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Razonamiento Matemático 1 Psicotécnico I Consciente de la gran importancia que...

Razonamiento Matemático 1 Psicotécnico I Consciente de la gran importancia que tiene el aspecto psicotécnico, para medir el desarrollo de la inteligencia y estimular el análisis crítico y la imaginación, desarrollaremos juegos y pasatiempos lógico-matemáticos, con el fin de aumentar tu capacidad de concentración y raciocinio. Trabajando en clase Nivel básico 3. Dibuja la figura que continúa: Sucesiones de figuras: 1. ; ; ; ; ? ; ; ; ; ? Resolución: YY Observamos que las figuras son polígonos 4. Dibuja la figura que continúa: que tienen 3; 4; 5 y 6 lados, respectivamente. YY Entonces continuará un polígono de 7 lados. ; ; ; ; ? 2. Dibuja la figura que continúa: ; ; ; ; ? 1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 65 4.° Grado  PSICOTÉCNICO I Nivel intermedio Nivel avanzado Encuentra la figura diferente Fichas de dominó: 5. A continuación tenemos cinco figuras; cuatro de 8. Señala la ficha que contínua: ellas tienen una característica común y la otra, no. Encuentra esta figura. ; ; ; ? a) c) e) a) c) e) b) d) b) d) Resolución: En las figuras a, b, c y d la parte pintada representa los 2/3 y en la última, los 2/5. Resolución Por lo tanto, la figura diferente es la e. YY Cada ficha tiene dos partes: superior e inferior, entonces, en la parte superior, los puntos au- mentan de 1 en 1 y en la parte inferior disminu- 6. Señala la figura diferente: yen de 1 en 1. YY En conclusión, la ficha que sigue es la b. a) c) e) 9. Señala la ficha que continúa: b) d) ; ; ; ; ? 7. Señala la figura diferente: a) c) e) a) b) d) b) 10. Indica la ficha que continúa: c) ; ; ; ; ? d) a) c) e) e) b) d) 1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 66 4.° Grado 2 Analogías numéricas Una analogía numérica es una matriz ordenada de números, por lo general en dos o tres filas de tres números, en la cual el término central está entre paréntesis. El propósito de este ordenamiento es reproducir el valor central, en función de los valores extremos; observa el siguiente ejemplo: 2(10) 18 → (2 + 18) ÷ 2 = 10 3(13) 23 → (3 + 23) ÷ 2 = 13 4 (x) 42 → (4 + 42) ÷ 2 = x = 23 Como verás, el valor central se obtiene al operar los valores extremos de cada fila, para encontrar una ley o regla de formación que se cumpla en la primera y segunda fila. Trabajando en clase Nivel básico 2. Calcula el valor de «x». 1. Determina el valor de «x». 15 (37) 22 9 (13) 4 35 (51) 16 8 (13) 5 10 (x) 9 49 (x) 27 Resolución: YY Tenemos que encontrar una ley o regla de 3. Determina el valor de «x». formación que se cumpla en la primera y 26 (54) 28 segunda fila. YY Observamos la fila donde está la incógnita «x» y 75 (132) 57 vemos que resulta de operar los números 10 y 9. 145 (x) 276 YY La operación que hace verdadera la igualdad es la adición: 4. Calcula el valor de «x». 9 (13) 4 ⇒ 13 = 9 + 4 8 (13) 5 ⇒ 13 = 8 + 5 276 (502) 226 10 (x) 9 ⇒ x = 10 + 9 = 19 374 (573) 199 486 (x) 377 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 67 4.