Presentación Ficha 4-2 PDF - Distribución Binomial

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Estadística – Curso 2024 Experimento binomial Se denomina experimento binomial a aquel que satisface las siguientes condiciones: Consta de una secuencia de 𝑛 experimentos más pequeños llamados ensayos, donde 𝑛 se fija antes del experimento. Cada ensayo puede...

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Estadística – Curso 2024 Experimento binomial Se denomina experimento binomial a aquel que satisface las siguientes condiciones: Consta de una secuencia de 𝑛 experimentos más pequeños llamados ensayos, donde 𝑛 se fija antes del experimento. Cada ensayo puede dar por resultado uno de dos resultados posibles, los cuales se denotan como éxito o fracaso. Los ensayos son independientes, de modo que el resultado en cualquier ensayo particular no influye en el resultado de cualquier otro ensayo. La probabilidad de éxito (𝑝) es constante de un ensayo a otro. Variable aleatoria binomial La variable aleatoria binomial asociada con un experimento binomial que consiste en 𝑛 ensayos se define como “el número de éxitos entre los n ensayos”. Se simboliza 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝), indicando que 𝑋 es una variable aleatoria binomial basada en 𝑛 ensayos con una probabilidad de éxito 𝑝. Distribución binomial La función masa de probabilidad para una variable aleatoria binomial depende de 𝑛 y de 𝑝, que se denominan parámetros de la distribución. Dicha función es: C"# · 𝑝 " · 1 − 𝑝 #$" si 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 𝑓! 𝑥 = - 0 en otro caso Media y varianza de una v.a. binomial Si 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) se cumple que: 𝐸 𝑋 = 𝜇! = 𝑛 · 𝑝 𝑉 𝑋 = 𝜎!% = 𝑛 · 𝑝 · (1 − 𝑝) Ejemplo Se conjetura que hay impurezas en 30% del total de pozos de agua potable de cierta comunidad rural. Para obtener algún conocimiento del problema, se determina que debería realizarse algún tipo de prueba. Es muy costoso probar todos los pozos del área, por lo que se eligieron 10 aleatoriamente para una prueba. Utilizando la distribución binomial, a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres pozos tengan impurezas considerando que la conjetura es correcta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres pozos tengan impurezas? c) ¿Cuál es el número de pozos que se espera tengan impurezas? Ejemplo 𝑛 = 10 𝑿~𝑩𝒊𝒏(𝟏𝟎; 𝟎, 𝟑) 𝑝 = 0,3 Calculadora: Buscar tecla nCr. Parte a: Al presionarla aparecerá en el visor de la 𝑃 𝑋 = 3 = 𝑓! 3 calculadora una letra C. 𝑃 𝑋 = 3 = 𝐶"#$ ⋅ 0,3" ⋅ 1 − 0,3 P #$%" Para calcular 𝐶!"# se escribe 10C3 en la 𝑃 𝑋=3 = 120 ⋅ 0,3" ⋅ 0,7 & calculadora, se aprieta igual y nos da el 𝑷 𝑿 = 𝟑 ≅ 𝟎, 𝟐𝟔𝟔𝟖𝟑 valor de la combinación. Ejemplo Parte b: 𝑃 𝑋 > 3 = 𝑓! 4 + 𝑓! 5 + 𝑓! 6 +𝑓! 7 +𝑓! 8 +𝑓! 9 +𝑓! 10 𝑃 𝑋 = 4 = 𝐶$"# ⋅ 0,3$ ⋅ 1 − 0,3 P "#%$ ≅ 0,2001 𝑃 𝑋 = 5 = 𝐶&"# ⋅ 0,3& ⋅ 1 − 0,3 P "#%& ≅ 0,1029 𝑃 𝑋 = 6 = 𝐶'"# ⋅ 0,3' ⋅ 1 − 0,3 P "#%' ≅ 0,0367 𝑃 𝑋 = 7 = 𝐶("# ⋅ 0,3( ⋅ 1 − 0,3 P "#%( ≅ 0,0090 𝑷 𝑿 > 𝟑 ≅ 𝟎, 𝟑𝟓𝟎𝟐 𝑃 𝑋 = 8 = 𝐶)"# ⋅ 0,3) ⋅ 1 − 0,3 P "#%) ≅ 0,0014 𝑃 𝑋 = 9 = 𝐶*"# ⋅ 0,3* ⋅ 1 − 0,3 P "#%* ≅ 0,00013 "# 𝑃 𝑋 = 10 = 𝐶"# P ⋅ 0,3"# ⋅ 1 − 0,3 "#%"# ≅ 0,0000059 Ejemplo Parte b: Para disminuir el número de cálculos es posible trabajar en base al suceso complementario. 𝑃 𝑋 > 3 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 3 = 1 − (𝑓! 0 + 𝑓! 1 + 𝑓! 2 + 𝑓! 3 ) 𝑃 𝑋 = 0 = 𝐶#"# ⋅ 0,3# ⋅ 1 − 0,3 P "#%# ≅ 0,0282 𝑃 𝑋 = 1 = 𝐶""# ⋅ 0,3" ⋅ 1 − 0,3 "#%" ≅ 0,1210 𝑃 𝑋 ≤ 3 ≅ 0,6494 P 𝑃 𝑋=2 = P 𝐶+"# ⋅ 0,3+ ⋅ 1 − 0,3 "#%+ ≅ 0,2334 𝑃 𝑋 = 3 = 𝐶!"# ⋅ 0,3! ⋅ 1 − 0,3 P "#%! ≅ 0,2668 𝑷 𝑿 > 𝟑 ≅ 𝟏 − 𝟎, 𝟔𝟒𝟗𝟒 ≅ 𝟎, 𝟑𝟓𝟎𝟔 Ejemplo Parte c: Se calcula el valor esperado, es decir, la media de la v.a. binomial considerada. 𝐸 𝑋 = 𝜇! = 𝑛 ⋅ 𝑝 𝐸 𝑋 = 10 ⋅ 0,3 𝑬 𝑿 =𝟑 Es decir que se espera que tres de los pozos contengan impurezas.