Módulo 3 - MECÂNICA DE FLUIDOS (1) PDF

BIOLOGIA e BIOTECNOLOGIA ALIMENTAR FÍSICA MÓDULO 3 MECÂNICA de FLUIDOS: HIDROSTÁTICA. FENÓMENOS SUPERFICIAIS. HIDRODINÂMICA. ESCOAMENTO de FLUIDOS. Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima Santarém 2024 ...

BIOLOGIA e BIOTECNOLOGIA ALIMENTAR FÍSICA MÓDULO 3 MECÂNICA de FLUIDOS: HIDROSTÁTICA. FENÓMENOS SUPERFICIAIS. HIDRODINÂMICA. ESCOAMENTO de FLUIDOS. Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima Santarém 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 1. HIDROSTÁTICA 2 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 1. HIDROSTÁTICA. Porque não se afunda um barco no mar? Porque é que não devemos mergulhar a grandes profundidades no oceano? O que é que acontece com os nossos ouvidos quando subimos ou descemos uma serra? Estas questões podem ser respondidas através dos conceitos mais importantes na mecânica de fluidos, em particular os conceitos relacionados com a Hidrostática - ciência que estuda as propriedades dos fluidos em repouso. 1.1. CONCEITO de PRESSÃO. PRESSÃO HIDROSTÁTICA. Quando se coloca um paralelepípedo sobre uma superfície, essa superfície em contacto com um a base do objeto fica sujeita a uma força, o peso do objeto devido à força de gravidade; se esta força for distribuída sobre a superfície de contacto, produz-se pressão (figura 1). Pressão - força distribuída sobre uma superfície. ⃗| |F P m.g p= = = (1) S S S Análise dimensional de pressão: [𝑃] 𝑀𝐿𝑇 −2 [𝑝] = = 𝑀𝐿−1 𝑇 −2 [𝑆] 𝐿2 Unidades consoante o sistema de unidades: SI – (kg.m-1s-2 ou N/m2) Pa (pascal). Figura 1: Conceito de pressão. c.g.s. - (g.cm-1s-2) dine/cm2. Anglo-saxónico – (lb.in2) psi. Existem outras unidades com as respetivas conversões relativas à unidade atmosfera: 1 atm = 760 mmHg = 10,33 mH2O = 1033 gf/cm2 1 atm = 101,3 kPa = 1,013 bar  1 bar = 100 kPa 1 atm = 29,92 inHg = 14,7 psi. No caso dos fluidos é necessário considerar a sua coluna de líquido e o seu peso volúmico (definido mais à frente). Pressão hidrostática - pressão resultante do peso da coluna de um fluido em repouso. 3 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 1.1.1. Princípio de Pascal. Em determinadas situações pela aplicação de uma força de pequena intensidade, é possível alcançar forças de grande intensidade, como é o caso de elevadores hidráulicos (figura 2a). Outro exemplo são os travões hidráulicos, nos quais quando se pressiona o pedal do travão provoca-se um aumento de pressão no óleo do cilindro ©. Este acréscimo de pressão é transmitido pelo óleo aos êmbolos (E), que comprimem o travão (f) contra o tambor (t) da roda impedindo-a de rodar. (a) (b) Figura 2: Dispositivos hidráulicos (a) elevador hidráulico; (b) travão hidráulico. Estes dispositivos baseiam-se no princípio da hidrostática: Princípio de Pascal - a pressão aplicada a um fluido dentro de um recipiente fechado, é transmitida, sem variação, a todas as partes do fluido, bem como às paredes do recipiente. 𝐹1 𝐹2 𝑝= = (2) 𝐴1 𝐴2 F2>>>F1 A2>>>A1 1.2. PRESSÃO ATMOSFÉRICA ou BAROMÉTRICA. O ar como qualquer substância próxima da Terra, é atraído por ela, o ar também tem peso. A camada atmosférica que envolve a Terra, atinge uma altura de dezenas de km, exerce pressão sobre os corpos nela mergulhados (figura 3). 4 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Pressão atmosférica (pressão barométrica) - exercida pelo ar atmosférico (mistura gasosa) sobre a superfície Terrestre. Figura 3: Conceito de pressão atmosférica. O valor da pressão atmosférica foi medido pela primeira vez com uma experiência idealizada pelo físico italiano Evangelista Torricelli (figura 4). Um tubo de vidro com 1 m de comprimento, fechado numa das extremidades, foi cheio completamente com mercúrio. A extremidade aberta foi fechada com um dedo, inverteu-se o tubo, o qual foi imerso numa tina que continha mercúrio. Ao retirar o dedo, observou-se que o tubo não esvaziou completamente devido aos efeitos da força de gravidade. O mercúrio escoou para o interior do mercúrio contido na tina, até ao nível correspondente a 76 cm. Figura 4: Experiência de Torricelli. 1.2.1. Pressão atmosférica versus altitude e profundidade. Pascal repetiu a experiência de Torricelli no alto de uma montanha e verificou que o valor da pressão atmosférica era menor do que ao nível médio das águas do mar. Significa que a pressão atmosférica diminui com a altitude (figura 5). À medida que aumenta a altitude, o ar vai sendo cada vez mais rarefeito e a pressão atmosférica diminui, cerca de 8 mmHg a cada 100 m de altitude, como se pode observar na tabela da figura 5. 5 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Figura 5: Variação da pressão atmosférica com a altitude. O maior efeito da pressão é na descompressão. Em qualquer mergulho, um corpo é exposto a uma pressão significativamente maior que a pressão atmosférica, os tecidos absorvem parte dos gases inertes inspirados pelo mergulhador, como o nitrogénio nos mergulhos com ar. As tabelas de descompressão e computadores de mergulho estabelecem limites na velocidade ascendente, impondo paragens, de forma que estes gases absorvidos, durante o mergulho, possam ser eliminados lentamente, evitando a formação de bolhas e a denominada doença de descompressão. 1.2.2. Medição da pressão atmosférica. Pressão atmosférica ou barométrica - medida através de dispositivos denominados Barómetros. Barómetro de Mercúrio - Quando se mergulha a extremidade aberta de um tubo de vidro, com cerca de 90 cm de comprimento, cheio de mercúrio, num recipiente também contendo mercúrio, o conteúdo do tubo tende a escoar para o recipiente, até que a coluna de mercúrio dentro do tubo seja equilibrada pela pressão do ar atmosférico, exercida sobre a superfície livre do recipiente. A altura da coluna do mercúrio é corresponde à pressão atmosférica. Baseia-se na experiência realizada por Torricelli em 1643. 6 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Barómetro Aneróide - Funciona como “altímetro” e “barógrafo”. É constituído, essencialmente, por uma caixa metálica flexível, completamente fechada, dentro da qual é feito vácuo parcial. No seu interior, uma pequena mola impede que a caixa seja esmagada pela pressão externa. A câmara flexível é sensível às variações de pressão, cujos movimentos resultantes são transmitidos a um ponteiro que se desloca sobre um mostrador ou cilindro registador. 1.3. MASSA VOLÚMICA - DENSIDADE MÁSSICA. Massa volúmica , unidade derivada que se define como a massa contida numa unidade de volume dessa substância a determinada temperatura. 𝑚 𝜌= (3) 𝑉 Varia inversamente com a temperatura. Nas tabelas A.1, A.2 e A.3 do Anexo, são apresentados valores de massa volúmica da água, do vapor de água e do ar seco, respetivamente. No caso dos sólidos e líquidos (fluidos incompressíveis), a massa volúmica é independente da variação de pressão. Os gases são fluidos compressíveis, por isso a massa volúmica é dependente da variação de pressão. Na ausência de dados específicos, utiliza-se a equação dos gases perfeitos para se converterem os valores de massa volúmica dos gases, medidos à pressão atmosférica normal e normalmente tabelados, para pressões mais elevadas. 𝜌 𝑝 = (4) 𝜌0 𝑝1 [𝑚] Análise dimensional de massa volúmica: [] = [𝑉] = 𝑀𝐿−3. Unidades consoante o sistema de unidades adotado são: SI – kg.m-3. c.g.s. - g.cm-3 que é um submúltiplo decimal de SI muito utilizado. Unidades não- SI muito utilizadas: g.dm-3, g/mL e g/L, são submúltiplos decimais de SI. Anglo-saxónico – lbm.ft-3. 7 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 1.3.1. Volume mássico. Matematicamente, o Volume mássico é o inverso da massa volúmica. Volume mássico 𝝑 unidade derivada que se define como o volume ocupado pela unidade de massa dessa substância. 𝑉 𝜗= (5) 𝑚 Apresenta uma variação inversa da massa volúmica. É mais utilizado no caso de gases ou vapores. 𝑉 Análise dimensional de volume mássico: [𝜗] = 𝑚 = 𝐿3 𝑀−1. Unidades consoante o sistema de unidades adotado são: SI – m3.kg-1. c.g.s. - cm3.g-1. Anglo-saxónico – ft3.lb-1. 1.3.2. Densidade. Massa volúmica relativa. Grandeza adimensional, sempre relativa a uma substância de referência como a água. Densidade dt define-se como a razão entre a massa volúmica do material a determinada temperatura e a massa volúmica da água pura a essa mesma temperatura. 