Cours de Géostatistique - Université sultan moulay Slimane - 2022-2023 PDF

# Cours de Géostatistique ## Université sultan moulay Slimane - Faculté des Sciences et Techniques Béni Mellal - département de Géologie ## Master Sciences et Techniques : - « Géomatique Environnementale » ## Prof. A. MIDAOUI ## Année universitaire : 2022-2023 ## Plan du cours - Statistique descr...

# Cours de Géostatistique ## Université sultan moulay Slimane - Faculté des Sciences et Techniques Béni Mellal - département de Géologie ## Master Sciences et Techniques : - « Géomatique Environnementale » ## Prof. A. MIDAOUI ## Année universitaire : 2022-2023 ## Plan du cours - Statistique descriptive - Rappel - Définitions et Vocabulaire - Statistiques à une variable - Organisation des données - Représentation graphique - Paramètres statistiques - Statistiques à deux variables - Corrélation - Régression linéaire simple - Géostatistique - Définitions et Historique - Méthodes d'interpolation déterministes - Interpolation stochastique: Analyse variographique - Krigeage ## STATISTIQUE DESCRIPTIVE - RAPPEL ### 1. Définitions et Vocabulaire | Terme | Description | |---|---| | Statistique | méthodes mathématiques permettant d'analyser, de décrire et de modéliser des données (observations) relatives à une ou plusieurs caractéristiques communes aux individus d'une population. | | Population | (ou champ de l'étude) ensemble concerné par l'étude statistique. | | Individu | Ou unité statistique, tout élément de la population. | | Échantillon | sous-ensemble de la population sur lequel sont effectivement réalisées les observations. | | Effectif | l'effectif n, associé à une valeur x, de la variable, est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série statistique. L'effectif total N correspond à la taille de l'échantillon qui est le nombre total des individus constituant l'échantillon. | | Fréquence | La fréquence associée à une valeur x₁ de la variable, est le quotient de l'effectif n₁ (associé À cette valeur) par l'effectif total N. | | Enquête | opération consistant à observer (ou mesurer) l'ensemble des individus d'un échantillon. | | Sondage | enquête non exhaustive, l'échantillon observé est un sous-ensemble strict de la population. | | Recensement | enquête exhaustive, l'échantillon observé correspond à la population tout entière. | | Série statistique | Données issues d'une enquête statistique, organisées en tableaux (individus en lignes et variables en colonnes). | | Variable statistique | caractère ou grandeur sur laquelle porte l'étude statistique. | | modalités | valeurs que peut prendre la variable. | | Variable quantitative | variable mesurable, les modalités correspondent à des nombres. | | Variable discrète | ne peut prendre que des valeurs isolées dans l'intervalle de variation. | | Variable continue | peut prendre toute valeur dans l'intervalle de variation. | | Variable qualitative | variable non mesurable, les modalités correspondent à des catégories. | | Variable ordinale | les modalités peuvent être classées. | | Variable nominale | les modalités ne peuvent être classées. | | Statistique descriptive ou statistique exploratoire | Analyse descriptive des données à travers leur présentation de façon synthétique (tableaux), leur représentation graphique, et le calcul de paramètres statistiques (de position, de dispersion, de forme). | | Statistique inférentielle ou statistique inductive | inférer ou induire un phénomène ou caractère d'une population globale, à partir de son observation sur un échantillon, en se basant sur des modèles et hypothèses probabilistes. L'objectif est principalement