رياضيات أول ثانوي-التوازي والتعامد-PDF

‫التوازي والتعامد‬ ‫‪Parallel And Perpendicular‬‬ ‫فيما سبق‪:‬‬...

‫التوازي والتعامد‬ ‫‪Parallel And Perpendicular‬‬ ‫فيما سبق‪:‬‬ ‫در ستُ الم ستقيمات والزوايا‬ ‫وا ستعمال التبرير اال ستنتاجي‬ ‫لكتابة براهين هند سية‪.‬‬ ‫واألآن‪:‬‬ ‫اأحدد عالقات بين زوايا ناتجة‬ ‫عن قطع م ستقيم لم ستقيمين‬ ‫متوازيين‪.‬واأبرهن توازي‬ ‫م ستقيمين من خالل عالقات‬ ‫الزوايا المعطاة‪.‬‬ ‫اأ ستعمل الميل لتحليل الم ستقيم‬ ‫وكتابة معادلته‪.‬‬ ‫اأجد البعد بين نقطة وم ستقيم‪،‬‬ ‫والبعد بين م ستقيمين‬ ‫متوازيين‪.‬‬ ‫لماذا؟‬ ‫هند سة‪:‬‬ ‫في ت ساميم المباني يعتمد‬ ‫المهند سون على خ سائ س‬ ‫هند سية مختلفة منها التوازي‬ ‫والتعامد‪.‬‬ ‫التوازي والتعامد‪ :‬اعمل هذه المطوية لت ساعدك على تنظيم مالحظاتك حول‬ ‫منظم اأفكار‬ ‫العالقات بين الم ستقيمات‪ ،‬مبتد ًئا بورقة ‪ A4‬واحدة و ست بطاقات‪.‬‬ ‫اكتب عنوانًا لكل جيب كما‬ ‫‪4‬‬ ‫افتح الورقة وثبت الحواف‬ ‫‪3‬‬ ‫اط ِو الورقة طول ًّيا مرتين كما‬ ‫‪2‬‬ ‫اط ِو جانب الورقة األطول‬ ‫‪1‬‬ ‫موضح‪.‬وضع بطاقتين‬‫هو ّ‬ ‫لتكون ثالثة‬ ‫عند الجانبين؛ ّ‬ ‫في الشكل‪.‬‬ ‫بعرض ‪ 4 cm‬لعمل جيب‬ ‫في كل جيب‪.‬‬ ‫جيوب‪.‬‬ ‫كما في الشكل‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 86‬الف سل ‪ 2‬التوازي والتعامد‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬  ‫رابط الدر س الرقمي‬ ‫‪www.ien.edu.sa‬‬ ‫‪2‬‬ ‫التهيئة للف سل‬ ‫ت سخي س األ ستعداد‪:‬‬ ‫اأجب عن االختبار االآتي ‪.‬انظر اإلى المراجعة ال سريعة قبل االإجابة عن االختبار‪.‬‬ ‫مراجعة سريعة‬ ‫اختبار سريع‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مثال‬ ‫‪A‬‬ ‫استعمل الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪L‬‬ ‫استعمل الشكل المجاور ‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ )a‬كم مستوى يظهر في الشكل؟ اذكرها‪.‬‬ ‫‪ )1‬كم مستوى يظهر في الشكل؟ اذكرها‪.‬‬ ‫ستة مستويات هي‪:‬‬ ‫‪ )2‬سمّ ثالث نقاط تقع على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫‪. FGL, JHM, FKP, GLM, FGH, KLM‬‬ ‫‪C03-231A-888484‬‬ ‫وضح‬ ‫‪ )3‬هل تقع النقاط ‪ B, C, D‬في المستوى نفسه؟ ّ‬ ‫سم ثالث نقاط تقع على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫‪C03-230A-888484‬‬ ‫‪ّ )b‬‬ ‫إجابتك‪.‬‬ ‫النقاط ‪ M, Q, H‬تقع على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫‪ )4‬اأجهزة‪ :‬يوضع جهاز مساحة األراضي على حامل‬ ‫‪ )c‬هل تقع النقاط ‪ F, K, J‬في المستوي نفسه؟ ِّ‬ ‫وضح إجابتك‪.‬‬ ‫ثالثي القوائم‪.‬هل تقع الرؤوس السفلية للقوائم الثالثة‬ ‫نعم‪.‬النقاط ‪ F, K, J‬تقع جميعها في المستوى ‪.FKPJ‬‬ ‫في المستوى نفسه؟‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال‬ ‫أوجد قياس ٍّ‬ ‫كل من الزوايا اآلتية‪:‬‬ ‫أوجد ‪.m∠1‬‬ ‫‪∠1 )5‬‬ ‫‪m∠1 + 37°+ 90°= 180°‬‬ ‫‪23°‬‬ ‫اجمع‬ ‫‪∠2 )6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪37°‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب سط‬ ‫ّ‬ ‫‪m∠1 = 53°‬‬ ‫‪1 67°‬‬ ‫‪∠3 )7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪∠4 )8‬‬ ‫‪C03-233A-888484.ai‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال‬ ‫أوجد قيمة ‪ x‬لقيم ‪ a , b‬المعطاة في كل معادلة مما يأتي‪:‬‬ ‫أوجد قيمة ‪ x‬في المعادلة ( ‪، a + 8 = b ) x - 7‬‬ ‫‪a + 8 = -4(x - b), a = 8 , b = 3 )9‬‬ ‫إذا كان ‪. a = 12 , b = 10‬‬ ‫‪b = 3 x + 4 a, a = -9 , b = 12 )10‬‬ ‫المعادلة المعطاة‬ ‫)‪a + 8 = b(x - 7‬‬ ‫_‬ ‫‪a+2‬‬ ‫‪= 5x, a = 18 , b = -1‬‬ ‫‪)11‬‬ ‫‪b + 13‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫=‪,b‬‬ ‫)‪12 + 8 = 10(x - 7‬‬ ‫‪ )12‬معار س‪ :‬يقدم معرض هدية بسعر تشجيعي قدره‬ ‫ب سط‬ ‫ّ‬ ‫‪20 = 10x - 70‬‬ ‫‪ً 15‬‬ ‫رياال عند شراء بطاقتَي دخول‪.‬إذا دفع أحمد وأخوه‬ ‫للطرفين‬ ‫اجمع‬ ‫‪90 = 10x‬‬ ‫‪ً 95‬‬ ‫رياال‪ ،‬فاكتب معادلة تمثل ما دفعه أحمد وأخوه‪ ،‬ثم‬ ‫اق سم الطرفين على‬ ‫‪x=9‬‬ ‫ُح َّلها إليجاد ثمن بطاقة الدخول الواحدة‪.‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الف سل ‪ 2‬التهيئة للف سل‬ ‫رابط الدر س الرقمي‬ ‫الم ستقيمان والقاطع‬ ‫‪2- 1‬‬ ‫‪www.ien.edu.sa‬‬ ‫‪Lines and Transeversal‬‬ ‫لماذا؟‬ ‫تُظهر ُغرفة الخداع البصري أن الشخص الواقف في الزاوية اليمنى أكبر من الشخص الواقف في الزاوية اليسرى‪.‬‬ ‫فيما سبق‪:‬‬ ‫وفي المنظر األمامي‪ ،‬يبدو الحائطان األمامي والخلفي متوازيين في حين أنهما ليسا كذلك‪.‬‬ ‫ا ستعملتُ عالقات الزوايا‬ ‫والقطع الم ستقيمة الأبرهن‬ ‫‪B‬‬ ‫نظريات‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫(الدرو س من ‪ 1-5‬اإلى ‪)1-8‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫واألآن‪:‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪G‬‬ ‫اأتع ّرف العالقات بين‬ ‫م ستقيمين اأو م ستويين‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫اأ س ّمي اأزواج الزوايا‬ ‫الناتجة عن م ستقيمين‬ ‫ويبدو السقف واألرضية أفقيين‪ ،‬ولكنهما في الحقيقة ليسا أفقيين‪.‬‬ ‫وقاطع لهما‪.‬‬ ‫لت مستقيمات متوازية ومتقاطعة ومتخالفة باإلضافة إلى‬ ‫العالقات بين الم ستقيمات والم ستويات‪ :‬است ِ‬ ‫ُعم ْ‬ ‫مستويات متقاطعة وأخرى متوازية؛ لتصميم غرفة الخداع كما يتضح في الرسم السابق‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫الم ستقيمان المتوازيان‬ ‫اأ سف اإلى‬ ‫التوازي والتخالف‬ ‫مفاهيم اأ سا سية‬ ‫‪parallel lines‬‬ ‫الم ستقيمان المتخالفان‬ ‫الم ستقيمان المتوازيان هما م ستقيمان ال يتقاطعان‬ ‫‪J‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪skew lines‬‬ ‫ت ستعمل روؤو س االأ سهم لتدل‬ ‫اأبدًا ويقعان في الم ستوى نف سه‪.‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪M‬‬ ‫الم ستويان المتوازيان‬ ‫على توازي م ستقيمين‪.‬‬ ‫‪JK‬‬ ‫مثال‪ :‬‬ ‫‪ ǁ LM‬‬ ‫‪parallel planes‬‬ ‫القاطع‬ ‫الم ستقيمان المتخالفان هما م ستقيمان ال يتقاطعان‪،‬‬ ‫‪transversal‬‬ ‫وال يقعان في الم ستوى نف سه‪.