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Questions and Answers
已知圆柱底面半径为r，母线长为l，则圆柱的表面积公式是什么？
已知圆柱底面半径为r，母线长为l，则圆柱的表面积公式是什么？
- $S = 2 \pi r (r + l)$ (correct)
- $S = \pi r^2 + 2 \pi r l$
- $S = 2 \pi r^2 + \pi r l$
- $S = \pi r (r + l)$
如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积公式是什么？
如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积公式是什么？
- $S = \pi r^2$
- $S = \pi r (r + l)$
- $S = 2\pi r l$
- $S = \pi r l$ (correct)
圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，则圆台的侧面积公式是什么？
圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，则圆台的侧面积公式是什么？
- $S = 2 \pi (R + r) l$
- $S = \pi (R - r) l$
- $S = \pi (R + r) l$ (correct)
- $S = 2 \pi (R - r) l$
有一个圆柱，底面半径为r，高为h，那么它的体积公式是什么？
有一个圆柱，底面半径为r，高为h，那么它的体积公式是什么？
一个圆锥的底面积为S，高为h，则其体积为多少？
一个圆锥的底面积为S，高为h，则其体积为多少？
若圆台的上底面积为S，下底面积为S'，高为h，则圆台的体积公式是怎样的？
若圆台的上底面积为S，下底面积为S'，高为h，则圆台的体积公式是怎样的？
如果一个圆锥的高是3，底面半径是4，那么这个圆锥的表面积是多少？
如果一个圆锥的高是3，底面半径是4，那么这个圆锥的表面积是多少？
圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，其侧面展开图是一个扇环，圆心角为$ \pi $，求圆台的表面积。
圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，其侧面展开图是一个扇环，圆心角为$ \pi $，求圆台的表面积。
圆柱的一个底面积是S，其侧面展开图是一个正方形，求这个圆柱的侧面积。
圆柱的一个底面积是S，其侧面展开图是一个正方形，求这个圆柱的侧面积。
如果甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为$2\pi$，它们的侧面积分别为$S_甲$和$S_乙$，体积分别为$V_甲$和$V_乙$，若$\frac{S_甲}{S_乙} = 2$，则$\frac{V_甲}{V_乙}$的值是多少？
如果甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为$2\pi$，它们的侧面积分别为$S_甲$和$S_乙$，体积分别为$V_甲$和$V_乙$，若$\frac{S_甲}{S_乙} = 2$，则$\frac{V_甲}{V_乙}$的值是多少？
已知一个圆台的上、下底面半径之比为1:4，高和母线的比为4:5，母线长为10，求圆台的体积。
已知一个圆台的上、下底面半径之比为1:4，高和母线的比为4:5，母线长为10，求圆台的体积。
设球的半径为R，如何计算球的表面积？
设球的半径为R，如何计算球的表面积？
如何表达半径为R的球的体积公式？
如何表达半径为R的球的体积公式？
一个平面截一个球，得到一个直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是$2\sqrt{2}$cm，求该球的体积。
一个平面截一个球，得到一个直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是$2\sqrt{2}$cm，求该球的体积。
现有125个半径为2cm的小金属球，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，求铸成的大金属球的表面积。
现有125个半径为2cm的小金属球，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，求铸成的大金属球的表面积。
已知$\triangle ABC$的三个顶点都在球O的表面上，且$AB = 4, AC = 2, BC = 2\sqrt{3}$，若球心O与BC中点的连线长为1，求球的表面积。
已知$\triangle ABC$的三个顶点都在球O的表面上，且$AB = 4, AC = 2, BC = 2\sqrt{3}$，若球心O与BC中点的连线长为1，求球的表面积。
如果一个圆锥的底面半径为$\sqrt{3}$，高为1，那么圆锥的体积是多少？
如果一个圆锥的底面半径为$\sqrt{3}$，高为1，那么圆锥的体积是多少？
圆台的体积为$7\pi$，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为多少？
圆台的体积为$7\pi$，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为多少？
一个圆锥的轴截面是等腰直角三角形，如果其侧面积是$16\pi$，那么圆锥的体积是多少？
一个圆锥的轴截面是等腰直角三角形，如果其侧面积是$16\pi$，那么圆锥的体积是多少？
Flashcards
圆柱表面积
圆柱表面积
计算圆柱体表面积的公式。包括两个底面积和一个侧面积。
圆锥表面积
圆锥表面积
计算圆锥体表面积的公式。包括底面积和侧面积。
圆台表面积
圆台表面积
计算圆台表面积的公式。包括上下底面积和侧面积。
圆柱体积
圆柱体积
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圆锥体积
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圆台的体积
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球体表面积
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球体体积
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球体性质
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Study Notes
- 讨论了圆柱、圆锥、圆台和球体的表面积和体积公式。
- 了解了侧面展开图在计算几何体表面积中的应用，培养了空间想象能力和数学运算能力。
知识点一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
- 圆柱的表面积：
- 侧面展开图是一个矩形，其长为底面圆的周长，宽为圆柱的高（母线）。
- 设底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧=2πrl，S圆柱表=2πr(r+l)。
- 圆锥的表面积：
- 侧面展开图是一个扇形，其半径是圆锥的母线长，弧长等于底面圆的周长。
- 侧面展开图扇形的面积为(1/2)×2πrl=πrl，圆锥侧面积S圆锥侧=πrl，表面积 S圆锥表 = πr(r + l)。
- 圆台的表面积：
- 侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长。
- 通过计算扇环的面积可以得到 S圆台侧 = π(r + R)l, S圆台表 = π(r²+rl+Rl+R²）其中r和R分别是上下底面半径，l为母线长。
几何体表面积公式
- 圆柱
- 底面积: S底 = 2πr²
- 侧面积: S侧 = 2πrl
- 表面积: S=2πr(r + l)
- 圆锥
- 底面积: S底 = πr²
- 侧面积: S侧 = πrl
- 表面积: S=πr(r + l)
- 圆台
- 上底面积: S上底 = πr'^2
- 下底面积: S下底=πr²
- 侧面积: S侧 = π(r'l + rl)
- 表面积: S = π(r'^2 + r² + r l + rl)
体积公式
- 为了计算圆柱，圆锥和圆台的体积，关键是了解其底面积和体积。通常利用轴截面，在高，半径和母线构造直角三角形
- 圆柱: V = Sh = πr²h, 其中S为圆柱底面圆的面积, h为高。
- 圆锥: V = (1/3)Sh = (1/3)πr²h, 其中S为圆柱底面圆的面积, h为高。
- 圆台：V = (1/3)h(S + √(S*S') + S') = (1/3)πh(r²+rr'+r'²), 其中 S 是下底面积，S' 是上底面积, h为高。
典型例题和解析
- 例1: 若圆锥的高为3，底面半径为4，则圆锥的表面积为36π。 计算方式：母线长l=5, 表面积= π×4²+π×4×5。
- 例2: 圆台的上、下底面半径分别为10cm 和 20cm，侧面展开图的圆心角为π π，那么圆台的表面积为1100πcm²。求解侧面展开图参数，再计算表面积。
解题技巧
- 求解圆柱体，圆锥体，圆台表面积的步骤：
- 得到空间几何体的平面展开图
- 依次计算每个平面图的面积
- 将每个平面图的面积相加
关于球体
- 球的表面积: S = 4πR², R为球的半径
- 球的体积: V = (4/3)πR³, R为球的半径
- 球的体积也可以表示为: V = (1/3)S球R, 其中S球为球的表面积， R为球的半径
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