explicatif. | | Statistique prédictive ou apprentissage statistique | prévision d'une variables qualitative (discrimination ou classification supervisée) ou quantitative (régression). | | Statistique unidimensionnelle/univariée | étude d'une seule variable | | Statistique bidimensionnelle/bivariée | étude des relations entre deux variables | | Statistique multidimensionnelle/multivariée | étude des relations entre plusieurs variables| ### 2. Organisation des données - Les données brutes recueillies doivent être rangées, structurées et organisées sous forme de tableaux dits de distribution de fréquence. Cela facilite toute opération statistique ultérieure (calcul de paramètres, représentation graphique...); - les données sont organisées de telle façon qu'à chaque observation ou classe d'observations de la variable étudiée, on associe l'effectif et la fréquence (éventuellement : le centre de classe, amplitude, la fréquence cumulée ...). | Observations | Effectif | Fréquence | Fréq. Cumulée croissante | |---|---|---|---| | x₁ | n₁ | f₁| f₁ | | x₂ | n₂ | f₂| f₁+f₂ | | … | … | … | … | | xₙ | nₙ | fₙ | Σf₁ | | Classes d'Observations | Centre de classe | Effectif | Fréquence | Fréq. Cumulée croissante | |---|---|---|---|---| | [a₁; a₂[ | (a₁+a₂)/2 | n₁| f₁| f₁ | | [a₂; a₃[ | (a₂+a₃)/2 | n₂| f₂| f₁+f₂ | | … | … | … | … | … | | [ak-1; ak[ | (ak-1+ak)/2 | nₙ | fₙ | Σf₁ | ### 3. Représentation graphique #### Variable qualitative - Diagramme en barre ou tuyaux d'orgue ou diagramme à bandes - Diagramme en blocs - Diagramme à secteurs ou camembert ou diagramme circulaire #### Variable quantitative discrète - Diagramme en bâtons - Polygone des fréquences - Diagramme des effectifs cumulés croissants (en escalier) #### Variable quantitative continue - Histogramme et courbe des fréquences - Diagramme des effectifs cumulés croissants (courbe polygonale) ### 4. Paramètres statistiques - résumer et caractériser la distribution d'une série de données constituée d'un grand nombre d'observations à l'aide de quelques nombres (indicateurs) suffisamment représentatifs - faciliter la comparaison d'échantillons #### a. Indicateurs de tendance centrale - valeurs autour desquelles se repartissent les observations (moyenne, mode, médiane) ##### Moyenne - Pour une variable quantitative X, on considère une série d'observations xi ayant chacune l'effectif ni et la fréquence fi, la moyenne arithmétique x est donnée par les formules suivantes : - $x = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n n_i * x_i$ - $x = \sum_{i=1}^n f_i * x_i$ ##### Médiane - Valeur qui partage la série d'observations ordonnée en deux parties de même effectif : 50% des valeurs < Me < 50% des valeurs - la série d'observations étant ordonnée (en ordre croissant ou décroissant), la médiane correspond à la valeur qui est au centre de cette série. - Pour une série impaire de N valeurs : - $Me = $ valeur de la $(N+1/2)­ª$ position - Pour une série paire de 2N valeurs: - $Me = $ moyenne des valeurs des deux positions N et N+1 - N.B. - La moyenne et la médiane concernent uniquement les variables quantitatives ; - La moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes. - La médiane est robuste vis-à-vis des valeurs extrêmes, mais plus sensible au nombre d'observation. ##### Mode - Le mode Mo est l'observation la plus fréquente: x₁ correspondant au n; maximum. - N.B. - Indicateur valable aussi pour les variables qualitatives ; - Dans le cas d'une variable continue en classes, on parlera plutôt de classe modale : classe ayant la fréquence la plus élevée. #### b. Quantiles - valeurs qui partagent la série statistique en parties égales (quartiles: 4, déciles : 10, centiles: 100). ##### Quartiles - trois valeurs (Q1, Q2, Q3) qui partagent la population en 4 parties de même taille (25%). - la série d'observations étant ordonnée en ordre croissant: - Le deuxième quartile Q₂ correspond à la médiane de la série ; - Le premier quartile Q₁ correspond à la médiane de la première moitié de la série ; - Le troisième quartile Q₃ correspond à la médiane de la deuxième moitié de la série. - 25% des données < Q₁ - 50% des données < Q₂ - 75% des données < Q₃ ##### Déciles - neuf valeurs (D1, D2, ..., D9) qui partagent la série en 10 parties de même taille (10%). - 10% des données < D₁ - 20% des données < D₂ - … - 90% des données < D9 ##### Centiles - 99 valeurs (C1, C2, ..., C99) qui partagent la série en 100 parties de même taille (1%). - 1% des données < C₁ - 2% des données < C₂ - … - 99% des données < C99 #### c. Indicateurs de dispersion - mesurent la variabilité des valeurs prises par la variable; - renseignent sur la dispersion ou l'étalement des observations autour des valeurs centrales: plus l'indicateur est grand, plus les valeurs de la série sont étalées; - complètent l'information apportée par les indicateurs de positions; - indicateurs: étendue, intervalle interquartile, variance, écart type. ##### Étendue - l'étendue e d'une série d'observation correspond à l'écart entre la valeur minimale Xmin et la valeur maximale Xmax de la série. - $e=X_{max}-X_{min}$ ##### Écart interquartile - L'intervalle interquartile est la différence entre le troisième quartile Q3 et le premier quartile Q1. - $I=Q_3-Q_1$ - N.B. - l'intervalle interquartile comprend 50% des valeurs de la série d'observations ; - Il est plus robuste que l'étendue vis-à-vis des valeurs extrêmes. ##### Variance - L'idée à l'origine est d'évaluer l'écartement moyen des valeurs xį par rapport à la moyennex : (xi - x); - Or, il y aura autant d'écarts positifs que d'écarts négatifs, on aura compensation des écarts : ∑ (xi – x) = 0; - Une solution mathématique est de considérer la valeur absolue des écarts : |xi - x| mais cela pose des problèmes de calcul ! (la valeur absolue n'est pas dérivable); - Finalement, on a décidé de considérer les carrés des écarts à la moyenne: (xi - x)² pour remédier à ce problème de signe; - D'où la variance σ² qui correspond à la moyenne des carrés des écarts à la moyenne: - $σ² = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-x)­²$ - $σ² = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i­² - x­²$ (Formule de Koenig) ##### Écart type - La mise au carré des écarts résout le problème de signe, mais elle crée un autre problème d'unité : l'unité de la variance est le carré de l'unité de la variable! - On a donc défini l'écart type σ qui correspond à la racine carré de la variance: - $\sigma= \sqrt\sigma² = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i -\bar{x})²}$ - N.B. - l'écart type est sensible aux valeurs extrêmes ; - l'unité de l'écart type est la même que celle de la variable ; - possibilité d'additionner moyenne et écart type. #### d. Indicateurs de forme ##### l'asymétrie - Asymétrie nulle : Distribution symétrique de part et d'autre de la valeur centrale, la courbe de la distribution admet une axe de symétrie (x = x = M = Mo) - Asymétrie négative: courbe avec queue plus allongée vers les petites valeurs (vers la gauche) (x < M < Mo) - Asymétrie positive: courbe avec queue plus allongée vers les grandes valeurs (vers la droite) (Mo < M < x) ##### coefficient de dissymétrie de Yule - Kendall - $C_y = \dfrac{Q_3+Q_1-2Q_2}{Q_3-Q_1}$ - mesure l'asymétrie à partir de la position relative des quartiles par rapport à la médiane - Cy toujours