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Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page II.. z  1,   cos   i sin  Approche sur l’ensemble des nombres complexes : a. Activité : 1. On considère l’équation x  : x2  1  0. Cette équation n’a pas de solution dans. Qui impose au mathématique d’utiliser le nombre i qui n’est pas réel mais c’est un nombre imaginaire tel que : i 2   i   1 par suite l’équation admet 2 2 solutions i et -i mais dans un autre ensemble appelé ensemble des nombres complexes , noté tel que est muni des deux opérations l’addition notée  et la multiplication notée  et qui ont mêmes propriétés de l’addition et de la multiplication dans. 2. On considère l’équation :  E : x 2  2x  2  0. Vérifie que l’équation  E  s’écrit de la forme suivante :  E :  x  1   1  0. 2   Vérifie que 1  i et 1  i sont solutions de  E . b. Vocabulaire et notation :  Les nombres 1  i et 1  i sont appelés nombres complexes.  En général : un nombre complexe est écrit de la forme z  a  bi avec a  et b .  Le nombre complexe : z'  a  bi avec a  et b  est appelé le nombre complexe conjugué de z noté z d’où z  a  bi Exemple : z  2  5i et z'=  7  3i  z  2  5i =2  5 i et z'= 7  3i  7  3i  L’écriture z  a  bi avec a  et b  est appelée l’écriture ( ou la forme ) algébrique de z.  Le réel a est appelé la partie réelle et on note Re  z   a. Exemple : Re  2  3i   2.  Le réel b est appelé la partie imaginaire et on note Im  z   b. Exemple : Im  2  3i   3. c. Définition :  Un nombre complexe est un nombre tel que son écriture est de la forme z  a  bi avec a et b de , i est un nombre imaginaire avec i 2  1.  Les nombres complexes constituent un ensemble est appelé ensemble des nombres complexes , on note.  L’ensemble est muni des deux opérations l’addition notée  et la multiplication notée  v et qui ont mêmes propriétés de l’addition et de la multiplication dans ( commutativité – associativité …. ).  a  bi  a' b'i   a  a' et b  b'. IIII.. Operations dans l’ensemble : a. Operations : z  x  yi et z'  x' y'i de avec x et y et x' et y' de. on a :  Addition dans : z  z'  x  yi  x' y'i   x  x'   y  y' i. x, y;x'et y'  Multiplication dans : z  z '   x  yi    x' y 'i    xx' yy '   xy ' yx' i. cas particulier k  : k.z  k.  x  yi   kx  kyi. -1-  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page 1  z' 1   x' y'i   L’inverse de z  a  bi  0   a, b    0, 0   : 1 1 x' y'      i z' x' y'i z'z'  x' y'i  x' y'i  x'²  y'² x'²  y'² z x  yi z z' 1  Le quotient de z par z ' :    zz' z ' x' y 'i z ' z ' z ' z ' 1 xx' yy ' yx' xy '  2 2   x  yi  x' y 'i    i x'  y ' x '2  y '2 x '2  y '2 b. Applications :  z  z'  1  5i  2  3i  3  2i.  z  z'   1  5i    2  3i   1  2  5i   3i    1   3   5  2  i  17  7i  3  z  3   1  5i   3  15i et  2  3i    2  3i   22  32 =13. 1 1   z' 2  3i 2  3i   2  3i    2  3i  2 3   2 i 2  3 2  32 22 2 3   i 13 13 z 1  5i   z' 2  3i   1  5i  2  3i   2  3i    2  3i  1  2  5i  3i 5i  2  1  3i   22  32 22  32 13 13   i 13 13  1  i  z1  2  5i   4  2i   2  4   5  2   6  3i  z 2  2  5i  3i  4  2i   2  5i  12i  6  8  17i.    z 3   2  5i  4  2i   2   4   5i  2i  2  2  5   4  i  18  16i. 1 1   1  3i  1  3i 1 3  z4    2   i. 1  3i  1  3i    1  3i  1  3 2 10 10 -2-  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page 2  3i  2  3i    5  i  10  3   2  15  i 7  17i 7 17  z5       i 5i 5  i  5  i 5 2  12 26 26 26 c. Remarque :  a  bi   a2  2abi   bi   a2  2abi  b2. 2 2   a  bi   a2  2abi   bi   a2  2abi  b2. 2 2   a  bi  a  bi   a2   bi   a2  b2. 2  IIIIII.. Présentation géométrique d’un nombre complexe : a. Activité : Le plan  P  est muni d’un repère orthonormé direct 0, u, v.    