𝜌𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 (6) 𝜌á𝑔𝑢𝑎 Normalmente consideram-se temperaturas de referência 4 C ou 20 C, embora se possa assumir qualquer valor de temperatura. 4 C A densidade da água pura a 4 C tem um valor unitário 𝑑á𝑔𝑢𝑎 = 1, 4 C 𝑘𝑔 correspondendo à massa volúmica 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 1000 𝑚3 = 1 𝑔/𝑐𝑚3. 1.3.3. Princípio fundamental da hidrostática - Lei de Stevin. Considerando uma porção imaginária de fluido na forma de um cilindro circular reto com seção reta de área A e altura h, com a face superior livre para a atmosfera (figura 6), a diferença de pressão entre esses dois pontos é obtida pela Lei fundamental da Hidrostática ou Lei - Stevin. 8 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Figura 6: Diferença de altura entre dois pontos num líquido. Lei fundamental da Hidrostática - Lei de Stevin a pressão de um fluido (com massa volúmica constante) varia linearmente com a profundidade. Δ𝐹 𝑉 𝑚 Δ𝐹 = 𝐹2 − 𝐹1 = 𝑚. 𝑔 𝑒 Δ𝑝 = ⇒ Δ𝐹 = Δ𝑝. 𝐴 = 𝑚. 𝑔 𝑒 𝐴 = 𝑓𝑖𝑐𝑎 Δ𝑝 =. 𝑔. ℎ 𝐴 ℎ 𝑉 Δ𝑝 = 𝜌. 𝑔. ℎ = 𝛾. ℎ Lei de Setvin (7) 𝜸 = 𝝆. 𝒈 é 𝒐 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄í𝒇𝒊𝒄𝒐 𝒐𝒖 𝒗𝒐𝒍ú𝒎𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒍í𝒒𝒖𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒎 𝑵/𝒎𝟑 1.3.4. Princípio de Arquimedes - Impulsão. Arquimedes de Siracusa foi um dos maiores matemáticos e inventores de todos os tempos. A sua descoberta mais famosa foi a força de impulso 𝐼. De acordo com a lenda, Arquimedes descobriu o fenómeno da impulsão enquanto estava a tomar banho. Percebeu que o volume de água que escorria para fora de sua banheira era igual ao volume imerso de seu próprio corpo. De acordo com a história, Arquimedes teria ficado tão entusiasmado com sua descoberta que saltou da sua banheira e correu nu pelas ruas gritando “Eureka, eureka!”. Uma outra narrativa relata que o rei Hierão II solicitou a Arquimedes que investigasse a composição de uma coroa que havia encomendado ao seu ourives. O rei ordenou que a sua coroa fosse feita de ouro maciço, mas, ao recebê-la, desconfiou que outros metais pudessem ter sido usados na forja. Para sanar as dúvidas, ordenou a Arquimedes que descobrisse se a sua coroa era de ouro puro ou não. Arquimedes mergulhou, num recipiente cheio de água, sucessivamente, a coroa e dois objetos maciços, feitos de ouro puro e prata, cujos pesos eram exatamente iguais aos da coroa. Fazendo isso, percebeu que a coroa derramava menos líquido que o ouro, mas mais líquido que a prata, o que sugeria que ela não era constituída por ouro puro (figura 7). 9 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Figura 7: Experiência de Arquimedes. Princípio de Arquimedes ou da impulsão - Um corpo mergulhado num fluido recebe, da parte deste, uma força cuja direção é vertical, cujo sentido é de baixo para cima e cuja intensidade é o peso do volume do fluido deslocado. Figura 8: Princípio de Arquimedes. 𝐼 = ⃗F2 - ⃗F1 = (𝑝2 - 𝑝1 ) × 𝐴 𝐼 = 𝜌gh.A = 𝛾. 𝑉 (8) Existem várias situações possíveis: Corpo desce no líquido em repouso e imobiliza-se no fundo do recipiente (metais, pedras, submarino a descer): ⃗⃗ 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 > 𝑰 𝑜𝑢 𝑃𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 > 0 𝑷 (𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 > 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 ) Corpo imobiliza-se no líquido em repouso no local onde é largado (submarino): ⃗⃗ 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 = 𝑰 𝑜𝑢 𝑷 𝑃𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0 (𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 ) Corpo sobe no líquido em repouso parte do seu volume emerge, imobiliza-se flutuando (madeira, iceberg, submarino emerge): ⃗𝑷 ⃗ 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 < 𝑰 𝑜𝑢 𝑃𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 < 0 (𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 < 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 ) Exemplos de corpos flutuantes 1. Avaliação do grau de frescura dos ovos: Um ovo fresco normalmente afunda num recipiente com água. Se o ovo flutuar significa que já não está fresco. 10 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Por outro lado, se for adicionado sal (NaCl) à água, a massa volúmica aumenta, consequentemente, a impulsão também, então o ovo vai flutuar. 2. Determinação  de líquidos utilizando hidrómetros ou densímetros: De acordo com o Princípio de Arquimedes, quando um hidrómetro flutua livremente num líquido de massa volúmica ρx, a uma determinada temperatura, com a correspondente indicação da escala de referência ρr, existem forças descendentes e ascendentes que atuam sobre ele 1.3.5. Medição da massa volúmica. A medição da massa volúmica é essencial no controlo de vários processos industriais, por exemplo: Indústria alimentar; Indústria farmacêutica; Indústria petrolífera; Indústria química e nuclear; Cosméticos, etc.. Existem vários métodos de medição da massa volúmica  dos materiais: 1.3.5.1. Determinação  de líquidos – Hidrometria. Inventados por Hipátia (370-415 d.C.), os hidrómetros são instrumentos de medição de massa volúmica de líquidos, simples, eficazes e utilizados em medições com diferentes níveis de exatidão. 11 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Hidrómetros: medem a massa volúmica de um fluido à temperatura de referência, quando são mergulhados no fluido e flutuam nele. Tipologia de hidrómetros: Alcoómetros; Sacarímetros; Areómetros para álcool; Areómetros Baumé; Densímetros; Mostímetros e Lactodensímetros.  do líquido = ponto de intersecção da escala fixada na haste do hidrómetro, no estado de equilibro, com a superfície plana do líquido. 1.3.5.2. Determinação  de líquidos viscosos e voláteis – Picnometria. Picnómetros: No caso de líquidos viscosos ou voláteis. Determinação da massa volúmica do líquido por pesagem determinação da massa de líquido contido, tendo em conta o volume/capacidade do picnómetro determinada através da sua calibração. Calibração de picnómetros - Método gravimétrico 𝑚𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 determinação da massa de água contida no 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑝𝑖𝑐𝑛ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 picnómetro, referência. posteriormente convertida em volume. 1.3.5.3. Determinação  de sólidos – Pesagem Hidrostática. Comparação direta com padrões de volume (massa convencional conhecida) realizada num interior de um líquido de  conhecida. O volume do artefacto a calibrar é determinado recorrendo a um comparador de volumes através da diferença de volume entre o padrão de referência e o artefacto. A partir da sua massa convencional determina-se a massa volúmica do sólido. 12 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 1.4. PRESSÃO RELATIVA - MANOMÉTRICA. Pressão relativa - manométrica depende, somente, da massa volúmica do fluido, da altura do fluido e da aceleração da gravidade, independentemente do formato e tamanho do recipiente de acordo com o princípio dos vasos comunicantes. Paradoxo hidrostático: Na imagem da direita da figura 9, aparentemente, como o terceiro vaso comunicante tem mais líquido (C), o seu peso elevaria a altura da coluna de fluido nos outros dois vasos comunicantes. Mas, uma parte de líquido do terceiro vaso é equilibrada pelas paredes do vaso comunicante - aquela parte de líquido que está acima das paredes do vaso. Portanto, a altura de líquido nos três vasos comunicantes é a mesma (figura 9). Figura 9: Princípio de vasos comunicantes. No caso de vasos comunicantes com líquidos não miscíveis, as alturas manométricas hA e hB medidas a partir da superfície de separação 1_2, são inversamente proporcionais aos pesos volúmicos dos líquidos correspondentes de acordo com a Lei de Stevin: Δ𝑝 = 𝜌𝐴. 𝑔. ℎ𝐴 = 𝜌𝐵. 𝑔. ℎ𝐵 ⇒ 𝛾𝐴. ℎ𝐴 = 𝛾𝐵. ℎ𝐵 (9) 1.4.1. Medição da pressão relativa - manométrica. A pressão relativa ou manométrica pode ser medida basicamente com dois tipos de manómetros: 1) Manómetros de tubo em U; 2) Manómetros de Bourdon. 