Ondes et Équation de d'Alembert - PDF

59 Les ondes 1. EN QUELQUES MOTS… Diverses ondes sont observées dans la nature : sur une corde, à la surface de l’eau, sonores, électromagnétiques. Nous définissons leurs principales propriétés. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) Une onde est une perturbation qui se propage de la source vers toutes...

59 Les ondes 1. EN QUELQUES MOTS… Diverses ondes sont observées dans la nature : sur une corde, à la surface de l’eau, sonores, électromagnétiques. Nous définissons leurs principales propriétés. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) Une onde est une perturbation qui se propage de la source vers toutes les directions qui lui sont offertes. Elle transporte de l’énergie. Certaines ondes ont besoin d’un support matériel (solide, liquide ou gaz) pour se propager. La pro- pagation se fait sans transport de matière. On parle alors d’ondes mécaniques ; exemple : son, onde le long d’une corde, onde à la surface de l’eau. En revanche, certaines ondes n’ont pas besoin de support matériel, c’est le cas des ondes électromagnétiques qui peuvent se propager dans le vide. La grandeur se propageant peut être scalaire ou vectorielle. On distingue : Ondes transversales Ondes longitudinales La grandeur se propageant est perpendi- La grandeur se propageant est paral- Définition culaire à la direction de la propagation. lèle à la direction de la propagation. Exemple Onde se propageant le long d’une corde Onde se propageant le long d’un ressort b) Onde progressive Une onde progressive est une onde qui se propage dans une direction et un sens bien déterminé. – Une onde progressive se propageant vers les x croissants avec la célérité c est représentée x x par une fonction f telle que : f ( x , t ) = f ⎛⎜ 0, t − ⎞⎟ = F ( u ) avec u = t −. ⎝ c⎠ c – Une onde progressive se propageant vers les x décroissants avec la célérité c est représentée x x par une fonction g telle que : g ( x , t ) = g ⎛⎜ 0, t + ⎞⎟ = G ( v ) avec v = t +. ⎝ c ⎠ c La célérité de l’onde ou vitesse de propagation dépend du milieu dans lequel elle se propage. c) Onde progressive monochromatique Une onde est monochromatique ou sinusoïdale, si la source qui la crée est sinusoïdale. Considérons une onde se propageant dans un milieu unidimensionnel homogène, et caractérisée par la grandeur scalaire A(x). La célérité de l’onde étant c, l’onde progressive monochromatique de pulsation ω et de phase à l’origine ϕ, se propageant dans la direction des x positifs, s’exprime par : ⎛ x⎞ ⎛ 2π fx ⎞ ⎛ 2π t 2π x ⎞ A ( x , t ) = A 0 cos ⎡⎢ω ⎜ t − ⎟ + ϕ ⎤⎥ = Α0 cos ⎜ 2π f t − + ϕ ⎟ = A 0 cos ⎜ − + ϕ⎟ ⎣ ⎝ c ⎠ ⎦ ⎝ c ⎠ ⎝ T λ ⎠ Cette onde possède une double périodicité : la période temporelle T et la période spatiale λ. L’évolution en fonction du temps est observée en un A(x,t) x fixé point x du milieu. La période temporelle, notée T, en T seconde, est la durée au bout de laquelle un point du milieu de propagation se retrouve dans le même état. 1 2π T : période temporelle en s t T= = f : fréquence de l’onde en Hz f ω ω : pulsation de l’onde en rad.s–1 186  Fiche 59 Les ondes La fréquence est imposée par la source, par suite elle ne dépend pas du milieu de propagation. La période spatiale ou longueur d’onde, notée λ , en mètre, est la distance parcourue par l’onde durant une A(x,t) période T. La longueur d’onde s’observe lorsque l’on t fixé réalise une « photo » de l’onde à un instant donné. λ La période temporelle et la période spatiale sont liées par la relation : x λ : longueur d’onde en m λ = cT c : célérité de l’onde en m.s–1 T : période temporelle en s La longueur d’onde λ dépend du milieu dans lequel l’onde se propage. d) Onde plane progressive monochromatique (O.P.P.M.) Soit ψ ( x , y , z , t ) la grandeur caractérisant l’onde qui se propage. Une onde est plane si, à un instant donné, la grandeur ψ ( x , y , z , t ) est la même en tous les points d’un plan perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde. Une onde plane progressive monochromatique de pulsation ω, de célérité c et se propageant dans la direction de vecteur unitaire u est donnée par : ⎛ u ⋅r ⎞ ψ ( r , t ) = ψ ( x , y , z , t ) = ψ 0 cos ⎡⎢ω ⎜ t − ⎤ ⎟ + ϕ⎥ ⎣ ⎝ c ⎠ ⎦ ψ ( r , t ) : grandeur caractérisant