Tema 3: Magnitudes Físicas y Químicas (PDF)

TEMA TEMA 3. MAGNITUDES FÍSICAS Y QUÍMICAS. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. LA MEDIDA. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LA REALIZACIÓN DE MEDIDAS Y EN LA DETERMINACIÓN DE RESULTADOS. 1- La Física, ci...

TEMA TEMA 3. MAGNITUDES FÍSICAS Y QUÍMICAS. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. LA MEDIDA. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LA REALIZACIÓN DE MEDIDAS Y EN LA DETERMINACIÓN DE RESULTADOS. 1- La Física, ciencia de medida. 2- Magnitudes físicas y químicas. 3- Sistema Internacional de Unidades. 3.1. Las constantes universales de las unidades fundamentales. 3.2. Otros sistemas de unidades. 4- Análisis dimensional. 5- La medida. 5.1. Incertidumbre o error en la medida. 5.2. Cifras significativas. 5.3. Notación científica. 5.4. Orden de magnitud. 5.5. Representaciones gráficas de las medidas. 5.5.1. Escala y origen. 5.5.2. Barra de errores. 5.5.3. Gráficas lineales. 5.5.4. Interpolación y extrapolación. 5.5.5. Linealización. 6- Métodos de la estimación de la incertidumbre o error. 6.1. Incertidumbre o error en la realización de medidas. 6.1.1. Histograma. 6.1.2. Función de distribución. 6.1.3. Teorema del límite central. 6.1.4. Error en una muestra de medidas. 6.2. Incertidumbre o error en la determinación de resultados. 6.2.1. Producto de dos variables. 6.2.2. Cociente de dos variables. 6.2.3. Suma y diferencia. 7- Bibliografía. 1  1- LA FÍSICA, CIENCIA DE MEDIDA El hombre siempre ha sentido curiosidad por el mundo que le rodea. Como demuestran los primeros documentos gráficos, el hombre siempre ha buscado el modo de imponer orden en la enmarañada diversidad de los sucesos observados en la naturaleza. La observación de un fenómeno es, en general, incompleta a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información se requiere la medición de una propiedad física, y así la medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental. La expresión de una propiedad física en términos de números requiere no sólo que utilicemos las matemáticas para mostrar las relaciones entre las diferentes cantidades, sino también tener el conocimiento para operar con estas relaciones. El objeto de la ciencia es el conocimiento del mundo natural, entendiendo como tal el conjunto de cuerpos materiales que se encuentran en interacción permanente y que denominamos Universo o Naturaleza 2- MAGNITUDES FÍSICAS Y QUÍMICAS La Física y la Química son ciencias experimentales porque el método que se emplea para llegar a descubrir las leyes que rigen los fenómenos físicos y químicos es el experimental. En la actividad experimental se parte de la observación de los fenómenos, observación que puede ser de dos tipos: cualitativa, cuando se intenta establecer por qué motivo se produce, que factores intervienen, etc.; y cuantitativa, cuando se eligen algunas de las variables que intervienen en él, se modifican sus valores y se mide. La medida, entonces, va a constituir una parte esencial de la actividad experimental. Se denomina magnitud a toda propiedad atribuida a un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser cuantificada por métodos directos o indirectos y, por tanto, de expresarse mediante números. Entendiendo como medir como comparar la entidad-magnitud con otra de la misma naturaleza que se toma arbitrariamente como unidad. Las magnitudes serán fundamentales o derivadas. Siendo las fundamentales aquellas que no pueden definirse en función de ninguna otra, es decir, son independientes de las restantes. Por ejemplo, longitud, masa y tiempo. Y derivadas son las que se definen a partir de las fundamentales, como la velocidad. 