‬‬ ‫الزوايا الداخلية‬ ‫‪ℓ‬‬ ‫مثال‪ :‬الم ستقيمان ‪ ℓ, m‬متخالفان‪.‬‬ ‫‪interior angles‬‬ ‫‪C03-002A-888484.ai‬‬ ‫‪A‬‬ ‫الزوايا الخارجية‬ ‫الم ستويان المتوازيان هما م ستويان غير متقاطعين‪.‬‬ ‫‪exterior angles‬‬ ‫‪m‬‬ ‫مثال‪ :‬الم ستويان ‪ A, B‬متوازيان‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫الزاويتان المتحالفتان‬ ‫‪consecutive angles‬‬ ‫الزاويتان المتبادلتان‬ ‫‪ : JK‬الم ستقيم ‪ JK‬يوازي الم ستقيم ‪LM‬‬ ‫‪ ǁ LM‬‬ ‫‪‬‬ ‫ُتقراأ‬ ‫داخل ًّيا‬ ‫‪C03-003A-888484.ai‬متوازية‬ ‫إذا كانت القطع المستقيمة أو أنصاف المستقيمات أجزا ًء من مستقيمات متوازية أو متخالفة‪ ،‬فإنها تكون‬ ‫‪alternate interior angles‬‬ ‫أيضا‪.‬‬ ‫أو متخالفة ً‬ ‫الزاويتان المتبادلتان‬ ‫خارج ًّيا‬ ‫تحديد عالقات التوازي والتخالف‬ ‫من واقع الحياة‬ ‫مثال‪11‬‬ ‫‪alternate exterior angles‬‬ ‫الزاويتان المتناظرتان‬ ‫ً‬ ‫مستعمال قطعة الجبن في الشكل المجاور ‪:‬‬ ‫حدِّ د ًّ‬ ‫كال مما يأتي‬ ‫‪corresponding angles‬‬ ‫___‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ )a‬جميع القطع المستقيمة التي توازي ‪.JP‬‬ ‫‪L‬‬ ‫___ ___‬ ‫‪KQ , LR‬‬ ‫‪J‬‬ ‫___‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ )b‬جميع القطع المستقيمة التي تخالف ‪.KL‬‬ ‫___ ___ __‬ ‫‪R‬‬ ‫‪JP , PQ , PR‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ )c‬مستوى يوازي المستوى ‪. PQR‬‬ ‫المستوى ‪ JKL‬هو المستوى الوحيد الموازي للمستوى ‪.PQR‬‬ ‫‪ 88‬الف سل ‪ 2‬التوازي والتعامد‬ ‫‪C03-004A-888484‬‬ ‫‪Approved‬‬  ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫تنبيه!‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ً‬ ‫مستعمال الشكل المجاور ‪:‬‬ ‫حدد ًّ‬ ‫كال مما يأتي‬ ‫التوازي والتخالف‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ )1A‬جميع القطع المستقيمة التي تخالف ‪‬‬ ‫‪. BC‬‬ ‫في تمرين تحقق من‬ ‫‪D‬‬ ‫___‬ ‫‪ FE‬ال‬ ‫فهمك ‪ : A‬‬ ‫‪ )1B‬قطعة مستقيمة توازي ‪. EH‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬ ‫يخالف ‪‬‬ ‫‪ BC‬بل يوازيه‪،‬‬ ‫وذلك الأنهما ال يتقاطعان‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ )1C‬جميع المستويات التي توازي المستوى ‪. DCH‬‬ ‫ويقعان في الم ستوى‬ ‫‪.BCF‬‬ ‫عالقات اأزواج الزوايا الناتجةعن القاطع‪ :‬القاطع هو المستقيم الذي يقطع مستقيمين أو أكثر في المستوى‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫نفسه وفي نقاط مختلفة‪.‬ففي الشكل أدناه‪ ،‬المستقيم ‪ t‬قاطع للمستقيمين ‪.q , r‬الحظ أن المستقيم ‪ t‬يشكّل ثماني‬ ‫زوايا مع المستقيمين ‪. q , r‬وأزواج محددة من هذه الزوايا لها أسماء خاصة‪.