13 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 1.4.1.1. Manómetros de tubo em U. A leitura é feita quando há uma diferença de alturas manométricas nos dois ramos do manómetro. Da aplicação da Lei de Stevin é possível determinar a pressão manométrica p. São manómetros grandes e frágeis. Encontram-se usualmente no laboratório, ou são usados como indicadores locais. Dependendo da pressão de referência usada, podem indicar pressões absolutas, atmosféricas e diferenciais. 1.4.1.2. Manómetros de Bourdon. São manómetros de sensor deformável, transdutor e transmissor de pressões. O termo medidor de pressão refere-se usualmente a um indicador que converte a pressão detetada, num movimento mecânico de um ponteiro. Um transdutor de pressão pode combinar o elemento primário de um medidor com um conversor mecânico/elétrico ou mecânico/pneumático e um fornecimento de potência. 1.5. PRESSÃO ABSOLUTA. Pode ser medida a partir do vácuo absoluto. Para valores de pressão inferiores aos valores da pressão atmosférica, significa pode-se considerar que o sistema está sob vácuo. A qualquer profundidade e à superfície livre de um líquido, tem-se: 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝𝑟𝑒𝑙 + 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝑝𝑚𝑎𝑛 + 𝑝𝑏𝑎𝑟 = 𝜌𝑔ℎ + 𝑝𝑏𝑎𝑟 (10) Na figura 10 são apresentadas várias situações possíveis de pressão absoluta. 14 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Figura 10: Pressão absoluta. Os dois ramos do manómetro estão abertos para a pressão atmosférica e não se verifica desnível algum. 𝑝𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = 𝑝𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 O ramo da direita está sujeito à pressão atmosférica. O ramo da esquerda está sujeito à pressão do sistema que neste caso é maior – sistema em sobrepressão, verifica-se um desnível 𝑝𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 > 𝑝𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 O ramo da direita está sujeito à pressão atmosférica. O ramo da esquerda está sujeito à pressão do sistema que neste caso é menor – sistema sob vácuo, verifica-se um desnível 𝑝𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 < 𝑝𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 1.6. PRESSÃO de VAPOR. Pressão de vapor de um fluido - pressão que o vapor do fluido exerce num determinado volume a determinada temperatura. Diz-se que um vapor está saturado quando não pode conter mais vapor. A pressão de vapor aumenta com a temperatura, quando iguala a pressão atmosférica a temperatura corresponde ao ponto de ebulição. Na tabela A.2 do Anexo são apresentados os valores da pressão do vapor de água a variar com a temperatura. 15 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 1.7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Hidrostática) 1. Um cilindro metálico de 80 kg pousado na vertical no solo, a seção das bases tem 25 cm2. Determine a pressão que o cilindro exerce no solo. Resolução: 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑚. 𝑔 80 × 9,8 𝑝= = = = 3,14 × 105 = 314 𝑘𝑃𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝐴 25 × 10−4 2. Na prensa hidráulica da figura, a força F2 tem uma área de seção transversal A2 = 200 cm2. A força menor F1 é exercida na área A1 = 5 cm2. Se o módulo da força F1 = 250 N determine o módulo da força F2. Resolução: Considerando o princípio de Pascal 𝐹1 𝐹2 𝐴2 200 𝑝= = ⇒ 𝐹2 = × 𝐹2 = × 250 = 10000 𝑁 = 10 𝑘𝑁 𝐴1 𝐴2 𝐴1 5 3. Um fluido manométrico tem a densidade dt = 2,95. Determine a massa volúmica (densidade mássica) desse fluido a 40 C em unidades SI. Converta o resultado para as unidades do sistema cgs. Resolução: consultando a tabela A.1 do Anexo para t = 40 C  40 C 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 992,2 𝑘𝑔/𝑚3 considerando a equação (6) 𝜌𝑡 𝑘𝑔 103 𝑑𝑡 = 𝑡 ⇒ 𝜌40 C = 2,95 × 992,2 = 2927 = 2927 = 2,93 𝑔/𝑐𝑚3 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑚3 106 4. Para preparar um medicamento, um farmacêutico necessita de 32 g de uma solução líquida. Como a sua balança está avariada, ele verifica numa tabela que a densidade da solução a 20 °C é 0,8. Recorrendo a um cálculo simples, conclui que os 32 g da solução poderiam ser obtidos medindo-se um volume de… a) 40 cm3 b) 32 cm3 c) 16 cm3 d) 8 cm3 e) 4 cm3 Resolução: 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 consultando a tabela A.1 do Anexo para t = 20 C  16 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 20 C 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 998,2 𝑘𝑔/𝑚3 considerando a equação (6) 𝑡 𝑡 𝜌𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 20 °𝐶 𝑘𝑔 𝑑 = 𝑡 ⇒ 𝜌𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 = 0,8 × 998,2 = 798,6 ≈ 0,8 𝑔/𝑐𝑚3 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑚3 20 °𝐶 𝑚𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 32 𝜌𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 = ⇒ 𝑉𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 = = 40 𝑐𝑚3 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑎) 𝑉𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 0,8 5. Determine o volume ocupado por 300 g de Hg sabendo que a massa volúmica do Hg são 13600 kg/m3. Resolução: considerando a equação (3) 𝑚 0,30 𝜌t = ⇒𝑉= = 2,21 × 10−5 𝑚3 = 22,1 𝑐𝑚3 𝑉 13600 6. Determine a massa e o peso de 1 L de óleo de caroço de algodão cuja densidade mássica é 926 kg/m3. Resolução: considerando a equação (3) 𝑚 𝜌t = ⇒ 𝑚 = 𝜌. 𝑉 = 926 × 10−3 = 0,926 𝑘𝑔 𝑉 𝑃 = 𝑚. 𝑔 = 0,926 × 9,8 = 9,1 𝑁 7. A massa de 1 L de leite é 1,032 kg. A nata pura que ele contém tem uma massa volúmica de 865 kg/m3, e constitui 4 % do volume do leite. Determine a densidade mássica do leite desnatado. Resolução: considerando a equação (3) 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑎 = 1000 × 0,04 = 40 𝑐𝑚3 𝑚 𝜌t = ⇒ 𝑚𝑛𝑎𝑡𝑎 = 𝜌. 𝑉 = 865 × 40 × 10−6 = 0,0346 𝑘𝑔 𝑉 t 𝑚𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑛𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜 (1,032 − 0,0346) ⬚ 𝜌 = = = 1039 𝑘𝑔/𝑚3 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑛𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑉𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑛𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜 (1000 − 40) × 10−6 8. Determine a densidade mássica e o volume mássico do ar a 413,3 kPa à temperatura 180 C (1 atm = 101,3 kPa). Resolução: considerando as equações (3), (4) e (5) 180 𝐶 Retirando a tabela A.3 para t = 180 C 𝜌𝑎𝑟 = 0,755 𝑘𝑔/𝑚3 𝑎 101,3 𝑘𝑃𝑎 17 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 𝜌 𝜌1 413,3 = ⇒ 𝜌1 = 0,755 × = 3,08 𝑘𝑔/𝑚3 𝑝 𝑝1 101,3 1 1 𝜗1 = = = 0,325 𝑚3 /𝑘𝑔 𝜌1 3,08 9. Um técnico de saúde sabe que para o soro penetrar na veia de um paciente, o nível superior do soro deve ficar acima do nível da veia, (figura). Determine a pressão exercida, exclusivamente pela coluna do soro na veia do paciente, sabendo que altura do soro são 80 cm. Considere a densidade mássica do soro 1,01 g/cm3. DADOS: 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 1 atm = 101,3 kPa g = 9,8 m/s2 𝑔 𝑘𝑔 Resolução: 𝜌𝑠𝑜𝑟𝑜 = 1,01 𝑐𝑚3 = 1010 𝑚3 𝑒 Δℎ𝑠𝑜𝑟𝑜 = 80 𝑐𝑚𝑠𝑜𝑟𝑜 = 0,8 𝑚𝑠𝑜𝑟𝑜 considerando a equação (7) ⬚ Δp = 𝜌𝑠𝑜𝑟𝑜. 𝑔. Δℎ𝑠𝑜𝑟𝑜 = 1010 × 9,8 × 0,8 = 7918,4 𝑃𝑎 = 7,92 𝑘𝑃𝑎 10. Se o fluxo sanguíneo não fosse ajustado pela expansão das artérias, para uma pessoa em pé, a diferença de pressão arterial entre o coração e a cabeça seria de natureza puramente hidrostática. Nesse caso, para uma pessoa em que a distância entre a cabeça e o coração é 50 cm, determine a diferença de pressão entre a cabeça e o coração em mmHg. Considere a densidade mássica do sangue 1000 kg/m3. DADOS: As propriedades físicas foram retiradas das tabelas A.1 e A.3 do ANEXO 1 atm = 101,3 kPa = 760 mmHg g = 9,8 m/s2 Resolução: ℎ𝑐𝑎𝑏𝑒ç𝑎/𝑐𝑜𝑟𝑎çã𝑜 = 50 𝑐𝑚⬚ = 0,5 𝑚⬚ ⬚ fazendo o balanço de pressões: p𝑐𝑎𝑏𝑒ç𝑎 = p𝑐𝑜𝑟𝑎çã𝑜 + 𝜌𝑠𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒. 𝑔. Δℎ𝑠𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒 ou seja, a lei de Stevin equação (7) ⬚ Δp = 𝜌𝑠𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒. 𝑔. Δℎ𝑠𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒 = 1000 × 9,8 × 0,5 = 4900 𝑃𝑎 = 4,9 𝑘𝑃𝑎 = 36,8 𝑚𝑚𝐻𝑔 18 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 11. Determine a pressão de água quente a 35 ºC, no andar térreo de um edifício com uma altura de 40 m de forma aquela poder subir na canalização até ao topo desse edifício. Considere que no topo do edifício a água iguala a pressão atmosférica (1 bar = 100 kPa). Resolução: considerando a equação (7). 