Apuntes de Microeconomía II PDF

.......... Facultad de Economía Apuntes de Microeconomía II.......... Teoría del Consumidor, Teoría del Productor, Teoría de Juegos y Competencia Imperfecta Por: Juan Carlos Mendieta López [email protected]...

.......... Facultad de Economía Apuntes de Microeconomía II.......... Teoría del Consumidor, Teoría del Productor, Teoría de Juegos y Competencia Imperfecta Por: Juan Carlos Mendieta López [email protected] Bogotá, Colombia. Noviembre de 2005 Indice de Contenido Capítulo 1: Elementos Básicos de la Teoría del Consumidor.......................................... 1 Introducción.................................................................................................................. 1 Propiedades de las Curvas de Indiferencia de Utilidad................................................ 5 Tipos de Curvas de Indiferencia................................................................................... 9 El Consumo y los Tipos de Bienes en la Economía................................................... 10 Capítulo 2: Teoría del Consumidor – Estudio del Comportamiento del Consumidor... 13 Introducción................................................................................................................ 13 El Problema Primal y el Problema Dual del Consumidor.......................................... 13 Identidades y Lemas................................................................................................... 14 Tipos de Funciones de Demandas.............................................................................. 15 Efecto Sustitución y Efecto Ingreso – Definiciones................................................... 16 Ecuación de Slutsky............................................................................................... 16 Tipos de Índices de Precios.................................................................................... 18 La Compensación de Hicks.................................................................................... 19 Medición de los Beneficios del Consumidor ante cambios en precios...................... 23 Capítulo 3: Modelo Asignación del Tiempo – El Caso del Hogar Dueño del Factor.... 33 Introducción................................................................................................................ 33 El Modelo de Asignación de Tiempo......................................................................... 33 El Efecto Sustitución y el Efecto Ingreso en el Modelo de Asignación de Tiempo.. 39 El Modelo de Asignación de Tiempo Incluyendo el Ingreso No Salarial.................. 41 Capítulo 4: Elementos Básicos de Teoría de la Firma.................................................... 43 Introducción................................................................................................................ 43 La Función de Producción.......................................................................................... 44 Producto Total, Marginal y Medio............................................................................. 46 El Concepto de Isocuanta........................................................................................... 47 Tasa Marginal de Sustitución Técnica........................................................................ 49 Las Etapas de Producción........................................................................................... 51 Ley de Rendimientos Decrecientes............................................................................ 53 Rendimientos de Escala.............................................................................................. 54 Elasticidad de Sustitución........................................................................................... 57 Capítulo 5: Los Costos de Producción de la Firma........................................................ 60 Introducción................................................................................................................ 60 Tipos de Costos.......................................................................................................... 60 Los Costos de Producción de la Firma....................................................................... 61 Costos Totales, Medios y Marginales........................................................................ 64 Relación entre el Producto Marginal, Producto Medio, Costo Marginal y Costo Medio.......................................................................................................................... 66 Los Costos de Producción en el Largo Plazo............................................................. 67 La Elección Óptima de los Factores y los Costos a Largo Plazo............................... 69 Variación de los Costos de Producción de la Firma en el Largo Plazo...................... 75 Las Curvas de Costo Total, Medio y Marginal a Largo Plazo................................... 75 Las Curvas de Costos de Largo y de Corto Plazo...................................................... 79 Capítulo 6: Maximización de Beneficios y Oferta de la Firma...................................... 80 Introducción................................................................................................................ 80 La Maximización de Beneficios................................................................................. 80 Medición de los Beneficios de la Firma..................................................................... 83 Cambios en el Excedente del Productor en el Mercado del Producto y Cambios en el Excedente del Consumidor en el Mercado de Factores, de la Firma:........................ 85 La Oferta y los Costos Marginales de Producción y las Ganancias........................... 85 175  Los Costos Totales, Los Ingresos Totales y Las Ganancias de la Firma................... 89 La Curva de Ingreso Marginal:................................................................................... 91 Capítulo 7: Competencia Perfecta y Análisis de Equilibrio Parcial............................... 94 Introducción................................................................................................................ 94 Modelo de Determinación de Precios de Alfred Marshall......................................... 95 Cambios en la oferta y la demanda............................................................................. 98 El Modelo de Oferta y Demanda................................................................................ 99 Interpretación de la Elasticidad................................................................................ 100 Análisis de Largo Plazo............................................................................................ 100 Condiciones necesarias para alcanzar el equilibrio en el largo plazo....................... 101 Equilibrio en el Largo Plazo con Costos Constantes................................................ 102 Elasticidad Oferta de Largo Plazo............................................................................ 104 Cambios en los Costos de los Insumos..................................................................... 105 Excedente del Productor de Largo Plazo.................................................................. 106 La Oferta de Insumos y el Excedente del Productor en el Largo Plazo................... 107 Introducción.............................................................................................................. 109 Monopolio................................................................................................................ 112 Por qué Existen los Monopolios............................................................................... 114 La Maximización de Beneficios del Monopolista.................................................... 116 Pérdidas en Bienestar y Elasticidad.......................................................................... 121 Las Ganancias de la Firma bajo Monopolio............................................................. 122 El Monopolio y la Calidad del Producto.................................................................. 