A tout nombre complexe z  x  yi de on lui associe le point M  x, y  de  P  càd : f:  P z  x+yi f  z   f  x+yi   M  x, y  ( ou bien OM  xu  yv )  Dans ce cas :  Le plan  P  est appelé le plan complexe.  le point M  x, y  est l’image du complexe z  x  yi.  on note M  z  ou M x  yi  on lit le point M d’affixe z. de même pour le vecteur OM Z .  on note aussi z M on lit z est l’affixe de M. de même pour z OM.  Si z  a  alors M est sur l’axe des abscisses sera nommé axe réel.  Si z  bi ,  b   alors M est sur l’axe des ordonnés sera nommé axe imaginaire. b. Propriétés des affixes : A(z A ) ; B(z A ) ;C(zC ) et I  z I  sont trois points du plan complexe  P .  Le vecteur AB a pour affixe z B  z A.  Le vecteur kAB a pour affixe k  z B  z A . z A  zB  Le point I milieu de  A,B a pour affixe z I  2. zC  z A  AC  kAB ;  k   càd zC  z A  k  zB  z A  ou bien  k d’où les points A et B zB  z A et C sont alignés ( avec z B  z A  0 ) c. Application : -3-  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page On considère C(zC  5  xi) ; B(z B  2  i) ; A(z A  2  i) et I  z I  quatre points du plan complexe  P  est muni d’un repère orthonormé direct  0, u, v . 1. Déterminer z AB l’affixe du vecteur AB. 2. Déterminer z I affixe du point I milieu du segment  AB. 3. Déterminer k tel que A et B et C sont alignés. Correction : 1... 2... 3... IIV V.. Conjugué d’un nombre complexe z  x  yi : a. Définition : Le nombre complexe z'  x  yi est appelé le conjugué du nombre complexe z  x  yi on note z '  z  x  yi. b. Interprétation géométrique : c. Applications :  z  1  5i on a : z  1  5i  1  5i.  z  1  3i on a : z  1  3i  1  3i.  z  1 on a : z  1  1.  z  2i on a : z  2i  2i.  z  6i on a : z  6i  6i. d. Propriétés : Soient : z  x  yi et z'  x' y'i de complexes de avec x , y , x’ et y’ de on a :  z  z  2x  2 Re  z  et z  z  2yi  2Im  z  i.  zz et z  z  x²  y² et z  z'  z  z' et z  z'  z  z' -4-  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page 1 1  z z  p   z '  0 ;  p et z  z ; p    ;   ( avec z  0 si p  ).  z'  z'  z'  z' e. Application :  2  3i  2  3i.   2  3i   1  2i  2  3i  1  2i  2  3i  1  2i  3  i.   2  3i   1  5i   2  3i  1  5i   2  3i 1  5i .  1  1 1    .  1  5i  1  5i 1  5i  2  3i  2  3i 2  3i    .  1  5i  1  5i 1  5i  2  3i    2  3i . n n  f. Remarque :  z  z  z ( c.à.d. z est un réel pur ).  zi  z  z ( c.à.d. z est un imaginaire pur ). V.. Module d’un nombre complexe z  x  yi : V a. Activité : M zx yi est un point du plan complexe  P  est muni d’un repère orthonormé direct  0, u, v .   1. Calculer : z  z. 2. Donner les coordonnées du vecteur OM dans le repère 0, i, j.   3. Calculer : OM , que peut-on déduire ? b. Définition : Soit z  x  yi de avec x et y de. Le nombre réel positif zz  x²  y² s’appelle le module de z sera noté. z  zz  x²  y². c. Application :  7  2  5  5  0i  52  02  5 et 7  7  0i   02  7. 2i  0  2i  02  22  2 et 2i  0  2i  0 2   2   2. 2  2  1  i  12  12  2 et 1  i 3  12  3  4  2 d. Interprétation géométrique du module de z : On a : z  x²  y²  OM avec M d’affixe z  x  yi.D’où : AB  AB  z B  z A. -5-  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page e. Remarque : Soient zA  x A  y Ai et zB  xB  y Bi et zC  xC  y Ci les affixes des points A et B et C avec z A  zC  xB  xA    yB  yA  2 2  AB  zB  z A  zB  z A AB z  z A AB   donc si on a B   1 alors le triangle ABC est isocèle en A. z C  z A AC z C  z A AC f. Application : Soient A(z A  1  i) ; B(z A  1  i) et C(zC  3i) trois points du plan complexe  P  est muni d’un  repère orthonormé direct 0, u, v.  1. Calculer les longueurs des côtés du triangle ABC. 2. En déduit la nature du triangle ABC. Correction : 1. les longueurs des côtés du triangle ABC : on a ;  AB  z B  z A  1  i   1  i   2  2.  