l’onde au point r et à l’instant t ψ 0 : amplitude de l’onde ψ ( r , t ) = ψ 0 cos ( ωt − k.r + ϕ ) ω : pulsation de l’onde en rad.s–1 k : vecteur d’onde dans la direction de propagation u ϕ : phase à l’origine de l’onde ω 2π Le module k du vecteur d’onde vérifie la relation : k = = où λ est la longueur d’onde. c λ Ces ondes jouent un rôle important, car une onde quelconque peut être décrite comme la superposition d’ondes planes progressives monochromatiques. e) Onde stationnaire Les dépendances d’une onde stationnaire en fonction des coordonnées d’espace et de temps sont découplées. Par exemple, dans un milieu unidimensionnel, une onde stationnaire s’écrit : Z(x, t) = f(x) g(t). Elles sont, en général, bien adaptées pour décrire les ondes dans un milieu limité. 3. EN PRATIQUE… En juillet 1996, un tremblement de terre a provoqué à Annecy des ondes sismiques. Le tremblement de terre a été détecté à la date t1 = 7 h 50 min 52 s près de l’épicentre et à la date t2 = 7 h 51 min 17 s dans une station située à 61 km de l’épicentre. Calculons la vitesse moyenne v de l’onde sismique. Δt est le temps mis pour parcourir la distance Δx avec Δt = t2 − t1. Il est nécessaire d’exprimer Δt Δx 61 × 103 en secondes pour obtenir un résultat en m.s–1 : v = ⇔ v= = 2, 4 × 103 m.s−1. Δt 28 277 − 28 252 187  60 Équation de d’Alembert 1. EN QUELQUES MOTS… L’évolution de la grandeur caractérisant une onde vérifie une équation appelée équation de d’Alembert liant ses variations spatiales et temporelles. Cette équation est générale. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) L’équation de d’Alembert c Considérons d’abord le cas d’une onde scalaire. Dans un repère cartésien, la grandeur caractérisant l’onde est notée ψ ( x , y , z , t ). L’équation permettant de décrire le phénomène de propagation d’une onde est appelée équation d’onde ou équation de d’Alembert ; elle a été établie 2 par Jean Le Rond d’Alembert en 1747. Elle relie la dépendance temporelle Δψ − 1 ∂ ψ = 0 à la dépendance spatiale de la fonction ψ dans un milieu continu. c 2 ∂t 2 « c » est la vitesse de propagation de l’onde, en m.s–1. (fiche 59) ∂ ∂ ∂ L’opérateur Δ est donné par : Δ = + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 c Si l’onde se propage dans un milieu unidimensionnel (axe des x) ou si l’onde est une onde plane se propageant suivant Ox, la fonction Ψ dépend de l’abscisse x et du temps t, on la notera ψ ( x , t ). ∂2 ψ 1 ∂2 ψ L’équation d’onde s’écrit : − = 0. Recherchons les solutions de cette équation. ∂x 2 c 2 ∂t 2 b) Solution de l’équation de d’Alembert Les solutions de l’équation d’onde vérifient : Toute combinaison linéaire de solutions de l’équation est aussi Principe de superposition solution, car l’équation d’onde est linéaire. La solution unique de l’équation de d’Alembert est trouvée en Principe d’unicité utilisant les conditions aux limites et les conditions initiales. c La solution générale de l’équation de d’Alembert est l’ensemble de deux ondes se propa- geant en sens opposé, à la même vitesse « c ». Ces ondes sont décrites pour les fonctions « f » et « g ». La solution de l’équation s’écrit : x x ψ ( x, t ) = f ⎛⎜ t − ⎞⎟ + g ⎛⎜ t + ⎞⎟ ⎝ c ⎠ ⎝ c⎠ onde se propageant dans onde se propageant dans le sens des x croissants le sens des x décroissants Les fonctions f et g sont déterminées grâce aux conditions initiales et aux conditions aux limites. c Relation de dispersion Cherchons des solutions sinusoïdales de la forme ψ ( x , t ) = ψ m cos ( ωt − kx + Φ ). L’équation de d’Alembert étant linéaire, la notation complexe peut être utilisée : ψ ( x , t ) = ψ e j( ωt − kx + Φ ). m 188  Fiche 60 Équation de d’Alembert ⎛ ω2 ⎞ L’équation de d’Alembert devient : ⎜ − k 2 + ψ e j( ωt − kx + Φ ) = 0. ⎝ 2 ⎟⎠ m ω 2 c Cela impose k 2 = : c’est la relation de dispersion. c2 3. EN PRATIQUE… Considérons les petits mouvements d’une y corde, de masse linéique μ. T(x+dx) À la date t, chaque point de la corde se déplace de sa position d’équilibre, d’une α(x+dx,t) valeur notée ψ ( x , t ). La tension de la corde α(x,t) T(x) au point x et à l’instant t est notée T( x , t ). ψ(x+dx,t) ψ(x,t) x 0 x x+dx c Établissons l’équation de propagation de ces petits mouvements le long de cette corde. Æ Système d’étude : {petite portion