2 Por otra parte, para la mayoría de las magnitudes, si se elige como criterio de clasificación el que las magnitudes queden perfectamente determinadas con un valor numérico o si, además, precisan la dirección y el sentido en el que se manifiestan, las magnitudes se clasifican en escalares y vectoriales. Magnitud escalar es aquella que queda completamente especificada mediante un número y la unidad adecuada. Ejemplos son la masa, la energía o la temperatura. Magnitud vectorial se describe mediante un número, que llamamos módulo, una dirección y un sentido. Un vector es un segmento rectilíneo orientado y se utiliza para representar las magnitudes vectoriales. Consta de: Punto de aplicación: es el origen del segmento. Módulo o longitud del vector: representa a escala la cantidad (valor numérico y unidad) de la magnitud vectorial. Si el módulo es la unidad, se le llama vector unitario; si es cero, se trata de un vector nulo. Dirección: es la de la recta que contiene al vector. A la recta soporte del vector se le llama línea de acción, de modo que dos rectas paralelas tienen igual dirección pero distintas líneas de acción. Sentido: viene marcado por la punta de la flecha. La representación gráfica de un vector en el espacio se hace mediante un segmento recto acabado en una flecha. La longitud del segmento nos da su módulo, la dirección es la de la recta en la que se encuentra y su sentido lo determina la punta de la flecha. Para hablar de dirección debemos referirla a algún objeto de referencia. Este objeto consistirá en tres ejes perpendiculares entre sí que definen en el espacio tres direcciones de referencia y que llamamos sistema de coordenadas cartesiano. 3  3- SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. El sistema de unidades más importante en la actualidad -y vigente en España de acuerdo con el Real Decreto 2032/2009, de 30 de diciembre- es el Sistema Internacional de Unidades (SI). Los orígenes del Sistema Internacional de Unidades se remontan a 1792, año en que se inició el desarrollo del Sistema Métrico Decimal, y en el que la Academia de Ciencias de París aprobó la primera definición internacional del metro: “un metro es la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por París”. Los primeros patrones del metro y del kilogramo se construyeron en 1798. En 1889 se celebró la primera Conferencia Internacional de Pesas y Medidas, en la que se acordaron definiciones más precisas para las unidades patrón, a la vez que se creó la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, con sede en Sèvres (París). Desde esta oficina se distribuyeron a todos los países que habían adoptado el Sistema Métrico Decimal copias de los patrones originales de las unidades. En su decimocuarta conferencia, celebrada en 1971, la Conferencia Internacional de Pesas y Medidas, siguiendo las resoluciones de conferencias anteriores, seleccionó como magnitudes básicas del sistema internacional de unidades, abreviada S.I., las siguientes: 4 Las definiciones de estas siete magnitudes fundamentales, a partir de las que se derivan todas las demás, son muy precisas; la mayor parte están basadas en procesos físicos que pueden reproducirse en cualquier parte de la tierra, obteniéndose en todos los casos el mismo resultado. Metro: es la distancia recorrida por la luz en el vacío en un intervalo de tiempo de 1/299792458 segundos. Segundo: es la duración de 9192631770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de 133 Cs. Kilogramo: es la masa de un cilindro patrón de platino-iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sèvres (París). Amperio: es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de 1 metro uno del otro, en el vacío, produciría entre estos dos conductores un fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud. Kelvin: es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Mol: es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono-12. Candela: es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente de luz que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 · 1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián. Todas las demás unidades, llamadas derivadas, se definen a partir de estas siete fundamentales. Algunas magnitudes derivadas tienen nombres especiales como la unidad de fuerza, kg·m/s2, que