Derivate: Teorie e Definizioni

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to Lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson
Download our mobile app to listen on the go
Get App

Questions and Answers

Che cosa rappresenta la derivata di una funzione in un punto x0?

La derivata rappresenta il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto x0.

Cosa indica una derivata uguale a zero in corrispondenza di un punto x0?

Indica che la retta tangente è parallela all'asse delle ascisse.

Qual è la definizione formale di derivata in termini di limite?

È il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, a condizione che tale limite esista e sia finito.

Quali sono le condizioni necessarie affinché una funzione abbia una derivata in un punto?

<p>La funzione deve essere continua in quel punto e il limite del rapporto incrementale deve esistere.</p> Signup and view all the answers

Cosa accade alla derivata se tende a infinito in corrispondenza di un punto x0?

<p>In tal caso, la retta tangente è parallela all'asse delle ordinate.</p> Signup and view all the answers

Cosa significa che y è una funzione di x?

<p>Significa che ad ogni valore di x corrisponde esattamente un valore di y.</p> Signup and view all the answers

Qual è la notazione usata per indicare la derivata di una funzione f in un punto x0?

<p>La notazione è f'(x0).</p> Signup and view all the answers

Qual è la forma generale di una funzione derivata a partire da f(x)=x^3-3x+1?

<p>La derivata è f'(x) = 3x^2 - 3.</p> Signup and view all the answers

Cos'è una funzione derivabile in un intervallo?

<p>Una funzione è derivabile in un intervallo se il limite della derivata esiste e è finito in ciascun punto dell'intervallo.</p> Signup and view all the answers

Come si calcola la derivata di un prodotto di due funzioni?

<p>La derivata del prodotto di due funzioni f(x) e g(x) è data da D[f(x) × g(x)] = f(x) × D[g(x)] + g(x) × D[f(x)].</p> Signup and view all the answers

Qual è la derivata della funzione f(x) = x²?

<p>La derivata f'(x) della funzione f(x) = x² è f'(x) = 2x.</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta la derivata di una funzione riguardo alla velocità?

<p>La derivata di una funzione rappresenta la velocità, cioè il tasso di variazione della funzione rispetto al tempo.</p> Signup and view all the answers

Qual è la derivata della funzione f(x) = e^x?

<p>La derivata f'(x) della funzione f(x) = e^x è f'(x) = e^x.</p> Signup and view all the answers

Qual è la derivata della funzione f(x) = 1/x?

<p>La derivata f'(x) della funzione f(x) = 1/x è f'(x) = -1/x².</p> Signup and view all the answers

Come si esprime la derivata della funzione f(x) = loga(x)?

<p>La derivata f'(x) della funzione f(x) = loga(x) è f'(x) = (1/x) loga(e).</p> Signup and view all the answers

Qual è un esempio di derivata seconda in termini di velocità e accelerazione?

<p>L'accelerazione è la derivata prima della velocità, cioè la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo.</p> Signup and view all the answers

In che modo la notazione di derivata comune è espresso?

<p>La notazione comune delle derivate viene espressa come f'(x) per la derivata prima, f''(x) per la derivata seconda, e così via.</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Funzione

Un legame che fa corrispondere ad ogni valore di x un valore ed uno solo di y.

Derivata di f(x) in xâ‚€

Il coefficiente angolare della retta tangente alla curva di f(x) nel punto xâ‚€.

Derivata nulla

La derivata di una funzione in un punto è zero quando la retta tangente è parallela all'asse delle ascisse.

Derivata tendente ad infinito

La derivata di una funzione in un punto tende ad infinito quando la retta tangente è parallela all'asse delle ordinate.

Signup and view all the flashcards

Derivata (Definizione formale)

Il limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell'incremento h, nell'ipotesi che tale limite esista e sia finito.

Signup and view all the flashcards

Derivata di una funzione

La derivata di una funzione f(x) in un punto x0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f(x) nel punto (x0, f(x0)).

Signup and view all the flashcards

Derivata prima

La derivata prima di una funzione rappresenta il tasso di variazione istantanea della funzione.

Signup and view all the flashcards

Derivata seconda

La derivata seconda di una funzione rappresenta il tasso di variazione del tasso di variazione della funzione.

Signup and view all the flashcards

Derivata n-esima

La derivata n-esima di una funzione si ottiene derivando n volte successivamente la funzione di partenza.

Signup and view all the flashcards

Funzione derivabile

Una funzione è derivabile in un intervallo se la sua derivata esiste in ogni punto di quell'intervallo.

Signup and view all the flashcards

Derivate di funzioni elementari

Le derivate di funzioni comuni, come x, x^2, 1/x, e^x, ln(x), ecc.

Signup and view all the flashcards

Regola del prodotto (derivate)

La derivata del prodotto di due funzioni è data dalla prima funzione per la derivata della seconda, più la seconda funzione per la derivata della prima.

Signup and view all the flashcards

Study Notes

Informazioni generali

  • Università: Università San Raffaele, Roma
  • Professore: Veronica Redaelli
  • Argomento: Derivate

Sommario

  • Definizione di derivata
  • Esistenza della derivata
  • Notazione della derivata
  • Derivata di funzioni elementari
  • Principali teoremi sulle derivate

Flashback

  • Definizione di funzione: un legame che associa ad ogni valore di x un unico valore di y

Definizione

  • La derivata di una funzione f(x) in un punto xâ‚€ è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto xâ‚€

Definizione: Derivata uguale a zero

  • La derivata è uguale a zero quando la retta tangente è parallela all'asse delle ascisse

Definizione: Derivata tende a infinito

  • La derivata tende a infinito quando la retta tangente è parallela all'asse delle ordinate

Definizione (Alternativa)

  • La derivata di una funzione f(x) in un punto xâ‚€ è il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, nell'ipotesi che tale limite esista e sia finito.

Esistenza

  • Una funzione è derivabile in un intervallo se è derivabile in ogni punto di quell'intervallo

Notazione

  • f'(xâ‚€): derivata di f(x) nel punto xâ‚€
  • D[f(x)]: dominio della funzione f(x)
  • df(xâ‚€)/dx o df/dx |xâ‚€: derivata di f(x) nel punto xâ‚€

Derivata n-esima

  • La derivata n-esima di una funzione si ottiene derivando successivamente la funzione n volte (derivata seconda, terza, ecc.)

Esempi

  • Velocità: derivata dello spazio rispetto al tempo
  • Accelerazione: derivata della velocità rispetto al tempo (o derivata seconda dello spazio)

Derivate di funzioni elementari

  • Derivata di y = x: y' = 1
  • Derivata di y = x²: y' = 2x
  • Derivata di y = 1/x: y' = -1/x²
  • Formule per le derivate di alcune funzioni elementari (es: xk, ex, ln(x), logax)

Due teoremi importanti

  • Somma: La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni
  • Prodotto: La derivata del prodotto di due funzioni è data dalla formula: D[f(x)â‹…g(x)] = f(x)â‹…D[g(x)] + g(x)â‹…D[f(x)]

Riassegnando

  • Oltre a specificate sopra, i punti chiave sono la definizione, l’esistenza, la notazione, le derivate di funzioni elementari e i teoremi principali sulle derivate

Conclusione

  • Simboli per la derivata n-esima (F', F'', F''')

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Quiz Team

Related Documents

More Like This

Understanding Derivatives in Mathematics
6 questions
Calculus Derivatives Quiz
37 questions
Calculus Derivatives and Properties
171 questions
Derivatives of Sums and Products in Calculus
10 questions
Use Quizgecko on...
Browser
Browser