de corde entre x et x + dx de masse μdx} Æ Référentiel : terrestre supposé galiléen Æ Bilan des forces s’appliquant au système : – Tension de la corde placée avant l’abscisse x, notée T ( x , t ) – Tension de la corde placée après l’abscisse x + dx, notée T ( x + dx, t ) – On néglige le poids devant les tensions – On néglige les frottements de l’air Æ Principe fondamental de la dynamique : T ( x , t ) + T ( x + dx , t ) = μ dx a Æ Projetons cette expression vectorielle sur les axes (Ox) et (Oy) : ⎧sur ( Ox ) − T ( x , t ) cos α ( x , t ) + T ( x + dx , t ) cos α ( x + dx , t ) = 0 (déplacement vertical de la corde) ⎪ ⎨ ∂2 ψ ⎪sur ( Oy ) − T ( x , t ) sin α ( x , t ) + T ( x + dx , t ) sin α ( x + dx , t ) = μdx 2 ⎩ ∂t ⎧cos α ≈ 1 ⇒ T ( x , t ) = T ( x + dx , t ) = T ⎪ Les angles sont petits, ainsi ⎨ ∂2 ψ ⎪sin α ≈ α ⇒ − T ( x , t ) α ( x , t ) + T ( x + dx , t ) α ( x + dx , t ) = μdx 2 ⎩ ∂t ∂2 ψ ∂α ∂2 ψ ⇔ −α ( x , t ) T + α ( x + dx , t ) T = μdx ⇔ T dx = μdx ∂t 2 ∂x ∂t 2 ∂ψ ∂α ∂2 ψ De plus, α ≈ tan α = ⇒= ∂x ∂x ∂x 2 ∂2 ψ ∂2 ψ ∂2 ψ μ ∂2 ψ L’équation devient : μ =T ⇔ − = 0 : Équation de d’Alembert ∂t 2 ∂x 2 ∂x 2 T ∂t 2 T La vitesse de propagation de l’onde est donc : c =. Elle dépend du milieu. μ De plus, l’onde se propageant sur la corde est transversale. 189 Fiche 60 Équation de d’Alembert Ordre de grandeur pour une corde métallique : T = 4 N ; µ = 10-2 kg.m–1 ⇒ c = 20 m. s–1. c Considérons une corde, supposée semi infinie (suivant Ox positif), excitée sinusoïdalement à son extrémité O (x = 0) à la pulsation ω : ψ ( 0, t ) = ψ m cos ( ωt ). Caractérisons l’onde se propageant sur cette corde. ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ La solution de l’équation de d’Alembert est : ψ ( x , t ) = f ⎜ t − ⎟ + g ⎜ t + ⎟. ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ Comme il n’y a pas de source d’excitation en x = +∞ , la fonction g est nulle. En utilisant la condition aux limites en x = 0, f ( t ) = ψ m cos ( ωt ). ⎛ ⎛ x⎞⎞ ω 2π Par suite, la solution est : ψ ( x , t ) = ψ m cos ⎜ ω ⎜ t − ⎟ ⎟ = ψ m cos ( ωt − kx ) avec k = =. ⎝ ⎝ c⎠⎠ c λ C’est une onde progressive sinusoïdale. direction de L’aspect de la corde est représenté à un ins- propagation de l'onde tant donné. ψ Déterminons la fréquence f d’excitation de la ψm λ=2π/k corde métallique (c = 20 m. s–1) pour que la longueur d’onde soit λ = 10 cm. x La relation entre f et λ est donnée par : λf = c. ⇒ f = 200 Hz −ψm c Considérons une corde de guitare ; c’est une corde fixée à ses deux extrémités. Sa longueur est L. Cherchons l’expression de la solution de cette équation d’onde sous la forme d’ondes station- naires : ψ ( x , t ) = f ( x ) × g ( t ). ∂2 f 1 ∂2 g L’équation différentielle devient : g ( t ) − f ( x) =0 ∂x 2 c 2 ∂t 2 1 ∂2 f 1 1 ∂2 g = Pour que cette égalité soit respectée, il faut que les deux f ( x ) ∂x 2 c 2 g ( t ) ∂t 2 membres soient égaux à une constante K. dépend de f ( x ) dépend de g ( t ) 1 ∂2 f 1 1 ∂2 g =K K= f ( x ) ∂x 2 et c 2 g ( t ) ∂t 2 dépend de f ( x ) dépend de g ( t ) ∂2 f ∂2 g ⇔ − Kf ( x ) = 0 ⇔ − Kc 2 g ( t ) = 0 2 2 ∂x ∂t Déterminons les solutions de ces deux équations. Afin d’éliminer les solutions divergentes, il faut choisir K 1 sont appelés harmoniques. – Régime sinusoïdal forcé : la corde est excitée sinusoïdalement en un de ces points à la pul- sation ω. En régime permanent, la corde vibre à la pulsation ω. Il y a résonance quand la pulsation ω est égale à une pulsation propre ωp de la corde ; cette résonance conduit à une augmentation importante de l’amplitude des ventres. 191  61 Ondes sonores 1. EN QUELQUES MOTS… L’onde sonore est la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel. La grandeur qui se propage dans un fluide est une variation locale de pression, sans transport de matière. