Unitat 4. Polinomis 2024-2025 PDF

MATEMÀTIQUES 4 ESO Unitat 4. Polinomis  MATEMÀTIQUES 4 ESO ÍNDEX 1. Expressions polinòmiques amb una indeterminada. 2. Operacions amb polinomis: suma, resta i multiplicació. 3. Factor comú 4. Binomi de Newton. El triangle de Tartaglia. 5. Igualt...

MATEMÀTIQUES 4 ESO Unitat 4. Polinomis  MATEMÀTIQUES 4 ESO ÍNDEX 1. Expressions polinòmiques amb una indeterminada. 2. Operacions amb polinomis: suma, resta i multiplicació. 3. Factor comú 4. Binomi de Newton. El triangle de Tartaglia. 5. Igualtats notables 6. Divisió de polinomis. Ruffini 7. Teorema del residu 8. Arrels de polinomis 9. Factorització de polinomis 10. Fraccions algèbriques 2  MATEMÀTIQUES 4 ESO 1. Expressions polinòmiques amb una indeterminada Un polinomi és una expressió que és suma o resta de monomis. Terme principal Grau del polinomi P (x) = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2 Terme Terme de grau 2 independent o terme de grau 0 El valor numèric de P(x) en a, P(a), s'obté substituint x per Per exemple: P(3)a = 8 · 35 – 6 · 34 – 3 · 32 + 3 – 2 3 = 1432  MATEMÀTIQUES 4 ESO 2. Operacions amb polinomis. Suma i resta. Per sumar o restar polinomis hem d’agrupar els termes del mateix grau. Exemple:P (x) = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4 Q (x) = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x P (x) + Q (x)= x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4 P(x) = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4 -Q Q (x) (x) = = - 3x 3x44 –+22xx3 3+- 3x2 -+2x 2x P(x) – Q (x) = x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4  MATEMÀTIQUES 4 ESO 2. Operacions amb polinomis. Producte. Per multiplicar polinomis hem de multiplicar cada monomi d’un per tots els monomis de l’altre, i agrupar els termes del mateix grau. Exemple P (x) = x3 + 2x2 – 3x Q– (x) 1 = 2x2 P (x). Q (x) = (x3 + 2x2 – 3x – 1). 2x3. = 2 2 = x 2x + 2x2. 2x2 – 3x · 2x2 – Regla de 1. 2x2 = les = 2x5 + 4x4 – 6x3 – potències 2x2 5  MATEMÀTIQUES 4 ESO 2. Operacions amb polinomis. Producte. Exemple P (x) = 2x3 + 3x2 – 1 Q (x) = 5x + 2 P (x). Q (x) = (2x3 + 3x2 – 1). 5x + (2x3 + 3x2 – 1). 2 = = (2x3. 5x + 3x2. 5x – 1. 5x) + ( 2x3. 2 + 3x2. 2 – 1. 2 ) = Regla de les = (10 x4 + 15x3 – 5x) + (4x3 + 6x2 potèncie – 2) = s Agrupem termes del = 10x4 + 19x3 + 6x2 – 5x – mateix grau 2 Exercicis 1, 2 i 3 pàg 56; 51 i 52 pàg 6 68  MATEMÀTIQUES 4 ESO 3. Divisió de polinomis. Regla de Ruffini Donats dos polinomis, P(x) (el dividend) i D(x) (el divisor), dividir P(x) entre D(x) és trobar dos polinomis Q(x) (el quocient) i R(x) (el residu) que compleixin: P(x) = Q(x) · D(x) + R(x). Dividend Divisor P(x) D(x) R(x) Q(x) Residu Quocient P(x) = Q(x) · D(x) + R(x) 7  MATEMÀTIQUES 4 ESO 3. Divisió de polinomis. Regla de Ruffini Algoritme de la divisió 6x3 – 9x2 2x2 + 6x3 + 5 x Restem 3x – 3x2 – +5 6 12x2 Quocient – – 6x Restem 12x2 6x + 5 Resid u P(x) = Q(x) · D(x) + (3x – 6) · (2x2 + x) + (6x + 5) = R(x) = 3x · (2x2 + x) – 6 · (2x2 + x) + (6x + 5) = 6x3 + 3x2 – 12x2 – 6x + 6x + 5 = = 6x3 – 9x2 + 5 8  MATEMÀTIQUES 4 ESO 4. Divisió de polinomis. Regla de Ruffini Regla de Ruffini Va inventar un mètode per dividir un polinomi entre un binomi del tipus (x ± a) 9  MATEMÀTIQUES 4 ESO 4. Divisió de polinomis. Regla de Ruffini Regla de Ruffini Dividim un polinomi P(x) = 2x3 – 6x2 – 4x + 12 entre x – 2 per la Regla de Ruffini Coeficients de 2 –6 –4 12 P a 2 2 –6 –4 12 S’opera: es suma 2 4 –4 – 16 Coeficients del 2 –2 –8 –4 r quocient es multiplica per a Per tant: Q (x) = 2x2 – 2x – 8 R (x) = - 4 Exercicis 15, 16, 17 pàg 61 10  MATEMÀTIQUES 4 ESO 5. Teorema del residu El residu de dividir el polinomi P(x) entre un binomi x – a és igual al valor numèric del polinomi P(x) en x = a. R = P(a) Per exemple: Si volem conèixer el residu de la divisió entre P(x) = 2x3 + 3x2 – 1 i el binomi x – 2, només hem de calcular el valor del polinomi en el punt x = 2. R = P (2) = 2· 23 + 3 · 22 – 1 = 2 · 8 + 3 · 4 – 1 = 27 Calculeu el residu : Exercici 18, 19, 20 pàg 