recibe el nombre de newton y se representa por N. Las únicas excepciones de magnitudes que, aún considerándose derivadas, no pueden derivarse de las fundamentales son los ángulos y los ángulos sólidos, debido a que estas magnitudes son adimensionales. Las unidades de estas dos magnitudes que podemos considerar auxiliares o suplementarias son el radián y el estereorradián y sus definiciones son las siguientes: 5  El radián es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, delimita un arco de longitud igual al radio. El estereorradián es el ángulo sólido que, teniendo como vértice el centro de una esfera, delimita sobre la superficie esférica un área igual a la de un cuadrado que tiene como lado el radio de la esfera. Cuando las medidas contienen un valor numérico alto o muy alto de la unidad patrón, se utilizan múltiplos de esta unidad que no son más que potencias de 10 con exponente positivo. Si, por el contrario, la medida contiene un valor bajo o muy bajo del elemento patrón, se utilizan submúltiplos o potencias de 10 con exponente negativo. 3.1 LAS CONSTANTES UNIVERSALES DE LAS UNIDADES FUNDAMENTALES. La Conferencia General de Pesas y Medidas aprobó en 2018 en Versalles una revisión del Sistema Internacional de Unidades. Se han modificado las definiciones de kilogramo, amperio, kelvin y mol para que estas unidades fundamentales queden a partir de ahora referidas a constantes físicas universales, y no a patrones ni a mediciones. Asimismo, se han adaptado las definiciones del segundo, el metro y la candela para alinearlas con las nuevas. Las definiciones revisadas entraron en vigor el Día Mundial de la Metrología, 20 de mayo de 2019. El cambio no afectará a nuestra vida diaria. Las nuevas definiciones revisadas se basan en la constante de Planck, la constante de Boltzman, la carga elemental y la constante de Avogadro. 6 De esta manera, las unidades de masa (kilogramo, kg), intensidad de corriente eléctrica (amperio, A), temperatura (kelvin, K) y cantidad de materia (mol) se definen en relación a magnitudes inherentemente estables. Las constantes se han elegido de forma que las definiciones revisadas no deban modificarse ante futuras mejoras en las tecnologías que se emplean para sus mediciones. El uso de constantes naturales para definir las unidades de medida permitirá a la comunidad científica y a la industria obtener sus mediciones con mayor exactitud. 3.2. Otros sistemas de unidades. Las unidades del sistema internacional son las que gozan de una mayor aceptación. No obstante, vamos a comentar brevemente otros sistemas de unidades: El Sistema Cegesimal de Unidades, también llamado sistema CGS, es un sistema de unidades basado en tres magnitudes básicas (longitud, masa y tiempo) y sus unidades (el centímetro, el gramo y el segundo). Su nombre es el acrónimo de estas tres unidades. Fue propuesto por Gauss en 1832, e implantado por la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia (BAAS) en 1874. Aunque no hay un sistema normalizado de modo formal, suele ser habitual aplicar el nombre de Sistema Técnico de Unidades al basado en el sistema métrico decimal y que toma el metro como unidad de longitud, el kilogramo-fuerza o kilopondio como unidad de fuerza, el segundo como unidad de tiempo. Sistema británico de unidades coma se considera con magnitudes fundamentales la longitud, la fuerza y el tiempo. Sus unidades básicas son, respectivamente, la pulgada, la libra y el segundo. 4- ANÁLISIS DIMENSIONAL. La dimensión de una magnitud es una propiedad física que la describe. cualquier magnitud puede ser expresada siempre en función de tres magnitudes básicas: la longitud, la masa y el tiempo. La dimensión de cualquier otra magnitud es una combinación algebraica de las dimensiones primarias [L], [M] y [T]. 