compris entre -1 et +1, le signe indique le sens de l'asymétrie - - 1 ≤ Cy < 0 : distribution dissymétrique à gauche - Cy = 0 : distribution symétrique - 0 <Cy ≤ 1 : distribution dissymétrique à droite ##### coefficient d'asymétrie de Pearson - en fonction du Mode Mo - $S_k = \dfrac{\bar{x}-M_o}{σ}$ - en fonction de la médiane Me - $S_k = \dfrac{3(\bar{x}-M_e)}{σ}$ - mesure l'asymétrie à partir de la position relative des indicateurs de tendance centrale: moyenne et mode ou moyenne et médiane ; - Sk toujours compris entre -1 et +1, le signe indique le sens de l'asymétrie : - - 1 ≤ Sk < 0 : distribution dissymétrique à gauche - Sk = 0 : distribution symétrique - 0 < Sk≤ 1 : distribution dissymétrique à droite ##### l'aplatissement - jugé en se référant au modèle de la courbe de densité de la loi normale: - distribution leptoKurtique : courbe plus pointue que celle de la loi normale - distribution mésokurtique : courbe comparable à celle de la loi normale - distribution platykurtique : courbe plus aplatie que celle de la loi normale ##### coefficient d'aplatissement Bẞ2 de Pearson - $B_2 = \dfrac{µ_4}{µ_2­²} = \dfrac{µ_4}{σ^4}$ - avec : - µ4 le moment centré d'ordre 4 - μ₂ le moment centré d'ordre 2 - $B_2 = 3$ : distribution mésokurtique - $Β_2 < 3$ : distribution platykurtique - $B_2 > 3$ : distribution leptoKurtique ## Statistiques à deux variables ### 1. Corrélation #### a. Table de contingence - Dans un ensemble de N individus, on s'intéresse à deux caractères (variables) X et Y : - xi sont les différentes modalités possibles de X avec 1 ≤ i ≤p; - yj sont les différentes modalités possibles de Y avec 1 ≤ j ≤q. - Dans un tableau à double entrée de p lignes et q colonnes, on croise les modalités X et Y que peut prendre un individu simultanément, c'est le tableau de contingence. Il permet de révéler l'existence d'éventuelle relation entre les deux caractères étudiés. - La colonne n₁. donne les effectifs marginaux de la variable X: $n₁. = \sum_{j=1}^q n_{ij}$ - La ligne n.; donne les effectifs marginaux de la variable Y: $n.j = \sum_{i=1}^p n_{ij}$ | Yj | Xi | Y1 | Y2 | … | Yj | … | Ya | ni. | |:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:| | | X1 | n11 | n12 | … | N1j | … | n1q | n1. | | | X2 | n21 | n22 | … | n2j | … | n2q | n2. | | | : | : | : | … | : | … | : | : | | | Xi | Ni1 | Ni2 | … | Nij | … | Niq | Ni. | | | : | : | : | … | : | … | : | : | | | Xp | np1 | Np2 | … | Npj | … | Пра | Πρ. | | | n.j | n.1 | n.2 | … | n.j | … | n.a | N | | | | | | | | | | | - $n_{ij}$ est l'effectif des individus ayant la modalité x₁ pour la variable X et la modalité y; pour la variable Y. - N est l'effectif total: - $N=\sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^q n_{ij} = \sum_{j=1}^q n.j = \sum_{i=1}^p n_{i.}$ #### b. Représentation graphique : nuage de points - On considère un tableau de données qui donne les valeurs de deux variables X et Y pour N individus ; - Chaque couples (xi, yi) est représenté par un point, aboutissant ainsi à un graphique dit nuage de points (scatter plot) : | individu | Xi | Yi | |:--:|:--:|:--:| | 1 | X1 | Y1 | | 2 | X2 | Y2 | | 3 | X3 | Y3 | | : | : | : | | n | Xn | Yn | - Plusieurs cas se présentent: - Cas 1: nuage de points arrondi pas de corrélation - Cas 2: nuage de points modérément étiré >> existence de corrélation faible à moyenne. X et Y varient dans le même sens corrélation positive - Cas 3: nuage de points très étiré existence de corrélation forte. X et Y varient dans le même sens corrélation positive - Cas 4: nuage de points très étiré existence de corrélation forte. X et Y varient dans des sens opposés corrélation négative - Corrélation