Τριγωνομετρία PDF

Περίληψη 1. Θεώρημα (Νόμος Ημιτόνων) Σε κάθε τρίγωνο τα μήκη των πλευρών του είναι ανάλογα προς τα ημίτονα των απέναντι γωνιών του. Οι λόγοι της αναλογίας αυτής είναι ίσοι με το διπλάσιο της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό. Δηλαδή, σε τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 με ακτίνα...

Περίληψη 1. Θεώρημα (Νόμος Ημιτόνων) Σε κάθε τρίγωνο τα μήκη των πλευρών του είναι ανάλογα προς τα ημίτονα των απέναντι γωνιών του. Οι λόγοι της αναλογίας αυτής είναι ίσοι με το διπλάσιο της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό. Δηλαδή, σε τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 με ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου 𝑅, ισχύει ότι: 𝑎 𝛽 𝛾 = = = 2𝑅 ημ𝛢 ημ𝛣 ημ𝛤 2. Θεώρημα (Νόμος Συνημιτόνων) Το τετράγωνο του μήκους μιας πλευράς τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των άλλων δύο πλευρών, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο του μήκους των δύο άλλων πλευρών επί το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν οι πλευρές αυτές. Δηλαδή, σε τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 ισχύουν οι σχέσεις: 𝑎2 = 𝛽 2 + 𝛾 2 − 2𝛽𝛾συν𝛢, 𝛽 2 = 𝑎2 + 𝛾 2 − 2𝑎𝛾συν𝛣, 𝛾 2 = 𝑎2 + 𝛽 2 − 2𝑎𝛽συν𝛤 3. Θεώρημα (Εμβαδόν Τριγώνου) Το εμβαδόν τριγώνου είναι ίσο με το ημιγινόμενο των μηκών δύο πλευρών του επί το ημίτονο της περιεχόμενης από αυτές γωνία. Δηλαδή, σε τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 ισχύουν οι σχέσεις: 𝛽𝛾ημ𝛢 𝑎𝛾ημ𝛣 𝑎𝛽ημ𝛤 𝛦= , 𝛦= , 𝛦= 2 2 2 4. Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφοράς δύο γωνιών Ημίτονο και συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς δύο γωνιών συν(𝑎 − 𝛽) = συν𝑎 συν𝛽 + ημ𝑎 ημ𝛽 συν(𝑎 + 𝛽) = συν𝑎 συν𝛽 − ημ𝑎 ημ𝛽 ημ(𝑎 − 𝛽) = ημ𝑎 συν𝛽 − συν𝑎 ημ𝛽 ημ(𝑎 + 𝛽) = ημ𝑎 συν𝛽 + συν𝑎 ημ𝛽 Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς δύο γωνιών εφ𝑎 + εφ𝛽 εφ(𝑎 + 𝛽) = 1 − εφ𝑎 εφ𝛽 εφ𝑎 − εφ𝛽 εφ(𝑎 − 𝛽) = 1 + εφ𝑎 εφ𝛽 σφ𝑎 σφ𝛽 − 1 σφ(𝑎 + 𝛽) = σφ𝑎 + σφ𝛽 σφ𝑎 σφ𝛽 + 1 σφ(𝑎 − 𝛽) = σφ𝛽 − σφ𝑎 68 Ενότητα 02: Τριγωνομετρία I  Τριγωνομετρικοί αριθμοί του διπλάσιου μίας γωνίας ημ2𝑎 = 2ημ𝑎 συν𝑎 συν2𝑎 = συν 𝑎 − ημ2 𝑎 = 1 − 2ημ2 𝑎 = 2συν2 𝑎 − 1 2 2εφ𝑎 εφ2𝑎 = 1 − εφ2 𝑎 2εφ𝑎 ημ2𝑎 = 1 + εφ2 𝑎 1 − εφ2 𝑎 συν2𝑎 = 1 + εφ2 𝑎 Το τετράγωνο τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας συναρτήσει του συνημιτόνου του διπλάσιου της γωνίας 1 − συν2𝑥 ημ2 𝑥 = 2 1 + συν2𝑥 συν2 𝑥 = 2 2 1 − συν2𝑥 εφ 𝑥 = 1 + συν2𝑥 Ενότητα 02: Τριγωνομετρία I 69