7 Es importante diferenciar la dimensión de una magnitud de las unidades en que vienen expresadas. El análisis dimensional consiste en estudiar las dimensiones de una determinada actuación y es una herramienta que tiene diversos usos en física como son la comprobación de ecuaciones, la deducción de fórmulas y las leyes o cambios de escala. Todas las ecuaciones físicas o químicas han de ser dimensionalmente homogéneas, es decir, los dos miembros de la ecuación deben tener idénticas dimensiones. 5- LA MEDIDA La diferencia entre unas ciencias y otras es que algunas, como la física y la química, pueden medir o cuantificar la verdad de una afirmación científica. Medir es la determinación cuantitativa de una determinada magnitud, característica de un sistema físico, que es necesaria para la descripción de una situación física reproducible. Así, se garantiza que otros científicos puedan determinar independientemente los valores de las magnitudes medidas en un experimento. 5.1 Incertidumbre o error en la medida. Por muy bien que se diseñe un experimento e independientemente de la calidad del equipo utilizado siempre obtenemos una determinada incertidumbre o error en la magnitud que deseamos medir. La precisión es la división más pequeños de la escala del aparato que se usa para realizar la medida. El resultado de una medida debe comprender, además de la unidad utilizada, una estimación del error de la misma. 8 5.2 Cifras significativas. Se denominan cifras significativas al conjunto de cifras exactas que se proporcionan en una medida. Se exceptúan los ceros situados a la izquierda de la medida. Dar un resultado con un número de cifras significativas significa asumir implícitamente el error de las mismas. La regla que acabamos de dar es válida salvo cuando la cantidad que se da es mayor que diez y acaba en uno o más ceros; por ejemplo: 30, 400, 1700, 610000. A menos que se diga que todas las cifras son significativas, cuando se dan cantidades como las anteriores se deduce que la cantidad es conocida hasta la posición anterior al primer cero. El proceso por el cual se desprecian las cifras a la derecha de una dada, recibe el nombre de redondeo y se realiza según una serie de reglas. 1. Si la primera cifra que se desprecia es menor que 5, entonces las demás cifras que se conservan no se alteran. Por ejemplo: 4,613 puede redondearse a 4,61. 2. Si la primera cifra que se desprecia es mayor que 5 o igual que 5, pero con una cifra no nula a su derecha, entonces la última cifra que se conserva aumenta en una unidad. De esta forma, 4,66 puede redondearse a 4,7, 4,753 puede hacerlo a 4,8 y 4,85001 se redondea a 4,9. 3. Si la primera cifra que se desprecia es un 5 o un 5 seguido de ceros, entonces si la primera cifra que se conserva es par, permanece sin cambios; mientras que, si es impar, aumenta en una unidad. Por ejemplo: 6,850 se redondea a 6,8 y 6,75 se redondea a 6,8. Acabamos de establecer las reglas que nos permiten reducir el número de cifras significativas a uno dado. El siguiente paso consiste en determinar el número de cifras significativas que deben mantenerse en una magnitud que se obtiene mediante el cálculo a partir de otras. 1. Redondeo en sumas y restas. El resultado se redondea de manera que tenga el mismo número de posiciones decimales que el término que menor número tenga de todos los que intervienen en las operaciones. 2. Redondeo en multiplicaciones y divisiones. El resultado se da con el mismo número de cifras significativas que el término que menor número tenga de ellas. 9 5.3 Notación científica. Consiste en escribir una cantidad determinada mediante un número decimal con una sola cifra entera, la de las unidades y una potencia de base 10 con exponente positivo o negativo. En notación científica el número de cifras significativas es el número de dígitos que aparece delante del signo de multiplicación. 5.4. Orden de magnitud Llamamos orden de magnitud de una cantidad a la potencia de 10 más cercana a su valor. 