Rapport - Option Exotiques PDF

PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Projet De Fin D’étude...

PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Projet De Fin D’étude Options Exotiques École Internationale des Sciences du Traitement de l’Information Version Finale - Compte Rendu - lundi 15 mars 2004 http://optionsexotiques.free.fr Emmanuel BIOUX Matthieu FOURNIL-MOUSSÉ Loïc TONNELIER Page 1 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Sommaire REMERCIEMENTS................................................................................................................................................ 4 INTRODUCTION.................................................................................................................................................... 5 PARTIE 1 MODELISATION DES OPTIONS EXOTIQUES........................................................................... 7 1. INTRODUCTION CONCERNANT LES MODELISATIONS.................................................................................. 10 1.1 Modélisation à temps discret........................................................................................................... 10 1.2 Modélisation à temps continu.......................................................................................................... 10 2. LES OPTIONS NON PATH-DEPENDANT........................................................................................................ 12 2.1 Option Binaire.................................................................................................................................. 12 a) Définitions et caractéristiques........................................................................................................................... 12 b) Intérêt................................................................................................................................................................. 14 c) Modélisation en temps discret........................................................................................................................... 14 d) Modélisation en temps continu......................................................................................................................... 16 e) Exemples de stratégie........................................................................................................................................ 22 2.2 Option à panier................................................................................................................................ 24 a) Définitions et caractéristiques........................................................................................................................... 24 b) Éléments de « pricing »..................................................................................................................................... 24 c) Intérêt................................................................................................................................................................. 25 d) Exemple de stratégie.......................................................................................................................................... 26 2.3 Option Chooser................................................................................................................................ 29 a) Définitions et caractéristiques........................................................................................................................... 29 b) Intérêt................................................................................................................................................................. 30 c) Modélisation en temps continu......................................................................................................................... 31 d) Exemples de stratégie........................................................................................................................................ 31 3. LES OPTIONS PATH-DEPENDENT................................................................................................................. 33 3.1 Option barrière................................................................................................................................ 33 a) Définitions et caractéristiques........................................................................................................................... 33 b) Intérêt................................................................................................................................................................. 35 c) Modélisation en temps continu......................................................................................................................... 35 d) Exemple de stratégie.......................................................................................................................................... 40 3.2 Option Lookback.............................................................................................................................. 41 a) Définitions et caractéristiques........................................................................................................................... 41 b) Intérêt................................................................................................................................................................. 46 c) Modélisation en temps continu......................................................................................................................... 46 d) Exemple de stratégie.......................................................................................................................................... 51 3.3 Option Asiatique (ou à Moyenne).................................................................................................... 54 a) Définitions et caractéristiques........................................................................................................................... 54 b) Intérêt................................................................................................................................................................. 55 c) Modélisation en temps discret........................................................................................................................... 55 d) Modélisation en temps continu......................................................................................................................... 56 e) Exemple de stratégie.......................................................................................................................................... 