° Grado  ANALOGÍAS NUMÉRICAS Nivel intermedio Nivel avanzado 5. Determina el valor de «x». 8. Calcula el valor de «x». 30 (18) 12 213 (13) 124 22 (8) 14 102 (13) 235 45 (x) 19 320 (x) 123 Resolución Resolución YY Analizando la fila donde está la incógnita «x», YY Ahora bien, qué pasa si sumamos cada cifra de tenemos que operar los números extremos 45 y 19. los números extremos. YY La operación que hace verdadera las igualdades 2 + 1 + 3 = 6 1 + 2 + 4 = 7 ⇒ 6 + 7 = 13 es la sustracción: 1 + 0 + 2 = 3 2 + 3 + 5 = 10 ⇒ 3 + 10 = 13 18 = 30 – 12 8 = 22 – 14 YY Entonces, en la tercera fila: x = 45 – 19 = 26 3+2+0=5 1 + 2 + 3 = 6 ⇒ 5 + 6 = 11 = x 9. Determina el valor de «x». 6. Calcula el valor de «x». 103 (10) 213 62 (13) 49 262 (19) 333 75 (47) 28 324 (x) 267 81 (x) 37 7. Determina el valor de «x». 10. Calcula el valor de «x». 45 (74) 119 213 (14) 206 76 (130) 206 372 (19) 142 108 (x) 311 123 (x) 456 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 68 4.° Grado 3 Distribuciones numéricas Al igual que en las analogías numéricas, para las distribuciones numéricas también buscamos una regla o ley de formación. Las distribuciones numéricas se caracterizan por que el término que nos piden se puede encontrar en cualquier lugar del arreglo. 5 2 7 7 x 5 6 8 7 4 8 12 4 10 6 7 4 2 3 5 x 3 5 2 x 12 9 En las distribuciones numéricas podemos utilizar las operaciones básicas (+; –; x; ÷), operando de manera horizontal o vertical. 5 2 7 → fila 4 8 12 → fila 3 5 x → fila ↓ ↓ ↓ columnas Trabajando en clase Nivel básico Observando todas las filas, nos damos cuenta de que el valor de «x» se obtiene operando los 1. Determina el valor de «x». números 10 y 14. 11 10 21 12 13 25 11 10 21 → 21 = 11 + 10 10 14 x 12 13 25 → 25 = 12 + 13 Resolución: 10 14 x → x = 10 + 14 = 24 Recuerda que una distribución numérica se puede operar de manera horizontal o vertical. 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 69 4.° Grado  DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS 2. Calcula el valor de «x». 7. Determina el valor de «x». 15 13 28 67 48 57 16 15 x 39 19 28 12 16 28 28 x 29 3. Determina el valor de «x». Nivel avanzado 15 14 16 16 15 17 8. Calcula el valor de «x». 31 29 x 6 3 18 2 5 10 4. Calcula el valor de «x». 4 4 x 23 15 19 12 7 15 Resolución x 22 34 Recuerda que también se puede utilizar la multiplicación o la división. Nivel intermedio Si observamos las filas, tenemos: 5. Determina el valor de «x». 13 12 25 6 3 18 → 6 x 3 = 18 15 16 31 2 5 10 → 2 x 5 = 10 x 18 39 4 4 x → 4 x 4 = 16 = x Resolución Al observar las filas del arreglo, se tiene: 9. Determina el valor de «x». 13 12 25 → 13 = 25 – 12 8 6 15 15 16 31 → 15 = 31 – 16 9 12 5 x 18 39 → x = 39 – 18 = 21 72 72 x 6. Calcula el valor de «x». 10. Calcula el valor de «x». 25 12 x x 7 6 37 15 22 72 8 9 49 23 26 143 11 13 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 70 4.