Derivate - Università San Raffaele

Professore Veronica Redaelli Argomento Derivate  Veronica Redaelli Sommario üDefinizione üEsistenza üNotazione üDerivata f(x) elementari üPrincipali Teoremi Derivate...

Professore Veronica Redaelli Argomento Derivate  Veronica Redaelli Sommario üDefinizione üEsistenza üNotazione üDerivata f(x) elementari üPrincipali Teoremi Derivate 2 di 17  Veronica Redaelli Flashback Ø Y si dice FUNZIONE di x y = f (x) quando esiste un qualsiasi legame il quale faccia corrispondere ad ogni valore della x un valore ed uno solo della y Derivate 3 di 17  Veronica Redaelli Definizione y = x3 – 3x +1 Ø Si dice FUNZIONE DERIVATA f ʹ (x0) x0 di una funzione f(x) in un punto x0 : x0 il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto x0 Derivate 4 di 17  Veronica Redaelli Definizione derivata uguale a zero y = x3 – 3x +1 (retta tangente è parallela all'asse delle ascisse) x0 derivata tende a infinito (retta tangente parallela all'asse delle ordinate) x0 Derivate 5 di 17  Veronica Redaelli Definizione Ø Si dice FUNZIONE DERIVATA f ʹ (x0) f(x0) di una funzione f(x) in f(x0+h) un punto x0 : Il limite del rapporto incrementale X0 X0+h al tendere a 0 dell'incremento h nell'ipotesi che tale limite esista e sia finito Derivate 6 di 17  Veronica Redaelli Esistenza N.B. nell'ipotesi che tale limite esista e sia finito f(x0) Ø Se la funzione f (x) è f(x0+h) derivabile "x0 di un dato intervallo allora si dice che essa è DERIVABILE in X0 X0+h quell’intervallo Derivate 7 di 17  Veronica Redaelli Notazione Derivate 8 di 17  Veronica Redaelli Derivata n-esima Ø La derivata n-esima di una funzione è la funzione che si ottiene derivando successivamente n volte la funzione derivata seconda, terza,... Derivate 9 di 17  Veronica Redaelli Esempi La velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo L’accelerazione è la derivata prima della velocità rispetto al tempo (o la derivata seconda dello spazio …) Derivate 10 di 17  Veronica Redaelli Derivate di funzioni elementari Y=x Y’ = 1 Derivate 11 di 17  Veronica Redaelli Derivate di funzioni elementari Y = x2 Y’ = 2 x Derivate 12 di 17  Veronica Redaelli Derivate di funzioni elementari Y=1/x Y’ = -1 / x2 Derivate 13 di 17  Veronica Redaelli Derivate di funzioni elementari f (x) = x k f’ (x) = k x (k−1) f (x) = k x f’ (x) = k x ln (k) f (x) = e x f’ (x) = e x f (x) = ln (x) f’ (x) = (1/x) f (x) = loga x f’ (x) = (1/x) loga e Derivate 14 di 17  Veronica Redaelli Due teoremi importanti Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili : SOMMA : PRODOTTO : D[ f ( x) × g ( x)] = f ( x) × D[ g ( x)] + g ( x) × D[ f ( x)] Ricordiamoci che: Derivate 15 di 17  Veronica Redaelli Riassumendo üDefinizione üEsistenza üNotazione üDerivata f(x) elementari üPrincipali Teoremi Derivate 16 di 17  Veronica Redaelli F’ I’’ N’’’ E’’’ Derivate 17 di 17