123 Capítulo 9: Discriminación de Precios......................................................................... 126 Introducción.............................................................................................................. 126 Discriminación de Precios de Primer Grado............................................................ 127 Discriminación de Precios de Segundo Grado......................................................... 130 Discriminación de Precios de Tercer Grado............................................................. 131 Otros tipos de discriminación de Precios................................................................. 134 Capítulo 10: Teoría de Juegos.................................................................................. 139 Introducción.............................................................................................................. 139 Las Estrategias Dominantes...................................................................................... 145 Estrategias Maximin................................................................................................. 146 El Dilema del Prisionero........................................................................................... 148 La Tragedia de los Comunes.................................................................................... 149 Juegos Repetidos...................................................................................................... 150 Juegos Secuénciales.................................................................................................. 151 Las Subastas............................................................................................................. 154 Capítulo 11: La Competencia Monopolística y el Oligopolio...................................... 156 Introducción.............................................................................................................. 156 La Competencia Monopolística................................................................................ 157 El Oligopolio............................................................................................................ 159 El Modelo de Cournot.............................................................................................. 159 Modelo de Stackelberg............................................................................................. 163 Modelo de Bertrand.................................................................................................. 164 La Rigidez de Precios............................................................................................... 168 El Modelo de la Curva de Demanda Quebrada........................................................ 169 El Modelo de la Firma Dominante........................................................................... 170 Los Cárteles.............................................................................................................. 171 Referencias................................................................................................................... 174 176 Capítulo 1: Elementos Básicos de la Teoría del Consumidor Introducción La teoría del consumidor describe la forma en que los consumidores (hogares) asignan su ingreso al gasto en bienes y servicios para maximizar su satisfacción (utilidad). Todos los modelos propuestos bajo la teoría del consumidor parten del supuesto de que la función de utilidad con que trabajamos corresponde a la de un individuo representativo que actúa de manera racional tomando las mejores decisiones, tanto como pueda hacerlo. Teoría del Consumidor Preferencias de Elecciones de Restricciones de los Individuos los Individuos presupuesto (hogares) (hogares) Describir las razones La restricción de La decisión de por qué las personas ingresos limita la comprar bienes prefieren unos compra de bienes de dados unos precios y bienes a otros. consumo del un ingreso finito. individuo. Referente a las preferencias de los individuos lo que importa es: ¾ Los supuestos sobre las preferencias: Las preferencias deben ser completas, deben ser transitivas, los consumidores son insaciables, las preferencias son continuas. ¾ Las cestas de bienes: Una cesta esta compuesta de un conjunto bienes con determinadas cantidades de cada uno de ellos. ¾ Las relaciones de sustitución y complementariedad entre los bienes: Dos bienes son sustitutos si al subir el precio de uno de los bienes, la demanda por el otro bien también sube. Dos bienes son sustitutos perfectos si el consumidor esta dispuesto a sustituir un bien por otro a una tasa constante. Dos bienes son complementos si al subir el precio de uno de los bienes la cantidad demandada del otro bien disminuye. Dos bienes son complementos perfectos si ambos bienes siempre se consumen en proporciones fijas. ¾ Las curvas de indiferencia de utilidad: Representan diferentes combinaciones entre par de bienes que generan el mismo nivel de utilidad. ¾ La tasa marginal de sustitución: Mide la relación en que el consumidor está dispuesto a sustituir un bien por otro. Los hogares compran bienes que satisfacen sus necesidades, la unidad que agrupa el conjunto de bienes demandados recibe el nombre de cesta de bienes. Una cesta de 1 bienes representa las cantidades de uno o más bienes de consumo. Una cesta de bienes se puede representar como: q = q1 , q2 ,....., qn Los consumidores (hogares) eligen las cestas de bienes en los mercados. Con esta información sobre cantidades demandadas a diferentes precios se puede estimar una función de demanda que permita estimar una medida de beneficios que represente el bienestar del consumidor. Elección de los Consumidores Maximización de la Minimización del Gasto Utilidad Restringida Restringido Elección Óptima del Consumidor Preferencias Utilidad Marginal y Índices de Costo de la Reveladas Elección Vida Retornando al tema de las preferencias, para que estas sean consistentes con el comportamiento del consumidor se deben establecer una serie de supuestos que se describen a continuación: 1. Las preferencias son completas: Los consumidores pueden comparar y ordenar todas las canastas de bienes posibles. 2. Las preferencias son transitivas: Si tenemos tres canastas de bienes A, B y C; y si: La canasta A es preferida a la canasta B. Y luego, la canasta B es preferida a la canasta C, Entonces, la canasta A es preferida a la canasta C. 3. Los consumidores son insaciables: Los consumidores siempre prefieren una cantidad mayor de cualquier bien a una menor. 4. Las preferencias son continuas: Si el individuo revela que la canasta A es preferida a la canasta B, luego en caso de sustitución el individuo elegiría o preferiría la canasta A en vez de la canasta B. Estos supuestos hacen posible que se pueda proponer el término técnico utilidad para llamar a la satisfacción que deriva un individuo del consumo de bienes y servicios. No 2 obstante, la utilidad como tal es un concepto no observable e imposible de medir directamente. Una representación formal de la función de utilidad de un individuo es: U (q ) = U (q1 , q2 ,......, qn ) Donde, los bienes q1 , q2 ,....., qn son argumentos directos de la función de utilidad del individuo representativo. Como se mencionó anteriormente, a mayor consumo de un bien, mayor utilidad, es decir: ∂U (q ) >0 ∂q También la utilidad marginal crece a una tasa decreciente, es decir: ∂ 2U (q ) p0 1 0 ante el cambio en el p < p precio Pregunta Signo Pregunta Signo Variación Máxima DAP >0 Mínima DAA 0 Máxima DAP Q 0 Q1 < Q 0 Bienestar Signo Pregunta Signo Pregunta Excedente + Max DAP - Min DAA Compensatorio Excedente + Min DAA - Max DAP Equivalente 32 Capítulo 3: Modelo Asignación del Tiempo – El Caso del Hogar Dueño del Factor Introducción Los consumidores, llamados también hogares, son compradores de productos y al mismo tiempo son vendedores de los factores de producción. Existen varias políticas y/o proyectos que van a afectar el bienestar de los consumidores a través de cambios en las condiciones bajo las cuales los hogares pueden vender sus factores. El gobierno, por