Pruebas de Hipótesis - Parte I PDF

Pruebas de hipótesis Conceptos Hipótesis Tipos de decisiones Prof. Carlos Garibaldi Tipos de pruebas Etapas de una prueba Muchas veces, el problema al que se enfrenta un científico, ingeniero, o profesional, no es tanto la estimaci...

Pruebas de hipótesis Conceptos Hipótesis Tipos de decisiones Prof. Carlos Garibaldi Tipos de pruebas Etapas de una prueba Muchas veces, el problema al que se enfrenta un científico, ingeniero, o profesional, no es tanto la estimación de un parámetro poblacional, sino más bien la formación de un procedimiento de decisión que se base en la información proporcionada por la muestra. El profesional postula o conjetura algo acerca del valor que puede asumir cierto parámetro Una hipótesis estadística es una aseveración o conjetura con respecto a una o más poblaciones. La verdad o falsedad de una hipótesis estadística, nunca se sabe con certeza, a menos que se examine toda la población. En su lugar, se toma una muestra aleatoria de esa población de interés y se utiliza la información de la muestra para proporcionar evidencias que apoyen o no la hipótesis. La evidencia de la muestra que es consistente con la hipótesis conduce al no rechazo de la hipótesis, mientras que si es inconsistente con la hipótesis conduce al rechazo de esta. Debe quedar claro que la aceptación de una hipótesis implica que los datos de la muestra no dan la suficiente evidencia para rechazarla Generalmente el científico se interesa en apoyar con fuerza una opinión, por lo tanto, desea llegar a la opinión en forma de rechazo Ejemplo Si un investigador en medicina desea mostrar fuertes evidencias a favor de que el fumar aumenta el riesgo de contraer cáncer, la hipótesis a probar debe ser de la forma “no hay aumento en el riesgo de contraer cáncer como producto de fumar” Como resultado, seguramente la opinión se alcanza por medio de un rechazo La estructura de la prueba de hipótesis se formula con el uso de una hipótesis nula, que se denota con Ho y es la hipótesis para probar. El rechazo de Ho conduce a la aceptación de la hipótesis alternativa H1 Ejemplo Nos dicen que la vida media de las computadoras es 5 años pero sospechamos que es menor. Consideramos la afirmación: “la vida media de las computadoras es 5 años” como la hipótesis nula H0, y a nuestra sospecha: “la vida media de las computadora es menor a 5 años” como hipótesis alternativa (H1). Entonces las hipótesis se escriben: H0: µ = 5 y H1: µ < 5 Una vez que se establecen la hipótesis nula y la alternativa, el paso siguiente consiste en hallar la evidencia para tomar la decisión. La calidad de los datos es fundamental; la información debe ser precisa y no tener sesgo. Una mayor precisión se obtiene con un mayor tamaño de muestra: para evitar el sesgo los datos deben provenir de un muestreo aleatorio simple. La hipótesis simple se refiere a un valor exacto que afirmamos o conjeturamos sobre el parámetro de una población, como puede ser P=030. La hipótesis compuesta, se refiere a un conjunto de valores aproximados que afirmamos o conjeturamos sobre el parámetro, por ejemplo, P≥0,30. Una hipótesis nula siempre se establece de modo que el parámetro asuma un valor (el indicador de igualdad =, ≤, ≥ debe aparecer en esta hipótesis), mientras que la hipótesis alternativa permite la posibilidad de uno o más valores. Es posible establecer las siguientes reglas para decidir qué proposición se utiliza como hipótesis nula y cual como hipótesis alternativa. ❑ La conclusión a la que se desea o espera llegar como resultado de la prueba generalmente se usa como hipótesis alternativa. ❑ La hipótesis nula debe contener una proposición de igualdad, ya sea =, ≤, ≥. ❑ La hipótesis nula es la que debe ser comprobada. ❑ Las hipótesis nula y alternativa son complementarias. Es decir, las dos contemplan de manera exhaustiva todos los valores posibles que los parámetros de suposición pueden asumir El procedimiento de una prueba de hipótesis se realiza para tomar alguna decisión respecto de las hipótesis. La decisión se fundamenta en la información recogida de la muestra y por lo tanto no se tendrá la certeza de que la decisión es la correcta. La idea detrás de la prueba de hipótesis es pensar que si la hipótesis nula, por ejemplo: µ=µ0, fuera verdadera la diferencia entre la media muestral 𝑥ҧ y µ0 debería ser pequeña. Si es demasiado grande esa diferencia, seguramente se toma la decisión a favor de la hipótesis alternativa. Para saber si la diferencia entre, por ejemplo, la media muestral 𝑥ҧ y el valor especificado en la hipótesis nula (µ0) es grande se necesita construir un estadístico. Por lo