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… Une onde sonore ne se propage pas dans le vide mais a besoin d’un milieu matériel pour se propager. La célérité du son est notée cs. a) Approximation acoustique Un fluide compressible au repos est caractérisé, à l’équilibre thermodynamique, par sa masse volumique ρ0 et sa pression p0. Lors du passage de l’onde sonore dans le fluide, les grandeurs locales décrivant le fluide en représentation eulérienne sont modifiées. Au point ( x, y,z ) et à l’instant t, le fluide est alors décrit, par : ρ ( x, y, z , t ) , p ( x, y, z , t ) et la vitesse v ( x , y , z , t ). Les écarts par rapport à l’équilibre sont : – la variation de pression appelée pression acoustique ou surpression : pac ( x , y , z , t ) = p ( x , y , z , t ) − p0 – la variation de masse volumique: ρac ( x , y , z , t ) = ρ ( x , y , z , t ) − ρ0 – la vitesse v ( x , y , z , t ) L’approximation acoustique suppose que les écarts par rapport à l’équilibre sont faibles : pac p0 , ρac ρ0 et v n2 e Comparaison La 2 loi de la réfraction, La 2e loi de la réfraction, entre les angles n1 sin i = n2 sin r , implique : i > r. n1 sin i = n2 sin r , implique : i < r. d’incidence Ainsi, le rayon réfracté se rapproche Ainsi, le rayon réfracté s’écarte de la et de réfraction de la normale. normale. Rayon incident Rayon réfléchi Rayon incident Rayon réfléchi i i’ i i’ Milieu 1 Milieu 1 I n1 n1 Schéma I n2 n2 Milieu 2 Milieu 2 r r Rayon réfracté Rayon réfracté π Lorsque i varie de 0 à , il existe un 2 Le rayon réfracté existe donc quel angle d’incidence limite ilim au-delà que soit l’angle d’incidence i compris duquel il n’y a plus de rayon réfracté. entre 0 et π. L’angle d’incidence limite ilim est 2 π L’angle de réfraction limite rlim obtenu pour r = : 2 Angle limite π π est obtenu pour i = : n1 sin ilim = n2 sin 2 2 π n1 sin = n2 sin rlim n 2 ⇔ ilim = Arc sin 2. n1 ⎛n ⎞ ⇔ rlim = Arc sin ⎜ 1 ⎟ Ainsi, si i > ilim, il n’y a pas de rayon ⎝ n2 ⎠ réfracté ; on dit qu’il y a réflexion totale. 3. EN PRATIQUE… c Un rayon lumineux se propageant dans l’eau arrive avec un angle d’incidence i = 45˚ sur un dioptre eau-air. On donne les indices de réfraction de l’eau n1 = 1,33 et de l’air n2 = 1,00. Cherchons s’il existe un rayon réfracté. Le rayon passe d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent ; il peut donc être totalement réfléchi si i ≥ ilimoù ilim est l’angle limite de réflexion totale. Calculons ilim : 205 Fiche 65 Réflexion et réfraction ⎛n ⎞ ilim = Arc sin ⎜ 2 ⎟ = 48, 8°. ⎝ n1 ⎠ r air i < ilim ⇒ il existe un rayon réfracté. n2 Calculons l’angle de réfraction r : I 1, 33 n1 n1 sin i = n2 sin r ⇔ sin r = sin 45° 1, 00 eau ⇔ r = 70,1˚ i On peut donc tracer le rayon réfracté, en rouge sur la figure. c Étudions le stigmatisme du dioptre plan. Un dioptre plan sépare deux milieux d’indices optiques n1 (milieu 1) et n2 (milieu 2) avec n1 < n2. Considérons un point objet A réel dans le milieu 1 et H son projeté orthogonal sur la surface du dioptre. Traçons l’image A¢ de A. A’ Le rayon AH normal à la surface du dioptre se réfracte sans déviation. L’image A¢ de A se trouve donc sur la droite (AH). Traçons un second rayon AI arrivant sur le diop- A i tre en I avec un angle d’incidence i et se réfrac- tant avec un angle de réfraction r tel que : n1 sin i = n2 sin r. n1 Les deux rayons émergents étant divergents, H I n2 l’image A’ est virtuelle et située à l’intersection des prolongements des rayons émergents. On note que A et A¢ sont du même côté du r dioptre : si l’objet A est réel, l’image A¢ est vir- tuelle et inversement. Æ Étudions le stigmatisme rigoureux du dioptre plan : La propriété de stigmatisme rigoureux est vérifiée si la position de l’image ponctuelle A¢ est indépendante de l’angle d’incidence i du rayon AI. On a les relations géométriques suivantes : ⎧ HI ⎪ tan i = HA tan i ⎨ ⇒ HA' = HA ⎪ tan r = HI tan r ⎩ HA' Sachant que n1 sin i = n2 sin r , on peut exprimer HA’ en fonction de HA et i : sin i cos r ⇔ n 1 − sin 2 r HA' = HA HA' = HA 2 sin r cos i n1 cos i 206  Fiche 65 Réflexion et réfraction 2 ⎛n ⎞ 1 − ⎜ 1 ⎟ sin 2 i 2 2 2 n2 ⎝ n2 ⎠ ⇔ HA' = HA ⇔ HA' = HA n2 − n1 sin i. n1 cos i n1 cos i Cette expression montre que lorsque l’angle d’incidence i varie, la distance HA¢ ne reste pas constante. Ainsi, la position de l’image de A n’est pas unique : le dioptre plan n’est pas rigou- reusement stigmatique pour un point objet A quelconque. Le stigmatisme rigoureux n’est obtenu que pour deux positions particulières de l’objet ponc- tuel A : à l’infini et sur la surface du dioptre. Æ Étudions les conditions de stigmatisme approché du dioptre plan : Si l’angle d’incidence i est faible, alors : cos i ≈ 1 et n12 sin 2 i n22. n L’équation précédente devient : HA' = HA 2. n1 Ainsi, lorsque l’angle d’incidence i est faible, la distance HA¢ est indépendante de i : la posi- tion de A¢ devient unique. Il y a stigmatisme approché pour tout point objet à distance finie qui n’envoie sur la surface du dioptre qu’un faisceau de rayons peu inclinés par rapport à la normale. c Étudions l’image par une lame à faces parallèles d’un point objet à l’infini. Une lame à faces parallèles en verre, d’épaisseur e, d’indice optique n = 1,5, est placée dans l’air. Déterminons la position de l’image ponctuelle A¢ d’un objet ponctuel A à l’infini. L’objet ponctuel A envoie un faisceau parallèle incliné d’un angle i = 40˚ par rapport à la normale à la lame. i Les rayons sont réfractés sur le premier dioptre air-verre. On obtient donc dans air la lame un faisceau parallèle incliné d’un n r angle r tel que : sin i = n sin r ⇒ r = 25, 4° verre r Les rayons sont incidents sur le dioptre air verre-air avec un angle d’incidence i r = 25, 4°. L’angle d’émergence r¢ des rayons est donc donné par la relation : n sin r = sin r ' Ainsi r ' = i = 40°. On obtient ainsi en sortie de la lame un faisceau parallèle dont la direction est la même que celle du faisceau incident. L’image d’un objet ponctuel à l’infini par une lame à faces paral- lèles est à l’infini, dans la même direction que l’objet. 207  66 Miroir plan 1. EN QUELQUES MOTS… Le stigmatisme rigoureux du miroir plan en fait un élément d’optique fréquemment utilisé dans la vie de tous les jours puisqu’il rend de l’objet une image non déformée. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) Définition et propriétés Rayon réfléchi Un miroir plan est une surface plane réfléchissante. D’après la loi de la réflexion de Snell-Descartes, un rayon lumineux incident sur un miroir plan donne lieu à un rayon réfléchi symé- trique du rayon incident par rapport à la normale au plan du miroir. Le miroir plan est le seul système optique qui soit rigoureusement stigmatique pour tout point objet. Rayon incident b) Formation des images Construisons l’image ponctuelle A¢ d’un objet ponctuel A par le miroir ; il faut tracer au moins deux rayons issus de A (ou semblant se diriger vers A). L’image A¢ est le point d’inter- section des rayons émergents ou de leurs prolongements. Deux cas sont possibles : A est un objet ponctuel réel A est un objet ponctuel virtuel Les rayons issus de A arrivent sur le Les rayons incidents sur le miroir miroir. semblent se diriger vers A. A A’ A’ A O Schéma O Sens de la lumière Sens de la lumière incidente incidente L’image ponctuelle A¢ est virtuelle. L’image ponctuelle A¢ est réelle. Elle Elle ne peut être recueillie sur un peut être recueillie sur un écran. Un Nature de écran. Par contre un observateur O observateur O placé de manière à l’image placé de manière à recevoir les recevoir les rayons émergents pourra rayons émergents verra l’image A¢. également voir l’image A¢. L’objet ponctuel A et son image ponctuelle A¢ sont symétriques par rapport Conclusion au plan du miroir. c) Taille de l’image Chaque point d’un objet étendu plan AB parallèle au plan du miroir donne lieu à une image ponctuelle symétrique par rapport au plan du miroir. L’image A'B' est donc symétrique de l’objet AB par rapport au plan du miroir et de même taille, quelle que soit la position de l’objet. 208  Fiche 66 Miroir plan d) Champ de vision à travers un miroir plan Le champ de vision à travers un miroir plan est l’espace rendu visible à un observateur grâce au miroir. Un observateur fixe O, supposé ponctuel, regardant dans un miroir plan verra un objet si un rayon issu de cet objet atteint son œil après réflexion sur le miroir. Pour déterminer le champ de vision à travers un miroir, il faut : – tracer le faisceau lumineux entrant dans l’œil après réflexion sur le miroir ; – utiliser le principe du retour inverse de la lumière pour déduire le faisceau incident. Celui-ci délimite le champ de vision de l’observateur O, correspondant à la région hachurée. O O 3. EN PRATIQUE… Un mannequin de haute-couture dont la taille est H = 180 cm dispose d’un miroir plan pour ajuster sa toilette. Ses yeux sont à une hauteur H0 = 170 cm du sol. Déterminons la hauteur minimale h du miroir et sa position pour que le mannequin se voie