nulle, faible, moyenne, forte ? caractérisation qualitative - Pour une caractérisation quantitative coefficient de corrélation #### c. Covariance et Coefficient de corrélation ##### Covariance - La covariance entre deux variables aléatoires quantitatives X et Y mesure leur dispersion conjointe par rapport à leurs moyennes. Sa formule est la suivante : - $Cov(X,Y)=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ - $Cov(X,Y)=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i - \bar{x}\bar{y}$ (Formule de Koenig) - La covariance mesure le degré de liaison entre les deux variables: plus la covariance est élevée (en valeur absolue), plus la corrélation entre les deux variables est forte. - Le problème c'est que la valeur de la covariance dépend des unités des deux variables, ce qui rend difficile son interprétation. - On a donc pensé à un paramètre normalisé : le coefficient de corrélation. ##### Coefficient de corrélation de Pearson - le coefficient de corrélation r de Bravais-Pearson (ou de Pearson) est le rapport - sans dimension - de la covariance au produit des deux écarts-types ox et σy : -$r= \dfrac{Cov(X,Y)}{ σ_x * σ_y}$ - réel qui varie entre -1 et 1 (−1 ≤ r ≤ 1). Plus il s'approche de 0 plus la corrélation est mauvaise, et plus il s'approche de 1 ou de -1 plus la corrélation est bonne. - Le coefficient r mesure le sens et l'intensité de la corrélation linéaire. - Attention : le coefficient de corrélation de Pearson mesure l'intensité de liaison linéaire. Il peut être égal à zéro alors qu'il existe une liaison fonctionnelle entre les 2 variables. - r = 0 pas de corrélation - r = 0 pas de corrélation ?! pas de corrélation linéaire - Quelles sont les conditions d'application du Coefficient de corrélation? ##### Conditions d'application du Coefficient de corrélation de Pearson - Distribution normale bivariée : - Pour chaque valeur de X les valeurs correspondantes de Y sont distribuées normalement et vice versa. - Homoscédasticité: - Dispersion identique de Y par rapport à X et vice versa. Autrement dit, la variance de Y est la même pour toutes les valeurs de X et réciproquement. - Graphiquement, l'homoscédasticité est détectée sur le nuage de points (xi,yi) : - La dispersion change La variance change hétéroscédasticité - La dispersion ne change pas La variance reste la même homoscédasticité - Linéarité : - Nuage de points à tendance non linéaire Non linéarité - Nuage de points à tendance linéaire Linéarité #### d. Test de significativité du coefficient de corrélation ##### Objectif - r estime la corrélation entre deux variables continues. Sa valeur change d'un échantillon à l'autre. On doit donc trancher si, dans la population ces deux variables sont réellement corrélées ou non. Alors on réalise un test d'hypothèse. - Tester la significativité de la corrélation : le coefficient de corrélation est-il significativement différent de 0? - En d'autres termes : Est-ce que la valeur de r est suffisamment proche/loin de 0 pour trancher sur l'existence ou non d'une corrélation dans la population? ##### Postulats - Binormalité - Homoscédasticité - Linéarité ##### Hypothèses - $H_o: p = 0$ = pas de corrélation entre les deux variables - $H_1 : p≠0$ existance de corrélation entre les 2 variables ##### Statistique du test - L'indicateur statistique utilisé est le t de Student: - $t_{obs} = \dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$ - Ou: - $t_{obs}$: la valeur de t de Student observé (sur l'échantillon) - r: coefficient de corrélation de Pearson - n: taille de l'échantillon. - Sous Ho la statistique t suit une loi de Student à (n-2) degrés de liberté (ddl). ##### Test - Fixer