58 PARTIE 2 SIMULATION DES OPTIONS EXOTIQUES............................................................................... 60 1. INTRODUCTION A LA SIMULATION............................................................................................................. 61 1.1 Problématique.................................................................................................................................. 61 1.2 Génération de Variables Normalement Distribuées....................................................................... 64 f) Génération de variables uniformément distribuées........................................................................................... 64 g) Transformation d'une variable aléatoire uniformément distribuée en variable aléatoire normalement distribuée...................................................................................................................................................................... 68 1.3 Performances des méthodes de génération de valeurs normalement distribuées.......................... 71 a) Performances temporelles................................................................................................................................. 71 b) Performances pures : Qualité du résultat fourni............................................................................................... 72 c) Application au pricing d’une option standard................................................................................................... 73 1.4 Cas des Options Path Dependent.................................................................................................... 74 a) Ponts Browniens : Correction de la probabilité d’atteindre la barrière............................................................ 75 1.5 Génération de vecteurs aléatoires Gaussiens : Décomposition de Choleski................................. 76 2. VOLATILITE................................................................................................................................................ 78 2.1 Volatilité historique ou non conditionnelle..................................................................................... 78 2.2 Volatilité conditionnelle ou Garch.................................................................................................. 79 Page 2 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 2.3 Volatilité implicite............................................................................................................................ 81 CONCLUSION....................................................................................................................................................... 82 REFERENCES....................................................................................................................................................... 85 GLOSSAIRE........................................................................................................................................................... 87 Page 3 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 REMERCIEMENTS Ce rapport est l’aboutissement d’un travail continu de quatre mois au sein de l’option Ingénierie Financière à l’EISTI et constitue notre projet de fin d’étude. Nous tenons à remercier particulièrement M. Erik Tafiln – Responsable de l’option – pour nous avoir conseillé et encadré tout au long de ce travail. Nous adressons également un remerciement particulier à Mme Marieta Manolessou pour nous avoir conseillé et encadré tout au long de notre PFE. Enfin, nous tenons à associer à ces remerciements M. Nesim Fintz pour son soutien et sa grande disponibilité. Page 4 sur 88 PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 INTRODUCTION Page 5 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Lorsqu'en 1973, Black et Scholes ont découvert la formule d'évaluation des options sur actions, un nouvel espace de stratégies d'investissement a été ouvert aux financiers. Le grand choix de possibilités offertes, tant pour la couverture d'actifs, que pour la spéculation ou l'arbitrage, a permis le développement rapide de ce marché. En agissant sur la quantité de refinancement offerte au système bancaire, la politique monétariste de Paul Volker, à partir de 1979, a eu pour conséquence un brusque décrochage des taux d'intérêt. Les opérateurs financiers ont alors été amenés à prendre des positions importantes sur les taux, dont la volatilité croissait fortement. La technique optionnelle constituait à cette époque, une réponse appropriée à ces mouvements de cours, faisant des opérations à terme ferme des instruments de couverture trop contraignants. Les faillites du Comté d'Orange (perte de 1.5 milliard de dollars) et de la banque Barings, ainsi que les procès intentés par Procter and Gamble (perte de 102 millions de dollars) à Bankers Trust ou récemment par la Seita (perte de 150 millions de francs) à Salomon Brothers, démontrent que ces produits peuvent générer de lourdes pertes. La Seita a notamment reproché à sa contrepartie de ne pas avoir respecté son devoir d'information et de conseil, et d'avoir volontairement présenté «de manière inexacte ou incomplète des données relatives aux produits». Les deux obstacles à l'emploi des options sont ainsi clairement mis en avant dans cette accusation. D'une part, le paiement de l'investissement optionnel par l'entreprise constitue souvent une charge financière importante. Cachée dans un produit structuré, l'option est parfois vendue par l'entreprise et peut générer des pertes considérables. La contrepartie a un rôle de formation et de conseil auprès de l'investisseur, dans la détermination du risque. D'autre part, les banques, contreparties obligatoires d'intérêts très spécifiques des investisseurs, ont développé des structures optionnelles de plus en plus complexes. Afin de mettre en avant leur capacité d'innovation et de créativité, elles ont investi dans des ordinateurs, puissants et dans le recrutement de scientifiques de haut niveau, contribuant à une sophistication croissante de l'option. Des formules d'évaluation d'options dites de «seconde génération», ou «exotiques», sont ainsi apparues. Elles ont initialement été développées, afin de réduire le coût de leurs aînées. Nous allons tenter d'exposer ici dans un premier temps les différents types d’options exotiques ainsi que leurs modélisations respectives en temps discret et continu, pour s’intéresser ensuite à leurs modélisations. Page 6 sur 88 PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 PARTIE 1 MODELISATION DES OPTIONS EXOTIQUES Page 7 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Nous présenterons dans cette partie les différentes options exotiques, et pour chacune d’entre elles, nous les modéliserons en temps discret et temps continu. Or, il est courant de distinguer les options exotiques en deux grandes catégories : Les option « non-path-dependent » : ce sont les options dont la valeur finale ne dépendent pas du chemin suivi par le cours du sous jacent pendant toute la durée de vie de l'option. Les options « path-dependent » : le prix de ces options dépend du chemin suivi par le cours du sous jacent pendant toute la durée de vie de l'option. C’est ainsi que nous avons choisi de classer les différentes options exotiques selon ce critère de path dependent. Page 8 sur 88 PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Page 9 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 1. INTRODUCTION CONCERNANT LES MODELISATIONS Nous décrirons dans ces parties les principales notations utilisées dans notre PFE. De plus, nous présenterons les principes généraux des deux modélisations que sont la modélisation en temps discret et la modélisation en temps continu. 