35 °𝐶 Da tabela A.1 do ANEXO 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 994,1 𝑘𝑔/𝑚3 35 °𝐶 Δp = 𝜌á𝑔𝑢𝑎. 𝑔. ℎá𝑔𝑢𝑎 = 994,1 × 9,8 × 40 = 389687,2 𝑃𝑎 = 389,7 𝑘𝑃𝑎 = 3,9 𝑏𝑎𝑟 12. O organismo humano pode ser submetido, sem consequências danosas, a pressões no máximo 400 kPa, cerca de 4 atm, sendo o incremento de pressão no máximo, 10 kPa por segundo. Nestas condições determine: a) A profundidade máxima recomendada para um mergulhador. b) A velocidade máxima de movimentação na vertical recomendada para um mergulhador. 20 °𝐶 𝑔 DADOS: 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑎𝑟 = 1,03 𝑐𝑚3 1 atm = 101,3 kPa g = 9,8 m/s2 Resolução: a) considerando as equações (7) e (10) 20 °𝐶 𝑔 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑎𝑟 = 1,03 = 1030 𝑘𝑔/𝑚3 𝑐𝑚3 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝𝑟𝑒𝑙 + 𝑝𝑎𝑡𝑚 = Δ𝑝 + 𝑝𝑏𝑎𝑟 = 𝜌20 °𝐶 á𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑎𝑟. 𝑔. ℎá𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑎𝑟 + 𝑝𝑎𝑡𝑚 2,99 × 105 4 × 105 = 101300 + 1030 × 9,8 × ℎ𝑚á𝑥 ⇒ ℎ𝑚á𝑥 = = 29,6 𝑚 10094 b) Considerando a equação (7) Lei de Stevin e t = 1 s 20 °𝐶 4 104 Δp = 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑎𝑟. 𝑔. ℎá𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑎𝑟 ⇒ 10 = 1030 × 9,8 × Δℎ ⇒ Δℎ = = 0,99 𝑚 ≃ 1 𝑚 10094 13. Quando um submarino desce a uma profundidade de 120 m, qual é o valor da pressão total a que fica sujeita a sua superfície exterior? Considere que a densidade mássica da água do mar é aproximadamente 1,03 g/cm3 à temperatura de 20 °C (patm = 101,3 kPa). Resolução: considerando as equações (7) e (10) 20 °𝐶 𝑔 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑎𝑟 = 1,03 = 1030 𝑘𝑔/𝑚3 𝑐𝑚3 19 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝𝑟𝑒𝑙 + 𝑝𝑎𝑡𝑚 = Δ𝑝 + 𝑝𝑏𝑎𝑟 20 °𝐶 Δp = 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑎𝑟. 𝑔. ℎá𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑎𝑟 = 1030 × 9,8 × 120 = 1211280 𝑃𝑎 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 1211280 + 101,3 × 103 = 1312580 𝑃𝑎 = 1,31 𝑀𝑃𝑎 14. Uma barragem forma um lago com a profundidade de 15 m. Determine: a) A pressão da água na base da barragem. b) A pressão da água a 3 m de profundidade. Considere t = 20 C e a patm =101,3 kPa Resolução: considerando as equações (7) e (10). 20 °𝐶 Tabela A.1 do Anexo 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 998,2 𝑘𝑔/𝑚3 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝𝑟𝑒𝑙 + 𝑝𝑎𝑡𝑚 = Δ𝑝 + 𝑝𝑏𝑎𝑟 a) Δp = 𝜌20 °𝐶 á𝑔𝑢𝑎. 𝑔. ℎá𝑔𝑢𝑎 = 998,2 × 9,8 × 15 = 146735,4 𝑃𝑎 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 146735,4 + 101,3 × 103 = 2,48 × 105 𝑃𝑎 = 248 𝑘𝑃𝑎 20 °𝐶 b) Δp = 𝜌á𝑔𝑢𝑎. 𝑔. ℎá𝑔𝑢𝑎 = 998,2 × 9,8 × 3 = 29347,1 𝑃𝑎 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 29347,1 + 101,3 × 103 = 130647,1 𝑃𝑎 = 130,6 𝑘𝑃𝑎 15. A figura representa uma garrafa com um gás rarefeito (sob vácuo), em comunicação com um manómetro de ar livre em U contendo Hg, cujo ramo livre está aberto para a atmosfera. Abrindo a torneira T da garrafa e restabelecido o equilíbrio, as superfícies livres do mercúrio nos ramos 1 e 2 do manómetro, desequilibraram-se (h), tanto mais quanto menor for a pressão do gás. Sabendo que a pressão manométrica do gás, é negativa, -190 mmHg, determine: a) A pressão absoluta do gás contido na garrafa, em mmHg e em unidades do sistema SI. b) A pressão hidrostática, em mmHg e em Pa, exercida pela coluna de Hg, e o desnível h das superfícies livres do Hg nos ramos 1 e 2 do manómetro. c) Caso o tubo em U contivesse glicerina como líquido manométrico, qual seria a altura h (em m) do desnível nos ramos 1 e 2 do manómetro? 20 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS d) A densidade mássica do ar à temperatura de 80 °C e à pressão absoluta 380 kPa, em unidades dos sistemas SI e cgs. e) A densidade do ar a essa temperatura e à pressão normal, em unidades dos sistemas SI e cgs. DADOS: As propriedades físicas foram retiradas das tabelas A.1 e A.3 do ANEXO 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 1 atm = 101,3 kPa = 760 mmHg 20 °𝐶 20 °𝐶 𝜌𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎 = 1260 𝑘𝑔/𝑚3 𝜌𝐻𝑔 = 13546 𝑘𝑔/𝑚3 80 °𝐶 80 °𝐶 𝜌𝑎𝑟 = 0,968 𝑘𝑔/𝑚3 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 971,8 𝑘𝑔/𝑚3 Resolução: considerando as equações (3), (4), (5), (6), (7), (9) e (10) a) Equação (10) 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝𝑟𝑒𝑙 + 𝑝𝑎𝑡𝑚 = −190 + 760 = 570 𝑚𝑚𝐻𝑔 ≈ 76 𝑘𝑃𝑎 20 °𝐶 b) 𝑝𝐻𝑔 = 570 𝑚𝑚𝐻𝑔 ≈ 76000 𝑃𝑎 ⇒ Δ𝑝𝐻𝑔 = 𝜌𝐻𝑔. 𝑔. ℎ𝐻𝑔 considerando eq.(7) 76000 = 13546 × 9,8 × ℎ𝐻𝑔 ⇒ ℎ𝐻𝑔 = 0,5725 𝑚𝐻𝑔 = 572,5 𝑚𝑚𝐻𝑔 20 °𝐶 20 °𝐶 c) Δp = 𝜌𝐻𝑔. 𝑔. ℎ𝐻𝑔 = 𝜌𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎. 𝑔. ℎ𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎 eq. (7) 13546 × 0,5725 = 1260 × ℎ𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎 ⇒ ℎ𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎 = 6,155 𝑚𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎 = 6155 𝑚𝑚𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎 d) Considerando eq. (4) 𝜌 𝜌 380 = 𝑝1 ⇒ 𝜌1 = 0,968 × 101,3 = 3,63 𝑘𝑔/𝑚3 = 3,63 × 10−3 𝑔/𝑐𝑚3 𝑝 1 e) Considerando eq. (6) 𝜌𝑡 80 °𝐶 𝜌𝑎𝑟 0,968 𝑘𝑔 𝑔 𝑑𝑡 = 𝑡 80 °𝐶 ⇒ 𝑑𝑎𝑟 = 80 °𝐶 = ≈ 0,001 3 = 10−6 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝜌á𝑔𝑢𝑎 971,8 𝑚 𝑐𝑚3 16. A massa de um objeto metálico medida numa balança ao ar, tem o valor de 38,07 g. Quando o mesmo objeto é totalmente submerso em água à temperatura de 15 C, a sua massa tem o valor de 33,42 g. Determine: a) O volume do objeto em m3. b) A massa volúmica do objeto em kg/m3. Resolução: considerando as equações (8) e (10). 15 °𝐶 Tabela A.1 do Anexo 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 999,1 𝑘𝑔/𝑚3 ⃗2-F a) 𝐼 = F ⃗ 1 = 𝜌. 𝑔.V ⇒ (𝑚𝑎𝑟 − 𝑚á𝑔𝑢𝑎 ). 𝑔 = 𝜌á𝑔𝑢𝑎. 𝑔. 𝑉 (38,07 − 33,42) × 10−3 = 999,1. 𝑉 ⇒ 𝑉 = 4,65 × 10−6 𝑚3 = 4,65 𝑐𝑚3 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 b) considerando a equação (3) t 𝑚𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 38,07 × 10−3 𝜌 = = = 8187,1 𝑘𝑔/𝑚3 𝑉𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 4,65 × 10−6 21 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 17. Um cubo maciço de uma liga metálica com 450 g, é submerso totalmente em água pura à temperatura ambiente de 15 °C, verificando-se um deslocamento de 30 cm3 do líquido. Um outro cubo oco e vazio, de igual volume externo e constituído do mesmo material, flutua nessa água com ¼ da sua altura emersa. Qual é o volume efetivo dessa liga metálica: a) 22,5 cm3 b) 2,25 cm3 c) 15 cm3 d) 1,5 cm3 e) 30 cm3 15 °𝐶 Resolução: Tabela A.1 do Anexo 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 999,1 𝑘𝑔/𝑚3 O cubo mergulhado desloca um volume de água igual ao seu próprio volume, portanto: 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑚𝑎𝑐𝑖ç𝑜 = 30 𝑐𝑚3 Como a sua massa é de 450 g, 𝑚𝑙𝑖𝑔𝑎 450 𝜌15 °𝐶 𝑙𝑖𝑔𝑎 = = = 15 𝑔/𝑐𝑚3 𝑉𝑙𝑖𝑔𝑎 30 O cubo oco flutua com ¾ da sua altura submersa, portanto: 3 𝜌𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑜𝑐𝑜 ℎ 3 𝑘𝑔 𝑔 = 4 ⟹ 𝜌𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑜𝑐𝑜 = × 999,1 = 749,3 3 = 0,749 𝜌á𝑔𝑢𝑎 ℎ 4 𝑚 𝑐𝑚3 𝑚𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑔𝑎 𝜌𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑜𝑐𝑜 = ⟹ 𝑚𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑔𝑎 = 0,749 × 30 = 22,5 𝑔3 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑜𝑐𝑜 𝑚𝑙𝑖𝑔𝑎 22,5 22,5 Como 𝜌15 °𝐶 𝑙𝑖𝑔𝑎 = = ∴ 15 = 𝑉 ⟹ 𝑉𝑙𝑖𝑔𝑎 = 1,5 𝑐𝑚3 resposta d). 𝑉𝑙𝑖𝑔𝑎 𝑙𝑖𝑔𝑎 15 18. Uma esfera de um polímero com um volume 400 cm3 e massa 120 g, flutua em água. Analise as afirmações que se seguem: a) A densidade mássica ou massa volúmica da esfera é 3,3 g/cm3. b) O volume da esfera imerso na água corresponde a 70% do volume total. c) A força que a água exerce sobre a esfera tem a intensidade de 1,2 N. d) Para afundar totalmente a esfera deve-se exercer uma força vertical, para baixo, de intensidade 2,73 N. 4 °𝐶 𝑘𝑔 Resolução: considerar 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 1000 𝑚3 = 1 𝑔/𝑐𝑚3 𝑚𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 120 a) 𝜌𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = = 400 = 0,3 𝑔/𝑐𝑚3 logo a afirmação a) é falsa 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 22 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 4 °𝐶 b) 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑎 a 𝜌𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 é 30 % da 𝜌á𝑔𝑢𝑎 por isso Vs = 0,3Vi ou seja 30 % c) 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 0,3 × 400 × 10−6 = 1,2 × 10−4 𝑚3 𝐼 = ⃗F2 - ⃗F1 = 𝜌á𝑔𝑢𝑎 4 °𝐶. 