tanto, al tomar la decisión, se podrían cometer errores: ▪ El rechazo de la hipótesis nula cuando es verdadera, se llama error tipo I ▪ La aceptación de la hipótesis nula cuando es falsa, se llama error tipo II Al probar hipótesis estadísticas, se pueden producir diferentes situaciones que se visualizan en la tabla H0 es verdadera H0 es falsa Aceptar H0 Decisión correcta Error tipo II Rechazar H0 Error tipo I Decisión correcta La probabilidad de cometer el error tipo I, también se llama nivel de significación, se denota con , e indica la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Esta probabilidad la fija el investigador, comúnmente a valores bajos, por ejemplo 5 % o 1 %  = P (Error tipo I) = P (R H0 / H0 es verdadera) También se le conoce como tamaño de la región crítica, es muy pequeña y por lo tanto es poco probable que se cometa el error tipo I El error tipo II es la aceptación de la hipótesis nula falsa. La probabilidad de cometer el error tipo II, se denota por , es imposible de calcularla, a menos que se tenga una hipótesis alternativa especifica.  = P (Error tipo II) = P (A H0 / H0 es falsa) Esta es una probabilidad un poco elevada. Por supuesto, es preferible que las probabilidades de cometer los errores tipo I y tipo II sean lo más baja posible. Para un tamaño de muestra fijo, una disminución en la probabilidad de un error, por lo general tiene como resultado un aumento en la probabilidad del otro error. Para reducir ambas probabilidades se debe aumentar el tamaño de la muestra. Hay una serie de propiedades a tener en cuenta: ❑ Los errores tipo I y tipo II están relacionados. Cuando uno disminuye por lo general el otro aumenta. ❑ El tamaño de la región crítica, probabilidad de cometer el error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el o los valores críticos. ❑ Entre más grande sea la distancia entre el valor real y el valor hipotético, será menor . ❑ Un aumento en el tamaño de la muestra reducirá  y  en forma simultanea La potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar H0, dado que una alternativa específica es verdadera. Se denota como 1-, para poder calcular esta probabilidad se debe tener un valor específico de la hipótesis alternativa. Para producir una potencia alta, se debe aumentar  o aumentar el tamaño de la muestra. También se hará más grande 1- cuando sean grandes las diferencias entre el valor de la hipótesis nula y el valor de la hipótesis alternativa. El complemento de la potencia de una prueba es  y es la probabilidad de cometer el error tipo II Tipos de pruebas La hipótesis alternativa es la que determina si la prueba es de una cola o de dos colas (una región de rechazo o doble región de rechazo) ▪ Una prueba es dos colas o bilateral (dos zonas de rechazo, una a la izquierda y la otra a la derecha), cuando la hipótesis alternativa, no indica un valor específico del parámetro y hay que asumir que es distinto, ya sea superando o estando debajo del valor propuesto en la hipótesis nula ▪ Una prueba es de una cola lateral izquierda, (zona de rechazo a la izquierda) cuando la hipótesis alternativa, plantea un valor del parámetro o una serie de valores menores al valor del parámetro propuesto en la hipótesis nula ▪ Una prueba es de una cola lateral derecha (zona de rechazo a la derecha), cuando la hipótesis alternativa, plantea un valor del parámetro o una serie de valores mayores al valor del parámetro propuesto en la hipótesis nula.  Ejemplo. Un ingeniero asevera que el diámetro promedio de todas las piezas de un lote, es de 20 mm.. H0;  = 20 mm. H1;   20 mm. (Prueba bilateral o de dos colas) El técnico afirma que la duración promedio de las pantallas no es mayor a 6 años H0;  ≤ 6 mm. H1;  > 6 mm. (Prueba lateral derecha, de una sola cola) El farmacéutico asegura que el promedio de medicamento solicitado es mayor o igual a 10 cajas H0;  ≥ 10 H1;  < 10 (Prueba lateral izquierda, de una sola cola) Etapas en una prueba de hipótesis En un procedimiento de prueba de hipótesis se deben llevar a cabo una serie de pasos o etapas, a saber: ❑ Establecer la población y el parámetro de interés ❑ Formular la hipótesis nula ❑ Expresar la hipótesis alternativa ❑ Especificar el nivel de significación () ❑ Escoger el tamaño de la muestra ❑ Determinar la estadística de la prueba ❑ Establecer los valores críticos que dividen las regiones de rechazo y de no rechazo ❑ Recolectar los datos de la muestra y calcular el valor del estadístico apropiado ❑ Determinar si el estadístico ha caído en la región de rechazo o en la región de no rechazo ❑ Tomar la decisión estadística ❑ Expresar la decisión estadística en términos del problema