1.1 Modélisation à temps discret Notations Les temps possibles t de transaction sont donnés par t ∈  = 0,1,K, T { } où l’entier T ≥ 1 est l’horizon temporel du modèle. Soit l’espace de probabilité {Ω, - , P}munie d’une filtration ( ( ( = {- t }t∈ ) qui décrit l’incertitude et la dynamique informationnelle. Nous définissons une option dans cet espace. Soient : K : Prix d’exercice de l’option S t : Cours de l’actif sous-jacent au temps t X : Payoff de l’option Nous modéliserons les options exotiques en temps discret en utilisant un modèle binomial. 1.2 Modélisation à temps continu Pour les parties modélisation, nous effectuerons les hypothèses suivantes : - Les marchés financiers sont considérés comme parfaits (bonne liquidité, pas d’écart entre le prix demandé et le prix offert pour l’option, absence d’opportunité d’arbitrage, pas de coût de transaction, ni de taxe ou d’impôt) - Le cours de l’actif a une distribution lognormale - Les taux de prêt et d’emprunt sont égaux et constants sur toute la durée de vie de l’option Page 10 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 - La cotation de l’actif sous jacent se fait en temps continu sans saut ni décrochement. - L’option est de type européen. Elle n’est donc exerçable qu’à la date d’échéance. - Aucune distribution de dividendes n’a lieu avant échéance de l’option. - La volatilité historique est supposée constante sur toute la durée de vie résiduelle de l’option Page 11 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 2. LES OPTIONS NON PATH-DEPENDANT 2.1 Option Binaire a) Définitions et caractéristiques L'option binaire ou encore appelée digitale confère à son acheteur une somme fixe d'argent si le cours du sous-jacent atteint ou franchit le prix d'exercice préalablement fixé. Ce prix est le prix d’exercice de l’option binaire. La famille des options binaires regroupe 4 types d’options : L’option all or nothing (Tout ou rien) : (Aussi appelée « Cash or nothing ») Le détenteur d’une telle option reçoit un coupon fixe, déterminé à l’avance, si l’option arrive à l’échéance dans la monnaie. Dans le cas contraire, la prime de l’option est perdue. L’option « asset or nothing » (Actif ou rien) : Cette option présente quasiment les mêmes caractéristiques que l’option « all or nothing », à la seule exception, que si elle arrive à l’échéance le coupon versé ne sera pas un montant fixé mais la valeur de l’actif sous-jacent ou un multiple de celui-ci. L’option gap : Cette option permet de recevoir un coupon représentant la différence entre la valeur de l’actif sous-jacent et une constante déterminée à l’avance si l’option arrive dans la monnaie. L’option « contingent premium » : Aussi appelée option à prime contingente, ou « Capitalized option ». Dans sa version « standard », elle présente la particularité de définir une prime contingente qui est retranchée au prix d’exercice lors du remboursement final. A l’opposé, les options à prime contingente dite complexe, définissent une ou plusieurs zones de cours de l’actif sous-jacent à l’échéance, dans lesquelles un montant cash, ou prime contingente complexe, est ajouté au remboursement final. Nous ne traiterons ici, dans un souci de clarté, que les options à prime contingent standard. Nous pouvons interpréter l’option à prime contingent standard de la façon suivante : Si l’option expire en dehors de la monnaie, le remboursement est égal à zéro. Page 12 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Dans le cas contraire, le remboursement est réduit au montant de la prime contingente, en comparaison avec une option standard. Nous pouvons regrouper dans un tableau l’ensemble des pay-off pour les différents cas : Payoff X Type Call Put ⎧ N si ST ≥ K ⎧ N si ST ≤ K All or nothing ⎨ ⎨ ⎩ 0 si ST < K ⎩ 0 si ST > K ⎧M ⋅ ST si ST ≥ K ⎧M ⋅ ST si ST ≤ K Asset or nothing ⎨ ⎨ ⎩ 0 si ST < K ⎩ 0 si ST > K ⎧(ST − Y ) si ST ≥ K ⎧(ST − Y ) si ST ≤ K Gap1 ⎨ ⎨ ⎩ 0 si ST < K ⎩ 0 si ST > K Contingent ⎧ K − ST − D si ST ≥ K ⎧ K − ST − D si ST ≤ K ⎨ ⎨ Premium ⎩ 0 si ST < K ⎩ 0 si ST > X Avec les notations : - N : coupon payé à l’échéance, - K : prix d’exercice du sous-jacent, - M : Multiple constant, - Y : Constante prédéterminée à l’avance appelée montant cash - D : prime contingente En utilisant une fonction de Heaviside H , nous pouvons définir d’une manière générale le payoff d’une option binaire dans le cas d’un call : X CallBinaire = H (ST − K )⋅ G Et dans le cas d’un put : X PutBinaire = H (K − ST )⋅ G 1 Le montant S Final -Y est appelé « Gap » Page 13 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Avec G le « gain » de l’option considérée en cas de réussite de la condition: G AllOrNothing = N G AssetOrNothing = M ⋅ ST GGap = ST − Y GContingent Pr emium = K − ST − D b) Intérêt Certitude du « pay-off » : contrairement aux options standards, dont le « pay-off » est aléatoire (puisque fonction de la valeur finale du sous-jacent), l'acheteur d'une option digitale ou binaire est certain de recevoir Q (en cas d'évolution favorable) ou zéro. Flexibilité pour le client : outre la possibilité de choisir le prix d'exercice, le client est libre de déterminer le montant qu'il souhaite recevoir en cas d'évolution favorable du sous-jacent. Vente d'options binaires ou digitales : lorsqu'un client décide de vendre une option standard, il reçoit immédiatement une prime, mais s'expose des pertes illimitées en cas d'évolution défavorable du sous-jacent. La vente d'options digitales permet également de bénéficier de primes de façon instantanée tout en connaissant parfaitement le risque maximal de pertes. c) Modélisation en temps discret Nous considérons donc un marché avec un seul actif risqué, et un actif sans risque. Soit le modèle binomial, représenté ici avec 2 périodes de temps : Page 14 