Chapitre 5: Représentation algébrique et graphique des fonctions PDF

# Chapitre 5: Représentation algébrique et graphique des fonctions ## Objectifs: - Connaitre le vocabulaire et les notations relatifs aux fonctions (image, antécédent, courbe, domaine de définition,...) - Déterminer l'image ou les éventuels antécédents d'un nombre par une fonction donnée, algébri...

# Chapitre 5: Représentation algébrique et graphique des fonctions ## Objectifs: - Connaitre le vocabulaire et les notations relatifs aux fonctions (image, antécédent, courbe, domaine de définition,...) - Déterminer l'image ou les éventuels antécédents d'un nombre par une fonction donnée, algébriquement ou graphiquement. - Savoir si un point du plan appartient ou pas à la courbe représentative d'une fonction. - Tracer la représentation graphique d'une fonction. - Reconnaitre une fonction paire ou impaire, algébriquement ou graphiquement. - Modéliser un problème à l'aide d'une fonction. - Etablir graphiquement le tableau de signes d'une fonction. - Résoudre une équation / inéquation graphiquement. ## Généralités sur les fonctions ### Problème: Pour délimiter une zone de baignade en bord de mer, les surveillants ont une corde flottante de 125 m de long. Ils veulent proposer une zone rectangulaire avec la plus grande surface possible. Notons *x* la largeur de la zone de baignade. Comme la longueur de la corde est 125 m, alors la longueur de la zone de baignade est 125-2*x*. Ainsi, l'aire de la zone de baignade est : $a(x) = x(125-2x)$ Dans tout ce paragraphe, le cours sera illustré à l'aide de cette fonction *a*. ### Rappels de cours #### 1. Définitions - **Une fonction *f*** est un procédé qui, à un nombre *x*, fait correspondre un autre nombre, unique, *f(x)*. - *x*, la variable, est appelé l'antécédent et *f(x)* est son image. - Une fonction peut être présentée par : - **①une formule algébrique,** qui permet d'exprimer la valeur d'une image *f(x)* en fonction de celle de l'antécédent *x*; - **②un tableau** donnant, pour plusieurs valeurs de *x*, la valeur des images *f(x)*; - **③une représentation graphique** qui, dans un repère, est une courbe formée par l'ensemble des points de coordonnées (*x*, *f(x)*). #### Exemples Soit *h* la fonction définie par: $h: x \rightarrow (x-3)(x+4)(1,5x-2)$ $h(x) = (x-3)(x+4)(1,5x-2)$ | X | h(x) | |---|---| | -2 | 50 | | 0 | 24 | | 4 | 32 | | 6 | 210 | - On note *h(-2)= 50*. #### Remarques: - La notation *f: x → f(x) se lit «*f* est la fonction qui à *x* associe *f(x)* ». - En général, la donnée d'un tableau de valeurs ne détermine pas entièrement une fonction (on ne connait pas les images de toutes les valeurs de *x*). - De même, la donnée d'une courbe n'est pas toujours satisfaisante car les informations qu'on peut y lire manquent de précision et certains phénomènes peuvent être « cachés » (courbe non visible entièrement ou zoom mal adapté). - Une fonction traduit une relation de dépendance entre la variable *x* et son image *y*. | Variable | Valeur d'entrée | Antécédent | |---|---|---| | y = f(x) | Valeur de sortie | Image | #### Exemples: - $a(10)=1050$ signifie que « 1050 est l'image de 10 par *a* » ou que « 10 est UN antécédent de 1050 par *a* ». - $a(28)=a(34,5) = 1932$ donc 1932 a (au moins) deux antécédents par *a*: 28 et 34,5. #### Remarque: - Un nombre *x* choisi dans *D_f* (voir ci-dessous) admet une unique image par *ƒ* mais un réel peut avoir plusieurs antécédents par *ƒ* ou ne pas en avoir du tout. #### Définition: - On considère une fonction *f*. L'ensemble des valeurs que peut prendre la variable *x* est appelé ensemble de définition (ou domaine de définition) de *f*. On le note *D_f*. - On dit aussi « *f* est définie sur *D_f* ». #### Remarque: - Le domaine de définition *D_f* d'une fonction est souvent un intervalle ou une réunion d'intervalles. - Lorsqu'il n'est pas précisé, on convient de dire que l'ensemble de définition d'une fonction *f* est l'ensemble des réels pour lesquels on peut calculer *f(x)*. #### Exemples: - La fonction *ƒ* définie par *f(x) = √x* est définie sur [0; +∞[ - La fonction *g* définie par *g(x) = ¹/_(x-1)*² est définie sur R = ]-∞;0[U]0;+∞[ - La fonction *a* de notre problème est définie sur ]0; 62,5[ (car *x* est une longueur et que *x* ne peut pas être plus grand que la demi-corde) #### 2. Représentation graphique #### Définition: - On munit le plan d'un repère (O, I, J) et on considère une fonction *f* définie sur un ensemble *D_f*. - La courbe représentative *C_f* de *f* (ou représentation graphique