ejemplo, puede fijar el salario mínimo o las horas de trabajo. Un proyecto puede aumentar significantemente la demanda por recursos y los precios pueden subir como un resultado posterior. Supuestos: (1) El individuo puede invertir su tiempo en trabajo, ganando un salario por unidad de tiempo en el mercado laboral o simplemente no trabajar y consumir su tiempo en ocio. (2) El individuo cuenta con un tiempo total disponible, por ejemplo, por día cuenta con 24 horas. El Modelo de Asignación de Tiempo La función de utilidad, entonces, se puede representar como: u( c , h ) = u Donde, “c” y “h” son dos bienes compuestos llamados consumo y ocio. Como se dijo anteriormente, la restricción de tiempo es: l + h = 24 Donde, “l” es el tiempo que destina a trabajar el individuo y “h” es el tiempo que destina a ocio. Note, que ambos “l” y “h” no deben ser superiores a 24 horas de tiempo disponible del individuo. La segunda restricción tiene que ver con el hecho de que el individuo compra bienes de consumo sólo a partir del ingreso endógeno. Recuerde que el ingreso endógeno es el ingreso proveniente de la remuneración del trabajo del individuo, el otro es el ingreso exógeno (o no salarial), y por el momento no se encuentra incluido en este modelo. c = wL Combinando ambas restricciones, tenemos: De l + h despejamos “l” y la sustituimos en la restricción de ingreso endógeno. l = 24 − h ⇒ c = w( 24 − h ) ⇒ c = 24 w − wh 33 Entonces: c + wh = 24 w Donde, c + wh es el gasto en bienes de consumo y en ocio, 24w es el valor del tiempo total disponible del individuo. Esta es la restricción de ingreso completo. El problema de maximización del individuo es: Max u( c , h ) suejto a c + wh = 24 w c ,h L = u( c , h ) + λ( 24 w − c − wh ) Condiciones de primer orden: ∂L ∂u (1) =0⇒ −λ =0 ∂c ∂c ∂L ∂u (2) =0⇒ − λw = 0 ∂h ∂h ∂L (3) = 0 ⇒ 24 w − c − wh = 0 ∂λ Dividiendo la condición (2) entre la condición (1): ∂u ∂h λw = ∂u ∂c λ Al final; TMS h ,c u0 =w Es decir, para maximizar su utilidad, dado un ingreso real, el individuo elige el número de horas óptimas de trabajo cuando la tasa marginal de sustitución entre ocio por bienes de consumo se iguala con el valor del salario, w. Si asignamos una forma funcional a la función de utilidad podemos resolver el problema primal y encontrar una función para la demanda por ocio. Si tenemos la demanda por ocio (la cantidad óptima de ocio que elige el individuo), luego podemos obtener la cantidad óptima que destina a trabajar. Es decir: ~ ~ ~ ~ l = τ − h ( p , w ) ⇒ l = 24 − h ( p , w ) De igual manera obtendríamos la demanda ordinaria por bienes de consumo: c = c( p , w ) ~ 34 Recordemos que bajo condiciones de competencia perfecta en el mercado laboral, w es el valor de la productividad marginal del trabajo. Entonces, ¿qué es el mercado de factores?, bajo condiciones de competencia perfecta se tiene un número elevado de vendedores (hogares) y compradores (firmas) de factores de producción, como por ejemplo, trabajo y materias primas. c c* TMSh,c = w u0 c = w(24-h) 0 h* h Asignación del Tiempo La demanda de trabajo de una firma, es la oferta de trabajo del hogar. Si l es el factor trabajo y r(l) es el retorno del factor trabajo, y los compradores y vendedores de mano de obra son tomadores de precios, tenemos el siguiente problema de una firma que produce un producto y que es tomadora de precios: Max π = r( L ) − wl − c0 l Donde, π son las ganancias de la firma, r es el retorno o ingreso del factor trabajo y c0 son los costos fijos, entonces: ∂π ∂r( l ) ∂r( l ) =0⇒ −w=0⇒ =w ∂l ∂l ∂l El óptimo de la firma es comprar mano de obrar hasta que el retorno (o ingreso marginal) del factor trabajo se iguale con la tasa de salario bajo el mercado competitivo. Otra forma de ver el mismo problema: Max π = pq − wl − c0 q ,l Suponiendo que l es el único factor variable de la firma. Donde, π son las ganancias, q es el nivel de producto de la firma y p es su precio de mercado. Entonces, 35  ∂π (1) = q̂( p , w ) es la oferta de producto de la firma. ∂p ∂π (2) = − x̂( p , w ) es la demanda derivada de insumos y/o factores de la firma. ∂w ¿Qué es la demanda derivada de un factor?. Es una demanda que depende del nivel de producto de la firma y de los costos de los factores. En el caso de la demanda derivada de trabajo tenemos: w w0 − x̂( p , w ) 0 x0 x Demanda del Factor Ingreso Marginal del Factor: ∂r( l ) ∂l , es el ingreso resultante de contratar una unidad adicional de l, bajo competencia perfecta, en el óptimo es igual al salario, w. Por lo tanto, si el producto marginal del trabajo es: ∂q PMg = ∂l Luego, el valor del producto marginal es: ∂q VPMg = w ∂l Es decir, sí el ingreso marginal del factor es igual a: ∂I ∂q IMg = y PMg = ∂l ∂l Entonces, el ingreso marginal del producto es igual a: 36  ∂I IMg = ∂q Veamos de donde sale esto. Suponga por simplicidad que la producción de q esta sólo en función del factor l: q = f (l ) Y que el precio del producto es igual a uno, p = 1. Entonces el ingreso total se puede expresar en función de la cantidad de insumo utilizada para producir q: IT = q( l ) Derivando, obtenemos: ∂IT ∂IT ∂q = ∂l ∂q ∂l Ingreso marginal del Ingreso marginal del factor producto Producto marginal del factor El ingreso marginal del factor es el ingreso adicional generado por una unidad adicional del producto multiplicado por la producción adicional generada por una unidad adicional del factor. En un mercado competitivo, la firma (consumidor del factor l), se enfrenta a una curva de oferta de trabajo, l , perfectamente elástica u puede contratar tantos trabajadores como desee a un salario w*. w Demanda de Trabajo de la Firma Oferta de Trabajo de los Hogares Excedente del Consumidor l w* − l̂ ( p , w ) = IMg l = ∂IT ∂l 0 l* l Excedente del Consumidor de la Firma 37 ¿Qué pasa si baja el salario?: Si baja el salario, la cantidad demandada de trabajo contratada por la firma sube. El área “a” es el cambio en el excedente del consumidor de la firma que participa como un comprador en el mercado del factor. w w0 l0 ∆EC = a l1 w1 − l̂ ( p , w ) = IMg l = ∂IT ∂l 0 l0 l1 l Cambio en el Excedente del Consumidor de la Firma Nota 2: Realice un análisis similar al anterior pero ahora suponga que hay una subida del salario como consecuencia de la presión de los sindicatos. ¿Cómo es la forma de la curva de oferta de trabajo?: Cuando sube el salario, las horas de trabajo ofrecidas aumentan inicialmente, pero pueden acabar disminuyendo cuando los individuos deciden disfrutar más ocio y trabajar menos. 38  w l La oferta de trabajo w* l* l - hrs/día El tramo de la curva de oferta que se vuelva hacia arriba a la izquierda, se origina cuando el efecto ingreso de la subida del salario (que fomenta el ocio) resulta siendo mayor que el efecto sustitución (que fomenta el trabajo). El Efecto Sustitución y el Efecto Ingreso en el Modelo de Asignación de Tiempo ¿Cómo funciona el efecto sustitución y el efecto ingreso ante cambios en el salario?: Debido a que el individuo es oferente del trabajo, el efecto ingreso y el efecto sustitución de una subida en el salario va en la dirección opuesta al efecto que se tendría sí estuviéramos hablando de ocio. Una subida en el salario incrementa el ingreso endógeno del individuo, entonces, se decide por consumir más, ∆+c, y se tiene menos ocio, ∆-h. Un efecto final de esto, es que las horas destinadas a trabajo se ven incrementadas. En la siguiente figura en donde inicialmente el salario es w0 y el trabajador puede alcanzar un nivel de utilidad u0 trabajando h0 ( l 0 = τ − h 0 , m = w 0 h 0 ). Con una subida hasta w1 el trabajo incrementa hasta h1 y el trabajador alcanza el nivel de utilidad u1 en la siguiente figura (parte - a), pero el impacto de la sustitución pura por el cambio en el salario es un movimiento de A a B, bajo el supuesto de que el ocio es un bien normal. También, en la parte (b) de la misma figura, la cantidad de trabajo relacionado con la curva de oferta Hicksiana es más que h1, la cantidad relacionada con la curva de oferta Marshalliana. Más interesante, y perfectamente razonable, es que con otra subida hasta w2, la curva de oferta de trabajo puede volver positiva, h2 < h1. Es decir, con un incremento en el salario es cierto