‬‬ ‫اأ سف اإلى‬ ‫عالقات اأزواج الزوايا الناتجة عن القاطع‬ ‫مفاهيم اأ سا سية‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫توجد اأربع زوايا داخلية في المنطقة بين‬ ‫∠‪∠ ,∠ ,∠ ,‬‬ ‫الم ستقيمين ‪. q , r‬‬ ‫‪C03-005A-888484.ai‬‬ ‫توجد اأربع زوايا خارجية في منطقتين‬ ‫∠‪∠ ,∠ ,∠ ,‬‬ ‫لي ستا بين ‪. q , r‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫الزاويتان المتحالفتان هما زاويتان داخليتان‬ ‫∠‬ ‫∠ و ∠‪ ∠ ،‬و‬ ‫واقعتان في جهة واحدة من القاطع ‪.t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫الزاويتان المتبادلتان داخل ًّيا هما زاويتان‬ ‫‪q‬‬ ‫∠‬ ‫∠ و ∠‪ ∠ ،‬و‬ ‫‪3‬‬ ‫داخليتان غير متجاورتين تقعان في جهتين‬ ‫‪‬‬ ‫مختلفتين من القاطع ‪.t‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫الزاويتان المتبادلتان خارج ًّيا هما زاويتان‬ ‫‪8‬‬ ‫∠‬ ‫∠ و ∠‪ ∠ ،‬و‬ ‫خارجيتان غير متجاورتين تقعان في‬ ‫جهتين مختلفتين من القاطع ‪.t‬‬ ‫‪‬‬ ‫الزاويتان المتناظرتان هما زاويتان‬ ‫∠‬ ‫∠ و ∠‪ ∠ ،‬و‬ ‫واقعتان في جهة واحدة من القاطع ‪،t‬‬ ‫∠‬ ‫∠ و ∠‪ ∠ ،‬و‬ ‫اإحداهما داخلية‪ ،‬واالأخرى خارجية وغير‬ ‫متجاورتين‪.‬‬ ‫ت سنيف عالقات اأزواج الزوايا‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال‬ ‫ً‬ ‫مستعمال الشكل المجاور‪ ،‬صنِّف كل زوج من الزوايا فيما يأتي إلى زاويتين متبادلتين داخل ًّيا‪ ،‬أو متبادلتين‬ ‫خارج ًّيا‪ ،‬أو متناظرتين‪ ،‬أو متحالفتين‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪ ∠7 )b‬و ‪∠6‬‬ ‫‪ ∠5 )a‬و ‪∠1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫متحالفتان‬ ‫خارجيا‬ ‫ًّ‬ ‫متبادلتان‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ∠6 )d‬و ‪∠2‬‬ ‫‪ ∠4 )c‬و ‪∠2‬‬ ‫داخليا‬ ‫ًّ‬ ‫متبادلتان‬ ‫متناظرتان‬ ‫‪C03-008A-888484.ai‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫‪ ∠2 )2D‬و ‪∠3‬‬ ‫‪ ∠4 )2C‬و ‪∠8‬‬ ‫‪ ∠5 )2B‬و ‪∠7‬‬ ‫‪ ∠3 )2A‬و ‪∠7‬‬ ‫الم ستقيمان والقاطع ‪89‬‬ ‫الدر س ‪2- 1‬‬  ‫عندما يوجد في الشكل أكثر من قاطع واحد‪ ،‬ع ّين ً‬ ‫أوال القاطع الذي ينتج عنه زوج الزوايا المعطاة‪ ،‬بتعيين‬ ‫المستقيم الذي يصل بين رأسيهما‪.‬‬ ‫اإر سادات للدرا سة‬ ‫تحديد القاطع وت سنيف اأزواج الزوايا‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال‬ ‫القاطع‬ ‫استعمل صورة تقاطع سكك القطار المجاورة؛ لتحدد القاطع الذي يصل‬ ‫في ال سكل اأدناه‪،‬‬ ‫بين كل زوج من الزوايا فيما يأتي‪ ،‬ثم ص ِّنف األزواج إلى زاويتين متبادلتين‬ ‫الم ستقيم ‪ c‬لي س قاط ًعا‬ ‫للم ستقيمين ‪،a , b‬‬ ‫خارجيا‪ ،‬أو متناظرتين‪ ،‬أو متحالفتين‪.‬‬ ‫ًّ‬ ‫داخليا‪ ،‬أو متبادلتين‬ ‫ًّ‬ ‫‪3‬‬ ‫الأن الم ستقيم ‪ c‬يقطع‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ∠1 )a‬و ‪∠3‬‬ ‫الم ستقيمين ‪ a , b‬في‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫نقطة واحدة فقط‪.‬‬ ‫‪j‬‬ ‫القاطع الذي يصل بين ‪ ∠1‬و ‪ ∠3‬هو المستقيم ‪.h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪9‬‬ ‫وهما زاويتان متبادلتان خارج ًّيا‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ ∠5 )b‬و ‪∠6‬‬ ‫‪a‬‬ ‫القاطع الذي يصل بين ‪ ∠5‬و ‪ ∠6‬هو المستقيم ‪. k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ℓ‬‬ ‫وهما زاويتان متحالفتان‪.