5.5 Representaciones gráficas de las medidas. El objetivo de un experimento o de una simulación numérica es relacionar las cantidades obtenidas para las diversas magnitudes involucradas y que centran nuestro interés. Estas relaciones se pueden dar en forma tabular o bien de forma gráfica. Una representación gráfica permite resumir muchos de los comportamientos observados en un experimento o en una simulación numérica. La representación gráfica o gráfica x-y es la más ampliamente usada en ciencia e ingeniería para representar los datos experimentales. 5.5.1. Escala y origen Elegir una escala consiste en dividir los ejes de coordenadas en partes iguales cada una de las cuales representa una cantidad de medida. La elección adecuada de la escala y el rango de los datos representados es, por tanto, fundamental para la interpretación de la representación gráfica de los resultados de un experimento. 5.5.2. Barra de errores Las barras de error son segmentos horizontales y verticales que se dibujan junto al punto experimental y cuya longitud es igual al doble de la incertidumbre en las medidas realizadas. 10 5.5.3. Gráficas lineales Al representar los resultados experimentales nos damos cuenta que aunque los puntos no se encuentra en una línea recta, es razonable concluir que la dependencia de la variable y la variable x es lineal y, por tanto, existe una relación de la forma y =mx + b. Para la determinación de la pendiente de la recta, m, y la ordenada en el origen, b, el primer paso es encontrar una línea recta que se ajuste lo mejor posible a los datos experimentales. esto puede hacerse de forma numérica mediante el método de los mínimos cuadrados o bien de forma gráfica a ojo. 5.5.4. Interpolación y extrapolación Llamamos interpolación al proceso de calcular un valor de la variable y para un valor de la variable x que se encuentra en el rango de los datos experimentales representados en la gráfica. sí calculamos un valor de la variable independiente y para un valor de X que se encuentra fuera del rango de los datos representados, decimos que la encontramos por extrapolación. 5.5. Linealización. En algunos casos se tiene un conocimiento previo de la relación entre las variables involucradas en el experimento. esto nos permite elegir las magnitudes que se representan en cada eje de coordenadas de manera que obtengamos una gráfica lineal. este procedimiento se conoce con el nombre de linealización de ecuaciones. 6- MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE O ERROR. En todas las ciencias aplicadas se opera con datos numéricos obtenidos mediante medidas y observaciones que nunca pueden ser absolutamente exactas. Medir una magnitud física con una precisión infinita carece de significado, pues por mucho cuidado que se ponga en la 11 realización y por muy perfecto que sea el aparato, siempre existirá la posibilidad de efectuarla con mayor precisión. Por otro lado, al realizar una medida es porque desconocemos su valor exacto, por tanto al valor obtenido en la medida experimental nunca podremos saber en qué grado se acerca al valor exacto o si coincide con él. El efecto de los errores en las medidas se hace aún más acentuado por el hecho de que siempre que se realiza una medida, se perturba el sistema que se desea medir y cambian sus condiciones iniciales. Aunque en el mundo de los fenómenos macroscópicos despreciemos la indeterminación introducida en los sistemas a medir por los aparatos de medida, por muy sofisticados que sean éstos, el resultado de una medida nunca es su valor verdadero. Toda medida se expresa dando un valor aproximado del valor de la magnitud y una cota para la incertidumbre o error de la misma. Como ya hemos comentado, m ± Δm. La naturaleza de la incertidumbre en una medida puede ser muy variada y, atendiendo a ella, se acostumbra a clasificar los errores en dos categorías: Errores accidentales o aleatorios: se da cuando realizamos una medida más de una vez de forma idéntica y no obtenemos el mismo resultado. Este tipo de error es debido a variaciones en las condiciones experimentales y a apreciaciones del experimentador. Algunos ejemplos de este tipo de error son: las variaciones debidas a cambios de temperatura, presión o humedad