que el costo de oportunidad sube, pero también se incrementa el ingreso y, por consiguiente, es posible que este impacto sea tan grande que el trabajador pueda decidir trabajar menos. La interpretación del área bajo la curva de oferta decreciente no es clara. Pero afortunadamente, la curva de oferta Hicksiana, 39 que buscamos para estimar la VC o la VE es siempre ascendente porque el impacto de la sustitución es siempre negativo para un bien, como el ocio. La VC para la subida del salario de w0 a w1 es representada por el área a + b en la parte (b) de la siguiente figura o w1 (τ − τ ) en la parte (a). (a) m u 2 w 2τ u1 u0 w1τ A´´ w1τ A´ w 0τ B B´ A 0 h l τ w h w2 h w1 b a c w0 0 h0 h 2 h1 h 1 h 2 τ h (b) Compensación de Hicks y demandas ordinarias y compensadas Entonces: VC > ∆EP 40 Es decir, la variación compensatoria es mayor que el cambio en el excedente del productor. En países en desarrollo, es común, en el campo encontrar hogares que solo venden factores, es decir, sólo cuentan con un ingreso endógeno. El Modelo de Asignación de Tiempo Incluyendo el Ingreso No Salarial ¿Qué pasa si incluimos en el análisis el ingreso exógeno o no salarial?: Ahora tenemos: c = wl + y 0 Donde, wl es el ingreso endógeno o el ingreso laboral y y0 es el ingreso exógeno o el ingreso no laboral. El ingreso no laboral es una suma fija. Ahora la oferta de trabajo es función del salario y del ingreso no laboral. ( l w, y 0 ) Si el ocio es un bien normal, entonces: ∂l ∂y 0 < 0 , es decir, a mayor ingreso exógeno, menor tiempo destinado a trabajar. Ahora, sí: h + l = 24, subiría la cantidad consumida de ocio y disminuiría el tiempo invertido en trabajo. Como en el caso del consumidor puro, hay un problema dual para esto, que es: e ( p , w ,u 0 ) = min c + w( τ − l ) sujeto a u( q ,l ) = u 0 c ,l En donde, las soluciones de este problema resultan produciendo las curvas de demandas Hicksianas por bienes de consumo y por trabajo: c ( p , w ,u 0 ) = 0 l ( p , w ,u 0 ) = 0 La demanda compensada por ocio es: h = τ − l ( p, w, u 0 ) Derivación del Efecto Sustitución y el efecto Ingreso: Ahora estudiemos más éste problema de nuevo usando el enfoque dual hasta que la cantidad adicional gastada sea igual a: e = c − wl Es el gasto requerido para alcanzar el nivel de utilidad inicial, u 0 = u( c ,h ). Si aplicamos el lema de Sheppard, tenemos: ∂e = −l ∂w 41 Es la demanda compensada por trabajo. Si la utilidad se mantiene constante en el problema dual de minimización de gasto, la anterior función se interpreta como una función de oferta compensada. Es decir: l = l ( w ,u ) Note que esta función es diferente de la primera oferta que derivamos l(w, y0). La clave para reconocer que es compensada es por que tiene como variable explicativa a la utilidad. Ahora usemos esta función para separar el efecto ingreso y el efecto sustitución, o más bien para encontrar la ecuación de Slutsky. l ( w,u ) = l ( w,v( w, y 0 )) ( = l w, y 0 ) Si y0 = e(w, u), luego: l ( w,e( w,u )) Entonces, ∂l ∂l ∂~ l ∂e = + ∂w ∂w ∂e ∂w Efecto Precio Efecto ingreso ∂l ∂l ∂l ∂l ∂l ∂l = −l ⇒ = −l 0 ∂w ∂w ∂e ∂w ∂w ∂y Si: ∂l ∂l ∂l ∂l ∂l = ⇒ = +l 0 ∂w ∂w u =u 0∂w ∂w u =u ∂y 0 Es decir, el cambio en la oferta en respuesta al cambio en el salario se desagrega en el efecto sustitución (primer término del lado izquierdo) y el efecto ingreso (segundo términos del lado izquierdo). El efecto sustitución se da manteniendo constante el nivel de utilidad inicial, u0. El efecto. 42 Capítulo 4: Elementos Básicos de Teoría de la Firma Introducción La teoría de la firma estudia como una empresa toma sus decisiones de producción minimizadoras de costos y cómo varían los costos resultantes cuando varía el nivel de producción, Nicholson (2003). Seguimos suponiendo que el mercado se encuentra en competencia perfecta. Es decir, aquí las firmas siguen sin tener influencia sobre el precio de mercado. Por lo tanto, las firmas son precio aceptantes. Una firma racional actúa de la siguiente manera: ¾ Minimizando sus costos sujeto a la restricción de producción la mayor cantidad de producto – problema primal. ¾ Maximizando su producción sujeto a una restricción de costos dados – problema dual. La Producción Insumos: mano de obra, edificios, maquinas, etc.) Tecnología Proceso de Producción Productos y Desechos La tecnología de producción de la firma es la relación física que describe cómo se transforman los factores como el capital y el trabajo) en productos. ¿Cuál es el impacto de la tecnología sobre la producción? Situación Inicial ⇒ producir q = 100 unidades con k = 20 y l = 40 Puede ocurrir cualquiera de las siguientes situaciones: Situación Final ⇒ producir q = 100 unidades con k = 10 y l = 20 Situación Final ⇒ producir q = 200 unidades con k = 20 y l = 40 43 Es decir, el cambio tecnológico hace que con menos insumos se produzca lo mismo o con la misma cantidad de insumos se produzca más. El cambio tecnológico incrementa la eficiencia en el uso de los insumos. Definiciones de Producción, Frank (2003): ¾ Es cualquier actividad que crea utilidad actual o futura. ¾ Es el proceso que transforma los factores de producción en productos. Los factores principalmente estudiados en economía son el la tierra, el trabajo y el capital. También se puede mencionar a la iniciativa empresarial. La iniciativa empresarial es el proceso de organizar, gestionar y asumir la responsabilidad de una firma. Por lo tanto, un empresario es una persona que asume riesgos. La Función de Producción ¿Qué es una función de producción?: es la relación en la cual se combinan los factores de producción para obtener el producto. La función de producción transforma factores como tierra, trabajo, capital y dirección empresarial en producción. Para el caso de dos factores, la función de producción se puede especificar como: q = f ( k ,l ) Donde, f es la función matemática que describe el proceso de producción, k y l son los factores capital y trabajo y q es la cantidad de producto producida a partir del uso de unas cantidades específicas de k y l. Otra definición de función de producción es que q muestra la máxima cantidad de producto que puede producirse usando diferentes combinaciones de capital y trabajo. Ejemplo - Suponga la siguiente función de producción: q = 2kl Donde, k se mide en horas-equipo a la semana y l se mide en horas-persona a la semana. Si k = 2 horas-equipo y l = 3 horas-persona, la cantidad producida a la semana sería igual a 12 unidades. Ahora Suponga que k tiene un valor fijo igual a 1, y lo que buscamos es grafica el producto en función de l. 44  q q q = 6l q = 2l q = 2l 6 6 Cuando k pasa de 1 hasta 3, se desplaza la función de producción 2 hacia la izquierda 0 0 1 3 l 1 3 l ¿Qué son los productos intermedios?: son los productos que se transforman mediante un proceso de producción en otros de mayor valor. Tiempo de Análisis del Proceso de Producción de la Forma – Corto Plazo y Largo Plazo. El Corto Plazo es el período más largo de tiempo durante el cual no es posible alterar al menos uno de los factores utilizados en un proceso de producción. Mientras, que el Largo Plazo es el período más corto de tiempo necesario para alterar las cantidades de todos los factores utilizados en un proceso de producción. ¿Cuál es la diferencia entre los factores fijos y los factores variables?: el factor variable es u factor que puede alterarse en el corto plazo. Mientas, que el factor fijo no se puede alterar en el corto plazo. En el largo plazo todos los factores se alteran en el proceso de producción. Otra función de Producción a corto Plazo: Suponga los siguientes datos, manteniendo el factor k, constante. Insumo - l Producto – q 1 4 2 14 3 27 4 43 5 58 6 72 7 81 8 86 Si gráfica la función a partir de estos datos se dará cuenta que la función de producción muestra una forma curvilínea que primeramente crece a una tasa creciente a medida que aumenta la cantidad del factor l, luego a partir de l = 4, la cantidad de producto crece a una tasa decreciente. 