Concours d'Entrée en Master Maths - 2020

Ministère de l’Economie Numérique et de la Poste CONCOURS D’ENTREE EN MASTER Session : 2020 EPREUVE : MATHEMATIQUES...

Ministère de l’Economie Numérique et de la Poste CONCOURS D’ENTREE EN MASTER Session : 2020 EPREUVE : MATHEMATIQUES Durée : 1h30 Exercice 1 (11 points) Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0.5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée. Enoncé de Q1 à Q6 : Considérons la série statistique suivante : 2 3 0 2 4 0 1 4. Q1 : Cette série est : a) qualitative nominale b) quantitative continue c) qualitative ordinale d) quantitative discrète Q2 : La moyenne de cette série est : a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 Q3 : La médiane de cette série est : a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 Q4 : Le premier quartile de cette série est : a) 0.5 b) 1 c) 1.5 d) 2 Q5 : Le troisième quartile de cette série est : a) 1 b) 3.5 c) 3 d) 4 Q6 : L’étendue de cette série est a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Q7 : La série ∑ converge si : a) , b) , , ( ) , Enoncé de Q8 à Q9 : Soit une variable aléatoire qui suit la loi de densité de probabilité ] [ définie par : { Q8 : ( ) a) b) c) d) Q9 : E(X) = a) b) c) 6 d) Page 1 sur 3  Enoncé de Q10 et Q11 : Pour , on pose. Q10 : Pour tout ∑ a) b) c) d) ucune réponse est vraie Q11 : La série ∑ a) Converge Simplement sur ℝ b) Converge Uniformément sur ℝ c) Diverge sur ℝ d) Aucune des réponses n’est vraie Exercice 2 (4 points) Disposer les éléments dans le diagramme de Venn suivant, sachant que : { } { } { } { } { } { } PROBLEME (15 points) Les parties A et B du problème sont indépendantes. Partie A Soit E un IR espace vectoriel de dimension 3 et B = ( une base de E. On considère l’application linéaire f de E vers E telle que : f ( )= f( )= f( )= 4 1) Quelle est la matrice A de f dans la base B ? 2) Si u ( dans la base B, quelles sont les coordonnées de f(u) dans la base B ? En déduire le calcul de f(. 3) Déterminer le noyau Kerf et l’image Imf de f. 4) Kerf et Imf sont – ils supplémentaires ? 5) Quelle est la matrice de dans la base B ? En déduire. Page 2 sur 3 Partie B Soit A =[ ] 1) Déterminer les valeurs propres de A. 2) Déterminer les sous-espaces vectoriels propres de A. 3) Montrer que A est trigonalisable 4) Trouver une base dans laquelle A est semblable à une matrice triangulaire D et préciser D. 5) Calculer pour 6) On considère les trois suites (Un) (Vn) et (Wn) définies par : Un+1 = 2Un – 2Vn + Wn Vn+1 = 2Un –3Vn +2Wn Wn+1 = -Un + 2Vn avec U0 =2, V0 = -1 et W0 = -2. On se propose de déterminer le terme général de chacune des suites. a) Ecrire le système sous la forme matricielle ( )= et montrer que = b) Déterminer , puis et en fonction n. Page 3 sur 3