ambiental, los debidos a vibraciones mecánicas fuera del laboratorio, etc. Estos errores se pueden detectar repitiendo la medada varias veces y se pueden estimar mediante métodos estadísticos. Errores sistemáticos: Son de naturaleza determinada y por regla general son constantes y afectan al resultado final siempre en el mismo sentido. Se producen por un funcionamiento inadecuado del aparato de medida o por el propio método. Ejemplo de este tipo de error son los producidos por: un mal calibrado del aparato de medida, la utilización de un instrumento calibrado a una temperatura a otra distinta, etc. La repetición de una medida con el mismo aparto no permite detectar este error ni tampoco eliminarlo. La única manera de detectarlos es utilizando otros aparatos de medida o cambiar el método con el que se realizan las mediciones. Por esta razón los errores sistemáticos son más peligrosos que los aleatorios. 12 Dos conceptos que se confunden con frecuencia son exactitud y precisión. El resultado es exacto si está relativamente libre de errores sistemáticos y decimos que es preciso si los errores aleatorios son pequeños. Atendiendo a la forma de dar un error de una medida, e independientemente de su naturaleza aleatoria o sistemática, se suele distinguir entre dos tipos de error: absoluto y relativo. Error absoluto. Se define el error absoluto de una medida como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Si designamos por x el valor medido y por X el valor verdadero, entonces el error absoluto Δx es: Δx = x – X En la práctica, el valor verdadero no se conoce, y el error absoluto nos proporciona, junto con el valor experimental obtenido, un límite inferior y otro superior entre los cuales existe una probabilidad grande de que se encuentre el valor verdadero. El error absoluto tiene las mismas unidades que la magnitud medida. Error relativo. Se define el error relativo de una medida como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero de la magnitud. 𝛥𝑥 𝛿! = 𝑥 El error relativo nos proporciona el error cometido por unidad de medida y es una cantidad adimensional. Como por regla general es un número pequeño, se suele dar en tanto por ciento. Puesto que el valor verdadero no se conoce, para que la definición sea operativa se sustituye el valor verdadero de la medida por su mejor estimación. 6.1. Incertidumbre o error en la realización de medidas. Supongamos que hemos realizado N medidas xi de una cierta magnitud y consideremos que están libres de error sistemático, pero que cada una de ellas se ve afectada por un error aleatorio. Nuestro objetivo es establecer un criterio para determinar el resultado de la medida y su error. Para un conjunto de N medidas como el anterior se define la media aritmética 𝑥̅ como: 𝛴𝑥" 𝑥̅ = 𝑁 El error de cada medida será ei = xi -X. 13 donde X es el valor verdadero de la magnitud que, obviamente, es desconocido y del que debemos dar un valor aproximado como resultado de la medida. Se define el residuo para cada uno de los valores como di= xi - 𝑥̅. El criterio, generalmente aceptado, consiste en dar como resultado de la medida de la magnitud el valor medio 𝑥, el cual es el mejor valor de la cantidad que estamos midiendo. Lo que nos falta es estimar el error de la medida, es decir, el error de la media 𝑥. Un criterio utilizado es dar la desviación estándar definida como: 𝛴(𝑥" − 𝑋)# 𝜎=* 𝑁 Esta definición se da en función de los errores de cada medida individual ei. Ahora bien, estas cantidades no son conocidas puesto que según la expresión de ei dependen del valor exacto X de la medida, el cual es desconocido. Para salvar este obstáculo se define una nueva cantidad denominada desviación estándar de la muestra dada por: Esta cantidad nos proporciona una estimación del error de la medida, y en algunos libros de texto se adopta como error de la media 𝑥 y por tanto como error de la medida. Sin embargo, esta cantidad presenta algunos inconvenientes para ser tomada como error de la medida, y que comentaremos