45 Producto Total, Marginal y Medio ¿Cómo se define la curva de producto total?: se define como una curva que muestra la cantidad de producción en función de la cantidad del factor variable. De la definición de producto total se desprende otras dos definiciones: producto marginal y producto medio: el producto marginal es la variación que experimenta el producto total cuando se altera el factor variable en una unidad (manteniendo fijos todos los demás factores). ∂q ∂q PMg k = y PMg l = ∂k ∂l En otras palabras, el producto marginal es la producción adicional obtenida cuando se incrementa un factor en una unidad. El producto medio es la producción total dividida por la cantidad del factor variable. q q PMe k = y PMe l = k l Disminución de la Productividad Marginal: ∂q ∂2q ∂q ∂2q >0 y 0 y 2 PMel PMgl Pero el PMel > PMgl producto Y el producto medio es medio es creciente decreciente PMgl < 0 Y el producto medio es decreciente 52 Para la anterior figura tenga en cuenta los siguientes datos (unidades/mes): k l q q/l ∂q/∂l 10 0 0 - - 10 1 10 10 10 10 2 30 15 20 10 3 60 20 30 10 4 80 20 20 10 5 95 19 15 10 6 108 18 13 10 7 112 16 4 10 8 112 14 0 10 9 108 12 -4 10 10 100 10 -8 Al graficar la función de producción a partir de estos datos, se puede comprobar que a partir de l = 8 el PMg < 0. Además, a partir de l = 5, el PMe comienza a decrecer. Ley de Rendimientos Decrecientes De lo anterior de desprende el concento de Ley de Rendimientos Decrecientes: si se añaden cantidades iguales de un factor variable y se mantienen fijos todos los demás factores, los incrementos resultantes de la producción acaban disminuyendo, Frank (2003). Nicholson (2003), la define como el principio según el cual aumenta el uso de un factor mientras los demás permanecen constantes, la producción adicional obtenida acaba disminuyendo. La productividad del trabajo puede aumentar si mejora la tecnología, incluso aunque los rendimientos del trabajo en un proceso de producción determinado sean decrecientes. El cambio tecnológico es el desarrollo de nuevas tecnologías que permiten utilizar los factores de producción de una forma más eficiente. Stock de Capital: Es la cantidad total de capital que puede utilizarse para producir un producto. En la siguiente figura podemos observar que vamos pasando de los puntos A al B al C, la productividad del trabajo se va incrementando a través del tiempo. Recuerde que la productividad marginal del trabajo se define como el producto medio del trabajo de una industria o de la economía en su conjunto. 53  q q3 q2 q1 l1 l2 l3 l Rendimientos de Escala Si la función de producción es: q = q( k ,l ) Y todos los insumos son multiplicados por una constante positiva (m > 1), los retornos de escala se clasifican en: ¾ Rendimientos Constantes de Escala. ¾ Rendimientos Crecientes de Escala. ¾ Rendimientos Decrecientes de Escala. ¿Por qué estudiar los Rendimientos de Escala?: una pregunta importante para la organización de la industria es saber si es más eficiente para la firma producir en gran escala o en pequeña escala (grande o pequeña en comparación con el tamaño del mercado). De los tipos de rendimientos de escala depende que una industria termine con un gran o pequeño número de firmas. Rendimientos Constantes de Escala: es la propiedad de un proceso de producción por la que un aumento proporcional de todos los factores genera un aumento proporcional igual de la producción. f ( mk , ml ) = mf ( k ,l ) Con m una constante positiva (m > 1). Rendimientos Crecientes de Escala: es la propiedad de un proceso de producción por la que un aumento proporcional de todos los factores genera un aumento más que proporcional de la producción. 54  f ( mk , ml ) > mf ( k ,l ) Con m una constante positiva (m > 1). Rendimientos Decrecientes de Escala: es la propiedad de un proceso de producción por la que un aumento proporcional de todos los factores genera un aumento menos proporcional de la producción. f ( mk , ml ) < mf ( k ,l ) Con m una constante positiva (m > 1). Veamos los diferentes tipos de rendimientos de escala en las siguientes gráficas. k Rendimientos Constantes de Escala, al duplicar los insumos se duplica la producción B 2 A 1 q1 = 20 q0 = 10 1 2 l k Rendimientos Crecientes de Escala, al duplicar los insumos la producción se incrementa en más del doble B 2 A 1 q1 = 30 q0 = 10 1 2 l 55  k Rendimientos Decrecientes de Escala, al duplicar los insumos la producción se incrementa en menos del doble B 2 A 1 q1 = 15 q0 = 10 1 2 l No se debe olvidar que los rendimientos decrecientes de escala no tienen nada que ver con la ley de rendimientos decrecientes. Los rendimientos decrecientes de escala se refieren a lo que ocurre cuando se alteran todos los factores en una determinada proporción. La ley de rendimientos decreciente, por el contrario, se refiere al caso en que varía un factor mientras todos los demás se mantienen fijos. Es difícil hablar de la presencia de rendimientos decrecientes de escala en la práctica sí lo común o lo que se busca siempre en una firma al duplicar los insumos es mantener el nivel de producto. En algunas ocasiones, al contrario, cuando se duplican los factores, se puede obtener más producción que la que se obtuvo en el anterior período, es decir, se tienen rendimientos crecientes de escala. Por consiguiente, vale la pena formularnos la siguiente pregunta: ¿por qué en algunas ocasiones si duplicamos los insumos obtenemos un nivel de producción menos que proporcional?. Una de las causas de presencia de rendimientos decrecientes de escala (al duplicar los insumos no se mantenga el nivel de producto) es que no se está duplicando algún insumo importante. En la mayoría de los casos, sobre todo cuando las firmas comienzan a crecer, se puede volver escaso el factor o recurso gerencial (dirección empresarial) que hace que los procesos de producción de la firma se ejecuten de manera desordenada trayendo consigo la disminución en los niveles de producción. Sin embargo, se debe tener en cuenta que cuando se mantienen fijas las cantidades de un insumo “como el de gestión”, la firma esta operando en el corto plazo y no hay razón para considerar el hecho de podamos duplicar la producción sólo a partir de duplicar algunos de los insumos. 56 Elasticidad de Sustitución Es una característica importante de la función de producción que tiene que ver con la facilidad con que se puede sustituir un insumo por otro. Esto tiene que ver directamente con la forma de la isocuanta. Si la función de producción es: q = q( k ,l ) Luego, la elasticidad de sustitución se define como: % ∆ (k / l ) d (k / l ) TMST ∂ ln (k / l ) σ= =. = %TMST d (TMST ) k / l ∂ ln (TMST ) Tipos de Funciones de Producción: (1) Función de Producción Lineal (σ = ∞): q( k ,l ) = αk + βl Esta función exhibe retornos constantes de escala, para cualquier m > 0. q( mk , ml ) = αmk + βml = m( αk + βl ) = mq( k ,l ) Esta función es difícil de encontrarla en la práctica, debido a que muy pocos procesos de producción presentan una sustitución perfecta. k σ=∞ Pendiente = -β/α 1 2 q q q3 l El denominador en: 57  % ∆ (k / l ) σ= %TMST Es igual a cero. Por eso, σ = ∞. (2) Función de Producción de Proporciones Fijas (σ = 0): q( k ,l ) = min (αk , βl ) Con los parámetros α, β mayores que cero. El operador “min” significa que q esta dado por el menor de los dos valores entre paréntesis. Esta función tiene la siguiente representación gráfica: k q3/α q3 q2 q1 q3/β l Aquí el capital y el trabajo son usados a una tasa fija. Siempre se opera con una tasa k/l constante. Operar en cualquier otro punto de la isocuanta diferente del vértice es ineficiente por que debido a que la misma cantidad se obtendría con menos insumos. Ejemplo: si αk < βl ⇒ q = αk, deberíamos afirmar que el capital es el que se encuentra ligado con la restricción en el proceso de producción. Luego, adicionar más del factor l no genera ningún incremento sobre el nivel de producto. En cambio, si αk > βl, el trabajo es clave y el capital no importa si se quiere incrementar la producción. Cuando αk = βl, ambos insumos son utilizados totalmente. Si esto pasa, tenemos: k β = l α Y la función de producción se define a partir del vértice de la isocuanta. Esta función de producción tiene un amplio rango de aplicaciones. Por ejemplo, una maquina requiere 58 de un número finito de operadores, contratar un operador más no tiene ningún efecto en términos de una mayor producción de la maquina. (3) Función