° Grado 4 Distribuciones gráficas Criterios para resolver: Los arreglos en forma gráfica se deducen 1. Usa las operaciones fundamentales a partir de una regla de formación que (+ ; – ; x ; ÷). cumpla con cada una de las figuras. 2. Encuentra la ley de formación para los primeros gráficos. 3. Luego, aplícala en la última figura. a b c «a» se obtiene operando «b» y «c» x g h «x» se obtiene operando «g» y «h» d e f «d» se obtiene operando «e» y «f» Trabajando en clase Nivel básico 2. Calcula el valor de «x». 8 9 13 1. Calcula el valor de «x». 24 25 x 3 2 5 2 6 3 7 9 6 10 12 11 6 4 15 15 6 28 8 4 x 3. Determina el valor de «x». 20 25 x Resolución: YY Si observamos la última figura, vemos que «x» 5 6 8 5 9 12 9 12 13 se obtiene operando 6, 3, 8 y 4. YY Ahora veamos qué operación cumple: 15 = 6 + 3 + 2 + 4 4. Calcula el valor de «x». 28 = 15 + 5 + 2 + 6 42 41 x YY Por lo tanto: 3 2 1 7 2 3 x = 8 + 6 + 3 + 4 = 21 1 0 2 4 1 9 4 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 71 4.° Grado  DISTRIBUCIONES GRÁFICAS Nivel intermedio Nivel avanzado 5. Calcula el valor de «x». 8. Determina el valor de «x». x 10 9 x 12 24 4 3 6 4 9 4 100 10 72 8 56 7 Resolución YY Buscando la regla de formación: «x» se obtiene de 9 y 4 Resolución 24 se obtiene de 6 y 4 Entonces, en el primer y segundo gráfico se tiene: 12 se obtiene de 4 y 3 10 = 100 y 10 9 = 72 y 8 YY Ahora, buscamos una operación que cumpla La operación que hace nuestra igualdad correcta la igualdad. es la división: 4 x 3 = 12 10 = 100 ÷ 10 6 x 4 = 24 9 = 72 ÷ 8 9 x 4 = 36 = x x = 56 ÷ 7 = 8 6. Determina el valor de «x». 9. Calcula el valor de «x». 5 10 5 8 10 x 40 72 x 50 40 120 5 8 9 8 12 11 10. Determina el valor de «x». 7. Calcula el valor de «x». 2 3 4 24 5 2 2 20 1 4 6 x 20 4 5 72 8 9 81 x 9 4 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 72 4.° Grado 5 Operaciones matemáticas Operación Operador Adición + Sustracción – Multiplicación x División ÷ Potenciación ( )2 Radicación Las operaciones matemáticas y sus respectivos operadores, mostrados en el cuadro de arriba, son universalmente conocidos; lo que haremos ahora será establecer otras operaciones matemáticas con sus respectivas reglas de definición, para ello nos basaremos en las operaciones matemáticas ya conocidas. Estas nuevas operaciones matemáticas tendrán una regla de definición arbitraria, donde se hará uso de otros operadores matemáticos para representarlas, por ejemplo: ∗ asterisco @ arroba # grilla ∇ habla Un operador matemático es un símbolo que representa a una operación matemática. a ∗ b = 2a + 3b ↓ Operador Regla de matemático definición Trabajando en clase Nivel básico YY Finalmente, operamos: 4 ∗ 5 = 12 – 10 = 2 1. Calcula 4 ∗ 5 si a ∗ b = 3a – 2b. Resolución: 2. Calcula 3 ∗ 2, si A ∗ B = A + 2B. YY Escribimos la regla de la formación: a ∗ b = 3a – 2b 3. Calcula 5 ∆ 3, si A ∆ B = 4A – 3B. YY Identificamos el valor de cada letra: a = 4; b = 5 YY Reemplazamos en la regla de formación: 4. Calcula 4 # 2, si A # B = 8A ÷ 2B. 4 ∗ 5 = 3(4) – 2(5) 5 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 73 4.