a continuación. Podemos decir que la desviación estándar de una muestra de medidas de una magnitud permanece casi constante independientemente del número de medidas que la componen. A la vista de este resultado surge la siguiente pregunta: ¿deberíamos tomar como error de la medida la desviación estándar de la muestra?, y si es así, ¿para qué hacer un gran número de medidas si la desviación estándar puede ser calculada con sólo unas pocas? La respuesta es que la razón de hacer muchas medidas es dar la mejor estimación posible de la magnitud que se mide y que es la media de todas las medidas. Además, debemos estimar el error en la media. Puesto que la desviación estándar de la muestra es un número que 14 caracteriza todo el conjunto de medidas posibles de la magnitud, no se debe tomar como la incertidumbre o error en la media. 6.1.1. Histogramas. Una forma de representar los datos de un conjunto de medidas de una magnitud es mediante un histograma, que consiste en un diagrama que muestra el número de veces que aparece un valor concreto de la medida en el conjunto de la muestra. En un histograma se divide el rango de los valores medido en intervalos iguales y contamos el número de medidas que hay en cada intervalo. 6.1.2. Función de distribución. Para un número grande de muestras, el conjunto total de medidas recibe el nombre de población o agregado estadístico. En el límite, cuando N tiende a infinito, tenemos un conjunto denominado población padre o universo. Podemos reducir la anchura del intervalo, siempre que el instrumento de medida permita apreciar cantidades del orden de dicho intervalo, y tener todavía un número apreciable de medidas en cada uno de ellos. Si ahora dibujamos la fracción de las N mediadas que caen dentro de cada intervalo en función del valor de la medida, obtenemos una curva suave como la mostrada abajo. A esta función se le denomina función de distribución y su significado es que f(x)dx es la fracción de las N medidas que están comprendidas en el intervalo x, x+dx. En otras palabras, f(x)dx es la probabilidad de que una medida individual de la población tomada al azar se encuentre en el intervalo x, x+dx. 15  $% La función de distribución debe satisfacer la relación: ∫&% 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1 La función de distribución viene dada por: 1 𝑓(𝑥) = 𝑒 &(!&()∕#+ 𝜎√2𝜋 Esta función, especificada por dos constantes X y σ, se conoce como distribución de Gauss o normal y tiene las siguientes propiedades: 1. Es simétrica alrededor de X. 2. Tiene su máximo valor en x = X. 3. Tiende rápidamente a cero conforme |𝑥 − 𝑋| se hace grande comparado con σ. Se define la media de la distribución o valor esperado: $% ⟨𝑥⟩ = : 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 &% El error cuadrático medio o varianza de distribución se define como: $% ⟨𝑒 # ⟩ = : (𝑥 − 𝑋)# 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 &% Las definiciones anteriores son generales y son independientes de la función de distribución. Si utilizamos la función de distribución normal o de Gauss se encuentra que: ⟨𝑥⟩ = 𝑋 ⟨𝑒 # ⟩ = 𝜎 # La raíz cuadrada del error cuadrático medio se conoce con el nombre de desviación estándar de la distribución. De la ecuación anterior se tiene que: Desviación estándar = ;⟨𝑒 # ⟩ = 𝜎 𝜎 es una medida de la anchura de la distribución; es decir, es una medida de la dispersión de las medidas. Una distribución que represente un conjunto de medidas precisas presentará un pico agudo cerca de x = X y tendrá un valor pequeño de la desviación estándar σ. Mientras 16 que un conjunto de medidas imprecisas tendrá una dispersión grande alrededor del valor de X y un valor grande para σ. 6.1.3. Teorema del límite central. Hasta ahora hemos visto cómo podemos encontrar el valor medio de una muestra pequeña de medidas y la desviación estándar de la muestra, así como estos mismos parámetros estadísticos en el caso de que tengamos un universo o distribución de medidas. Nuestro objetivo, como indicamos al principio de esta sección, es encontrar un criterio para determinar el resultado de la medida de una magnitud y su error. La respuesta a esta pregunta la podemos encontrar en el teorema del límite central. Este teorema establece lo siguiente: si se toma la suma S de N variables, Xi, donde i = 1,2, 3...N, cada una de ellas tomadas de una distribución de media 𝜇" , y varianza 𝜎"# , la distribución para la suma S: a) ) Tiene un valor medio o esperado: ⟨𝑠⟩ = ∑, "-. 