผันได้เฉพาะเมื่อจำกัดโดเมน เช่น ( f(x) = x^2 ) สำหรับ ( x \geq 0 ) จะให้ ( f^{-1}(x) = \sqrt{x} )
- ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง: ( f(x) = a^x ) มีฟังก์ชันผกผัน ( f^{-1}(x) = \log_a(x) )
- ฟังก์ชันลอกอริธึม: ( f(x) = \log_a(x) ) มีฟังก์ชันผกผัน ( f^{-1}(x) = a^x )
สมบัติของฟังก์ชันผกผัน
- โดเมนของ ( f ) คือช่วงของ ( f^{-1} ) และกลับกัน
- หาก ( f ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีฟังก์ชันผกผัน จะต้องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย
ข้อพิจารณาพิเศษ
- สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง สามารถจำกัดโดเมนเพื่อหาฟังก์ชันผกผันที่ใช้งานได้
- ควรตรวจสอบฟังก์ชันผกผันโดยทดสอบกับสมการดั้งเดิม
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Description
ฟังก์ชันย้อนกลับคือการย้อนผลของฟังก์ชันต้นฉบับ โดยฟังก์ชันต้องมีคุณสมบัติ bijective เพื่อที่จะมีฟังก์ชันย้อนกลับ เราจะเรียนรู้วิธีการหาฟังก์ชันย้อนกลับรวมถึงการตีความจากกราฟ.