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 u 2 ⋅ S0 u ⋅ S0 p u ⋅ S0 S0 u ⋅ S0 1− p u ⋅ S0 d 2 ⋅ S0 La présence d’un actif sans risque fait que la probabilité p peut s’exprimer : 1+ r − d p= u−d Et immédiatement il vient: u − r −1 1− p = u−d Le prix à l’instant t = 0 d’une option s’écrit : ⎡ X (S T ) ⎤ P0 = Eπ ⎢ T ⎥ ⎢⎣ (1 + r ) ⎥⎦ D’où : ( ) T CTn ⋅ p n ⋅ (1 − p ) ⋅ X S0 ⋅ u n ⋅ d T − n 1 ∑ T −n P0 = ⋅ (1 + r ) n = 0 T Or, en remplaçant p et 1 − p par leurs valeurs, nous obtenons : T −n ⎛1+ r − d ⎞ ( ) n 1 T ⎛ u − r −1⎞ T ∑ T ⎜ P0 = ⋅ Cn ⋅ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⋅ X S0 ⋅ u n ⋅ d T − n (1 + r ) n = 0 ⎝ u − d ⎠ ⎝ u−d ⎠ Soit finalement : ( ) T ⋅ ∑ CTn ⋅ (1 + r − d ) ⋅ (u − r − 1) 1 T −n P0 = ⋅ X S 0 ⋅ u n ⋅ d T −n n ((1 + r )(u − d ) )T n =0 Page 15 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Nous partirons donc dans la plupart des modélisations de cette formule que nous adapterons en fonction des payoffs respectifs. Nous introduisons une fonction H dite de Heaviside : ⎧1 si x > 0 H (x ) = ⎨ ⎩0 si x < 0 On obtient les valeurs d’un call et d’un put pour chacune des options binaires. En effet, nous avons : ( ) T ⋅ ∑ CTn ⋅ (1 + r − d ) ⋅ (u − r − 1) 1 T −n P0 = ⋅ X S 0 ⋅ u n ⋅ d T −n n ((1 + r )(u − d )) T n =0 ( ) Or, X CallBinaire = H ST − K ⋅ G et X PutBinaire = H K − ST ⋅ G ( ) Donc en remplaçant, nous obtenons : ( ) T ⋅ ∑ CTn ⋅ (1 + r − d ) (u − r − 1) 1 T −n C Binaire = H S 0 ⋅ u n ⋅ d T −n − K ⋅ G n ((1 + r )(u − d )) T n =0 ( ) T ⋅ ∑ CTn ⋅ (1 + r − d ) (u − r − 1) 1 T −n C Binaire = H K − S 0 ⋅ u n ⋅ d T −n ⋅ G n ((1 + r )(u − d )) T n =0 Avec : G AllOrNothing = N G AssetOrNothing = M ⋅ ST GGap = ST − Y GContingent Pr emium = K − ST − D d) Modélisation en temps continu Nous utilisons les hypothèses décrites dans la partie présentation de la modélisation temps continu. Page 16 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Nous devons de plus distinguer les différentes options constituant cette famille d’option binaire. Nous utilisons l’équation de Black and Scholes et nous pricons un call d’une telle option. La solution de l’équation de Black and Scholes s’écrit : ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎜ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎟ F (t , x ) = e −r (T −t ) ∫ f xe y ( ) 1 exp⎜ − ⎝ ⎝ 2σ 2 (T − t ) ⎟dy −∞ 2πσ 2 (T − t ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Or, le payoff d’une option call binaire est X CallBinaire = H ST − K ⋅ G ( ) Nous prenons donc : f ST e ( y ) = H (S T e y − K )⋅ G L’option all or nothing (Tout ou rien) : Soit C AllOrNothing le prix d’un call binaire de type all or nothing Plus précisément, ici : f ST e ( y ) = H (S T e y − K )⋅ N Alors, ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎜ 2 ⎠⎠ ⎟ ⎟ ( C AllOrNothing (t , ST ) = e −r (T −t ) ∫ H ST e y − K ⋅ N ⋅ 1 ) exp⎜ − ⎝ ( ⎝ ) ⎟dy 2πσ 2 (T − t ) σ − 2 −∞ ⎜ 2 T t ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛K ⎞ Or, ST e − K > 0 ⇒ y ≥ ln⎜ ⎟ y ⎜S ⎟ ⎝ T⎠ Donc : ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎟ C AllOrNothing (t , ST ) = e − r (T −t ) exp⎜ − ⎝ 1 N ∫ 2πσ 2 (T − t ) 2σ 2 (T − t ) ⎟dy ⎛ K ln ⎜ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜S ⎝ T ⎟ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Page 17 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 ∞ ( Soit, C AllOrNothing t , ST = e ) − r (T −t ) ⋅N⋅ ∫ n(t , y )dy ⎛ K ⎞ ln ⎜ ⎟ ⎜S ⎟ ⎝ T ⎠ On effectue un changement de variable, avec : ⎛ 1 ⎞ y − (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ z= ⎝ 2 ⎠ σ T −t ⎛S ⎞ ⎛ ⎞ ln⎜ T ⎟ + ⎜ r − ⋅ σ 2 ⎟ ⋅ (T − t ) 1 ⎝ ⎠ ⎝ K 2 ⎠ ⎛K ⎞ Soit z0 = − = − d 2 (calculé à pour : y = ln⎜⎜ ⎟) ⎟ σ ⋅ T −t ⎝ ST ⎠ Nous obtenons : d2 z2 C AllOrNothing (t , ST ) = e − r (T −t ) 1 −2 ⋅N ⋅ ∫ −∞ 2π e dz D’où le résultat : C AllOrNothing = N ⋅ e − r⋅(T −t ) ⋅ N (d 2 ) L’option asset or nothing (Actif ou rien) : Soit C AssetOrNothing le prix d’un call binaire de type Asset or nothing Cette option donne un payoff X = H ST − K ⋅ M ⋅ ST ( ) Donc la fonction f s’écrit : f ST = H ST − K ⋅ M ⋅ ST ( ) ( ) ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ M ⋅ ST e y ⎜ ⎜ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎟ ( C AssetOrNothing (t , ST ) = e −r (T −t ) ∫ H ST e y − K ⋅ ) exp⎜ − ⎝ ⎝ 2σ 2 (T − t ) ⎟dy −∞ 2πσ 2 (T − t ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛K ⎞ Or, ST e − K > 0 ⇒ y ≥ ln⎜ ⎟ y ⎜S ⎟ ⎝ T⎠ Page 18 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Donc : ⎛ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎞ 2 ⎜ ⎜⎜ y − (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ ⎟⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎟ C AssetOrNothing (t , ST ) = e −r (T −t ) ⋅ M ⋅ ST ⋅ exp⎜ y − ⎝ 1 ∫ 2πσ 2 (T − t ) 2σ 2 (T − t ) ⎟dy ⎛ K ln ⎜ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜S ⎝ T ⎟ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ C AssetOrNothing (t , ST ) = e −r (T −t ) ⋅ M ⋅ ST ⋅ ⎛ 2 ⎞ ⎜ − 2 yσ 2 (T − t ) + ⎛⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎜ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎟ 1 ⎝ ⎝ ∫ 2πσ 2 (T − t ) exp⎜ − 2σ 2 (T − t ) ⎟dy ⎛ K ln ⎜ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜S ⎝ T ⎟ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Or, si nous posons : 2 ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ 1 ⎞ q ( y ) = −2 yσ 2 (T − t ) + ⎜⎜ y − (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ ⎟⎟ et a = (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ 2 ⎠ Alors : ( q ( y ) = −2 yσ 2 (T − t ) + y 2 − 2ay + a 2 ) ( ( q ( y ) = y 2 + y − 2a − 2σ 2 (T − t ) + a 2 ) ) q( y ) = y (− 2a − 2σ (T − t )) + ⎛⎜ (− 2a − 2σ (T − t )) ⎞⎟ 2 2 2 ( ⎛ − 2a − 2σ 2 (T − t ) ) ⎞⎟ 2 + 2y ⎟ ⎜⎜ − ⎟ +a 2 2 ⎜ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Remplaçons a par sa valeur : 2 2 ⎛ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞⎞ ⎛⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞⎞ ⎜ ⎜⎜ − 2(T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ − 2σ 2 (T − t )⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎜ − 2(T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ − 2σ 2 (T − t )⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎠⎟ −⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠⎟ q( y ) = ⎜ y + ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ + ⎜⎜ (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ 2 2 2 ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ q ( y ) = ⎜⎜ y − (T − t )⎜ r + σ 2 ⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜ (T − t )⎜ r + σ 2 ⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ 2 ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ q ( y ) = ⎜⎜ y − (T − t )⎜ r + σ 2 ⎟ ⎟⎟ − 2rσ 2 (T − t ) 2 ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ Page 19 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Nous