SA2 - Probabilités (PDF)

SA2: PROBABILITÉ I. Situations liées au hasard 1) Expérience aléatoire On dit d’une expérience qu’elle est aléatoire lorsqu’elle vérifie trois conditions : 1) on connaît tous les résultats possibles de l’expérience ; 2) le résultat n’est pas prévisible ; 3) on peut repro...

SA2: PROBABILITÉ I. Situations liées au hasard 1) Expérience aléatoire On dit d’une expérience qu’elle est aléatoire lorsqu’elle vérifie trois conditions : 1) on connaît tous les résultats possibles de l’expérience ; 2) le résultat n’est pas prévisible ; 3) on peut reproduire plusieurs fois l’expérience dans les mêmes conditions. Une expérience (lancé un dé par exemple) est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues (pile ou face) et que l’on ne peut pas prévoir, à priori, quel résultat se produira. L’ensemble des issues d’une expérience s’appelle l’univers (pile, face). Exemple : - On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure. - On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. - On fait tourner une roue marquée sur ses secteurs de couleurs différentes et on regarde le secteur marqué par la flèche. Exemple : Étudier une situation liée au hasard Vidéo https://youtu.be/6EtRH4udcKY Sur un jeu de 13 cartes indiscernables, Léo écrit sur chaque carte une lettre du mot « mathématiques ». M A T H E M A T I Q U E S Ensuite Léo retourne toutes les cartes et demande à son ami Théo d’en choisir une au hasard. 1) Est-ce une expérience aléatoire ? 2) Quelle(s) lettre(s) a-t-il le plus de chance d’obtenir ? 3) Théo pense qu’il a plus de chance d’obtenir une consonne qu’une voyelle. A-t-il raison ? 4) Théo affirme qu’il a plus d’une chance sur deux de tirer une lettre appartenant à son prénom. A-t-il raison ? 1) Cette expérience est aléatoire, car : 1 – on connait les résultats possibles : M, A, T, H, E, I, Q, U, S ; – le résultat n’est pas prévisible : les cartes sont retournées ; – on peut la reproduire plusieurs fois. 2) Les lettres M, A, T, E apparaissent deux fois. Ce sont ces 4 lettres qu’il a le plus de chance d’obtenir. 3) On compte 7 consonnes : 2M, 2T, H, Q, S et 6 voyelles : 2A, 2E, I, U. Il a raison de penser qu’il a plus de chance d’obtenir une consonne qu’une voyelle. 4) Le jeu contient 5 lettres appartenant à son prénom : 2T, H, 2E. Il a donc 5 chances sur 13 d’obtenir une de ces lettres. 5 est inférieur à la moitié de 13, il a donc moins d’une chance sur deux de tirer une lettre appartenant à son prénom. Théo a donc tort. 2) Calcul d’une probabilité élémentaire Un événement est constitué de plusieurs issues d’une même expérience aléatoire. Par exemple, si on lance un dé à 6 faces, on peut considérer l’événement suivant : « On obtient un nombre supérieur ou égal à 5. » Cet événement est constitué des issues : « 5 » et « 6 ». Pour évaluer, les chances que cet événement se réalise, on peut effectuer un calcul de probabilité : Quelles sont les chances que l’événement précédent se réalise ? Cet événement possède 2 issues possibles sur 6 issues en tout. Il a donc 2 chances sur 6 de se réaliser. 2 On dit que la probabilité que cet événement se réalise est de 2 sur 6 que l’on peut noter ou 6 1 2 1 même car =. 3 6 3 Exemple : Effectuer un calcul de probabilité élémentaire Vidéo https://youtu.be/a9Mb5v7Z4Mw Calculer les probabilités des événements suivants : 1) Tomber sur le nombre 2 en lançant un dé à 6 faces. 2) Obtenir une boule verte en piochant au hasard une boule dans une urne contenant 3 boules vertes et 4 boules jaunes. 3) La roue ci-contre s’arrête sur un secteur jaune. 1) Cet événement possède 1 issue possible (le « 2 ») sur 6 issues en tout. Il a donc 1 chance sur 6 de se réaliser. 2 La probabilité de tomber sur le nombre 2 en lançant un dé à 6 1 faces est donc égale à. 6 2) Cet événement possède 3 issues possibles (3 boules vertes) sur 7 issues en tout (3+4=7 boules). Il a donc 3 chances sur 7 de se réaliser. 3 La probabilité d’obtenir une boule verte est donc égale à. 7 3) Cet événement possède 2 issues possibles (2 secteurs jaunes) sur 14 issues en tout (14 secteurs). Il a donc 2 chances sur 14 de se réaliser. 