‬‬ ‫‪ ∠2 )c‬و ‪∠6‬‬ ‫القاطع الذي يصل بين ‪ ∠2‬و ‪ ∠6‬هو المستقيم ‪.ℓ‬وهما زاويتان متناظرتان‪.‬‬ ‫‪C03-010A-888484.ai‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫‪ ∠2 )3D‬و ‪∠9‬‬ ‫‪ ∠5 )3C‬و ‪∠7‬‬ ‫‪ ∠2 )3B‬و ‪∠8‬‬ ‫‪ ∠3 )3A‬و ‪∠5‬‬ ‫✓ تاأكــــد‬ ‫‪W‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫ً‬ ‫مستعمال متوازي المستطيالت في الشكل المجاور ‪:‬‬ ‫حدد ًّ‬ ‫كال مما يأتي‬ ‫‪1‬‬ ‫المثال‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪U‬‬ ‫___‬ ‫‪V‬‬ ‫‪ )1‬جميع القطع المستقيمة التي توازي ‪. SV‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ )2‬مستوى يوازي المستوى ‪. ZWX‬‬ ‫___‬ ‫‪ )3‬قطعة مستقيمة تخالف ‪ TS‬وتحتوي على النقطة ‪. W‬‬ ‫‪ )4‬اإن ساءات‪ :‬استعمل الشكل المجاور لتحديد ٍّ‬ ‫كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C03-011A-888484.ai‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ )a‬ثالثة أزواج من المستويات المتوازية‪.‬‬ ‫___‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ )b‬ثالث قطع مستقيمة توازي ‪. DE‬‬ ‫‪J‬‬ ‫___‬ ‫‪ )c‬قطعتين مستقيمتين توازيان ‪. FE‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ )d‬زوجين من القطع المستقيمة المتخالفة‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫مستعمال الشكل المجاور‪ ،‬صنِّف كل زوج من الزوايا فيما يأتي إلى زاويتين‬ ‫ً‬ ‫‪2‬‬ ‫المثال‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫متبادلتين داخل ًّيا‪ ،‬أو متبادلتين خارج ًّيا‪ ،‬أو متناظرتين‪ ،‬أو متحالفتين‪.‬‬ ‫‪ ∠2 )6‬و ‪∠4‬‬ ‫‪ ∠1 )5‬و ‪∠8‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪7 8‬‬ ‫‪ ∠6 )8‬و ‪∠7‬‬ ‫‪ ∠3 )7‬و ‪∠6‬‬ ‫‪ 90‬الف سل ‪ 2‬التوازي والتعامد‬ ‫‪C03-013A-888484.ai‬‬  ‫‪m‬‬ ‫استعمل الشكل المجاور لتحدد القاطع الذي يصل بين كل زوج من الزوايا‬ ‫‪3‬‬ ‫المثال‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫داخليا‪ ،‬أو متبادلتين‬ ‫ًّ‬ ‫فيما يأتي‪ ،‬ثم ص ِّنف زوج الزوايا إلى زاويتين متبادلتين‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫خارجيا‪ ،‬أو متناظرتين‪ ،‬أو متحالفتين‪:‬‬ ‫ًّ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ∠5 )10‬و ‪∠6‬‬ ‫‪ ∠2 )9‬و ‪∠4‬‬ ‫‪ ∠2 )12‬و ‪∠7‬‬ ‫‪ ∠4 )11‬و ‪∠7‬‬ ‫تدرب وحل الم سائل‬ ‫‪C03-014A-888484‬‬ ‫ً‬ ‫مستعمال الشكل المجاور ‪:‬‬ ‫حدِّ د ًّ‬ ‫كال مما يأتي‬ ‫‪1‬‬ ‫المثال‬ ‫____‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ )13‬جميع القطع المستقيمة التي توازي ‪.DM‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مستوى يوازي المستوى ‪. ACD‬‬ ‫‪)14‬‬ ‫___‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ )15‬قطعة مستقيمة تخالف ‪. BC‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪ )16‬مستوى يتقاطع مع المستوى ‪. EDM‬‬ ‫___‬ ‫‪N‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪. AE‬‬ ‫‪ )17‬جميع القطع المستقيمة