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2 : x + 61 5 11  MATEMÀTIQUES 4 ESO 6. Productes notables (x+a)2 = x2 + 2ax + a2 (x + 4)2 = x2 + 2 · 4 · x + 42 = x2 + 8x + 16 (x-a)2 = x2 - 2ax + a2 (2x - 3)2 = (2x)2 – 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 - 12x + 9 (x + a)(x - a) = x2 - a2 (3x - 1) · (3x + 1) = (3x)2 – 12 = 9x2 - 1 Exercicis 10 pàg 59 68,73 pàg. 69 12  MATEMÀTIQUES 4 ESO 7. Binomi de Newton. Triangle de Tartaglia Les diferents files del triangle de Tartaglia ens donen els coeficients dels diferents termes que s’obtenen al fer la potència d’un binomi. x  y 1 1 1 x  y 2 1 2 1 x  y 3 1 3 3 1 x  y 4 1 4 6 4 1... 13  MATEMÀTIQUES 4 ESO 7. Potència d’un binomi Per exemple: la cinquena fila del triangle de Tartaglia ens dona els coeficients de la quarta potència d’un binomi: 1 4 6 4 1 (x + 2)4 = 1 · x4 + 4 · x3· 21 + 6 · x2 · 22 + 4 · x1 · 23 + 1 · 24 = = x4 + 8 x3 + 24 x2 + 32 x + 16 Exemple: Calcula (2x - 3)3 (2x - 3)3 = 1 · (2x)3 + 3 · (2x)2 · (-3) + 3 · 2x · (-3)2 + 1 · (-3)3 = = 8x3 - 36x2 + 54x - 27 Exercicis 8 pàg 58 14  MATEMÀTIQUES 4 ESO 8. Arrels d’un polinomi Les arrels d’un polinomi P(x) són els valors x = a que fan que el valor numèric del polinomi sigui zero. a és arrel de P(x) si P(a) = 0 Si a és arrel del polinomi P(x), aleshores a és un divisor del terme independent del polinomi P(x). Exemple: Si tenim el següent polinomi P(x) = 6x4 – 3x2 + x – 3 Les possibles arrels són els divisors del terme independent del polinomi, és a dir, - 1, 1, -3 i 3 Exercicis 27, 28, 29 i 30 pàg 15 63  MATEMÀTIQUES 4 ESO 9. Extreure factor comú Per extreure factor comú d’un polinomi hem de extreure es lletres que es repeteixen elevades a l’exponent més baix el màxim comú divisor dels coeficients Exemple: P (x) = 6x4 - 24x3 + 12x2 Incògnita repetida elevada al menor exponent: x2 m.c.d (6, 24, 12) = 6 Treiem factor comu: 6x2 P(x) = 6x2 (x2 – 4x + 2) Exercicis 5, 7 pàg 57 16  MATEMÀTIQUES 4 ESO 10. Factorització d’un polinomi Si un polinomi P (x) es pot escriure com producte d’altres, es diu que està factoritzat. P (x) = Q (x). S (x) · R (x) els polinomis Q (x), S (x), R (x) són els factors del polinomi P (x) Exemple: descomposem P (x) = x4 – x3 – x2 – x – 2 1. Busquem les arrels del polinomi entre els divisors del terme independent: {1, –1, 2, –2}. La regla de Ruffini ens permet trobar les arrels del polinomi. 1 –1 –1 –1 –2 –1 –1 2 –1 2 2. Per tant P (x) = (x + 1) (x3 – 2x2 1 –2 1 –2 0 + x– 2 ) 17  MATEMÀTIQUES 4 ESO 10. Factorització d’un polinomi 3. Intentem descompondre x3 – 2x2 + x – 2. Per això, busquem les seves arrels aplicant la regla de Ruffini. 1 –2 1 –2 2 2 0 2 1 0 1 0 4. Per tant P (x) = (x + 1) (x – 2) (x2 + 1 ) 5. Com el polinomi x2 + 1 no és pot factoritzar ja que l’equació x2 + 1 = 0 no té solució en els nombres reals, el nostre polinomi P (x) factoritzat és: P(x) = x4 – x3 – x2 – x – 2 = (x + 1) · (x – 2) (x2 + 1) Exercicis 33, 34, 36, 37, 39 i 40 pàg 64 18 - 65  MATEMÀTIQUES 4 ESO 11. Fraccions algèbriques Una fracció algèbrica és un quocient de polinomis de la forma: P( x ) F( x )  Q( x ) P( x ) R (x) Dues fraccions i Q( x ) S( x ) algèbriques són equivalents si : P(x). S(x) = Q(x). R(x) 19  MATEMÀTIQUES 4 ESO 11. Fraccions algèbriques Simplificació de fraccions algèbriques Simplificar una fracció algèbrica consisteix en eliminar els factors comuns en el numerador i el denominador, obtenim així una fracció més senzilla, equivalent a l’original. Per simplificar una fracció algèbrica, primer factoritzem el numerador i el denominador i simplifiquem els factors comuns. Exemple: simplificar la següent fracció P(x) x 3 – 3x 2  x – 3 F(x)   Q(x) x4 – 1 20  MATEMÀTIQUES 4 ESO 11. Fraccions algèbriques 1. Factoritzem mitjançant la regla de Ruffini els polinomis del numerador i el denominador. En aquest cas: P(x) = (x – 3) (x2 + 1) Q(x) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) 2. Al simplificar obtenim: x3 – 3x2  x – 3 F(x)  x4 – 1 (x – 3)(x2  1)  (x – 1)(x  1)(x2  1) Exercicis 41 (x – 3) F(x)  pàg 66 (x – 1)(x  1) 21