le risque de première espèce α (généralement 5%) - Calculer le degré de liberté : ddl = n - 2 - Lire la valeur théorique (critique) de $t_{α, ddl}$ dans la table de Student - Comparer les deux valeurs $t_{théorique}$ et $t_{observé}$ ##### Règle de décision - Si $t_{observé} < t_{théorique}$ Ho est acceptée, et on conclut à l'absence de corrélation entre les deux variables - Si $t_{observé} > t_{théorique}$ Ho est rejetée, et on conclut que les deux variables sont corrélées. ##### Loi de Student | ν | 0,900 | 0,500 | 0,300 | 0,200 | 0,100 | 0,050 | 0,020 | 0,010 | 0,001 | |:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:| | 1 | 0.1584 | 1.0000 | 1.9626 | 3.0777 | 6.3138 | 12.7062 | 31.8205 | 63.6567 | 636.6193 | | 2 | 0.1421 | 0.8165 | 1.3862 | 1.8856 | 2.9200 | 4.3027 | 6.9646 | 9.9248 | 31.5991 | | 3 | 0.1366 | 0.7649 | 1.2498 | 1.6377 | 2.3534 | 3.1824 | 4.5407 | 5.8409 | 12.9240 | | 4 | 0.1338 | 0.7407 | 1.1896 | 1.5332 | 2.1318 | 2.7764 | 3.7469 | 4.6041 | 8.6103 | | 5 | 0.1322 | 0.7267 | 1.1558 | 1.4759 | 2.0150 | 2.5706 | 3.3649 | 4.0321 | 6.8688 | | 6 | 0.1311 | 0.7176 | 1.1342 | 1.4398 | 1.9432 | 2.4469 | 3.1427 | 3.7074 | 5.9588 | | 7 | 0.1303 | 0.7111 | 1.1192 | 1.4149 | 1.8946 | 2.3646 | 2.9980 | 3.4995 | 5.4079 | | 8 | 0.1297 | 0.7064 | 1.1081 | 1.3968 | 1.8595 | 2.3060 | 2.8965 | 3.3554 | 5.0413 | | 9 | 0.1293 | 0.7027 | 1.0997 | 1.3830 | 1.8331 | 2.2622 | 2.8214 | 3.2498 | 4.7809 | | 10 | 0.1289 | 0.6998 | 1.0931 | 1.3722 | 1.8125 | 2.2281 | 2.7638 | 3.1693 | 4.5869 | | 11 | 0.1286 | 0.6974 | 1.0877 | 1.3634 | 1.7959 | 2.2010 | 2.7181 | 3.1058 | 4.4370 | | 12 | 0.1283 | 0.6955 | 1.0832 | 1.3562 | 1.7823 | 2.1788 | 2.6810 | 3.0545 | 4.3178 | | 13 | 0.1281 | 0.6938 | 1.0795 | 1.3502 | 1.7709 | 2.1604 | 2.6503 | 3.0123 | 4.2208 | | 14 | 0.1280 | 0.6924 | 1.0763 | 1.3450 | 1.7613 | 2.1448 | 2.6245 | 2.9768 | 4.1405 | | 15 | 0.1278 | 0.6912 | 1.0735 | 1.3406 | 1.7531 | 2.1314 | 2.6025 | 2.9467 | 4.0728 | | 16 | 0.1277 | 0.6901 | 1.0711 | 1.3368 | 1.7459 | 2.1199 | 2.5835 | 2.9208 | 4.0150 | | 17 | 0.1276 | 0.6892 | 1.0690 | 1.3334 | 1.7396 | 2.1098 | 2.5669 | 2.8982 | 3.9651 | | 18 | 0.1274 | 0.6884 | 1.0672 | 1.3304 | 1.7341 | 2.1009 | 2.5524 | 2.8784 | 3.9216 | | 19 | 0.1274 | 0.6876 | 1.0655 | 1.3277 | 1.7291 | 2.0930 | 2.5395 | 2.8609 | 3.8834 | | 20 | 0.1273 | 0.6870 | 1.0640 | 1.3253 | 1.7247 | 2.0860 | 2.5280 | 2.8453 | 3.8495 | | 21 | 0.1272 | 0.6864 | 1.0627 | 1.3232 | 1.7207 | 2.0796 | 2.5176 | 2.8314 | 3.8193 | | 22 | 0.1271 | 0.6858 | 1.0614 | 1.3212 | 1.7171 | 2.0739 | 2.5083 | 2.8188 | 3.7921 | | 23 | 0.1271 | 0.6853 | 1.0603 | 1.3195 | 1.7139 | 2.0687 | 2.4999 | 2.8073 | 3.7676 | | 24 | 0.1270 | 0.6848 | 1.0593 | 1.3178 | 1.7109 | 2.0639 | 2.4922 | 2.7969 | 3.7454 | | 25 | 0.1269 | 0.6844 | 1.0584 | 1.3163 | 1.7081 | 2.0595 | 2.4851 | 2.7874 | 3. 7251 | | 26 | 0.1269 | 0.6840 | 1.0575 | 1.3150 | 1.7056 | 2.0555 | 2.4786 | 2.7787 | 3.7066 | | 27 | 0.1268 | 0.6837 | 1.0567 | 1.3137 | 1.7033 | 2.0518 | 2.4727 | 2.7707 | 3.6896 | | 28 | 0.1268 | 0.6834 | 1.0560 | 1.3125 | 1.7011 | 2.0484 | 2.4671 | 2.7633 | 3.6739 | | 29 | 0.1268 | 0.6830 | 1.0553 | 1.3114 | 1.6991 | 2.0452 | 2.4620 | 2.7564 | 3.6594 | | 30 | 0.1267 | 0.6828 | 1.0547 | 1.3104 | 1.6973 | 2.0423 | 2.4573 | 2.7500 | 3.6460 | | 40 | 0.1265 | 0.6807 | 1.0500 | 1.3031 | 1.6839 | 2.0211 | 2.4233 | 2.7045 | 3.5510 | | 60 | 0.1262 | 0.6786 | 1.0455 | 1.2958 | 1.6706 | 2.0003 | 2.3901 | 2.6603 | 3.4602 | | 80 | 0.1261 | 0.6776 | 1.0432 | 1.2922 | 1.6641 | 1.9901 | 2.3739 | 2.6387 | 3.4163 | | 120 | 0.1259 | 0.6765 | 1.0409 | 1.2886 | 1.6577 | 1.9799 | 2.3578 | 2.6174 | 3.3735 | | ∞ | 0.1257 | 0.6745 |