de Producción Cobb Douglas: Se tiene una isocuanta con una forma convexa, esta función esta dada por: q( k ,l ) = Ak α l β Donde, A, α y β son constantes positivas. Dependiendo de los valores de α y β, se tendrán unos retornos de escala específicos. q( mk , ml ) = A( mk )α ( ml ) β = Am α + β k α l β = m α + β q( k ,l ) Luego; Si α + β = 1, tenemos retornos constantes de escala. Si α + β > 1, tenemos retornos crecientes de escala. Si α + β < 1, tenemos retornos decrecientes de escala. Esta función se puede aplicar en estudios empíricos haciendo la siguiente transformación: ln( q ) = ln( A ) + α ln( k ) + β ln( l ) Donde, α es la elasticidad producto con respecto al capital y β es la elasticidad producto con respecto al trabajo. (4) Función de Producción CES: Incorpora todos los casos antes vistos. q( k ,l ) = [k ρ + l ρ ] ε/ρ Para ρ ≤ 1, ρ ≠ 0 y ε > 0. El término ε/ρ permite introducir explícitamente los retornos de escala de los factores. Si ε > 1, los retornos son crecientes de escala. Si ε < 1, los retornos son decrecientes de escala. Y, 1 σ= 1− ρ Por consiguiente, la función lineal, de proporciones fijas y la función Cobb Douglas corresponden a ρ = 1, ρ = -∞ y ρ = 0, respectivamente. Una función CES es usada con una ponderación distribucional, β (0 ≤ β ≤ 1), para indicar el significado relativo de los insumos. 59  q( k ,l ) = [βk ρ + ( 1 − ρ )l ρ ] ε/ρ Con retornos constantes de escala y ρ = 0, esta función converge a la forma Cobb Douglas. q( k ,l ) = k β l 1− β Lo cual sugiere una estrecha conexión entre el parámetro β y el porcentaje del ingreso destinado al capital y al trabajo. Después de hablar de la producción, veamos un poco a la firma en el mercado. Capítulo 5: Los Costos de Producción de la Firma Introducción Una firma al tomar la decisión de producir un determinado nivel de producto también está tomando la decisión sobre las cantidades de insumos que deberá usar en el proceso de producción. Estos insumos son obtenidos en los mercados de factores a un determinado precio que revela el grado de escasez de estos recursos. Por consiguiente, para la firma, la compra de factores genera unos costos llamados “costos de producción”. Los costos pueden tener diferentes interpretaciones según el tipo de análisis que se quiera realizar. Por ejemplo, desde el punto de vista privado, los costos de interés son los contables expresados en flujos de caja netos para la firma. En cambio, desde unan perspectiva económica, los costos de interés son los costos económicos que tienen en cuenta la salida de dinero de la firma y el costo de oportunidad de dichos recursos. También, los costos pueden analizarse considerando el horizonte de tiempo de producción de la firma, es decir, podemos tener costos de producción de corto plazo y costos de producción de largo plazo. A continuación se presentan los elementos básicos de la teoría de costos de producción de la firma. Tipos de Costos Podemos tener los siguientes tipos de costos: (1) Costos Contables: Son los gastos reales más los gastos de depreciación del capital de la firma. (2) Costos Económicos: Son los costos derivados de usar recursos económicos en la producción, incluido el costo de oportunidad, para una firma. (3) Costos de Oportunidad: Son los costos correspondientes a las oportunidades que se pierden cuando no se utilizan los recursos de la firma para el fin para el que tienen más valor. (4) Costos Irrecuperables (o costos hundidos): son los gastos de la firma que no se pueden recuperar una vez que se realizan. 60 Los Costos de Producción de la Firma Al igual que en el caso de la producción, el estudio de los costos también puede hacerse según el período de tiempo: corto y largo plazo. El costo total de producir las diferentes cantidades de producto es el costo de todos los factores de producción utilizados. En el corto plazo los costos totales de producción se dividen en costos fijos y costos variables. CT = CF + CV Los costos fijos son los costos de todos los factores que no varían cuando varía el nivel de producción en el corto plazo. Para el caso de un factor (por ejemplo capital), tenemos: CF = rk Donde, CF son los costos fijos, k el factor fijo que no varía en el corto plazo y r es el precio del factor capital. Por otra parte, los costos variables son los costos totales de los factores de producción variables en cada uno de los niveles de producción. Para el caso de un factor (por ejemplo trabajo), tenemos: CV = wl Donde, CV son los costos variables, l el factor variable que varía con la cantidad producida en el corto plazo y w es el precio del factor trabajo. Estos tipos de costos se presentan gráficamente en la siguiente figura. Partimos de la función de producción, luego invertimos esta curva. Es decir, en el eje de las Y ahora es el factor l y en el eje de las X ahora es el producto q. La curva de costo variable saldría de multiplicar la fuerza de trabajo por el salario a cada nivel de producción. Esta curva se obtiene multiplicando directamente las cantidades usadas del factor variable (para cada nivel de producto) por su precio. En otras palabras esta curva guarda una relación directa con la curvatura de la función de producción. Como los costos fijos no varían cuando varía el nivel de producción, su representación gráfica es una línea recta horizontal. Por último, la curva de costos totales es paralela a la curva de costos variables y se encuentra CF unidades por encima de ella. 61  $/hr CT CV CF CF q unid/hr l l(q) A l0 = 10 q q0 = 30 CVT1(con w = 3) $ CVT0 (con w = 1) CVT2(con w = 0.5) l0 = 10 A´ q q0 = 30 62  $/hr R1 CT R2 CV CF q unid/hr $/q CMg CTMe CVMe CFMe q1 q2 q3 q unid/hr En la anterior gráfica vemos que cuando R1 es tangente con la curva de costos totales CT, el costo total medio CTMe y el costo marginal CMg son iguales. De igual manera, cuando R2 es tangente a la curva de costos variables totales CV el costo variable medio CVMe es igual al costo marginal CMg. También podemos ver que los costos fijos medio disminuyen a medida que se aumenta la producción. Cuando el costo marginal CMg es menor que el costo medio (ya sea CTMe o el CVMe), la curva de costo medio CTMe debe disminuir conforme aumenta la producción y cuando el costo marginal CMg es mayor que el costo medio CTMe, éste debe aumentar conforme aumenta la producción. 63 Costos Totales, Medios y Marginales Adicionalmente, en los procesos de producción en los que el costo marginal es constante, el costo variable medio y el costo marginal son idénticos. Al igual que en el caso de la producción aquí también podemos hablar de marginalidad y de medio. Es decir, podemos hablar de: ¾ Costo Total Medio (CTMe = CT/q): Es el costo total dividido por la cantidad de producción. ¾ Costo Fijo Medio (CFMe = CF/q): Es el costo fijo dividido por la cantidad de producción. ¾ Costo Variable Medio (CVMe = CV/q): Es el costo variable dividido por la cantidad de producción. ¾ Costo Marginal (CMg = ∂CT/∂q): Es la variación que experimenta el costo total cuando la producción varía en una unidad. $ A B C l0 = 10 CFT q0 q1 q q2 $ A´ B´ C´ CFMe q q0 q1 q2 Disminución de las Pendientes Al mínimo costo variable promedio todavía los CFMe van decreciendo, a partir del mínimo CTMe los CVMe comienzan a ser crecientes. La curva de CTMe tiene la forma de U y siempre se encontrará totalmente por encima de la curva de CVMe. Las curvas 64 de CTMe y CVMe se aproximan a medida que la producción se incrementa debido a que el CFMe se va haciendo cada vez más pequeño a mayores niveles de producción. ¿Por qué si el costo fijo total es constante, el costo fijo medio decrece?. En la siguiente figura se aprecia como el CFT disminuye cuando aumenta q, note que las pendientes de las rectas disminuyen. Esto se aprecia en la parte posterior de la anterior figura como una hipérbola rectangular que es el CFMe. Ahora veamos el caso de los costos totales constantes, como se aprecia en la siguiente figura: $/hr CT CV CF $/un q CTMe CM = CVMe CFMe q1 q ¿Cómo podemos distribuir la producción entre dos procesos?: Ya sabemos que para asignar recursos de manera eficiente a diferentes actividades productivas, lo clave es considerar que las productividades marginales de los factores