totalement. Æ Déterminons la hauteur minimale de Æ Déterminons la hauteur minimale h du l’extrémité supérieure du miroir. miroir. Le mannequin doit voir le sommet S de sa Le mannequin doit voir ses pieds P : un tête : un rayon issu de S doit être réfléchi en rayon issu de P doit être réfléchi en direc- direction de ses yeux. Le rayon correspon- tion de ses yeux. Le rayon correspondant dant définit le triangle isocèle (SIO). définit le triangle isocèle (OI¢P). S I O O h H H H0 I’ H0 P P L’extrémité supérieure du miroir doit être La hauteur minimale du miroir est donc : placée à une hauteur minimale égale à : H0 SO H h= + = = 90 cm. SO H − H0 2 2 2 H0 + = H0 + = 175 cm. 2 2 209  67 Prisme 1. EN QUELQUES MOTS… Un prisme est un élément d’optique utilisé pour réfracter la lumière, la réfléchir ou la disper- ser. Il permet de mettre en évidence la dispersion de la lumière blanche liée à la variation de l’indice optique du milieu avec la longueur d’onde. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) Définition d’un prisme Un prisme est un milieu transparent d’indice optique n limité par au moins deux faces planes non parallèles. L’intersection de ces faces est l’arête du prisme. Un plan normal à l’arête est un plan de section principale. Représentons un prisme d’arête perpendiculaire au plan de la figure, d’angle au sommet A et d’indice n, et traçons le cheminement d’un rayon à travers ce prisme placé dans l’air (indice optique nair = 1). On note I le point d’incidence du rayon et I¢ son point d’émergence. face d’entrée face de sortie Conventions : Aux points I et I¢, les angles i, i¢, r D et r¢ sont définis positifs lorsque les normales A extérieures au prisme sont situées entre les K rayons lumineux et l’arête du prisme (comme I’ i’ sur la figure). i I r’ On appelle angle de déviation D, l’angle entre r A le rayon incident et le rayon émergent. J b) Relations du prisme Écrivons la loi de Snell-Descartes (fiche 65) pour la réfraction sur les deux faces du prisme : – sur la face d’entrée, le rayon passe de l’air au prisme : nair sin i = n sin r ⇔ sin i = n sin r – sur la face de sortie, le rayon passe du prisme à l’air : nair sin i ' = n sin r ' ⇔ sin i ' = n sin r ' La somme des angles du triangle (I I’ J) permet d’établir une relation entre A, r et r’ : ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ A + ⎜ − r ⎟ + ⎜ − r '⎟ = π ⇔ A = r + r '. ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ De même, en considérant le triangle (I I’ K), on obtient une relation entre l’angle de dévia- tion D et les angles i et i¢ : π − D + ( i − r ) + ( i '− r ') = π. En utilisant la relation précédente entre A, r et r¢, on obtient : D = i + i '− A ⎧sin i = n sin r ⎪⎪sin i ' = n sin r ' Ainsi les quatre relations du prisme sont : ⎨ ⎪A = r + r ' ⎩⎪ D = i + i '− A 210  Fiche 67 Prisme c) Conditions d’émergence Examinons les conditions d’émergence du rayon sur la face de sortie du prisme. La lumière passe d’un milieu plus réfringent (prisme) à un milieu moins réfringent (air). Le phénomène de réflexion totale (fiche 65) peut donc se produire si l’angle d’incidence r’ sur cette face est supérieur à un angle ' π ' π ' 1 limite rlim correspondant à i ' = : n sin rlim = sin ⇔ sin rlim =. La réflexion totale sera 2 2 n évitée et un rayon émergera du prisme si l’angle d’incidence r’ du rayon sur la face de sortie ' ' vérifie : − rlim ≤ r ' ≤ rlim. Examinons les conditions sur l’angle de réfraction r sur la face d’entrée du prisme. ⎪⎧ A = r + r ' ⇔ r = A − r ' ' ' – D’une part, ⎨ ⇒ A − rlim ≤ r ≤ A + rlim ' ' ⎩⎪− rlim ≤ r ' ≤ rlim – D’autre part, la loi de Snell-Descartes sur la face d’entrée permet d’obtenir une autre ⎧sin i = n sin r ⎪ ' condition sur l’angle r : ⎨ ' 1 ⇒ sin r = sin rlim sin i sin r = ⎩⎪ lim n π π ' ' Ainsi, − ≤ i ≤ ⇒ − rlim ≤ r ≤ rlim 2 2 Les conditions d’émergence donnent donc deux intervalles de variation pour r : r ' ' - rlim rlim r ' ' A – rlim A + rlim Il n’y aura émergence d’un rayon que si les deux intervalles représentés sont disjoints, c’est-à- ' ' ' ' dire si A − rlim ≤ rlim ¤ A ≤ 2rlim. Ainsi, si A > 2rlim , il n’y a pas de rayon émergent. ' Dans la suite, on se place dans le cas où A ≤ 2rlim. Examinons les conditions sur l’angle d’inci- dence i du rayon sur le