AC  zC  z A  3i   1  i   1  2i  5.  CB  z B  zC  1  i   3i   1  2i  5 2. la nature du triangle ABC : on a : CB  AC  2 d’où : le triangle ABC est isocèle en C. g. Propriétés du module d’un nombre complexe : z  z  z   z z  z'  z  z' z 0z0 1 1 z z  ;   z '  0 z  z'  z  z' zp  z p , p et z  0 z' z' z' z' h. Application :  1  i  1  i  1  i  2 et 1  i    2  3i   1  i  2  3i  2  13  26. 1 i 1 i 2  2 6 et  1  i   1  i  6 6     8 et i  i  i  i  0  1  1. 2 2 2 i. Exercice : Calculer les modules des nombres complexes suivants :  z1  5  3i et z 2  4i  2  3i  et z 3  1  i 3 et z 4  5  i5 3. 4 1  i  4 1  i  2 7  z5  et z 6  et z 7   . 1 i 3   6 2i 5  i5 3 2i 5  i5 3 -6-  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page V VII.. Argument d’un nombre complexe non nul z  x  yi : a. Activité :   Le plan complexe  P  est muni d’un repère orthonormé direct 0, u, v. M  z  avec z  2  2i 1. Construire le point M dans le plan complexe  P .   2. Donner une mesure de l’angle orienté u, OM , puis toute les mesures. b. Vocabulaire :   4   est une mesure de l’angle orienté u, OM , on l’appelle aussi argument du nombre complexe z  2  2i   Aussi toute mesure parmi les mesures  2k ;  k   de l’angle orienté u, OM est appelé aussi 4   argument du nombre complexe non nul z  2  2i.  Argument du nombre complexe non nul z  2  2i est noté arg  z    u , OM   2 ou  arg  2  2i   4  2.  En général si z  * et  u , OM     2 on écrit arg  z     2 ou encore arg  z     2 k  ; k .  On préfère de prendre   ,  ( c.à.d. la mesure principale de l’angle orienté u, OM avec M  O.    Le nombre complexe non nul z  0 n’a pas d’argument ( OM  0 d’où l’angle u, OM n’est pas   déterminé ). c. Définition : M  z  ( M z   O donc z  0 ) est un point du plan complexe  P  est muni d’un repère orthonormé direct  0, u, v .   Toute mesure  de l’angle orienté u, OM s’appelle argument du nombre complexe non nul z. On note : arg  z     2 ; d’où arg  z   u,OM  2 ou arg  z     2k ; k  -7-  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page d. Remarque :  z  a  0 alors arg  a   0  2 et z  a  0 alors arg  a     2 .    z  bi ; b  0 alors arg  a   2  2  et z  bi ; b  0 alors arg  a     2 . 2   arg   z     arg  z   2  et arg z   arg  z   2  ( sans oublier z  0 ). e. Exemples : f. Exercice : 1. Dans le plan complexe  P  est muni d’un repère orthonormé direct  0, u, v  construire les points suivants : M1 z 2 et M2 z 3 et M3 et M4 z 3i et M5 z 1i et M6 z 1i et 1  2   z3 2i  4  5  6  M7 z et M8 z.  7  2 2i   8 1i  2. En déduit les arguments des affixes des points précédents. g. Propriétés des arguments : z et z' deux complexes non nuls arg  z  z'  arg z  arg z'  2 p  ; arg  z p   p  arg z  2  1 z arg     arg z '  2  arg    arg z  arg z '  2   z'   z'  Si k  0 alors arg  kz   arg  z   2 Si k  0 alors arg  kz     arg  z   2 -8-  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page h. Application : Argument des nombres complexes suivants : z1  1  i et z 2  4i 1  i  et z 3  1  i  et z 4  1  i 1  i  8   arg  1  i   4  2.    arg 4i  1  i   arg  4i   arg  1  i   2 et arg  1  i   arg 1  i    2      2    arg  1  i   2  2 4   3  2  4  2 4    arg 4i  1  i   arg  4i   arg  1  i   2  et arg  1  i  1  i  8   arg 1  i   arg 1  i  8  2       2    8 arg  1  i   2  2 4 4 3    4  2    8   2  4 4     2  2  4     2  4 V VIIII..écriture trigonométrique ( forme trigonométrique ) D’un nombre complexe non nul : a. activité : Le plan complexe  P  est muni d’un repère orthonormé direct 0, u, v.    On considère un nombre complexe non nul z et le point M d’affixe z ( donc M  O ).  On pose arg  z    i , OM    2.   C  est le cercle trigonométrique lié au repère 0, u, v coupe la demi droite  O, M  au point M 0   de coordonnées  cos , sin   donc l’affixe de M 0 est z0  cos   i sin .  