en déduisons : C AssetOrNothing (t , ST ) = e −r (T −t ) ⋅ M ⋅ ST ⋅ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r + 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ − 2rσ 2 (T − t )2 ⎟ ∞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠⎠ exp⎜ − ⎝ 1 ∫ 2πσ 2 (T − t ) 2σ 2 (T − t ) ⎟dy ⎛ K ln ⎜ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜S ⎝ T ⎟ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Soit, ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r + 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎜ 2 ⎠⎠ ⎟ ⎟ ⎝ C AssetOrNothing (t , ST ) = e −r (T −t ) ⋅ M ⋅ ST ⋅ e r (T −t ) ∫ exp⎜ − ⎝ 1 ⎟dy ⎛ K ⎞ 2πσ 2 (T − t ) ⎜ 2 σ 2 (T − t ) ⎟ ln ⎜ ⎟ ⎜S ⎟ ⎝ T ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r + 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎜ 2 ⎠⎠ ⎟ ⎟ ⎝ C AssetOrNothing (t , ST ) = M ⋅ ST ⋅ ∫ exp⎜ − ⎝ 1 ⎟dy ⎛ K ⎞ 2πσ 2 (T − t ) ⎜ 2σ (T − t ) 2 ⎟ ln ⎜ ⎟ ⎜S ⎟ ⎝ T ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Nous effectuons un changement de variable, avec : ⎛ 1 ⎞ y − (T − t )⎜ r + σ 2 ⎟ z= ⎝ 2 ⎠ σ T −t ⎛x⎞ ⎛ ⎞ ln⎜ ⎟ + ⎜ r + ⋅ σ 2 ⎟ ⋅ (T − t ) 1 z0 = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ K 2 = d1 σ ⋅ T −t Nous obtenons : z0 z2 C AllOrNothing (t , ST ) = M ⋅ ST ⋅ 1 −2 ∫ −∞ 2π e dz = M ⋅ ST ⋅ N ( z 0 ) Page 20 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 D’où le résultat : C AssetOrNothing = M ⋅ S ⋅ N (d1 ) L’option « Gap » : Soit C Gap le prix d’un call binaire de type gap ( ) Plus précisément, ici : f S T = H S T − K ⋅ (S T − Y )( ) ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎜ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎟ ( )( CGap (t , S T ) = e − r (T −t ) ∫ H S T e y − K ⋅ S T e y − Y ⋅ 1 ) exp⎜ − ⎝ ⎝ ⎟dy −∞ 2πσ 2 (T − t ) ⎜ 2σ 2 (T − t ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎜ 2 ⎠⎠ ⎟ ⎟ ( ) CGap (t , ST ) = e −r (T −t ) ⋅ ST ⋅ ∫ H ST e y − K ⋅ e y ⋅ 1 exp⎜ − ⎝ ⎝ 2σ (T − t ) ⎟dy 2πσ 2 (T − t ) 2 −∞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎜ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎟ ( − e −r (T −t ) ⋅ Y ⋅ ∫ H ST e y − K ⋅ ) 1 exp⎜ − ⎝ ⎝ 2σ (T − t ) ⎟dy 2πσ 2 (T − t ) 2 −∞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛K ⎞ Or, ST e − K > 0 ⇒ y ≥ ln⎜ ⎟ y ⎜S ⎟ ⎝ T ⎠ Donc : ⎛ ⎛ ⎛ 1 2 ⎞ ⎞ ⎞⎟ 2 ⎜ ⎜⎜ y − (T − t )⎜ r − σ ⎟ ⎟⎟ ∞ ⎜ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎟ CGap (t , ST ) = e − r (T −t ) exp⎜ y − ⎝ 1 ⋅ ST ⋅ ∫ ⎟dy ⎛ K ⎞ 2πσ 2 (T − t ) ⎜ 2σ (T − t ) 2 ⎟ ln ⎜ ⎟ ⎜S ⎟ ⎝ T ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ ∞ ⎜ ⎜ 2 ⎠⎠ ⎟ ⎟ ⎝ − e −r (T −t ) ⋅ Y ⋅ ∫ exp⎜ − ⎝ 1 ⎟dy ⎛ K ⎞ 2 πσ 2 (T − t ) ⎜ 2σ (T − t ) 2 ⎟ ln ⎜ ⎟ ⎜S ⎟ ⎝ T ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Page 21 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Or, les deux intégrales ont été calculées précédemment dans les parties All or Nothing et Asset Or Nothing. Donc : CGap (t , ST ) = S ⋅ N (d1 ) − e − r⋅(T −t ) ⋅ N (d 2 ) ( C gap = b ⋅ S ⋅ e − d ⋅t ⋅ N (b ⋅ x ) − b ⋅ X ⋅ e − r⋅t ⋅ N b ⋅ x − b ⋅ σ ⋅ t ) ⎛ S ⋅ e − d ⋅t ⎞ ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ X ⋅ e −r⋅t ⎠ + 1 ⋅ σ ⋅ t , b un coefficient binaire égal à 1 pour un Avec : x = σ t 2 call, et -1 pour un put. e) Exemples de stratégie Combinaison d'options binaires : Les options corridor sont composées d'une série d'options binaires comprenant, pour chaque jour entre la date de l'opération et la date d'échéance, l'achat d'un call binaire et la vente d'un call binaire de strike plus élevé. Cette combinaison permet de recevoir un montant proportionnel au nombre de jours durant lesquels le sous-jacent restera entre les bornes choisies. L'acheteur d'options corridor anticipe que le sous-jacent restera le plus longtemps possible l'intérieur d'une bande de « trading » pendant la durée de vie de l'option. L'indice étant à 3000 points, un trésorier anticipe qu'il va rester entre 2750 et 3250 points au cours de l'année à. venir. Il achète une option corridor qui lui versera un coupon proportionnel à 8.25%, selon le nombre de jours durant lesquels l'indice sera resté dans la bande de « trading ». L'option corridor coûte 3.87 %. A l'échéance de I'option, on constate que l'indice a côté 300 fois entre 2750 et 3250 points. Le trésorier de l'option reçoit donc un coupon de 6,78% (=300/365*8,25%). Anticipations directionnelles : Nous sommes au mois de janvier et des élections législatives doivent avoir lieu en France le 10 mai. Au vu des sondages, le gérant anticipe une baisse ponctuelle, mais forte, de l'indice. L'indice étant à 2700 points, il pense qu'il devrait franchir les 2500 points à l'annonce des résultats -soit une baisse significative de 7.5%. Plutôt que l'achat d'un put standard 2500 (prime 1,98%), il décide d'acheter un put binaire 2500, portant sur un nominal de 1000000 Euros, qui lui versera un Page 22 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 montant fixe de 100000 Euros (soit un coupon de 10%) en cas d'exercice de l'option. L'option étant très en dehors de la monnaie, le prix de l'option n'est que de 2.85%. A l'échéance de l'option, l'indice est 2450 points. CARACTÉRISTIQUE ACHAT PUT BINAIRE ACHAT PUT STANDARD Maturité 1 an 1 an Strike 2500 2500 Prix 2.85% 1.98% Pay-off 10% 1.9% Remarques : 1. Le choix de l'option binaire a été judicieux puisque le levier obtenu est positif et nettement supérieur à celui d'un put standard. 2. Le levier important en cas de gain compense le paiement d'une prime plus élevée lors de l'achat de l'option. 3. L'option étant binaire, le choix de la date d'échéance est essentiel. Si la baisse de l'indice était intervenue à une autre date que le 10 mai, il est probable que l'indice n'aurait pas franchi le seuil de 2500 points à cette date là. En cas de doute sur la date d'occurrence d'un événement, on préférera l'option digitale à I'option binaire, bien que son coût soit nettement supérieur. Page 23 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 2.2 Option à panier a) Définitions et caractéristiques Cette option, aussi appelée « panier » ou « basket », se classe dans la famille des options sur plusieurs actifs sous-jacents. Cette option ne prend pas en compte la somme des performances de chacun des actifs sous-jacent du panier, pris de façon indépendante, mais elle a les mêmes caractéristiques de remboursement à l’échéance que l’option standard, mais l’actif sous-jacent servant de référence représente, en fait, un panier de plusieurs actifs équipondérants ou non. Le détenteur de ce panier peut ainsi voir la baisse d’un actif compenser, en tout ou partie, la hausse d’un autre. Il est aisé de comprendre que l’effet de corrélation entre les actifs vient grandement diminuer le coût d’achat de cette option par rapport à la somme des primes d’options standard sur chacun des actifs retenus. En outre, la