𝑔.𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 1000 × 9,8 × 1,2 × 10−4 = 1,2 𝑁 verdadeira d) Para afundar totalmente a esfera 𝐼 = ⃗F2 - ⃗F1 = 𝜌á𝑔𝑢𝑎 4 °𝐶. 𝑔.𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 1000 × 9,8 × 400 × 10−6 = 3,93 𝑁 Se ⃗F1 = 1,2 𝑁 ⟹ ⃗F2 = 𝐼 − ⃗F1 = 3,93 − 1,2 = 2,73 𝑁 verdadeira 19. A figura mostra um corpo de massa m suspenso na extremidade de uma mola. Quando é solto no ar a deformação máxima da mola é h. Quando é solto, nas mesmas condições, completamente imerso num líquido de massa ℎ volúmica 𝜌𝑙𝑡 , a deformação máxima da mola é 2. 𝑡 Determine o volume do corpo, considerando a massa volúmica do ar 𝜌𝑎𝑟. Resolução: situação1 𝐼 = 𝑃⃗𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 - ⃗F𝑚𝑜𝑙𝑎 = (𝑃⃗𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑘. ℎ) = 𝜌𝑎𝑟 𝑡. 𝑔.𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑘 é 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑃⃗𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 𝜌𝑎𝑟 𝑡. 𝑔.𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 + 𝑘. ℎ Situação2 ⃗𝐼′ = 𝑃⃗𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 - ⃗⃗⃗ ℎ F'𝑚𝑜𝑙𝑎 = (𝑃⃗𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑘. ) = 𝜌𝑙𝑡. 𝑔.𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 2 ℎ 𝑃⃗𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 𝜌𝑙𝑡. 𝑔.𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 + 𝑘. 2 Igualando as duas equações ℎ ℎ 𝑡 𝜌𝑎𝑟. 𝑔.𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 + 𝑘. ℎ = 𝜌𝑙𝑡. 𝑔.𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 + 𝑘. ⟹ 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜. 𝑔(𝜌𝑙𝑡 − 𝜌𝑎𝑟 𝑡 ) = 𝑘. ℎ − 𝑘. 2 2 𝑘. ℎ 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 2. 𝑔. (𝜌𝑙𝑡 − 𝜌𝑎𝑟 𝑡 ) 23 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 20. O corpo C, suspenso do dinamómetro D, pesa no ar 0,5 N. Quando se mergulha o corpo C num líquido de densidade mássica desconhecida, o corpo C diminui o seu peso, indicando o dinamómetro peso nulo (0 N). O volume (VL) de líquido deslocado pelo corpo ao ser submerso, é de 396,8 cm3. a) Indique o Peso Real e o Peso Aparente do corpo C. Determine: b) O módulo da força de impulsão ⃗𝐼 em N. c) A densidade mássica do líquido, em kg/m3. d) A densidade mássica do corpo, em kg/m3. e) Se largarmos o corpo C na água o que acontece? Justifique. o O corpo C desce na água e imobiliza-se no fundo. o O corpo C mantém-se na água na posição em que é largado. o O corpo C sobe na água e flutua. DADOS: As propriedades físicas foram retiradas das tabelas A.1 e A.3 do ANEXO Resolução: considerando a equação (8). a) 𝑃𝑟𝑒𝑎𝑙 = 0,5 𝑁 𝑒 𝑃𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0 𝑁 b) 𝐼 = 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜. 𝑔.𝑉𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 = (𝑚𝑎𝑟 − 𝑚𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 ). 𝑔 = (0,5 − 0) × 9,8 = 4,9 𝑁 c) 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 = 396,8 𝑐𝑚3 = 396,8 × 10−6 = 3,97 × 10−4 𝑚3 𝐼 = 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜. 𝑔.𝑉𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 ⇒ 4,9 = 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 × 9,8 × 3,97 × 10−4 ⇒ 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 = 1259,4 𝑘𝑔/𝑚3 d) considerando a equação (3) 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 0,5 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 × 𝑔 ⇒ 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 𝑔 = 9,8 = 0,051 𝑘𝑔 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 0,051 𝜌t = = = 128,5 𝑘𝑔/𝑚3 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 3,97 × 10−4 4 °𝐶 e) Considerando 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 1000 𝑘𝑔/𝑚3 𝐼 = 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜. 𝑔.𝑉𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 = 1000 × 9,8 × 3,97 × 10−4 = 3,89 𝑁 > 𝑃⃗𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 O corpo C sobe na água e flutua. 24 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 2. HIDRODINÂMICA 25 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 2. HIDRODINÂMICA. Os fluidos em geral, líquidos, vapores e gases têm maior mobilidade molecular, apresentando maior ou menor fluidez, assumindo a forma dos recipientes que os contêm, devido aos efeitos da força de gravidade. Em virtude das distâncias entre as partículas serem pequenas, os líquidos são pouco compressíveis, dado que têm pequena elasticidade de volume. Hidrodinâmica - ciência que estuda o comportamento dos fluidos em movimento. 2.1 CONCEITO de VISCOSIDADE. Os fluidos escoam quando são sujeitos a uma tensão tangencial (tensão de corte) resistindo ao escoamento quando essa deformação é imposta (velocidade de deformação), manifestando uma propriedade física a viscosidade. 2.1.1. Líquido Viscoso Ideal ou de Newton. Viscosidade Dinâmica. Considerando um modelo de dois pratos paralelos, como se fossem duas camadas de líquido adjacentes, à distância y uma da outra. A camada superior desloca-se a uma velocidade superior à camada inferior. Quanto mais distantes estiverem as camadas, menor será a velocidade (figura 11). Figura 11: Gradiente de velocidade do escoamento de um fluido entre dois pratos paralelos. Gera-se então um gradiente de velocidades na direção perpendicular à superfície (Y), que é numericamente igual à deformação angular, ou seja 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 − =. =. 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 Como a tan 𝑑𝛾 = 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜𝑠 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 tan 𝑑𝛾 ≅ 𝑑𝛾 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑦 26 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝛾 = = 𝛾̇ 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 (𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑡𝑒) (11) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Newton verificou, experimentalmente, que o elemento mais rápido teria tendência para arrastar o mais lento e vice-versa, com uma força tangencial (paralela à superfície) 𝑑𝐹 proporcional à superfície S (ou A), assim como ao gradiente de velocidades 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝐹 = −𝜇. 𝑆. 𝑑𝑦 𝑑𝐹 Considerando a tensão tangencial ou de corte (shear stress) 𝜏 = 𝑆 𝑑𝑣𝑥 𝜏 = −𝜇. = −𝜇. 𝛾̇ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 (12) 𝑑𝑦 Lei de Newton - para líquidos ideais a tensão tangencial é diretamente proporcional à velocidade de deformação, sendo o coeficiente de proporcionalidade constante, a viscosidade dinâmica 𝜇. 𝜇 - viscosidade dinâmica ou absoluta (Newtoniana) – propriedade física que traduz a resistência que o fluido manifesta quando é obrigado a escoar por uma tensão tangencial aplicada, é uma medida do seu atrito interno. Traduz a força de atrito por unidade de superfície, entre dois planos paralelos no seio de um fluido, que se desloca com uma diferença de velocidade unitária, mantendo uma distância unitária. Os fluidos que obedecem à Lei de Newton são denominados Fluidos Newtonianos, em que a viscosidade se mantém constante desde que se mantenham constantes as condições de pressão e temperatura. As dimensões de tensão tangencial as mesmas da pressão: [] = ML-1T-2 Unidades: SI – (kg.m-1s-2 ou N/m2) Pa (pascal); c.g.s. - (g.cm-1s-2) dine/cm2 e Anglo-saxónico – (lb.in2) psi. As dimensões de velocidade de deformação: [𝛾̇ ] = T-1. Unidades: s-1 (recíproco do segundo). As dimensões de viscosidade dinâmica: [] = ML-1T-1 Unidades: SI – (kg.m-1s-1) Pa.s (pascal.segundo). c.g.s. - (g.cm-1s-1) P (Poise) em que 1 P = 0,1 Pa.s 27 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 2.1.2. Viscosidade Cinemática. A viscosidade cinemática depende da massa volúmica, ou seja, o efeito da viscosidade dinâmica é tanto maior quanto maior for a massa volúmica, para facilidade de cálculo, existe o conceito de viscosidade cinemática  que é a razão entre a viscosidade dinâmica e a massa volúmica. 