2 1 La probabilité d’obtenir un secteur jaune est donc égale à =. 14 7 3) Exemple d’expérience aléatoire Réalisons une expérience aléatoire : Vidéo https://youtu.be/ithQHSY9Z-E Chaque élève lance 100 fois un dé à six faces et note les effectifs d’apparition de chaque face dans le tableau : Faces 1 2 3 4 5 6 Total Effectifs 20 14 10 22 16 18 100 On regroupe ensuite l’ensemble des résultats de la classe dans un même tableau puis on calcule les fréquences d’apparition de chaque face. Faces 1 2 3 4 5 6 Total Effectifs 434 456 443 459 435 473 2700 Fréquences 16,1% 16,9% 16,4% 17% 16,1% 17,5% 100 Les fréquences d’apparition sont très proches les unes des autres. Théoriquement, il y a autant de chance d’obtenir un 1, un 2, … ou un 6. En effectuant un nombre encore plus grand de lancers, les fréquences se rapprocheraient les unes des autres de façon encore plus évidente. La suite de la leçon nous expliquera comment calculer les fréquences théoriques d’une expérience aléatoire. 3 II. Notion de probabilité Vidéo https://youtu.be/242ah8YiUZ4 1) Arbre des probabilités Exemple : Lorsqu’on fait tourner la roue, quatre issues sont possibles. On le schématise sur l’arbre des probabilités : bleu rouge jaune vert L’arbre des probabilités permet de visualiser les issues d’une expérience aléatoire. 2) Probabilité Définition : Les fréquences obtenues d’un événement E se rapprochent d’une valeur théorique lorsque le nombre d’expérience augmente (Loi des grands nombres). Cette valeur s’appelle la probabilité de l’événement E. Exemple : 2 secteurs sur 8 sont de couleur bleue. Lors d’une expérience aléatoire, il y a donc 2 chances sur 8 d’obtenir un secteur de couleur bleue. On dit que la probabilité d’obtenir un secteur bleu est égale à 2 1 , soit. 8 4 On inscrit sur l’arbre des possibles les probabilités des différentes issues. Exemple : Dire que la probabilité d’une situation est de 0,8 signifie que cette situation à 8 chances sur 10 ou 80 % de chance de se produire. 4  3) Événement Définition : Un événement est constitué par plusieurs issues d’une même expérience aléatoire. Définition : La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime « la chance qu’a un évènement de se produire ». 0 ≤ P(E) ≤ 1. Exemple : Soit l’événement E « La roue s’arrête sur un secteur bleu ou rouge ». On pourrait se demander quelle est la probabilité que cet événement se réalise ? 3 On dit que la probabilité que l’événement E se réalise est égale à et on note : 8 3 P(E) =. 8 4) Vocabulaire des évènements Un évènement dont la probabilité est égale à 0 est un évènement impossible. 𝑃(𝑨) = 0 Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certain. 𝑃(𝑨) = 1 5) Évènement contraire Exemple : On considère l’expérience aléatoire suivante : On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. Soit E l’événement : « La face du dessus est un 1 ou un 6 ». 5 Alors l’événement contraire de E est : « La face du dessus est un 2, un 3, un 4 ou un 5 ». Cet événement est noté 𝑬̅. Définition : L'événement contraire de 𝐴, noté 𝐴̅, est l'ensemble de toutes les issues de n'appartenant pas à 𝐴. ̅ ) = 1 − 𝑃(𝑨) Propriété : 𝑃(𝑨 Exemple : On lance un dé à 6 faces et on regarde la face du dessus. On pose : 𝐴 = « On obtient un 1 » et donc 𝐴̅ = « On obtient un 2, 3, 4, 5 ou 6. » Les évènements 𝐴 et 𝐴̅ sont contraires. 6) Calcul de probabilités Vidéo https://youtu.be/XTlxQPG5ehc Vidéo https://youtu.be/3u_yFS-xiHc Exemple : On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. Soit 𝑬 l’événement : « La face du dessus est un 1 ou un 6 ». On gagne au jeu si l’événement 𝑬 se réalise. a) Quelle est la probabilité de gagner ? b) Quelle est la probabilité de perdre ? a) On construit l’arbre des probabilités de l’expérience aléatoire : Chaque issue a la même probabilité : il y a une chance sur six de sortir un 1, un 2, … ou un 6. On dit qu’il y a équiprobabilité. 