prisme pour avoir émergence. ' L’existence d’un angle d’incidence limite rlim sur la face de sortie induit une condition sur { l’angle d’incidence i : sin i = n sin r ⇒ sin i = n sin ( A − r ') r = A− r' L’angle d’incidence i limite, noté i0, est obtenu pour r ' = rlim ' ( ' : sin i0 = n sin A − rlim ) ' ' Choisissons des angles positifs pour simplifier le problème : r ' ≤ rlim ⇒r≥ A − rlim ( ' ) (' ⇒ sin r ≥ sin A − rlim ⇒ sin i ≥ n sin A − rlim ) = sin i0 ⇒ i ≥ i0. Le domaine de variation de i pour obtenir l’émergence est donc : i0 ≤ i ≤ π 2 ( ' avec i0 = arcsin ⎡⎣ n sin A − rlim ⎤. ⎦ ) d) Minimum de déviation Considérons un rayon incident issu d’une source monochromatique : l’indice n du prisme est fixé. Lorsqu’on fait varier l’angle d’incidence i de i0 à π , on constate que l’angle de déviation D 2 passe par un minimum. Cette plus petite valeur de D, notée Dm, s’appelle minimum de dévia- tion. Pour déterminer Dm, différentions les relations du prisme précédemment établies : 211 Fiche 67 Prisme ⎧sin i = n sin r ⎧cos i di = n cos r dr ⎪⎪sin i ' = n sin r ' ⎪⎪cos i ' di ' = n cos r ' dr ' ⎨ ⇒ ⎨ ⎪A = r + r ' ⎪ 0 = dr + d r ' ⎪⎩ D = i + i '− A ⎪⎩dD = di + di ' dD cos r ' cos i Ainsi, = 1− di cos r cos i ' dD D passe par un minimum lorsque = 0 ⇔ cos r ' cos i = cos r cos i ' di ( )( ) ( )( ⇔ 1 − sin 2 i 1 − sin 2 r ' = 1 − sin 2 i ' 1 − sin 2 r. ) Puis en utilisant les lois de Snell-Descartes sur les faces d’entrée et de sortie, on obtient : ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ (1 − sin2 i) ⎜⎝ 1 − sinn2 i ' ⎟⎠ = (1 − sin2 i ') ⎜⎝ 1 − sinn2 i ⎟⎠ ⇔ ( n2 − 1) (sin2 i − sin2 i ') = 0. L’unique solution est i = i¢, ce qui conduit à r = r¢. Notons respectivement im et rm ces angles. A + Dm A Les relations géométriques du prisme donnent donc : im = et rm = 2 2 Plan bissecteur Au minimum de déviation, les rayons incident et A émergent sont symétriques par rapport au plan Dm bissecteur du prisme. I I’ im im rm rm π Traçons les variations de l’angle de déviation D en fonction de l’angle d’incidence i pour i0 ≤ i ≤ 2 D π i i0 im π i0 + −A 2 2 dD −∞ − 0 + 1 di Dm π π i0 + −A i0 + −A D 2 2 i 2im − A i0 im π 2 En reportant les expressions des angles im et rm dans les lois de Snell-Descartes, on obtient la relation entre l’angle de déviation minimum Dm et l’indice n du prisme d’angle au sommet A : ⎛ D + A⎞ A sin ⎜ m ⎟ = n sin ⎝ 2 ⎠ 2 212  Fiche 67 Prisme L’indice du prisme peut être déterminé, pour une radiation monochromatique donnée, en mesurant l’angle de déviation minimum. 3. EN PRATIQUE… Éclairons un prisme en verre, d’angle au sommet A = 60˚, avec une lampe à vapeur de mer- cure. Le tableau ci-dessous indique les valeurs de l’angle minimum de déviation Dm obtenues expérimentalement pour les raies principales de longueurs d’onde connues. raie (µm) Dm rouge 0,6907 39˚06’ A jaune 0,5790 39˚22’ jaune 0,5770 39˚28’ verte 0,5461 39˚33’ i bleu-vert 0,4916 39˚43’ rouge bleu-indigo 0,4358 40˚05’ violet violet 0,4047 40˚21’ On constate que la raie violette est plus déviée que la raie rouge. Ainsi, le prisme décompose la lumière blanche : on dit qu’il y a dispersion de la lumière par le prisme. ⎛ D + A⎞ sin ⎜ m Calculons l’indice du prisme pour chacune des raies : n = ⎝ 2 ⎟⎠. A sin 2 Les valeurs obtenues sont reportées dans le tableau ci-dessous. Vérifions qu’elles suivent la loi phénoménologique de Cauchy décrivant les variations de l’indice optique du matériau en fonction de la longueur d’onde (fiche 63) : B n = A+ où A et B sont des constantes dépendant du matériau utilisé. λ2 1 Traçons la courbe donnant l’indice optique n en fonction de : λ2 raie l(µm) n 1.(µ m–2) 1,538 λ2 1,536 rouge 0,6907 1,522 1,45 1,534 1,532 jaune 0,5790 1,525 2,98 1,530 jaune 0,5770 1,526 3,00 1,528 n 1,526 verte 0,5461 1,527 3,35 1,524 bleu-vert 0,4916 1,529 4,14 1,522 1,520 bleu-indigo 0,4358 1,533 5,27 1 2 3 4 5 6 2 -2 violet 0,4047 1,536 6,11 1/λ (μm ) B Les points sont alignés ; la droite obtenue est affine, d’équation n = A + , avec A = 1, 517 λ2 et B = 3, 06.10−3 μm 2. La loi de Cauchy donnant les variations de l’indice du matériau en fonction de la longueur d’onde est vérifiée. 