𝜇 𝜐 = (13) 𝜌 Propriedade física relacionada com o movimento de sólidos em fluidos e a viscosidade, atrito, a que eles estão sujeitos por parte do fluido. Análise dimensional de viscosidade dinâmica as mesmas da pressão: ML−1 T −1 [𝜐] = = L2 T −1 ML−3 Unidades: SI – m2 s-1. c.g.s. - (cm2s-1) Stoke em que 1 Stoke = 10-4 m2 s-1 2.1.3. Dependência com a temperatura. Poiseuille enunciou uma equação para a água pura que relaciona a viscosidade dinâmica em Poise (P), com a temperatura relativa em ºC. 0,0178 𝜇(𝑃) = (14) 1 + 0,0337 × t + 0,000221 × 𝑡 2 Contudo só tem aplicação na água pura. Existe uma outra forma de relacionar a viscosidade dinâmica com a temperatura, neste caso temperatura absoluta T em K (kelvin) no caso é a Lei de Arrhenius 𝐸𝑎 𝜇(𝑇) = A exp (15) RT Ea (Energia de ativação) determina-se experimentalmente. A (constante de Arrhenius) determina-se experimentalmente. T – temperatura absoluta em K. R – constante universal dos gases perfeitos na forma mássica. Sabendo r para Tr, com  desconhecida para qualquer T, temos a equação 𝜇 𝐸𝑎 1 1 𝑙𝑛 ( ) = ( ) ( − ) (16) 𝜇𝑟 𝑅 𝑇 𝑇𝑅 28 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 2.2. VISCOSIMETRIA - MEDIÇÃO da VISCOSIDADE de FLUIDOS NEWTONIANOS. A medição da viscosidade para fluidos newtonianos baseia-se nos seguintes métodos fundamentais: Fluxo em constrições viscosímetros capilares - medições baseadas na resistência ao escoamento através de um capilar. Fluxo à volta de obstruções - medição baseada na determinação do tempo de queda (ou rolar) de uma esfera através de um líquido viscoso (queda de esfera). 2.2.1. Viscosímetros capilares. A medição baseia-se na resistência ao escoamento através de um capilar. A Lei de Poiseuille estabelece uma relação entre o tempo de escoamento e a viscosidade de um fluido através de um capilar: 𝜋𝑅 4 𝑝 𝜋𝑅 4 pt  = = (17) 8LQ 8LV R – raio do capilar; Q = V/t – caudal volumétrico; p – diferencial de pressão entre as extremidades do capilar; V – volume do líquido; t – tempo de fluência (escorrimento); L – comprimento do capilar. 𝜇 𝜋𝑅 4 𝜌𝑔ℎ𝑡 𝜋𝑅 4 𝑔ℎ 𝜈 = e Δp = 𝜌gh ⇒ 𝜈 = = 𝑡 = C.t 𝜌 8LV𝜌 8LV 𝜈 = C.t (18) A viscosidade cinemática 𝜈 de um fluido está relacionada por uma constante C é determinada através das características específicas do viscosímetro utilizado (D ou R, L e V entre marcas). C obtém-se normalmente por calibração do viscosímetro com um fluido de referência certificado de viscosidade conhecida 𝜈𝑟 , à temperatura de referência (20 °C), pela equação seguinte: 29 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 𝜐𝑟 C = (𝑚2 𝑠 −2 ) (19) 𝑡𝑟 tr - tempo de escoamento do fluido de referência no viscosímetro a temperatura constante. Este tipo de viscosímetro tem normalmente a forma de U. O tempo de escoamento é inversamente proporcional à  e diretamente proporcional à , desde que o escoamento decorra na vertical. 2.2.2. Viscosímetros queda de esferas. A medição da viscosidade neste tipo de viscosímetro baseia-se na queda de um objeto esférico através de um fluido, o qual é sujeito a três forças, baseado na Lei de Stokes: 1. Força de gravidade direção vertical sentido descendente – Peso da esfera no volume do líquido (2ª Lei de Newton). 2. Força de impulsão direção vertical sentido ascendente – Reação do fluido devido ao movimento da esfera (Princípio de Arquimedes). 3. Força de atrito direção vertical sentido ascendente – Manifestação da viscosidade do fluido e do efeito de parede – Tensão tangencial ou de corte. Quando se atinge o equilíbrio entre estas três forças, a esfera movimenta-se com velocidade limite vL. 𝐷 2 (𝜌𝑒𝑠𝑓 − 𝜌𝑙𝑖𝑞 )𝑔 𝑣𝐿 = (20) 18𝜇 vL – velocidade limite em m/s D – diâmetro da esfera em m liq – massa volúmica do fluido kg/m3 liq – viscosidade dinâmica Pa.s. esf – massa volúmica da esfera kg/m3 30 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 2.3. FLUIDO em MOVIMENTO. LINHAS de CORRENTE. Um fluido em movimento através de uma conduta pode sofrer uma variação da velocidade nos diferentes pontos num plano perpendicular à corrente. As linhas de corrente são traçadas para que o vetor velocidade lhes seja tangencial e podem indicar a variação de velocidade. Como se pode observar na figura 12: As linhas de corrente são paralelas numa tubagem sem alteração de diâmetro (D). A velocidade é constante em qualquer seção reta (figura 12a). As linhas de corrente aproximam-se umas das outras à medida que a passagem é reduzida, ou seja, ocorre uma diminuição abrupta de diâmetro, originando um aumento de velocidade (figura 12b). a b Linhas de corrente tubagem D = constante. Linhas de corrente numa constrição Figura 12: Linhas de corrente no escoamento de um fluido em tubagem. Num escoamento de fluidos, nomeadamente de fluidos incompressíveis (líquidos), se se der apenas numa direção é unidimensional; e se as propriedades físicas do fluido se mantiverem constantes em qualquer ponto do escoamento, então o fluxo é em regime permanente ou estado estacionário. Existem essencialmente dois tipos fundamentais de fluxo: Fluxo laminar - é caracterizado pelo movimento em lâminas ou camadas, não havendo mistura das camadas de fluido adjacente; o caudal é fixo e o escoamento ocorre como resultado da difusão à escala molecular. Verifica-se para baixas velocidades de escoamento. No caso da água a escoar leve e suavemente quando se abre a torneira (válvula) (figura 13). Figura 13: Perfil de velocidades em fluxo laminar. Fluxo turbulento – Verificam-se flutuações cíclicas de caudal, no entanto, o caudal médio permanece constante ao longo do tempo. As correntes de 31 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS circulação resultam da transferência de fluido a uma escala maior do que a molecular. Verifica-se para velocidades de escoamento elevadas, provocando a formação de turbilhões (figura 14). Figura 14: Movimento tridimensional aleatório das partículas do fluido sobreposto ao movimento da corrente. Reynolds efetuou uma experiência para identificar estes dois regimes de escoamento. Quando um fluido escoa através de uma tubagem, a velocidade nos diferentes pontos de um plano perpendicular à direção da corrente raramente é igual, ou seja, verifica-se um gradiente de velocidade na direção perpendicular ao sentido do escoamento. Como se pode visualizar na figura 15, quando se coloca um corante na água, é possível ver diferença entre os dois tipos de fluxo, se se aumentar lentamente a velocidade de escoamento do fluido na tubagem: 1) Velocidade baixa, observa-se um filete colorido paralelo às linhas de corrente – fluxo laminar. 2) A partir de certo valor de velocidade, velocidade crítica, formam-se turbilhões e o filete colorido encurva- se dispersando por toda a massa líquida, verificando-se difeusão. Figura 15: Experiência de Reynolds. Reynolds enunciou um número adimensional que permite distinguir os dois tipos de fluxo vD vD número de Reynolds Re = = (21)  em que:  - massa volúmica do fluido v - velocidade de escoamento do fluido  - viscosidade dinâmica do fluido D - diâmetro interno do tubo - viscosidade cinemática do fluido. 32 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS O cálculo deste número adimensional permite-nos identificar o regime de fluxo em estudo através dos seus valores: Re < 2000 regime laminar (pequenas velocidades de escoamento) 2000 < Re < 3000 zona de transição Re > 3000 regime turbulento (grandes velocidades de escoamento). 2.3.1. Caudal de Escoamento de um Fluido – Equação da Continuidade. Consideremos o escoamento de um fluido através de uma tubagem esquematizado na figura 16. Figura 16: Escoamento de um fluido ao longo de duas secções de tubagem. Os caudais em massa (caudais mássicos) qm = m  são iguais nas seções 1 e 2, em regime permanente (ou estacionário). 𝑑𝑚 Caudal mássico: 𝑞𝑚 = = 𝑚̇ (22) 𝑑𝑡 Invertendo a (eq. (3)) massa volúmica 𝑚 = 𝜌. 𝑉 sabendo que uma tubagem é um cilindro de volume 𝑉 = 𝐴. 𝐿 e substituindo na eq. (22) 𝑑(𝜌.𝑉) 𝑑(𝜌.𝐴.𝐿) 𝑑𝐿 𝑞𝑚 = 𝑚̇ = = = 𝜌. 𝐴. 𝑑𝑡 = 𝜌. 𝐴. 