° Grado  OPERACIONES MATEMÁTICAS Nivel intermedio Nivel avanzado 5. Calcula 2 ♥ 5, si m ♥ n = 4mn. 8. Calcula 4 + 3 , si m = m2. 2 Resolución: YY Escribimos la regla de formación: Resolución: YY Trabajamos independientemente cada factor, m ♥ n = 4mn 2 respetando la regla de formación: YY Identificamos el valor de cada letra: 4 + 3 m = 2; n = 5 ↓ ↓ YY Reemplazamos en la regla de formación: 42 + 32 4(2)(5) 2♥5= 2 YY Ahora, sumamos los resultados para así YY Finalmente, operamos: obtener la respuesta final: 2 ♥ 5 = 40 = 20 4 + 3 2 16 + 9 = 25 6 AB 9. Calcula 7 + 3 , si a = 3a. 6. Calcula 4  3, si A B = A–B 2A + 5B 10. Determina 2 + 3 , si x = 3x + 6. 7. Calcula 4  3, si A  B = A–B 5 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 74 4.° Grado 6 Operaciones matemáticas con tablas En los casos que se presenta un conjunto de elementos, podemos definir una operación matemática para dicho conjunto. ¿Cómo puedo plantear una operación matemática para un conjunto? Muy sencillo, mediante una tabla. ¿Cómo puedo plantear esta tabla? Podemos plantear un ejercicio de operaciones matemáticas de manera muy sencilla y sin necesidad de que aparezca la regla de formación. Cuadro de doble entrada para operaciones ∗ a b c d → Fila matemáticas: a a b c d b b c d a Cuerpo de la ZZ a, b, c y d → fila y columna de entrada. c c d a b tabla ZZ Los resultados obtenidos que se mues- d d a b c tran en el cuerpo de la tabla. ZZ Operador matemático: ∗ Cuerpo de la Columna tabla Trabajando en clase Nivel básico YY De la intersección de 1 y 4, resulta 1. YY Luego, el resultado obtenido anteriormente Dada la siguiente tabla: (1) lo intersectamos con 2. (1 ∆ 4) ∆ 2 ∆ 4 3 2 1 0 1 ∆ 2 4 4 3 2 1 0 3 3 2 1 0 4 4 2 2 1 0 4 3 2. Determina el valor de (2 ∆ 4) ∆ (3 ∆ 2) 1 1 0 4 3 2 3. Calcula el valor de 2 ∆ [(4 ∆ 1) + (2 ∆ 4)] 0 0 4 3 2 1 4. Determina el valor de (4 ∆ 4) + [4 ∆ (3 ∆ 1)] 1. Calcula el valor de (1 ∆ 4) ∆ 2 Nivel intermedio Resolución: Dada la siguiente tabla: YY Primero calculamos el paréntesis, de acuerdo con el gráfico: ∆ 1 2 4 8 (1 ∆ 4) 1 4 8 2 2 Número de la primera fila de arriba. 2 8 1 8 4 Número de la primera columna de 4 2 8 4 1 la izquierda. 8 2 4 1 2 6 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 75 4.° Grado  OPERACIONES MATEMÁTICAS CON TABLAS 5. Calcula: (1 ∆ 1) + (2 ∆ 4) + (4 ∆ 4) [(2 ∆ 3) + (5 ∆ 2)] 8. Calcula: 3∆3 Resolución: YY Determinamos los resultados de cada parén- Resolución: tesis de acuerdo con la tabla. YY Encontramos los valores parciales, de YY Recuerda que se interceptan fila y columna: acuerdo con la tabla (recuerda que el valor es 1 ∆ 1 = 4; 2 ∆ 4 = 8; 4 ∆ 4 = 4 la intersección entre la primera columna de la YY Ahora operamos: (1 ∆ 1) + (2 ∆ 4) + (4 ∆ 4) izquierda con la primera fila de arriba). 4 + 8 + 4 (2 ∆ 3) = 9 16 (5 ∆ 2) = 3 6. Calcula: (2 ∆ 8) + (1 ∆ 1) + (4 ∆ 2) (3 ∆ 3) = 2 YY Ahora, tenemos: 7. Calcula: [(1 ∆ 4) ∆ (8 ∆ 2)] + 6 9+3 12 = =6 2 2 Nivel avanzado ZZ Dada la siguiente tabla: ∆ 2 3 5 9 9. [(3 ∆ 5) – (2 ∆ 2)] (3 ∆ 3) 2 5 9 3 3 3 9 2 9 5 5 3 9 5 2 10. [(5 ∆ 5) + (2 ∆ 9)] 9 3 5 2 3 (2 ∆ 5) 6 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 76 4.