6  1 Ainsi 𝑃(𝑬) = 3 1 La probabilité que l’événement 𝑬 se réalise est de. 3 Il y a donc une chance sur trois de gagner. b) Calculer la probabilité de perdre revient à calculer la probabilité que l’événement 𝑬 ne se réalise pas. Il s’agit de l’événement contraire de l’événement 𝑬, et on le note 𝑬̅. 1 On sait que 𝑃(𝑬) = donc 𝑃(𝑬 ̅ ) = 1 − 1 = 2. 3 3 3 Il y a donc deux chances sur trois de perdre. Propriété : En cas d’équiprobabilité chaque issue a autant de chance de se produire. 1 P(A) = P(B) = P(C) = 3 Propriété : La probabilité d’un évènement E est : 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 à 𝐸 P(E) = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Cette définition s’appelle “Loi de Laplace” ou “Règle de Laplace”. Exemple : Vidéo https://youtu.be/d6Co0q01QH0 On lance un dé à six faces et on regarde le nombre inscrit sur la face du dessus. Soit E l’évènement : « La face du dessus est un nombre supérieur ou égal à 3 ». Quelle est la probabilité que l’évènement E se réalise ? Nombre d’issues favorables à E = 4 En effet, pour avoir un nombre supérieur ou égal à 3, il faut obtenir un 3, un 4, un 5 ou un 6. Nombre d’issues total = 6 En effet, le dé à 6 faces. 4 2 Ainsi P(E) = =. 6 3 2 La probabilité que l’évènement E se réalise est de. 3 Il y a donc deux chances sur trois d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 3. Exemple : Vidéo https://youtu.be/d6Co0q01QH0 Vidéo https://youtu.be/5ZNYG3e2g_k 7 On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit E l’événement : « On tire un as ». Quelle est la probabilité que l’événement E se réalise ? Il a 32 issues possibles car il existe 32 façons différentes de tirer une carte. L’événement E possède 4 issues possibles : as de cœur, as de carreau, as de trèfle et as de pique. 4 1 La probabilité que l’événement E se réalise est donc égale à : P(E) = =. 32 8 Propriétés : 1) La probabilité P(E) d’un événement E est telle: 0 ≤ P(E) ≤ 1. 2) La somme des probabilités des issues est égale à 1. P(A) + P(B) + P(C) = 1 3) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. Dans ce cas on parle de événements incompatibles. P(A U B) = P(A) + P(B) 4) Si les événements élémentaires sont compatibles, la probabilité est : P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) III. Expérience à deux épreuves Exemple : Tableau à double entrée Vidéo https://youtu.be/5DGQ-49xzgI On tire, deux fois de suite et avec remise, une boule dans une urne contenant une boule bleue et deux boules rouges. En utilisant un tableau à double entrée, déterminer la probabilité de : a) Tirer successivement deux boules rouges, b) Tirer au moins une boule rouge. 8 On réalise un tableau à double entrée présentant en ligne et en colonne les issues possibles pour chaque tirage : a) On compte 9 issues en tout et 4 issues favorables à l’événement « Tirer successivement deux boules rouges ». Donc la probabilité de tirer successivement deux boules rouges est 4 égale à. 9 b) L’événement contraire de « Tirer au moins une boule rouge » est « Tirer aucune boule rouge ». On compte 9 issues en tout et 1 issue favorable à l’événement « Tirer aucune boule rouge ». 1 Donc la probabilité de tirer aucune boule rouge est égale à : 9 Donc la probabilité de tirer au moins une boule rouge est égale à : 1 8 1− =. 9 9 Exemple : Arbre des probabilités Vidéo https://youtu.be/dQPd9njK5ZA On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Il s’agit d’une expérience aléatoire à deux épreuves. Soit E l’événement : « On obtient au moins une fois la face PILE. » Calculer P(E) en utilisant un arbre des possibles. On construit un arbre des possibles présentant les résultats possibles aux deux épreuves de l’expérience. Le 1er niveau de l’arbre correspond les issues du 1er lancer (1ère épreuve). 9 Le 2e niveau de l’arbre correspond les issues du 2e lancer (2e épreuve). On compte 4 issues en tout : (P ; P), (P ; F), (F ; P) et (F ; F). L’événement E possède 3 issues : (P ; P), (P ; F) et (F ; P). 3 La probabilité que l’événement E se réalise est donc égale à. 4 Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois « PILE » lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce de monnaie. 10