de *f*) dans le repère est l'ensemble des points de coordonnées (*x*, *y*) où *x* ∈ *D_f* et *y* = *f(x)*. #### Exemples algébriques: - Le point A (10; 1050) se trouve sur la courbe de la fonction *a*. Cela signifie que *a*(10) = 1050 - Le point B (34; 1 940) est-il sur la courbe représentative de la fonction *a*? -$a(34) = 34 (125-2*34)=1933≠1940$ donc le point B n'est pas sur la courbe de la fonction *a* (mais le point E (34; 1 938) l'est). #### Remarque: - Les images se lisent sur l'axe des ordonnées et les antécédents sur l'axe des abscisses. #### Méthode: Tracer la courbe représentative d'une fonction - [https://www.youtube.com/watch?v=xHJNdrhzY4Q&index=7&list=PLVUDmbpupCarIdEOAuwWlW8bAFPUs7JTp](https://www.youtube.com/watch?v=xHJNdrhzY4Q&index=7&list=PLVUDmbpupCarIdEOAuwWlW8bAFPUs7JTp) Pour tracer la courbe d'une fonction, il faut : 1) Dresser un tableau de valeurs de la fonction (on choisit quelques valeurs de *x* dans le domaine de définition puis on calcule leurs images; ce travail peut se faire à la calculatrice et on peut alors se contenter de l'affichage à l'écran de la calculatrice, sans recopier le tableau sur sa feuille); 2) Placer chacun des points du tableau dans un repère (avant de tracer le repère, regarder dans le tableau les valeurs dont on a besoin sur chacun des axes afin de pouvoir choisir une échelle adaptée); 3) Relier ces points de façon la plus fluide possible. ## Parité d'une fonction #### Définition: - Un ensemble *D* inclus dans *R* est centré en 0 si pour tout nombre de cet ensemble, son opposé appartient également à l'ensemble *D*. (opposé de *x* = -*x*; inverse de *x* = ½) #### Exemples: - L'intervalle [-6;6] est centré en 0, [2-3] ne l'est pas. #### Définition: - On considère une fonction *f* définie sur un ensemble *D_f* centré en 0. - On dit que *f* est paire lorsque pour tout réel *x* de *D_f*, *f(-x) = f(x)*. - On dit que *f* est impaire lorsque pour tout réel *x* de *D_f*, *f(-x) = -f(x)*. #### Exemples: - **La fonction carré *f: x → x²*** est définie sur R = ]-∞; +∞[ centré en 0. - Pour tout réel *x*: *f(x) = (-x)² = x² = f(x) donc *f* est paire - **fonction inverse *g: x → ¹/_x*** est définie sur R = ]-∞; 0[U]0; +∞[ centré en 0. - Pour tout réel *x* non nul: *g(x) = - ¹/_x = - g(x) donc *g* est impaire -**fonction cube *h: x → x³* ** est définie sur R centré en 0. - Pour tout réel *x*: *h(-x)=(-x)³=-x³ =- h(x) donc *h* est impaire. #### Interprétation graphique: - On se place dans un repère orthogonal du plan et on note *C* la représentation graphique de *f*. | Condition | Interprétation | |---|---| | *f* est paire | *C* est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées | | *f* est impaire | *C* est symétrique par rapport à l'origine du repère | ## Résolution graphique d'équations ### 1. Equations du type *f(x) = k* (k un réel donné) Soit *f* une fonction définie sur un intervalle *I*, *C_f* sa courbe représentative dans un repère et *k* un réel. « Résoudre l'équation *f(x) = k* graphiquement », c'est « trouver les antécédents de *k* par *f* » ou « trouver les abscisses des points de *C_f* qui ont pour ordonnée *k* » ou « trouver les abscisses des points d'intersection de *C_f* avec la droite d'équation *y=k* ». **Cas particulier:** « Résoudre l'équation *f(x) = 0* », c'est « chercher les abscisses des points de la courbe qui ont pour ordonnée 0 » c'est-à-dire les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. ### 2. Equations du type *f(x) = g(x)* On donne les courbes représentatives d'une fonction *f* et d'une fonction *g* dans un repère. « Résoudre l'équation *f(x) = g(x)* » c'est « chercher les abscisses des points d'intersection des deux courbes ». #### Exemple: On considère deux fonctions *f* et *g* dont les courbes sont données ci-contre en vert et bleu. Résoudre graphiquement *f(x) = g(x)* avec la précision permise par le graphique. Il y a 2 points d'intersection: les points A et B. Les solutions de l'équation sont les abscisses de ces 2 points. *x_A*≈-0,8 et *x_B*≈1,2. Donc S={-0,8;1,2} ## Résolution graphique d'inéquations ### 1. Inéquations du type *f(x) < k* Soit *f* une fonction définie sur un intervalle *I*, *C_f* sa courbe représentative dans un repère et *k* un réel. « Résoudre l'inéquation *f(x) <k* graphiquement », c'est « trouver les abscisses des points de *C_f* situés sous la droite d'équation *y=k* ». #### Exemples: Dans les exemples qui suivent, on considère une fonction *ƒ* définie sur [-3; 5] dont la courbe est donnée ci-dessous. Résoudre les inéquations :