sean iguales para las diferentes actividades consideradas en el análisis. En este caso de distribución de producción entre diferentes procesos se utiliza un principio similar. Para distribuir la producción entre diferentes procesos debemos considerar los costos marginales. Es decir, los valores de la producción en cada una de las actividades que hacen que los costos marginales se igualen para los diferentes procesos. ¿Existe otra forma de ver los costos fijos promedio?: si a partir del gráfico de costos marginales, variable promedio y total promedio. En la siguiente figura se presenta la curva de CFMe de manera implícita, es decir, se presenta como la distancia vertical entre el CTMe y el CVMe. Se tiene: 65  area(a+b) = CVT area(c) = CFT area(a+b+c) = CT Si el precio de un mercado es igual al mínimo CTMe, las ganancias de la firma en el corto plazo son iguales a cero. Si el precio de mercado es igual al mínimo CVMe, la firma opera bajo perdidas en el corto plazo. $ CMg CTMe Min CTMe CVMe c CFMe Min CVMe a b 0 q0 q1 q Relación entre el Producto Marginal, Producto Medio, Costo Marginal y Costo Medio. Suponga la siguiente figura: Si el costo variable es igual a: CV = wl Y el costo marginal igual a: ∂CV ∂wl CMg = = ∂q ∂q Si el precio del factor w es fijo: ∂l CMg = w ∂q Y si l/q es igual a 1/PMg, entonces: w CMg = PMg De la anterior expresión podemos inferir que cuando se tenga el mayor producto marginal también se tendrá el menor costo marginal, como aparece en la anterior figura. 66 De manera similar podemos obtener el costo variable medio. Si CVMe = CV/q = wl/q, y sí l/q es igual a q/PMe, tenemos: w CVMe = PMe Entonces, cuando tenemos el máximo producto medio, también tenemos el mínimo costo variable medio. PMg, PMe PMel PMgl CMg, CVMe CMg CVMe l1 l2 l q1 q2 q = (l)(PMe) Los Costos de Producción en el Largo Plazo ¿Qué pasa ahora con los costos en el largo plazo?: lo primero que debemos tener en cuenta es que ahora todos los insumos de producción varían. El problema de la firma ahora es elegir la cantidad óptima de insumos que minimiza los costos de producción sujeto a la restricción de producción una determinada cantidad (la máxima) de producto, o también podemos hablar de maximizar la producción dada la restricción de costos. Aquí, adicional al concepto de isocuanta, ahora se tiene un nuevo concepto “recta de 67 isocosto”. Una recta de isocosto representa el conjunto de cestas de factores cada una de las cuales cuesta la misma cantidad. Veamos la siguiente figura. k La pendiente de la recta es – w/r, C/r si r = $2 y w = $4, la pendiente es C = rk + wl igual a – 2. l C/w La elección de las cantidades óptimas de insumos de la firma para maximizar su nivel de producción dados unos costos, se produce cuando la isocuanta es tangente a la recta de isocosto. Como se aprecia en la siguiente figura. k La tangencia entre la isocuanta q0 C/r y la recta de isocosto, determina las cantidades óptimas de factores, k* y l*. k* q2 0 q1 q l l* C/w Es importante mencionar que la recta de isocosto tangente a la isocuanta representa el costo mínimo correspondiente a un determinado nivel de producción. Como se aprecia en la siguiente figura: 68  k 2 C /r En el punto A, la relación de productividades marginales de los factores es igual a la relación de C1/r precios de los factores. C0/r PMg l w = k* A PMg k r q1 1 l l* C0/w C /w C2/w De la condición de óptimo tenemos: PMg l PMg k = w r La anterior expresión nos dice que cuando los costos son mínimos, la producción adicional generada por el último peso gastado en un factor debe ser igual para todos los factores. La Elección Óptima de los Factores y los Costos a Largo Plazo La elección de factores de la firma se determina a partir del planteamiento del problema primal o del problema dual comentado anteriormente. El problema primal de la firma es: Min CT = rk + wl sujeto a q* = q( k ,l ) k ,l El Lagrangeano de este problema: L = rk + wl + γ [q * − q( k ,l )] Condiciones de Primer Orden: ∂L ∂q r (1) = 0 ⇒ r −γ =0⇒γ = ∂k ∂k ∂q ∂k ∂L ∂q w (2) = 0 ⇒ w−γ =0⇒γ = ∂l ∂l ∂q ∂l 69  ∂L (3) = 0 ⇒ q * − q( k ,l ) = 0 ∂γ Igualando (1) y (2), tenemos: r w = ∂q ∂k ∂q ∂l ∂q ∂k r r = ⇒ TMSTk ,l = ∂q ∂l w w En el óptimo, la firma elige la cantidad óptima de k y de l cuando la tasa marginal de sustitución técnica entre k y l se iguala con la relación de precios de los factores. El problema dual de la firma es: Max q( k ,l ) sujeto a CT = rk + wl k ,l El Lagrangeano de este problema: L = q( k ,l ) + φ [CT − rk − wl ] Condiciones de Primer Orden: ∂L ∂q ∂q ∂k (1) =0⇒ − φr − = 0 ⇒ φ = ∂k ∂k r ∂L ∂q ∂q ∂l (2) =0⇒ − φw = 0 ⇒ φ = ∂l ∂l w ∂L (3) = 0 ⇒ CT − rk − wl = 0 ∂φ Igualando (1) y (2), tenemos: ∂q ∂k ∂q ∂l = r w ∂q ∂k r r = ⇒ TMSTk ,l = ∂q ∂l w w Se llega al mismo resultado de optimalidad de la firma encontrado a partir del problema primal. La solución del problema primal o del problema dual trae consigo la obtención de las curva de demandas de insumos no condicionadas, la cuales al ser reemplazadas en la función de costos totales genera la función de costos totales de largo plazo. Si obtenemos las cantidades óptimas de los insumos k y l, tenemos: q* = q( k*,l*) 70 Donde; k* = k ( p , r , w ) y l* = l( p , r , w ) Luego: q* = f ( k*,l*) q* = f [k * ( p , r , w ),l * ( p , r , w )] q* = q( p , r , w ) Que es la función de oferta, luego veremos posteriormente que hay otra manera de obtener la curva de oferta de producto de la firma. Esta curva de oferta indica la cantidad óptima de producto que debe producir la firma para maximizar sus beneficios. Suponiendo costos marginales constantes: ¾ Si k y l son variables, bajo retornos de escala constantes, haría que los costos marginales sean constantes también y no se ve afectada la decisión de cuánto producir por parte de la firma. ¾ Si el precio de mercado es igual al costo marginal, la cantidad ofrecida no es única, debido a que la condición de que el precio sea igual al costo marginal, se satisface donde sea. ¾ Si el precio es mayor que el costo marginal, no existe solución al problema de maximización de beneficios. Suponiendo costos marginales crecientes: ¾ Si tenemos un factor fijo “f”, ahora: q = 10 k 0.25 l 0.25 f 0.5 Es la nueva función de producción. En el corto plazo, el área (es decir, f medido en términos de área), puede ser una restricción, entonces, si por ejemplo f = 16, ahora la función de producción es: q = 40 k 0.25 l 0.25 Y con los valores de los parámetros para los factores k y l, 0.25 + 0.25, ahora se tendrían retornos decrecientes de escala con k y l. Luego, los beneficios de la firma son: π = pq − CT ( q ) π = p (40 k 0.25 l 0.25 ) − rk − wl − A Donde, A es la renta fija que se debe pagar por usar f. Las condiciones de primer orden son: ∂π ∂π (1) =0⇒ = 10 pk −0.75 l 0.25 − r = 0 ∂k ∂k ∂π ∂π (2) =0⇒ = 10 pk 0.25 l −0.75 − w = 0 ∂l ∂l 71 Luego: (1´) 10 pk −0.75 l 0.25 = r (2´) 10 pk 0.25 l −0.75 = w El proceso de minimización de costos genera: k w rk = → rk = wl → l = l r w Sustituyendo en: 10 pk −0.75 l 0.25 = r ⎛ r 0.25 k 0.25 ⎞ 10 pk −0.75 ⎜ ⎟=r ⎝ w ⎠ 0.25 10 pk −0.50 r 0.25 10 pr 0.25 = r → 0.25 0.5 = r w0.25 w k Despejando: 10 p = k 0.5 w0.25 r 075 Elevando al cuadrado a ambos lados, tenemos: 100 p 2 =k w0.50 r 1.50 La anterior ecuación es la demanda por capital. Ahora si sustituimos k en l, obtenemos: ⎛ 100 p 2 ⎞ r ⎜ 0.5 1.5 ⎟ l= ⎝ w r ⎠ 100 p 2 w0.5 r 0.5 100 p 2 →l = → l = 1.5 0.5 w w w r La anterior ecuación es la demanda por trabajo. Sustituyendo en q, obtenemos: q = 40 k 0.25 l 0.25 0.25 0.25 ⎛ 100 p 2 ⎞ ⎛ 100 p 2 ⎞ q = 40 ⎜ 0.50 1.50 ⎟ ⎜ 1.5 0.5 ⎟ ⎝w r ⎠ ⎝w r ⎠ ⎛ ( 10 )0.5 p 0.5 ⎞⎛ ( 10 )0.5 p 0.5 ⎞ q = 40⎜ 0.375 0.125 ⎟⎜ 0.125 0.375 ⎟ ⎝ w r ⎠⎝ w r ⎠ 400 p q = 0.5 0.5 r w 72 La anterior ecuación es la función de oferta de producto de la firma. Note que es función del precio del producto y de los precios de los insumos. Esta ecuación es homogénea de grado cero en precios del producto y de los insumos. Es decir, si los precios de los factores aumentan en el doble, la cantidad ofrecida no cambia. Ahora que tenemos la ecuación de oferta y las ecuaciones de las demandas de insumos podemos hacer la estimación de los respectivos costos de producción y por último calcular las ganancias de la firma. Para esto, necesitamos los valores de los precios del producto y de los insumos. Así que suponga: p = $ 1; r = $ 4; w = $ 4 Primeramente, reemplazamos los valores de r y de w en la anterior ecuación: 400 p q= → q = 100 p ( 4 )0.5 ( 4 )0.5 Si el precio del producto es p = $ 1, entonces, las unidades de producto producidas por la firma son 100. También a partir de reemplazar los valores de los precios en las demandas de insumos podemos obtener las cantidades de k y l que utiliza la firma para producir las 100 de producto. 