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Questions and Answers
Che cosa rappresenta la derivata di una funzione in un punto x0?
Che cosa rappresenta la derivata di una funzione in un punto x0?
La derivata rappresenta il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto x0.
Cosa indica una derivata uguale a zero in corrispondenza di un punto x0?
Cosa indica una derivata uguale a zero in corrispondenza di un punto x0?
Indica che la retta tangente è parallela all'asse delle ascisse.
Qual è la definizione formale di derivata in termini di limite?
Qual è la definizione formale di derivata in termini di limite?
È il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, a condizione che tale limite esista e sia finito.
Quali sono le condizioni necessarie affinché una funzione abbia una derivata in un punto?
Quali sono le condizioni necessarie affinché una funzione abbia una derivata in un punto?
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Cosa accade alla derivata se tende a infinito in corrispondenza di un punto x0?
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Cosa significa che y è una funzione di x?
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Qual è la notazione usata per indicare la derivata di una funzione f in un punto x0?
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Qual è la forma generale di una funzione derivata a partire da f(x)=x^3-3x+1?
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Cos'è una funzione derivabile in un intervallo?
Cos'è una funzione derivabile in un intervallo?
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Come si calcola la derivata di un prodotto di due funzioni?
Come si calcola la derivata di un prodotto di due funzioni?
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Qual è la derivata della funzione f(x) = x²?
Qual è la derivata della funzione f(x) = x²?
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Cosa rappresenta la derivata di una funzione riguardo alla velocità?
Cosa rappresenta la derivata di una funzione riguardo alla velocità?
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Qual è la derivata della funzione f(x) = e^x?
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Qual è la derivata della funzione f(x) = 1/x?
Qual è la derivata della funzione f(x) = 1/x?
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Come si esprime la derivata della funzione f(x) = loga(x)?
Come si esprime la derivata della funzione f(x) = loga(x)?
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Qual è un esempio di derivata seconda in termini di velocità e accelerazione?
Qual è un esempio di derivata seconda in termini di velocità e accelerazione?
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In che modo la notazione di derivata comune è espresso?
In che modo la notazione di derivata comune è espresso?
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Study Notes
Informazioni generali
- Università: Università San Raffaele, Roma
- Professore: Veronica Redaelli
- Argomento: Derivate
Sommario
- Definizione di derivata
- Esistenza della derivata
- Notazione della derivata
- Derivata di funzioni elementari
- Principali teoremi sulle derivate
Flashback
- Definizione di funzione: un legame che associa ad ogni valore di x un unico valore di y
Definizione
- La derivata di una funzione f(x) in un punto x₀ è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto x₀
Definizione: Derivata uguale a zero
- La derivata è uguale a zero quando la retta tangente è parallela all'asse delle ascisse
Definizione: Derivata tende a infinito
- La derivata tende a infinito quando la retta tangente è parallela all'asse delle ordinate
Definizione (Alternativa)
- La derivata di una funzione f(x) in un punto x₀ è il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, nell'ipotesi che tale limite esista e sia finito.
Esistenza
- Una funzione è derivabile in un intervallo se è derivabile in ogni punto di quell'intervallo
Notazione
- f'(x₀): derivata di f(x) nel punto x₀
- D[f(x)]: dominio della funzione f(x)
- df(x₀)/dx o df/dx |x₀: derivata di f(x) nel punto x₀
Derivata n-esima
- La derivata n-esima di una funzione si ottiene derivando successivamente la funzione n volte (derivata seconda, terza, ecc.)
Esempi
- Velocità: derivata dello spazio rispetto al tempo
- Accelerazione: derivata della velocità rispetto al tempo (o derivata seconda dello spazio)
Derivate di funzioni elementari
- Derivata di y = x: y' = 1
- Derivata di y = x²: y' = 2x
- Derivata di y = 1/x: y' = -1/x²
- Formule per le derivate di alcune funzioni elementari (es: xk, ex, ln(x), logax)
Due teoremi importanti
- Somma: La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni
- Prodotto: La derivata del prodotto di due funzioni è data dalla formula: D[f(x)⋅g(x)] = f(x)⋅D[g(x)] + g(x)⋅D[f(x)]
Riassegnando
- Oltre a specificate sopra, i punti chiave sono la definizione, l’esistenza, la notazione, le derivate di funzioni elementari e i teoremi principali sulle derivate
Conclusione
- Simboli per la derivata n-esima (F', F'', F''')
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Description
Scopri tutto sulle derivate nella nostra lezione dedicata. Affronteremo definizioni, notazione e principali teoremi riguardanti le derivate delle funzioni elementari. Ottieni una comprensione profonda del concetto di derivata e delle sue applicazioni.