° Grado 7 Sistema monetario del Perú ZZ La moneda oficial es el nuevo sol. Está formados por: Monedas: Billetes: Trabajando en clase Nivel básico 4. ¿Cuántas monedas de 20 céntimos equivalen a 11 nuevos soles? 1. ¿Cuántos monedas de 50 céntimos equivalen a 9 nuevos soles? Nivel intermedio Resolución: 5. ¿Cuántos billetes de 20 nuevos soles equivalen a 2 monedas de 50 céntimos < > 1 nuevo sol. 120 nuevos soles? x < > 9 nuevos soles. x = 9(2) = 18 monedas Resolución: 5 billetes de 20 nuevos soles < > 100 nuevos soles. 2. ¿Cuántas monedas de 50 céntimos equivalen a 13 x < > 120 nuevos soles. nuevos soles? x = 120(5) = 600 = 6 billetes 3. ¿Cuántas monedas de 20 céntimos equivalen a 8 100 100 nuevos soles? 7 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 77 4.° Grado  SISTEMA MONETARIO DEL PERÚ 6. ¿Cuántos billetes de 20 nuevos soles equivalen a 9. Si José tiene 4 billetes de S/. 20 y gasta S/. 55, 160 nuevos soles? ¿cuánto le queda? 7. ¿Cuántos billetes de 50 nuevos soles equivalen a 10. Si María tiene 5 billetes de S/. 10 y gasta en 250 nuevos soles? movilidad S/. 20 y en alimentación, S/. 15, ¿cuánto le queda? Nivel avanzado 8. Si tengo 3 billetes de 50 nuevos soles y gasto 70 nuevos soles, ¿cuánto dinero me queda? Resolución: Tengo: 50 + 50 + 50 = S/. 150 Gasto = S/. 65 Para pagar solo necesito 2 billetes de 50 nuevos soles, que equivalen a 100 nuevos soles. 100 – 70 = 30 Me queda 30 + 50 = 80 nuevos soles. 7 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 78 4.° Grado 8 Repaso 1. Dibuja la figura que continúa: 5. Determina el valor de «x». 25 x 80 21 19 17 ; ; 46 68 97 a) 53 c) 51 e) 49 a) d) b) 52 d) 50 6. Determina el valor de «x». b) e) 90 9 10 x 9 8 60 10 6 c) a) 71 c) 73 e) 75 b) 72 d) 74 2. Dibuja la ficha que continúa: 7. Calcula el valor de «x». 9 10 4 12 8 11 ; ; ; ? 31 32 x 12 16 15 a) 34 c) 36 e) 38 b) 35 d) 37 a) c) e) 8. Calcula el valor de «x». 63 64 x b) d) 9 7 8 8 11 9 a) 101 c) 99 e) 97 3. Determina el valor de «x». b) 100 d) 98 38 (107) 69 96 (183) 87 41 (x) 57 9. Calcula 6 ∗ 7 si A ∗ B = A + 4B a) 101 c) 99 e) 97 a) 33 c) 35 e) 37 b) 100 d) 98 b) 34 d) 36 4. Determina el valor de «x». 10. Calcula 5 + 4 : 111 (11) 413 105 (10) 202 A = A2, B = B3 141 (x) 311 a) 89 c) 91 e) 93 a) 11 c) 13 e) 15 b) 90 d) 92 b) 12 d) 14 8 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 79 4.° Grado  REPASO 11. Dada la siguiente tabla: 12. Carlos y su esposa van a un restaurante. Al pagar # a b c la cuenta, Carlos se percata de que tiene 2 billetes a a b c de 100 nuevos soles. Si el total de lo consumido b b c a fue S/. 66, ¿cuánto recibirá Carlos de vuelto? c c a b a) S/. 135 c) S/. 34 e) S/. 66 Calcula: (a # b) # (c # c) a) c c) b e) 2c b) S/. 134 d) S/. 35 b) a d) 1 Bibliografía 1. Eicholz, Robert. Matemática para la educación primaria. México D.F.: Fondo Educativo Interoamericano, 1968. 8 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 80 4.° Grado