𝜇" , b) Su varianza es 𝑉(𝑠) = 𝛴𝑣" = A"-. 𝜎"# c) Tiende a ser gaussiana conforme N ∞ 6.1.4. Error en una muestra de medidas. Supongamos que la medida de una misma magnitud se repite un número N de veces. Entonces podemos utilizar el teorema del límite central para determinar el resultado de la medida y su error de una forma muy sencilla. La idea básica es suponer que nuestras medidas individuales son una muestra aleatoria de una distribución de medidas individuales o, lo que es lo mismo, que cada una de nuestras N medidas se toma de una de N distribuciones de medidas, que tienen todas la misma media y la misma desviación. Es decir, todas las distribuciones tienen la misma media ⟨𝑥⟩ = 𝜇 y la misma desviación 𝜎. ⟨𝑠⟩ = 𝛴𝜇" = 𝑁𝜇 17  / 0!! Si tenemos en cuenta que 𝑠 = 𝛴𝑥" y que por definición de media de una muestra, 𝑥̅ = , = , esta expresión la podemos reescribir como: ⟨𝑥̅ ⟩ = 𝜇 = ⟨𝑥⟩ = 𝑋 Para la varianza, si tenemos en cuenta que las medidas son independientes, de la ecuación. +" 𝑉(𝑥) = 𝜎!# = ," 𝛴𝑉" = , La variable 𝜎! se denomina error estándar en la media y, según la expresión anterior, viene 𝜎 𝜎! = √𝑁 Podríamos realizar un laborioso cálculo y una interpretación de las ecuaciones anteriores, y finalmente podríamos concluir: El valor de una medida lo expresaremos como la media aritmética de los valores individuales de nuestra muestra y el error como el error estándar en la media. El resultado de la medida se expresará en la forma: 𝑥̅ ± 𝜎!̅. 0!! / ∑(! &!)" ! En donde 𝑥̅ = , y 𝜎!̅ = = B ,(,&.) √,&. 6.2. Incertidumbre o error en la determinación de resultados. En la mayoría de experimentos no se mide directamente la magnitud que es el objeto principal de estudio. Las magnitudes que se miden directamente se combinan entre ellas a través de ciertas relaciones para dar el resultado final del experimento. Los errores inevitables de las medidas directas dan lugar a errores inevitables en nuestros resultados. En este apartado nos vamos a ocupar de la forma en que los errores de las magnitudes medidas se combinan y propagan para producir los errores en los resultados experimentales. 6.2.1. Producto de dos variables. Sea z = x·y. En primer lugar, calculamos las derivadas parciales de la función con respecto a las variables independientes y sustituimos los valores de estas variables por su valor mejor estimado que es el valor medio. Procediendo así: 45 45 46 = 𝑥̅ 4! = 𝑦D 𝜎5 = ;(𝑦D)# 𝜎!# + (𝑥̅ )# 𝜎6# Dividiendo esta ecuación por el valor más probable de z, que viene dado por 𝑧̅ = 𝑥̅ ⋅ 𝑦D +# Si tenemos en cuenta la definición de error relativo dada por la expresión 𝜕𝑥 = !̅ 18 encontramos que el error relativo en el producto de dos variables independientes es aproximadamente la raíz cuadrada de la suma de sus errores relativos, decimos que los errores relativos se suman en cuadratura. 𝜕𝑧 = ;(𝜕𝑥)# + (𝜕𝑦)# 6.2.2. Cociente de dos variables. Sea z = x/y. Procediendo de modo análogo a como hicimos anteriormente, se obtiene: 75. 75. +$ + # + # 7! = 68 76 = !̅ 5 = BI (8%&J + I 98'&J 6.3.3. Suma y diferencia El error de una magnitud, que es la suma o la diferencia de dos cantidades medidas, es la suma en cuadratura de los errores de las magnitudes medidas. 𝜎5̅ = B𝜎!̅# + 𝜎6# 7- BIBLIOGRAFÍA Burbano S., Burbano E., Gracia C. Física General. Editorial Tebar, 2004. Marcelo ALONSO y Edward J. FINN. Física. Vol. 1. Mecánica. Addison-Wesley Iberoamericana. MÉJICO. Joaquín CATALA DE ALEMANY. Física General. SABER, Entidad Española de Librería. VALENCIA Fidalgo J.A. Física General. Editorial Everest, 1994. 19