On a les points O et M0 et M sont alignés et les vecteurs OM et OM0 ont meme sens d’où OM  kOMo avec k  0 ( car M  O ).  Affixe du vecteur OM est z  x  yi et du vecteur OM0 est z0  cos   i sin .  Puis que : OM  kOMo avec k  0 ( car M  O ) donc z  kz0  x  yi  k  cos   i sin    1.  On détermine k : on a z  kz0 d’où : z  kz0  x²  y²  k z0  x²  y²  k  k.  On obtient :  2  : k  x²  y².  D’après  1 et  2  on obtient la relation z  x  yi  x²  y²  cos   i sin   = z  cos   i sin  . b. Vocabulaire : L’écriture :  3 : z = z cos   i sin   s’appelle la forme ( ou l’écriture ) trigonométrique du nombre complexe non nul z  x  yi. -9-  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page c. Définition et propriété : Soit z  x  yi un nombre complexe non nul tel que arg  z     2 et r  z.  Le nombre complexe non nul z s’écrit de la forme suivante : z = z  cos   i sin   ou z= x²  y²  cos   i sin   ou z   z , arg  z    r, . Chaque écriture précédente est appelé la forme ( ou l’écriture ) trigonométrique du nombre complexe non nul z  x  yi. d. Application : On donne la forme ( ou l’écriture ) trigonométrique :  z1  2  2  1  0i   2  cos0  sin0    2, 0. z 2  5  5  1  0i   5  cos   sin     2, .        z 3  7i  7  0  i   7  cos  sin   7, .  2 2   2 3    3   0  i    cos     sin       ,  . 3 3  z4   i  5 5 5  2  2  5 2  2 2        z5  1  i  2  i   2  cos  i sin    2, .  2 2   4 4  4  e. Remarque :  z  a  0 alors z   a,0 , z  a  0 alors z   a,  .      z  bi ; b  0 alors b,  , z  bi ; b  0 alors b,  .  2  2  Si z  r,  alors z  r,    et z  r,  et  z  r,   . f. Application :      exemple : z  3   3, 0 et z  3   3, . z  3i   3,  et z  3i   3,  .   2   2         3   exemple : on a : z  1  i   2,  alors z   2,   et  z   2,       2,.  4  4  4   4           cas particulier : 1  i   2,  et 1  i   2,   et z 3  1  i 3   2,  et z 4  1  i 3   2,  .  4  4  3  3 V VIIIIII.. Operations sur les formes trigonométriques : a. Activité : z et z' deux complexes non nuls tel que : z  r,   r  cos   i sin   et z'  r', '   r' cos ' i sin ' .  Le produit de z  z' : On a : - 11 -  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page z  z'=r  cos   i sin    r '  cos  ' i sin  '   rr '  cos   cos  ' cos   i sin  ' i sin   cos  ' i sin   i sin  '  rr '  cos   cos  ' sin   sin  ' i  cos   sin  ' sin   cos  '    rr '  cos     '  i cos     '   rr ',    ' b. Propriété : z et z' deux complexes non nuls tel que : z  r,   r  cos   i sin   et z'  r',  '  r'  cos  ' i sin  ' on a : Les opérations z  r,   r  cos   i sin   , z'  r',  '  r'  cos  ' i sin  ' z  z'  r,   r',  '  r  r',   ' ou Produit : z  z ' zz' =r  cos   i sin    r '  cos  ' i sin  '   rr'  cos     '  i sin     '  zn   r,   rn ,n  Produit : n z  z  z  zn zn =  r  cos   i sin    =rn  cosn  i sinn  n n fois Cas particulier r  1 : 1,   1n ,n   1,n ou encore n Formule de MOIVRE  cos   i sin   =  cosn  i sinn  formule de MOIVRE n Données clés 26 mai 1667 Vitry-le-François (France) 27 novembre 1754 (à 87 ans) Londres (Angleterre) Angleterre Français Mathématiques Royal Society Académie de Saumur Abraham de Moivre Formule de Stirling en 1736 Théorème de Moivre-Laplace - Formule de Moivre 1 1    r ',  ' ou z '  r ',  ' Inverse   cos   '  i sin   '  1 1 1 = z' r'  cos  ' i sin  ' r' z  r,    r ,    ' z '  r ',  '  r '  ou  Quotient z r  cos   i sin     cos     '  i sin     '  r = z' r'  cos  ' i sin  ' r' - 11 -  Pro. Benmoussa Med Niveau : 2 P.C. ET 2 S.V.T. - Cours LES NOMBRES COMPLEXE page c. Remarque : Si z  r,   r  cos   i sin   alors :   z  1  z  1, r,   r,     r   cos       i sin       .  z  r  cos   i sin    r  cos   i sin    r  cos( )  i sin( )   r,  . - 12 -