volatilité résultante est toujours plus faible que la moyenne arithmétique des volatilités respectives de chaque actif. Cette option offrant ce grand avantage, connaît en engouement important sur les marchés à forte volatilité. Par la suite, nous ne considérerons des paniers avec que deux actifs sous- jacents. b) Éléments de « pricing » Comme beaucoup d’option impliquant plusieurs actifs sous-jacents, il n’existe pas de formule analytique simple permettant de réaliser le « pricing » de l’option, il et ainsi nécessaire de recourir à une approche binomiale ou à une intégration numérique. Le remboursement à l’échéance de l’option sur panier de n actifs s’exprime sous la forme algébrique suivante : Pour un call sur panier : X c = max⋅ ((a1 ⋅ S1 + a 2 ⋅ S 2 + K + a n ⋅ S n ) − X ,0 ) Pour un put sur panier : X p = max⋅ ( X − (a1 ⋅ S1 + a 2 ⋅ S 2 + K + a n ⋅ S n ),0 ) Avec : S n cours du nième actif sous-jacent, constaté à l’échéance X prix d’exercice du panier a n coefficient pondérant le titre n Afin d’apporter quelques éléments sur la valorisation des « basket options », nous allons prendre en considération deux actifs distincts A et B. Bien que les Page 24 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 cours de A et de B aient un comportement dit lognormal, il n’en va pas de même de l’évolution du panier A+B, c’est pourquoi il n’existe pas de solution immédiate. Afin d’évaluer les paramètres de l’option, il est nécessaire d’effectuer l’approximation que A+B est lognormal et d’observer l’écart de divergence. La formule de Black & Scholes peut être utilisée. Ainsi, si A+B est lognormal, les valeurs de la volatilité et du cours « forward » du panier sont les suivantes : FA+ B = FA + FB σ 2 A+ B = ( 2 ) ln FA2 ⋅ eσ A + 2 ⋅ FA ⋅ FB ⋅ e ρ ⋅σ A ⋅σ B ⋅t + FB2 ⋅ eσ B ⋅t − 2 ⋅ ln (FA + FB ) 2 t Avec : FA : cours forward de l’actif A FB : cours forward de l’actif B FA+ B : cours forward de la valeur du panier σ A : volatilité de l’actif A σ B : volatilité de l’actif B ρ : coefficient de corrélation entre A et B t : durée de vie résiduelle de l’option σ A+ B : volatilité du panier Nous observons que la valeur de la volatilité est très sensible au cœfficient de corrélation entre A et B. Si la corrélation décroît, la volatilité du panier diminue et par conséquent, la prime de l’option sur panier baisse. L’intégration numérique qui procure les valeurs exactes de la prime nous apprend que l’approximation susvisée donne des résultats excellents, conduisant à un écart de divergence inférieur à 1%, pour des niveaux de corrélation compris entre -0.85 et +1. Pour des niveaux inférieurs à -0.85, l’approximation n’est plus satisfaisante car l’écart vient à dépasser 10%. c) Intérêt Réduction du prix : le prix de l'option sur panier doit être comparé à la somme pondérée des primes d'options sur chacun des actifs composant le Page 25 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 panier. Lorsque les composantes sont assez peu corrélées entre elles, le prix de l'option sur panier sera largement inférieur à la somme des options sur chacune. Diversification des risques : le client souhaitant acheter ou vendre ce genre d'options a la possibilité de créer un produit synthétique pouvant intégrer tous les indices et actions de son choix. Il devient donc possible de créer une option sur l'ensemble de son portefeuille : le client bénéficie alors des avantages de la diversification et des avantages liés à l'option. Le choix de la devise de référence : lorsque le client décide d'investir sur des indices ou des actions cotées dans des devises différentes, la prime et le « pay-off » de l'option seront exprimés dans la devise de référence de l'investisseur (option quanto), ce qui lui évite la gestion du risque de change sur chacun des sous-jacents. d) Exemple de stratégie Anticipation directionnelle : le panier sur actions. Un gérant français, qui anticipe une bonne performance du secteur européen des « Telecoms », aura la possibilité de créer un panier intégrant les titres les plus représentatifs du secteur et de souscrire une option sur ce panier. Nous pourrions lui proposer un panier équipondéré de cinq valeurs représentant autant de pays européens: « British Telecom », « Deutsche Telekom », « Telefonica Espagna », « Telecom Italia », « France Telecom ». Le « pay-off » à l'échéance sera fonction des évolutions respectives de chaque action considérée sur son marché boursier et dans sa devise d'origine, mais qui seront agrégées sous forme d'une somme algébrique de pourcentages d'évolution. Si cette somme est positive, le « pay-off » sera égal à son produit par le rationnel en Euros de l'option. Illustration : Le client achète pour un nominal de 100 M EUR un Call sur le panier, contre une prime de 10 % (soit 10 M EUR). Page 26 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Action Évolution sur 1 an British Telecom +5% Deutsche Telekom -15% Telefonica Espana +35% Telecom Italia +25% France Telecom 10% L'évolution du panier équipondéré sur l'année est de : (5-15+35+25+10):5=+12%. Le « pay-off » du Call sera de +12 % x 100 M EUR = 12 M EUR. Choix de la diversification : le panier d'indices. Un client souhaite investir dans un panier d'actifs représentant les différentes économies industrialisées mondiales. L'objectif est d'utiliser la faible corrélation entre des indices de places internationales différentes afin de réduire le prix de l'option. Pour représenter la zone Europe, il choisi le DAX et le FTSE, le SP500 pour la zone Amérique et le NIKKEI pour la zone Asie. La matrice de corrélation entre les différents indices est la suivante : CORRELATION DAX 30 FTSE 100 NIKKEI 225 ENTRE INDICES FTSE 100 0.5 NIKKEI 225 0.2 0.1 SP 500 0.5 0.5 0.3 Page 27 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Ces corrélations, très inférieures à la limite supérieure de 1, permettent de réduire fortement le prix par rapport à une somme pondérée de quatre options sur ces quatre indices. En admettant que l'investissement a une maturité de 2 ans et que les quatre indices ont la même pondération de 25 %, le prix de l'option sur panier sera de 13.5 %, alors que la moyenne pondérée des quatre options aurait été de 16.7%, chacun des « Calls » individuels étant plus cher que le « Call » sur le panier (DAX: 18.5%; FTSE: 16.5%; S&P: 17%; Nikkei : 14%). Page 28 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 2.3 Option Chooser a) Définitions et caractéristiques Une «as-you-like-it» option, plus communément appelée « chooser option » spécifie les prix d'exercice de deux options standards à la date d'émission, et permet à son détenteur de décider après cette période, déterminée à l'origine (« the choose, choice date ou conversion period »), de convertir l'option en call ou en put. Après avoir décidé la conversion