𝑣 (22a) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Considerando: 1 e 2 - massas volúmicas do fluido nas seções 1 e 2 v 1 e v 2 - velocidades médias de escoamento do fluido nas seções 1 e 2 A1 e A2 - áreas de fluxo (ou secções de passagem) nas secções 1 e 2 A equação da continuidade na forma de caudal mássico 𝑞𝑚 = 𝑚̇ = 𝜌1. 𝑣1. 𝐴1 = 𝜌2. 𝑣2. 𝐴2 𝐄𝐪𝐮𝐚çã𝐨 𝐝𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 (23) [𝑚] A equação de dimensões de caudal mássico [𝑞𝑚 ] = [𝑡] = 𝑀. 𝑇 −1 As unidades (S.I.) para caudal mássico serão kg/s e no sistema c.g.s. g/s. 33 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS No caso de um fluido incompressível - líquido no qual as variações de pressão são desprezáveis, não se vão verificar variações de massa volúmica, e se a temperatura se mantiver constante 1 = 2. Considerando a eq. (23), simplificando: 𝑞𝑉 = 𝑣1. 𝐴1 = 𝑣2. 𝐴2 𝐄𝐪𝐮𝐚çã𝐨 𝐝𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 (24) equação da continuidade na forma de caudal volumétrico 𝑑𝑉 𝑞𝑉 = = 𝑉̇ (25) 𝑑𝑡 [𝑉] A equação de dimensões de caudal volumétrico [𝑞𝑉 ] = [𝑡] = 𝐿3. 𝑇 −1 As unidades (S.I.) para caudal volumétrico m3/s; sistema c.g.s. cm3/s. Relacionando o caudal mássico com o caudal volumétrico: 𝒒𝑽 𝒒𝒎 = 𝝆. 𝒒𝑽 = (26) 𝝑 2.3.2. Variação da Quantidade de Movimento num Fluido - Equação de Bernoulli. Um fluido ao escoar numa conduta sofre uma variação da quantidade de movimento e de pressão. Por inversão da eq. (1) 𝐹 = 𝑝. 𝐴 Para um elemento de uma tubagem, de comprimento  , com uma área de secção reta A como se pode observar na figura 17, e considerando duas seções 1 e 2. Figura 17: Variação de pressão e quantidade de movimento ao longo de um tubo inclinado. 34 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Força tangencial na direção do fluxo de corrente devida ao gradiente de pressão: Força tangencial a montante: 𝑝1. 𝐴1 Força tangencial a jusante: 𝑝2. 𝐴2 𝑑𝑝 𝑑𝐹𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑝1. 𝐴1 − 𝑝2. 𝐴2 ⇒ 𝑑𝐹𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 = − 𝑑𝑙. 𝑑𝐴 𝑑𝑙 Por aplicação da equação fundamental da Hidrostática - Lei de Stevin eq.(7): 𝑑𝑝 = 𝜌𝑔ℎ 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑜 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑣𝑜𝑙ú𝑚𝑖𝑐𝑜 é 𝛾 = 𝜌𝑔 ⇒ 𝑑𝑝 = 𝛾ℎ Outra força a considerar é o peso do fluido num elemento de volume devido aos efeitos da força de gravidade, considerando o elemento de volume 𝑑𝑉 = 𝑑𝑙. 𝑑𝐴 ⇒ 𝑃 = 𝛾. 𝑑𝑉 = 𝜌𝑔. 𝑑𝑙. 𝑑𝐴 O que na realidade nos interessa é a componente do peso (P) na direção do tubo de corrente, ou seja, a componente tangencial: 𝑃𝑥 = −𝑃𝑠𝑖𝑛𝜃 = −𝜌. 𝑔. 𝑑𝑙. 𝑑𝐴. 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑧 𝑑𝑧 Em que 𝑠𝑖𝑛𝜃 = ⟹ 𝑃𝑥 = − 𝜌. 𝑔. 𝑑𝑙. 𝑑𝐴 𝑑𝑙 𝑑𝑙 p z A força total que atua no fluido: -  A -  g  A   𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝐹=− 𝑑𝑙. 𝑑𝐴 − 𝜌. 𝑔. 𝑑𝑙. 𝑑𝐴 𝑑𝑙 𝑑𝑙 Por outro lado, a variação da quantidade de movimento do fluido ao longo do tubo de corrente, é igual à força total: 𝑑𝑝 𝑑𝑣 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝐹= ≠ 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∑ 𝐹 ≠ 0 ⟹ 𝜌. 𝑣. 𝑑𝑙. 𝑑𝐴 = − 𝑑𝑙. 𝑑𝐴 − 𝜌. 𝑔. 𝑑𝑙. 𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑙 𝑑𝑙 𝑑𝑙 dividindo tudo por A 𝑑𝑝 𝑣2 𝑑𝑝 𝑣. 𝑑𝑣 = − − 𝑔. 𝑑𝑧 = 0 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 ⟹ +∫ + 𝑔. 𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜌 2 𝜌 No caso de um fluido incompressível  não depende da pressão e temos 𝑣2 𝑝 + + 𝑔. 𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐄𝐪𝐮𝐚çã𝐨 𝐝𝐞 𝐁𝐞𝐫𝐧𝐨𝐮𝐥𝐥𝐢 (27) 2 𝜌 que relaciona a pressão num ponto do fluido com a sua velocidade e posição. Cada uma das parcelas desta equação tem as dimensões L 2T-2, que são as dimensões de uma energia por unidade de massa. As unidades (S.I.) para a equação são J/kg = 104 e no sistema c.g.s. erg/g. A constante é a variação de energia nas duas seções da tubagem, portanto E = E2 - E1 35 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Se houver conservação de energia entre as duas secções da tubagem, ou seja, a energia mantém-se constante, então E = 0 e 𝑣12 𝑝1 𝑣22 𝑝2 + + 𝑔. 𝑧1 = + + 𝑔. 𝑧2 𝐄𝐪𝐮𝐚çã𝐨 𝐝𝐞 𝐁𝐞𝐫𝐧𝐨𝐮𝐥𝐥𝐢 (27a) 2 𝜌 2 𝜌 Se todas as parcelas da equação (27) forem divididas por g, temos outra forma da equação de Bernoulli em que cada uma das parcelas da equação, corresponde a alturas manométricas: 𝑣2 𝑝 + + 𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐄𝐪𝐮𝐚çã𝐨 𝐝𝐞 𝐁𝐞𝐫𝐧𝐨𝐮𝐥𝐥𝐢 (28) 2𝑔 𝜌. 𝑔 Cada uma das parcelas desta equação tem a dimensão L. v2 carga de velocidade (em mc.l. - SI) 2g p carga de pressão (em mc.l. - SI) g z carga potencial gravítica (desníveis) (em mc.l. - SI) Se houver conservação de energia entre as duas seções da tubagem, ou seja, a energia mantém-se constante, então E = 0 e 𝑣12 𝑝1 𝑣22 𝑝2 + + 𝑧1 = + + 𝑧2 𝐄𝐪𝐮𝐚çã𝐨 𝐝𝐞 𝐁𝐞𝐫𝐧𝐨𝐮𝐥𝐥𝐢 (28a) 2𝑔 𝜌. 𝑔 2𝑔 𝜌. 𝑔 36 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 2.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Hidrodinâmica) 1. Determine a viscosidade dinâmica da água () em unidades do sistema cgs à temperatura de 60 C. Converta o resultado obtido para as unidades SI. Determine a viscosidade cinemática à mesma temperatura. Compare os resultados obtidos para as viscosidades com os valores tabelados. Resolução: considerando a equação (26) 0,0178 𝜇(𝑃) = 1 + 0,0337 × t + 0,000221 × 𝑡 2 0,0178 𝜇(𝑃) = = 0,0047 𝑃 = 4,7 × 10−3 𝑃 1 + 0,0337 × 60 + 0,000221 × (60)2 Como 1 P = 0,1 Pa.s 𝜇 = 4,7 × 10−4 𝑃𝑎. 𝑠 Considerando a equação (14) e da consulta da tabela A.1 do ANEXO 60 °𝐶 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 983,2 𝑘𝑔/𝑚3 Então 𝜇 4,7 × 10−4 𝑚2 𝜐 = = = 4,78 × 10−7 (𝑆𝐼) 𝜌 983,2 𝑠 −7 4 −3 𝑐𝑚2 𝜐 = 4,78 × 10 × 10 = 4,78 × 10 𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠 (𝑐𝑔𝑠) 𝑠 2. Determine as viscosidades cinemática e dinâmica de um sumo de maçã à temperatura de 17 C, em unidades S.I. e c.g.s.. t C m2/s  g/cm3 0 1,95010-6 1,060 20 1,30010-6 1,045 40 0,98010-6 1,022 Resolução: considerando a equação (13) tendo presente a tabela acima é necessário fazer interpolação para a temperatura considerada ou então a equação de uma reta Fazendo uma interpolação para  temos (20 − 0) − − (1,30 − 1,95) (20 − 17) − − (1,30 − 𝜈) (20 − 17) × (1,30 − 1,95) (1,30 − 𝜈) = ⇒ 𝜐 = 1,39810−6 𝑚2 /𝑠 (20 − 0) Fazendo uma interpolação para  temos 37 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS (20 − 0) − − (1,045 − 1,060) (20 − 17) − − (1,045 − 𝜌) (20 − 17) × (1,045 − 1,060) (1,30 − 𝜌) = ⇒ 𝜌 = 1,047 𝑔/𝑐𝑚3 (20 − 0) 𝜌 = 1,047 𝑔/𝑐𝑚3 = 1047 𝑘𝑔/𝑚3 Então pela equação (13) 𝜇 𝜐 = ⇒ 𝜇 = 𝜐. 𝜌 = 1,39810−6 × 1047 = 1,46 × 10−3 𝑃𝑎. 𝑠 = 1,46 × 10−2 𝑃 𝜌 3. Determine as viscosidades cinemática e dinâmica de um óleo alimentar à temperatura de 25 C, em unidades S.I. e c.g.s.. t C m2/s  g/cm3 0 4,75610-5 0,995 20 1,05410-5 0,970 40 0,26710-5 0,965 Resolução: considerando a equação (13) tendo presente a tabela acima é necessário fazer interpolação para a temperatura considerada ou então a equação de uma reta Fazendo uma interpolação para  temos (40 − 20) − − (0,267 − 1,054) (25 − 20) − − (𝜈 − 1,054) (25 − 20) × (0,267 − 1,054) (𝜈 − 1,054) = ⇒ 𝜐 = 8,5710−6 𝑚2 /𝑠 (40 − 20) Fazendo uma interpolação para  temos (40 − 20) − − (0,965 − 0,970) (25 − 20) − − (𝜌 − 0,970) (25 − 20) × (0,965 − 0,970) (𝜌 − 0,970) = ⇒ 𝜌 = 0,969 𝑔/𝑐𝑚3 (40 − 20) 𝜌 = 0,969 𝑔/𝑐𝑚3 = 969 𝑘𝑔/𝑚3 Então pela equação (13) 𝜇 𝜐 = ⇒ 𝜇 = 𝜐. 𝜌 = 8,5710−6 × 969 = 8,310−3 𝑃𝑎. 𝑠 = 8,310−2 𝑃 𝜌 38 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 4. O tubo da figura tem 50 cm de diâmetro na seção A e 25 cm na seção B. A pressão em A é 200 kPa. O óleo alimentar que escoa no tubo com um caudal 70 L/s, sendo a sua massa volúmica 0,897 g/cm3. Determine: a) As velocidades de escoamento nas duas secções vA e vB. b) A pressão do óleo na secção B 1 atm = 101,3 kPa 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 FAÇA TODOS OS CÁLCULOS COM AS VARIÁVEIS NO SISTEMS SI 𝐿 Resolução: 𝑞𝑣 = 70 = 70 × 10−3 = 7 × 10−2 𝑚3 /𝑠 𝑠 𝑔 A massa volúmica 𝜌 = 0,897 𝑐𝑚3 = 897 𝑘𝑔/𝑚3 a) Considerando a equação (24) e regime estacionário 𝑞𝑉 = 𝑣𝐴. 𝐴𝐴 = 𝑣𝐵. 𝐴𝐵 Equação da continuidade Seção A Seção B DA= 50 cm = 0,5 m DB= 25 cm = 0,25 m 𝐷𝐴2 0, 52 𝐷𝐵2 0, 252 𝐴𝐴 = 𝜋. = 𝜋. = 0, 196 𝑚2 =. 𝐴𝐴 𝐴𝐵 = 𝜋. = 𝜋. = 0, 049 𝑚2 4 4 4 4 𝑞𝑉 7 × 10−2 𝑞𝑉 7 × 10−2 𝑣𝐴 = = = 0,36 𝑚/𝑠⬚ 𝑣𝐵 = = = 1,43 𝑚/𝑠⬚ 𝐴𝐴 0, 196 𝐴𝐵 0, 049 b) Considerar a equação (28a) 𝑣𝐴2 𝑝𝐴 𝑣𝐵2 𝑝𝐵 + + 𝑧𝐴 = + + 𝑧𝐵 Equação de Bernoulli 2𝑔 𝜌. 𝑔 2𝑔 𝜌. 