100 p 2 100( 1 )2 100 k= 0.50 1.50 → k = 0.50 1.50 →k = = 6.25 unidades de k w r (4) (4) ( 2 )( 8 ) 100 p 2 100( 1 )2 100 l = 1.5 0.5 → l = 1.5 0.5 →l = = 6.25 unidades de l w r (4) (4) ( 8 )( 2 ) Ahora con los valores de q, k y l, podemos estimar los costos variables de producción de la firma: CV = rk + wl CV = ( 4 )( 6.25 ) + ( 4 )( 6.25 ) → CV = 25 + 25 = $50 Ahora podemos calcular los ingresos totales, para luego, estimar los beneficios netos de la firma. IT = pq → IT = p[100 p ] → IT = 1[100( 1 )] = $100 Luego, los beneficios netos de la firma (obtenidos como la diferencia entre ingresos totales y costos totales) son iguales a $ 50. Ahora estudiemos el efecto de un incremento en el precio del producto sobre las decisiones que toma la firma. Para ver esto supongamos que ahora el precio del producto pasa desde p0 = $ 1 hasta p1 = $ 1.5, recuerde que la función de producción era: q = 100 p = ( 100 )( 1.5 ) = 150 unidades Esto implica que al subir el precio, la firma toma la decisión de producir más, en este caso 50 unidades adicionales. Al incrementar la producción, la firma ahora incrementa 73 su demanda por k y l y esto trae consigo un incremento en los costos de producción. Las nuevas cantidades de k y l, ahora son: 100 p 2 100( 1.5 )2 225 k = 0.50 1.50 → k = 0.50 1.50 →k = = 14.1 unidades de k w r (4) (4) ( 2 )( 8 ) 100 p 2 100( 1.5 )2 225 l = 1.5 0.5 → l = 1.5 0.5 →l = = 14.1 unidades de l w r (4) (4) ( 8 )( 2 ) Los nuevos costos de producción son: CV = rk + wl CV = ( 4 )( 14.1 ) + ( 4 )( 14.1 ) → CV = 56.4 + 56.4 = $112.8 En conclusión, con el aumento del precio del producto, la firma toma la decisión de producir más, incrementa su demanda por insumos y a su vez incrementa sus costos de producción. Ahora para ver la influencia de cambios en los precios de los factores sobre las decisiones de la firma, supongamos que el sindicato al que se encuentran afiliados los trabajadores de la firma presiona al alza del salario. Como resultado de esta presión el salario pasa de w0 = $ 4 hasta w1 = $ 9. Para ver el impacto de la subida en el salario partimos de nuevo de la función de producción: 400 p q= → q = 66.6 p ( 4 )0.5 ( 9 )0.5 Sin cambiar el precio del producto (es decir, en p = $ 1), ahora la cantidad producida por la firma es de 66.6 unidades. Luego, ante un alza en el precio de un factor la firma toma la decisión de producir menos. Ahora veamos que sucede con las cantidades demandadas de los factores: 100 p 2 100( 1 )2 100 k = 0.50 1.50 → k = 0.50 1.50 →k = = 4.16 unidades de k w r (9) (4) ( 3 )( 8 ) 100 p 2 100( 1 )2 100 l = 1.5 0.5 → l = 1.5 0.5 →l = = 1.92 unidades de l w r (9) (4) ( 27 )( 2 ) Luego, ante la subida en el salario, la firma toma la decisión de contratar menos del factor l y también menos del factor k. En otras palabras, ante un mayor salario la firma reduce la cantidad de trabajadores contratados, pero adicionalmente, también disminuye su demanda por el factor k. Al subir el precio de l, la firma puede sustituir l por k. Los nuevos costos de producción son: CV = rk + wl CV = ( 4 )( 4.16 ) + ( 9 )( 1.92 ) → CV = 16.6 + 17.3 = $33.9 Ahora, los nuevos costos de la firma, al demandar menos insumos y producir menos son $ 33.9. 74 Variación de los Costos de Producción de la Firma en el Largo Plazo Para ver cómo varían los costos de la firma cuando varía la producción a largo plazo se comparan los costos de las respectivas canastas óptimas de factores. El conjunto de cestas de factores que minimizan el costo cuando el cociente entre sus precios es fijo e igual a w/r da origen a la senda de expansión de la producción. Veamos esto en la siguiente figura. k 2 C /r La senda de expansión es el conjunto de puntos de tangencia que se obtienen a medida que se C1/r desplaza hacia arriba y en SE paralelo una recta e isocosto en el C0/r C mapa de las isocuantas B A k* q2 q1 q0 l* 1 l C0/w C /w C2/w Las Curvas de Costo Total, Medio y Marginal a Largo Plazo. En el largo plazo, la firma siempre tiene la opción de parar la producción y deshacerse de todos los factores. Esto significa que la curva de costo total en el largo plazo siempre partirá del origen. También, las curvas de costo medio y costo marginal a largo plazo se obtienen a partir de las curvas de costo total a largo plazo exactamente igual que en el caso del corto plazo. Las curvas de costo total medio y marginal tienen relación con los rendimientos de escala. Por ejemplo, cuando hay rendimientos constantes de escala, el costo total a largo plazo es estrictamente proporcional a la producción y el costo marginal a largo plazo es constante e igual al costo medio a largo plazo. Por otra parte, cuando hay rendimientos de crecientes de escala, la producción crece menos que proporcionalmente en relación con los factores, lo que significa que el costo total crece más que proporcionalmente en relación con la producción. En cambio, cuando hay rendimientos crecientes de escala, la firma que opera a gran escala tiene un costo medio y marginal inferior al de una firma pequeña. Veamos esto en el siguiente conjunto de figuras de figuras. 75 $/unidad tiempo La función de costos totales de largo plazo parte del origen CTL CT3 CT2 CT1 $/unidad producto CMgL CMeL 0 q1 q2 q3 q4 q $/unidad tiempo $/unidad producto Rendimientos CTL Constantes de Escala CMeL = CMgL Pendiente = CMgL = CMeL q q 76  $/unidad tiempo $/unidad producto Rendimientos Crecientes de Escala CTL CMeL CMgL q q $/unidad tiempo $/unidad producto CMgL CTL CMeL q q Rendimientos Decrecientes de Escala Las curvas de CMeL características de las estructuras industriales extraordinariamente concentradas. Las curvas de CMeL que tienen pendiente negativa en todos los puntos tienden a ser características de los monopolios naturales. Los costos unitarios son más reducidos cuando una sola firma abastece a todo el mercado. Las curvas CMeL en forma de U cuyos puntos mínimos corresponden a cantidades que representan una parte significativa de la producción total del mercado son características de los mercados abastecidos por un pequeño número de firmas solamente. 77  $/unidad producto $/unidad producto Costos medios característicos de industrias concentradas CMeL CMeL q q0 q El monopolio natural es una industria concentrada en la que se alcanza el menor costo de producción posible cuando la producción está concentrada en una sola firma. El caso contrario de una industria no concentrada se muestra en la siguiente figura. $/unidad producto (a) $/unidad producto (b) CMeL CMeL q0 q q $/unidad producto (c) CMeL Costos medios característicos de industrias no concentradas q 78 La relación entre la estructura del mercado y la forma de la curva de costo medio a largo plazo se deriva del hecho de que, en condiciones competitivas, la supervivencia en el mercado exige que las firmas tengan los menores costos unitarios posibles con la tecnología de producción existente. El hecho de que ocurra o no en los niveles de producción bajos o en los altos depende enteramente de la forma de la curva de CMeL. Como se aprecia en la anterior figura, una firma pequeña puede tener diferentes curvas de costos medios de largo plazo, lo importante es tener en cuenta que el nivel de producto que conduce al mínimo costo medio de largo plazo no es necesariamente el mismo, Frank (2003). En otras palabras, sin importar la forma de la curva de costos medios de largo plazo, lo importante es que una firma con una escala pequeña con niveles de producción pequeños comparados con el total de la producción puede sobrevivir bajo un ambiente de mercado competitivo. Las Curvas de Costos de Largo y de Corto Plazo Suponga la siguiente figura: $/q CMgC3 C CMgC1 CTMe1 CTMe3