de la « chooser option », le profil de performance est celui d'une option standard avec un prix d'exercice connu. Pendant la première période, l'investisseur peut attendre que l'événement générant l'incertitude se résolve et choisir, au début de la seconde période, la classe d'option optimale. En d'autres termes, cette option n'est ni un call ni un put jusqu'à ce que, à une date définie à la date d'émission (fin de la première période), le détenteur choisisse sa transformation en call ou en put standard, sur un actif sous-jacent déterminé. La prime de la « chooser option » est plus élevée que celle d'un call ou d'un put, mais bien moins chère que le coût d'acquisition d'un « straddle » (primes du call et du put additionnées, de même échéance et de même prix d'exercice). En comparant la « chooser option » avec le « straddle », nous observons que le remboursement final d'une « chooser option » ne sera inférieur à celui d'un « straddle » que si, après la « choice date » et la conversion en call ou en put, d'autres événements viennent inverser la tendance dans le sens opposé à celui choisi. Précisons, en outre, que si le call et le put ont les mêmes prix d'exercice et les mêmes dates d'échéance, l'option est dite « regular chooser».et peut être évaluée selon un modèle analytique. si, au contraire les prix d'exercice sont différents et/ou les dates d'échéance différentes, ces «complex choosers» nécessitent l'utilisation de modèles numériques pour leurs évaluations. Les options « chooser » donnent le droit, et non l’obligation, à leurs acheteurs, contre paiement immédiat d’une prime, de choisir à une date donnée du futur fixée à l’avance T0 de recevoir soit un call soit un put de strike K et de date prédéfinis T. Nous pouvons distinguer deux « chooser options », les « regular » et les « complex chooser ». Nous ne traiterons que les « regular chooser options ». A la date du choix entre le call et le put standard, la valeur d'une « regular chooser option » est égale à max(C, P), où C représente la valeur du call et P Page 29 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 la valeur du put. En considérant la parité call/put pour des options de type européen, nous obtenons I'égalité suivante : ( max(C , P ) = max C , C − Se − d (t2 −t1 ) + X ⋅ e − r (t2 −t1 ) ) Ou encore ( max(C , P ) = C + e − d (t2 −t1 ) + max 0, X ⋅ e − (r −d )⋅(t2 −t1 ) − S ) Avec S : cours de l’actif sous-jacent X : prix d’exercice r : taux d’intérêt sans risque d : taux de dividende t : date actuelle t1 : choice date t 2 : date d’échéance de l’option b) Intérêt Dans des moments de grande incertitude sur l'évolution future du cours d'un actif, beaucoup d'investisseurs choisissent de rester en dehors du marché. Nous pouvons citer, par exemple, le cas d'élections dont l'issue n'est pas sûre, ou encore le cas d'un conflit armée, lors des négociations avec l'Irak après. Dans ces scénarios, les investisseurs pensent que ces événements auront un impact important sur la valeur d'un marché boursier, amenant de très fortes fluctuations des cours à la hausse ou à la baisse. Une « chooser », convient à ce type de situation incertaine, en permettant à l'investisseur de reporter des décisions de couverture d'actifs ou de spéculation, durant une période définie. Page 30 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 c) Modélisation en temps continu L’expression vu précédemment dans la partie définition montre qu’une « regular chooser option » résulte de la combinaison d’un call standard, de − d (t − t ) prix d’exercice X et de maturité t 2 et de e 2 1 put standard, de prix − ( r − d )⋅(t 2 −t1 ) d’exercice X ⋅ e et de maturité t1. D’une façon plus générale, la valorisation d’une « regular chooser option » est la suivante : ( C reg = S ⋅ e − d ⋅(t2 −t ) ⋅ N ( x ) − X ⋅ e − r⋅(t2 −t ) ⋅ N x − σ ⋅ t 2 − t ) ( − S ⋅ e − d ⋅(t2 −t ) ⋅ N (− y ) + X ⋅ e −r⋅(t2 −t ) ⋅ N − y + σ ⋅ t1 − t ) Avec ⎛ S ⋅ e −d ⋅(t2 −t ) ⎞ ln⎜⎜ ⎟ ⎝ X ⋅ e − r⋅(t2 −t ) ⎟⎠ 1 x= + ⋅σ ⋅ t2 − t σ ⋅ t2 − t 2 ⎛ S ⋅ e − d ⋅(t2 −t ) ⎞ ln⎜⎜ ⎟ ⎝ X ⋅ e −r⋅(t2 −t ) ⎟⎠ 1 y= + ⋅ σ ⋅ t1 − t σ ⋅ t1 − t 2 d) Exemples de stratégie Une « complex chooser option » présente les mêmes caractéristiques qu’une « regular chooser option », à l’exception que les prix d’exercice et/ou les échéances du call et du put, à choisir ultérieurement, ne sont pas identiques. Type d'option : « complex chooser option » Sous-jacent : indice CAC 40 Nominal : 1000000 € Devise : Franc français Cours de l'indice CAC 40 à l'émission : 2000 points Prix d'exercice du call : 2100 points Prix d'exercice du put : 1900 points Page 31 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Date d'émission : 2 janvier N Date d'échéance : 2 janvier N+1 Choice date : 2 mars N Prime de l'option : 7.1% Résultat théorique : La « choice date » est essentielle, puisqu'elle impose au détenteur de cette option de choisir la transformation en put ou en call standard, de maturité le 2 janvier N+1. Nous pouvons envisager deux évolutions possibles du cours de l'indice CAC 40 sur la période : 1) Le cours de l'indice CAC 40 s'établit à 2200 points le 2 mars N (« choice date »). Le détenteur de cette « complex chooser option » décide, bien entendu, de convertir celle-ci en call européen standard. Ainsi, en considérant un cours de l'indice égal à 2384 points le 2 janvier N+1 (date d'échéance), le remboursement final par option s'élèvera à 284 (2384 - 2100). La contrepartie s'engage donc à verser un coupon de 14,2% (284/2000), soit 142000 €, pour un investissement initial de 71000 € La performance de l'investissement s'établit à 100%. 2) Le cours de l'indice vient à se déprécier fortement sur les deux premiers mois de l'année, pour s'établir à 1700 points le 2 mars N. L'investisseur décide alors de transformer son option en put européen, de prix d'exercice 1900 points. A maturité, si le cours de l'indice s'élève à 1722.5 points, le remboursement final par option sera égal à 177.5 (1900 – 1722.5), ou un coupon de 8.88% (177.5/2000), représentant un montant de 88.750 €. Sous ces hypothèses, la performance de l'investissement est égale à 25%. Page 32 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 3. LES OPTIONS PATH-DEPENDENT 3.1 Option barrière a) Définitions et caractéristiques Les options à barrière sont des options dont la valeur est conditionnée par l’évolution, pendant leur durée de vie, du prix du sous-jacent par rapport à un ou plusieurs seuils. Nous pouvons distinguer deux catégories de produit : Les options à barrière désactivantes : Ces options, dites de type « out », sont des options européennes classiques en tout point sauf qu’elles disparaissent si le cours du sous jacent atteint dans la période de référence un seuil prédéterminé. Ces options peuvent être « down and out » si la barrière est