𝑔 A cota da secção A é a mais baixa, ou seja, zA = 0 m. Na secção B zB = 3 m A pressão em A pA = 200 kPa = 2105 Pa. 0,362 2105 1,432 pB + +0= + +3 2 × 9,8 897 × 9,8 2 × 9,8 897 × 9,8 pB = 8790,6 × (0,0066 + 22,8 − 0,104 − 3) = 172769,2 𝑃𝑎 = 172,8 𝑘𝑃𝑎 5. Um auto-tanque que transporta leite, faz a trasfega de 5000 L de leite em 5 min (figura). A mangueira utilizada tem uma seção transversal de 0,00267 m2. Determine: 39 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS a) O caudal médio e a velocidade média da trasfega. b) O caudal no inicial do processo de trasfega, considerando os dados indicados na figura. c) O valor obtido na alínea b) deve ser maior, menor ou igual ao da alínea a)? 1 atm = 101,3 kPa 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3 1 min = 60 s FAÇA TODOS OS CÁLCULOS COM AS VARIÁVEIS NO SISTEMS SI Resolução: a) Considerando a equação (24) 𝑑𝑉 𝑞𝑉 = = 𝑉̇ = 𝑣1. 𝐴1 = 𝑣2. 𝐴2 Equação da continuidade 𝑑𝑡 5000 × 10−3 𝑚3 𝑞𝑉 = = 0,0167 = 16,7 𝐿/𝑠 5 × 60 𝑠 𝑞𝑉 0,0167 Sabendo que A = 0,00267 m2 𝑣2 = = 0,00267 = 6,25 𝑚/𝑠 𝐴 b) Considerando a equação (28a) 𝑣12 𝑝1 𝑣22 𝑝2 + + 𝑧1 = + + 𝑧2 Equação de Bernoulli 2𝑔 𝜌. 𝑔 2𝑔 𝜌. 𝑔 Neste caso específico 𝑝1 = 𝑝2 e 𝑧1 = −1,8 𝑚𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑒 𝑧2 = 0 𝑚 𝑣12 𝑣22 = − 𝑧1 ⟹ 𝑣12 = 𝑣22 − 2𝑔. 𝑧1 ⟹ 2𝑔 2𝑔 𝑣1 = √𝑣22 − 2𝑔. 𝑧1 = √6,252 − 2 × 9,8 × (−1,8) = 8,62 𝑚/𝑠 𝑚3 𝑞𝑉 = 𝑣1. 𝐴1 = 8,62 × 0,00267 = 0,023 = 23,0 𝐿/𝑠 𝑠 c) No início o caudal é maior pois corresponde a um ponto mais elevado. 6. Considere o seguinte canal em que a água entra com uma velocidade de 3 m/s. Admitindo estado estacionário, calcule a velocidade média na saída e o caudal volumétrico. 1 atm = 101,3 kPa 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 FAÇA TODOS OS CÁLCULOS COM AS VARIÁVEIS NO SISTEMS SI 40 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Resolução: Considerando a equação (24) e regime estacionário 𝑞𝑉 = 𝑣1. 𝐴1 = 𝑣2. 𝐴2 Equação da continuidade Secção 1 Secção 2 𝑙1 = 14 𝑐𝑚 = 0,14 𝑚 𝑙1 = 6 𝑐𝑚 = 0,06 𝑚 𝐴1 = 𝑙12 = (0,14)2 = 1,9610−2 𝑚2 𝐴2 = 𝑙22 = (0,06)2 = 3,610−3 𝑚2 𝑣1 = 3 𝑚/𝑠⬚ 𝑣2 =?⬚ v1. A1 = v2. A2 ⇒ 3 × 1,9610−2 = v2 × 3,610−3 ⇒ v2 = 16,3 m/s m3 q V = v1. A1 = v2. A2 ⇒ 3 × 1,9610−2 = 16,3 × 3,610−3 = 5,9 × 10−2 s 7. Considere um líquido incompressível que se movimenta através de uma bifurcação segundo as condições indicadas na figura. Determine a velocidade do escoamento na seção 3. Resolução: pela equação da continuidade (24) para fluidos incompressíveis qv = v.A, neste caso temos duas entradas e uma saída logo v1.A1 + v2.A2 = v3.A3 A1 = 0,09 m2 A2 = 10 dm2 = 0,1 m2 A3 = 0,15 m2 v1 = 1,3 m/s v2 = 0,89 m/s v3 = ? 1,30,09+ 0,890,1 = v30,15  v3 = 1,37 m/s. 41 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 8. A figura representa um jato de água que sai de uma tubagem com um z2 v2 d2 = diâmetro de 2,5 cm, dirigida na vertical ? para cima. Partindo da hipótese que o jato se mantém circular, com a velocidade inicial de 12 m/s, desprezando 4,5 m perdas de energia, determine: a) A velocidade num ponto 4,5 m acima do orifício de saída; b) O diâmetro a essa distância. v d1 = 2,5 cm z1 1 Resolução: a) sabendo que v1 = 12 m/s e z2 – z1 = 4,5 m g = 9,8 m/s2 v12 p1 v 22 p + + z1 = + 2 + z2 2g 1g 2g  2 g a pressão nas duas secções é a atmosférica logo p1 = p2 = 1 1atm, então v 12 v2 - (z 2 − z1 ) = 2 logo (12 )2 - 4,5 = v 22  v 2 = 7,5 m/s 2g 2g 2  9,8 2  9,8 d2 b) pela equação da continuidade v1.A1 = v2.A2 e A= 4 d1 = 2,5 cm= 0,025 m  d2   d2  v 1  1  = v 2  2  logo v 1d12 = v 2 d22  4   4  12  (0,025 ) = 7,5  d22  d2 = 0,032 m = 3,2 cm 2 42 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 3. FENÓMENOS SUPERFICIAIS 43 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS 3. FENÓMENOS SUPERFICIAIS. Quando duas fases distintas são colocadas em contacto físico, as propriedades da zona fronteira entre elas dependem do grau de afinidade termodinâmica. Interface – região de espessura finita que se forma quando duas fases homogéneas entram em contacto entre si e cujas propriedades variam consoante as condições de energia. As propriedades da região interfacial são importantes em sistemas coloidais, especialmente em dispersões e emulsões. As interfaces (superfícies de contacto) entre fluidos - líquidos, gases ou vapores – são regiões características com interações electroestáticas diferentes do interior de cada fase. 3.1 TENSÃO SUPERFICIAL. Considerando o caso de uma interface líquido-vapor, os átomos ou moléculas no interior da massa líquida têm interações atrativas fortes (interações intermoleculares de London – Van der Waals) iguais em todas as direções, com as moléculas da vizinhança (isotropia) (figura 18 (A)). As moléculas à superfície do líquido experimentam forças atrativas de menor intensidade comparativamente com as moléculas que estão situadas no interior do líquido, as partes da molécula em contato com as moléculas na fase vapor terão interações mais fracas (figura 18 (B)), e isso deve-se ao facto das moléculas na fase vapor estarem mais dispersas, ou seja, a concentração das moléculas é tão baixa que as interações podem ser ignoradas. Figura 18: Interações das moléculas numa interface líquido-vapor. Este fenómeno origina maior coesão nas moléculas que estão situadas à superfície, do que no interior. Deste modo a superfície de um líquido pode ser compreendida como uma película fina que reveste toda a sua extensão. 44 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS Os sistemas tendem a minimizar a energia de superfície e a assumir a configuração correspondente à área mínima de superfície – fenómeno de contração. É necessário fornecer energia (trabalho) para aumentar a área de superfície líquido-vapor (menor número de moléculas no seio do líquido, maior número à superfície, conduzindo a um aumento de energia do sistema. Tensão Superficial γ0 – trabalho de uma força aplicada paralelamente a uma superfície (tensão tangencial), necessário para aumentar a energia de uma superfície numa unidade de área A, por um processo isotérmico e reversível (figura 19): Figura 19: Tensão = Força tangencial aplicada numa superfície. 𝛿𝑊 𝐹. 𝛿𝑙 ⃗F γ0 = = = (29) 𝛿𝐴 2𝑙 l Análise dimensional: MLT −2 [γ0 ]= = MT −2 cuja unidade S. I. é N/m (J/m2 ) L A energia da superfície denomina-se a energia livre de Gibbs - G (em J). ∆G γ0 = ( ) (30) ∆A p,T Só se aplica a líquidos puros. A superfície é uma membrana elástica ou um filme superficial elástico que reveste, ou separa, o líquido por unidade de comprimento. Este filme é mantido esticado pela tensão superficial (figura 20 (a)). Insetos como o mosquito, aproveitam este fenómeno para se moverem sobre água sem se afundarem (figura 20 (b)). A área superficial tende para um mínimo para minorar a energia da superfície. As gotas de líquido têm formato esférico, minimizando a relação superfície/volume (figura 20 (c)). 45 Maria Gabriela de Oliveira Lima Basto de Lima © 2024  Módulo 3 - MECÂNICA de FLUIDOS a b c Figura 20: Tensão superficial versus membrana elástica. Na tabela 1 apresentam-se alguns valores de tensão superficial para líquidos comuns à temperatura de 20 ºC. Na tabela A.4 do anexo apresentam-se valores de tensão superficial de vários líquidos em função da temperatura. Tabela 1 – Tensão superficial de diversos líquidos a 20 ºC. 3.1.1. Tensão Interfacial. Numa interface formada entre dois líquidos imiscíveis com massas volúmicas diferentes, a interação entre os átomos ou moléculas da interface de um dos líquidos, e os átomos ou moléculas no interior da massa líquida; é diferente da interação entre esses átomos e moléculas com aqueles da interface do outro líquido. Na figura 21, é possível observar o exemplo de uma interface entre óleo e água, que não se misturam quando são colocados no mesmo recipiente, mas denotam uma superfície de separação plana e horizontal, a fase lipídica fica sobre a fase aquosa por ter densidade inferior àquela. Figura 21: Interações das moléculas numa interface líquido-líquido. Mais uma vez se observa que as superfícies das interfaces são regiões com maior energia exibindo comportamento diferente daquele do interior da massa líquida. Aumentar a superfície de um material significa deslocar átomos ou moléculas para uma região de maior energia. Criar ou aumentar uma superfície