التي تخالف‬ ‫___‬ ‫‪M‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ )18‬قطعة مستقيمة توازي ‪. EN‬‬ ‫___‬ ‫‪ )19‬قطعة مستقيمة توازي ‪ AB‬وتمر بالنقطة ‪. J‬‬ ‫___‬ ‫قطعة مستقيمة تخالف ‪ CL‬وتمر بالنقطة ‪. E‬‬ ‫‪)20‬‬ ‫‪C03-015A-888484‬‬ ‫مستعمال الشكل المجاور‪ ،‬صنِّف كل زوج من الزوايا فيما يأتي إلى زاويتين‬ ‫ً‬ ‫‪2‬‬ ‫المثال‬ ‫‪r s‬‬ ‫متبادلتين داخل ًّيا‪ ،‬أو متبادلتين خارج ًّيا‪ ،‬أو متناظرتين‪ ،‬أو متحالفتين‪.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪ ∠5 )22‬و ‪∠7‬‬ ‫‪ ∠4 )21‬و ‪∠9‬‬ ‫‪ ∠10 )24‬و ‪∠11‬‬ ‫‪ ∠3 )23‬و ‪∠5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8 9‬‬ ‫‪ ∠6 )26‬و ‪∠8‬‬ ‫‪ ∠1 )25‬و ‪∠6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ ∠9 )28‬و ‪∠10‬‬ ‫‪ ∠2 )27‬و ‪∠3‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ ∠7 )30‬و ‪∠11‬‬ ‫‪ ∠4 )29‬و ‪∠11‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ سلَّم طوارئ‪ :‬استعمل صورة س َّلم الطوارئ المجاورة؛ لتحدد‬ ‫‪3‬‬ ‫المثال‬ ‫القاطع الذي يصل بين كل زوج من الزوايا فيما يأتي‪ ،‬ثم صنِّف زوج‬ ‫الزوايا إلى زاويتين متبادلتين داخل ًّيا‪ ،‬أو متبادلتين خارج ًّيا‪ ،‬أو متناظرتين‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ∠2 )32‬و ‪∠4‬‬ ‫‪ ∠1 )31‬و ‪∠3‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ ∠5 )34‬و ‪∠6‬‬ ‫‪ ∠4 )33‬و ‪∠5‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ ∠2 )36‬و ‪∠3‬‬ ‫‪ ∠7 )35‬و ‪∠8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ )37‬كهرباء‪ :‬استعمل الصورة المجاورة في فقرة الربط مع الحياة‬ ‫ال ي سمح بتقاطع خطو ‬ ‫والمعلومات أدناها لإلجابة عما يأتي‪:‬‬ ‫التو سيل بين اأبراج الكهرباء‪،‬‬ ‫‪ )a‬ماذا يجب أن تكون عليه العالقة بين َّ‬ ‫خطي التوصيل الكهربائي ‪ p‬و ‪ m‬؟ ِّ‬ ‫وضح إجابتك‪.‬‬ ‫لتجنب حدوث تما س يوؤدي‬ ‫اإلى انقطاع التيار الكهربائي اأو‬ ‫‪ )b‬ما العالقة بين ذراع الحمل ‪ q‬وخ َّطي التوصيل الكهربائي ‪ p‬و ‪ m‬؟‬ ‫اإ سعال الحرائق‪.‬‬ ‫الم ستقيمان والقاطع ‪91‬‬ ‫الدر س ‪2- 1‬‬  ‫‪B‬‬ ‫استعمل الشكل المجاور لتصف العالقة بين كل زوج من القطع المستقيمة اآلتية بكتابة‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫متوازيتان‪ ،‬أو متخالفتان‪ ،‬أو متقاطعتان‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫___ ___‬ ‫___ ___‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ AB )39‬و ‪CG‬‬ ‫‪ FG )38‬و ‪BC‬‬ ‫‪F‬‬ ‫____ ___‬ ‫___‬ ‫____‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ DH )41‬و ‪BF‬‬ ‫‪ DH )40‬و ‪HG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫___ ___‬ ‫___ ___‬ ‫‪H‬‬ ‫‪ CD )43‬و ‪AD‬‬ ‫‪ EF )42‬و ‪BC‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ )44‬خداع ب سري‪ُ :‬ص ِّمم نموذج الخداع البصري المجاور‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪N‬‬ ‫باستعمال مربعات متطابقة ومستقيمات فقط‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C03-019A-888484‬‬ ‫‪P‬‬ ‫___ ___‬ ‫‪ )a‬ما العالقة بين ‪ AB‬و ‪CD‬؟ ِّ‬ ‫فسر تبريرك‪.‬‬ ‫ال ساللم الكهربائية اأكثر‬ ‫‪Q‬‬ ‫____ ___‬ ‫فعالية من الم ساعد في‬ ‫‪ )b‬ما العالقة بين ‪ MN‬و ‪QR‬؟ وما العالقة بين القطعتين‬ ‫‪R‬‬ ‫___‬ ‫___ ___‬ ‫االرتفاعات الق سيرة‪ ،‬وذلك‬ ‫المستقيمتين ‪ AB‬و ‪ CD‬والقطعة المستقيمة ‪OP‬؟‬ ‫ب سبب قدرتها اال ستيعابية‬ ‫بمحرك‪ ،‬حيث تُطوى درجات‬ ‫ّ‬ ‫‪ )45‬سلّم كهربائي‪ :‬يتكون الس ّلم الكهربائي من درجات مثبتة على مسار متصل‬ ‫الكبيرة‪ ،‬اإذ يمكن لبع س‬ ‫أعلى السلم وأسفله؛ ليتكون سطح مست ٍو عند الدخول والخروج كما في الشكل التالي‪.‬‬ ‫ال ساللم الكهربائية نقل‬ ‫‪ 6000‬سخ س خالل ساعة‬ ‫‪Approved‬‬ ‫واحدة‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ )a‬ما العالقة بين أسطح الدرجات الصاعدة؟‬ ‫‪ )b‬ما العالقة بين أسطح الدرجات الثالث أعلى السلم؟‬ ‫‪ )c‬ما العالقة بين أسطح الدرجات الصاعدة وأسطح الدرجات الهابطة في مسار السلم؟‬ ‫م سائل مهارات التفكير العليا‬ ‫‪ )46‬م ساألة مفتوحة‪ :‬يحوي المستوى ‪ P‬المستقيمين المتوازيين ‪. a , b‬ويقطع المستقيم ‪ c‬المستوى ‪ P‬عند‬ ‫النقطة ‪.J‬إذا كان المستقيمان ‪ a , c‬متخالفين‪ ،‬والمستقيمان ‪ b , c‬غير متخالفين‪ ،‬فارسم ً‬ ‫شكال يمثل هذا‬ ‫الوصف‪.‬‬ ‫‪ )47‬تحد‪ :‬افترض أن النقاط ‪ A , B , C‬تقع في المستوى ‪ ،P‬وأن النقاط ‪ D , E , F‬تقع في المستوى ‪. Q‬وأن‬ ‫المستقيم ‪ m‬يحوي النقطتين ‪ D , F‬وال يقطع المستوى ‪.P‬وأن المستقيم ‪ n‬يحوي النقطتين ‪. A , E‬‬ ‫‪ )a‬ارسم ً‬ ‫شكال يمثل هذا الوصف‪.‬‬ ‫‪ )b‬ما العالقة بين المستويين ‪ P‬و ‪Q‬؟‬ ‫‪ )c‬ما العالقة بين المستقيمين ‪ m‬و ‪n‬؟‬ ‫‪ AB‬يقع في المستوى ‪، X‬‬ ‫تبرير‪ :‬المستويان ‪ X‬و ‪ Y‬متوازيان‪ ،‬والمستوى ‪ Z‬يقطع المستوى ‪. X‬والمستقيم ‪‬‬ ‫‪ EF‬يقع في المستوى ‪. Z‬حدّ د ما إذا كانت كل عبارة فيما يأتي‬ ‫‪ ،Y‬والمستقيم ‪‬‬ ‫‪ CD‬يقع في المستوى ‪Y‬‬ ‫والمستقيم ‪‬‬ ‫دائما‪ ،‬أو صحيحة أحيانًا‪ ،‬أو غير صحيحة أبدً ا‪ّ.‬‬ ‫وضح إجابتك‪:‬‬ ‫صحيحة ً‬ ‫‪ AB‬يقطع ‪‬‬ ‫‪.EF‬‬ ‫‪ )49‬‬ ‫‪.CD‬‬ ‫‪ AB‬يخالف ‪‬‬ ‫‪ )48‬‬ ‫وضح لماذا ال يكون المستويان متخالفين أبدً ا‪.‬‬ ‫‪ )50‬اكتب‪ّ :‬‬ ‫‪ 92‬الف سل ‪ 2‬التوازي والتعامد‬  ‫تدريب على اختبار‬ ‫‪ )52‬يمثل الشكل المجاور صندوق بريد‪.‬‬ ‫خارجيا؟‬ ‫ًّ‬ ‫‪ )51‬أي مما يأتي يمثل زاويتين متبادلتين‬ ‫أي مما يأتي يصف ‪ ∠1‬و ‪∠ 2‬؟‬ ‫ٌّ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ A‬زاويتان متبادلتان خارج ًّيا‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ B‬زاويتان متبادلتان داخل ًّيا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ C‬زاويتان متحالفتان‬ ‫‪ D‬زاويتان متناظرتان‬ ‫‪ ∠2 C‬و ‪∠10‬‬ ‫‪ ∠1 A‬و ‪∠5‬‬ ‫‪ ∠5 D‬و ‪∠9‬‬ ‫‪ ∠2 B‬و ‪∠6‬‬ ‫‪C03-022A-888484‬‬ ‫مراجعة تراكمية‬ ‫أوجد قياسات الزوايا المرقمة في ٍّ‬ ‫كل مما يأتي‪( :‬الدر س ‪)1-8‬‬ ‫‪m∠19 = )100 + 20x)˚, )55‬‬ ‫‪m∠11 = )4x)˚,‬‬ ‫‪)54‬‬ ‫‪m∠9 = )2x - 4)˚, )53‬‬ ‫˚)‪m∠20 = )20x‬‬ ‫˚)‪m∠12 = )2x - 6‬‬ ‫˚)‪m∠10 = )2x + 4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪ )56‬برهان‪ :‬أكمل البرهان اآلتي‪( :‬الدر س ‪)1-7‬‬ ‫‪C03-027A-888484‬‬ ‫___ ____‬ ‫المعطيات‪WY ≅ ZX :‬‬ ‫‪C03-028A-888484‬‬ ‫____ ___‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ C03-026A-888484‬نقطة منتصف ‪ WY‬و ‪. ZX‬‬ ‫‪A‬‬ ‫___ ____‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪WA ≅ ZA‬‬ ‫المطلوب‪:‬‬ ‫‪ )57‬استعمل قانون الفصل المنطقي أو قانون القياس المنطقي؛ لتحصل على نتيجة صائبة إن أمكن من العبارتين اآلتيتين‪ ،‬واذكر القانون الذي‬ ‫تعذر الحصول على نتيجة صائبة‪ ،‬فاكتب "ال نتيجة صائبة"‪(.‬الدر س ‪)1 - 4‬‬‫استعملته‪ ،‬وإذا َّ‬ ‫‪C03-029A-888484‬‬ ‫‪ A‬إذا كانت الزاويتان متقابلتين بالرأس‪ ،‬فإنهما ليستا متجاورتين على مستقيم‪.‬‬ ‫‪ B‬إذا تجاورت زاويتان على مستقيم‪ ،‬فإنهما غير متطابقتين‪.‬‬ ‫___‬ ‫___‬ ‫‪C‬‬ ‫جبر‪ :‬في الشكل المجاور‪(. FC ⊥ AD :‬مهارة سابقة)‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ )58‬إذا كان ˚)‪ ،m∠CFD = )12a + 45‬فأوجد قيمة ‪. a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ )59‬إذا كان ˚)‪ m∠AFB = )8x - 6‬و ˚)‪ ،m∠BFC = )14x + 8‬فأوجد قيمة ‪. x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ا ستعد للدر س الالحق‬ ‫‪C03-030A-888484‬‬ ‫أوجد قيمة ‪ x‬في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪)62‬‬ ‫‪)61‬‬ ‫‪)60‬‬ ‫‪3x°‬‬ ‫‪x°‬‬ ‫‪x°‬‬ ‫‪78°‬‬ ‫‪x°‬‬ ‫الم ستقيمان والقاطع ‪93‬‬ ‫الدر س ‪2- 1‬‬ ‫‪C03-033A-888484‬‬ ‫‪C03-032A-888484‬‬ ‫‪C03-031A-888484‬‬ ‫رابط الدر س الرقمي‬ ‫معمل برمجيات الهند سة‪:‬‬ ‫الزوايا والم ستقيمات المتوازية‬ ‫‪www.ien.edu.sa‬‬ ‫‪Angles and Parallel Lines‬‬ ‫يمكنك استعمال الحاسبة البيانية ‪TI - nspire‬؛ لتستكشف قياسات الزوايا الناتجة عن مستقيمين متوازيين وقاطع لهما‪.‬‬ ‫الم ستقيمان المتوازيان والقاطع‬ ‫ن سا ‬ ‫‪:3‬‬ ‫‪:1‬‬ ‫‪JK‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ ‬ ‫‪F, G‬‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪A, B‬‬ ‫ ‬ ‫‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪A, B‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫‪:4‬‬ ‫‪:2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪C, D‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫ ‬ ‫‪J‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪J‬‬ ‫‪C,D‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫‪J‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪m∠JBD‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪J‬‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫‪78°‬‬ ‫ ‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ 94‬الف سل ‪ 2‬التوازي والتعامد‬