atteinte par une baisse du cours du sous-jacent ou « up and out » si elle est, au contraire, atteinte par une hausse de celui- ci. Les options à barrière activantes : Ces options ne commencent à exister que si le cours du sous-jacent atteint un certain cours fixé à l’avance. Cependant, la prime est payée dès le départ, qu’une option apparaisse ou non par la suite. Ces options peuvent également être « down and in » si la barrière activante est atteinte une baisse du cours du sous-jacent ou « up and in » si la barrière est atteinte par une hausse de celui-ci. Il est important de préciser quelques termes notamment sur les noms qui sont le plus souvent utilisés pour définir ces options : o Barrière activante : « in barrier » ou « knock-in » ou « lightable option » o Barrière désactivant : « out barrier » ou « knock-out » ou « extinguishable » Il existe donc 8 types d’options à barrières : « 4 calls », et « 4 puts ». Page 33 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Utilisons les notations suivantes pour définir leurs « payoff » respectifs : - K : prix strike, - S : cours spot, - B : barrière Calls barrière : Type Payoff ⎧max (0, ST − K ) si ∀t S t > B Down and out X B _ CDO = ⎨ ⎩ 0 Sinon ⎧max (0, ST − K ) si ∀t S t < B Up and out X B _ CUO = ⎨ ⎩ 0 Sinon ⎧max (0, ST − K ) si ∃t / S t ≤ B Down and in X B _ CDI = ⎨ ⎩ 0 Sinon ⎧max (0, ST − K ) si ∃t / S t ≥ B Up and in X B _ CUI = ⎨ ⎩ 0 Sinon Puts barrière : Type Payoff ⎧max (0, K − ST ) si ∀t S t < B Up and out X B _ PUO = ⎨ ⎩ 0 Sinon ⎧max (0, K − ST ) si ∀t S t > B Down and out X B _ PDO = ⎨ ⎩ 0 Sinon ⎧max (0, K − ST ) si ∃t / S t ≥ B Up and in X B _ PUI = ⎨ ⎩ 0 Sinon ⎧max (0, K − ST ) si ∃t / S t ≤ B Down and in X B _ PDI = ⎨ ⎩ 0 Sinon Page 34 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 b) Intérêt Nous pouvons remarquer trois points principaux dans l’utilisation des options à barrière : Prix des options : le prix des options à barrière peut être selon le niveau de la barrière, nettement plus faible que celui d'une option standard de mêmes caractéristiques. Grande flexibilité : la multiplicité des options à barrière permet d'élaborer des stratégies très précises tant en terme d'anticipation, qu'en terme de couverture : pour une classe donnée d'options standard, il existe quatre types d'options à barrière. Levier et rendement importants : le versement d'une prime faible combiné à un « pay-off » identique à celui d'une option standard en cas d'évolution favorable du sous-jacent permettent d'améliorer le levier de façon significative, ainsi que le rendement de l'option. c) Modélisation en temps continu Nous allons ici donner la modélisation temps continu des options « Down and out call » et « Up and out call » proposée par Musiela & Rutkowski. Call Down and Out: Nous supposons que B < K et que B < S 0 sont satisfaites. Vues les caractéristiques générales de l’option, il est clair qu’elle est annulée lorsqu’elle ∗ est out-of-the-money. Nous rappelons que sous la mesure de martingale  nous avons : ∗ S t = S 0 ⋅ e σ S ⋅Wt + λ ⋅t = S 0 ⋅ e X t Où X t = σ S ⋅ Wt + λ ⋅ t pour t ∈ [0, T ] , et 1 ∗ λ = r − ⋅ σ S2 donc 2 ⎧ ⎫ ⎧⎪ ⎛ B ⎞⎫⎪ ⎨ω ∈ Ω min S t ≥ B ⎬ = ⎨ω ∈ Ω mt ≥ ln⎜⎜ ⎟⎟⎬ ⎩ 0 0 ). Dans le cas où la moyenne n'est pas encore calculée, alors A = 1 avec T , = 0 f : Fréquence utilisée dans le calcul de la moyenne Moyenne arithmétique : Geman et Yor ont apporté une solution pour la formule des options asiatiques , considérant une moyenne arithmétique de cours. Elle prend pour hypothèse, que le moment t, de l'analyse appartient à la période de calcul de la moyenne ( t 0 < t < T ), et que les valeurs déjà retenues dans ce calcul sont suffisamment élevées pour que l'option soit déjà dans la monnaie. En évitant les approximations et en retenant un faible écart de temps entre deux points de référence, l'expression mathématique de la formule de cette option est relativement simple : C aa =S⋅ (1 − e − r ⋅(T −t1 ) )−e − r ⋅(T −t1 ) ⎡ ⋅ ⎢X − 1 t1 ⎤ ⋅ ∫ S (u ) ⋅ du ⎥ r ⋅ (T − t 0 ) ⎢⎣ T − t 0 t0 ⎥⎦ Avec T ⋅ S (u ) ⋅ du : moyenne calculée entre t 0 et T 1 T − t 0 t∫0 S : cours de l’actif à l’instant t , de l’analyse e) Exemple de stratégie Cession de participations : une société souhaite utiliser une stratégie optionnelle pour céder sa participation dans un autre groupe. La méthode retenue est celle d'une cession en bloc, ayant lieu dans un an. L'objectif de cette société n'est pas d'assurer un prix minimum de cession, mais d'éviter une opération dont le prix pourrait être très défavorable. La société achète un put à moyenne trimestrielle, lui permettant de réaliser la cession à un prix moyen sur l'année et la protégeant contre une baisse violente du sous-jacent à l'échéance. Page 58 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Anticipations directionnelles : pour l'année à venir, un gérant anticipe une forte hausse de l'indice, suivie d'une relative stagnation. En utilisant une option à moyenne trimestrielle, il espère pouvoir obtenir un « pay-off » proche de celui d'une option standard, mais en payant une prime très inférieure : la hausse rapide anticipée devrait permettre d'éviter un lissage trop important des cours. Au moment de l'achat de l'option, l'indice cote 2500 points. Aux quatre dates anniversaires utiles au calcul du « pay-off » de l'option, le cours du sous-jacent est respectivement de 2250, 3050, 3700 et 3000 points. La valeur à l'échéance servant au calcul de l'option « plain vanilla » (ou option classique) est de 3000, identique à celle servant au calcul de I'option asiatique : (2250 + 3050 + 3700 + 3000) / 4 = 3000 Type d’option Maturité Strike Prime Pay-off Pay- off/prime Call 1 an 2500 10.3% 500 1.94 Plain Vanilla (257.5) Call 1 an 2500 7.1% 500 2.82 Moyenne Trimestrielle (177.5) Page 59 sur 88 PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 PARTIE 2 SIMULATION DES OPTIONS EXOTIQUES Page 60 sur 88  PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 1. INTRODUCTION A LA SIMULATION 1.1 Problématique C'est en 1977 que Boyle a eu l'idée d'utiliser la méthode de simulation de Monte Carlo pour évaluer le prix d'une option. La théorie financière moderne permet, en effet, d'exprimer la valeur de la plupart des actifs financiers sous la forme de l'espérance d'une variable aléatoire. L'évaluation d'un actif financier peut se résumer alors a un calcul approché de la moyenne de cette variable dès lors que l'on sait la simuler. À titre d'exemple, considérons l'évaluation d'une option écrite sur une action dont le cours, S, est supposé suivre un mouvement brownien géométrique, tel que, dans l'univers risque neutre : dS = r ⋅ dt + σ ⋅ dWˆ S ^ où W représente un brownien standard de valeur nulle à l'instant 0, r le taux d'intérêt sans risque et σ la volatilité de l'action. L'utilisation du lemme d'Itô, s