213  68 Lentilles minces 1. EN QUELQUES MOTS… Si les lentilles en verre telles les lunettes de vue sont les plus couramment utilisées, d’autres milieux peuvent former des lentilles. Ainsi, le cristallin de l’œil ou encore les gouttes d’eau de la rosée constituent des lentilles naturelles. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) Lentille Une lentille est un milieu transparent homo- gène et isotrope, d’indice optique n, limité par deux dioptres dont l’un au moins est sphéri- que. On appelle R1 et R2 leurs rayons de cour- C1 n C2 Axe optique bure. L’ensemble présente un axe de symétrie, l’axe optique, passant par les centres C1 et C2 S1 S2 R 2 des deux dioptres. Les sommets S1 et S2 des R1 deux dioptres correspondent aux points d’intersection des dioptres avec l’axe optique. Les lentilles peuvent se classer en deux catégories : Les lentilles convergentes Les lentilles divergentes Les bords sont plus minces que le centre. Les bords sont plus épais que le centre. biconvexe plan-convexe ménisque biconcave plan-concave ménisque convergent divergent b) Lentille mince L’épaisseur e d’une lentille est la distance entre les sommets des deux dioptres : e = S1S2. Une lentille est dite mince si son épaisseur e vérifie les deux conditions suivantes : – e est négligeable devant les rayons de courbure R1 et R2 des deux dioptres. – e est négligeable devant la distance C1C2 entre les centres des dioptres. S1 et S2 peuvent alors être assimilés à un même point O appelé centre optique de la lentille. Les lentilles minces sont représentées de la manière suivante : Lentille mince convergente Lentille mince divergente O O 214  Fiche 68 Lentilles minces c) Foyers et vergence d’une lentille mince c Foyers principaux Lentille convergente Lentille divergente Foyer principal objet F Un objet ponctuel en F donne une image ponc- F O tuelle à l’infini dans la O F direction de l’axe optique. F est un point objet réel F est un point objet virtuel Foyer principal image F¢ Un objet ponctuel à l’infini dans la direction O F' F' O de l’axe optique donne une image ponctuelle F¢. F' est un point image réel F' est un point image virtuel Propriété : F et F¢ sont symétriques par rapport au centre optique O de la lentille. c Plans focaux : Le plan focal objet est le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F. Le plan focal image est le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F’. Lentille convergente Lentille divergente Plan focal objet Plan focal image Plan focal image Plan focal objet F O F' F' O F c Foyers secondaires : Chaque point du plan focal objet s’appelle un foyer objet secondaire. L’image d’un foyer secondaire FS est à l’infini, dans la direction donnée par le rayon FSO. Chaque point du plan focal image s’appelle un foyer image secondaire. Chaque foyer image secondaire F¢S est l’image ponctuelle d’un objet ponctuel à l’infini dans la direction OF’S. Lentille convergente Lentille divergente FS Image d’un foyer objet F F secondaire FS FS F'S Image d’un objet ponc- tuel à l’infini en dehors F' F' de l’axe optique F' S 215 Fiche 68 Lentilles minces c Les distances focales sont définies par : f ' = OF' f¢ : distance focale image (grandeur algébrique) (m) avec f ' = − f f : distance focale objet (grandeur algébrique) (m) f = OF Pour une lentille convergente, f ' > 0 ; pour une lentille divergente, f ' < 0. La vergence V d’une lentille mince est définie par : 1 V : vergence de la lentille mince (m–1 ou dioptries (δ)). V= f' f¢ : distance focale image (grandeur algébrique) (m) Pour une lentille convergente, V > 0 ; pour une lentille divergente, V < 0. d) Construction de l’image d’un objet Pour que les propriétés de stigmatisme et d’aplanétisme approchés soient vérifiées, les condi- tions de Gauss doivent être respectées (fiche 64). Considérons un objet plan AB, A étant sur l’axe optique. Pour déterminer la position de son image A'B' par la lentille mince, il faut construire l’image ponctuelle B’ de l’objet ponctuel B. Il suffit pour cela de tracer au-moins deux rayons particuliers issus de B (ou semblant se diri- ger vers B) parmi les trois suivants : – Rayon 1 : le rayon issu de B et passant par le centre optique O n’est pas dévié : le centre optique est sa propre image. – Rayon 2 : le rayon issu de B parallèle à l’axe optique émerge de la lentille en passant par le foyer principal image F¢ (ou en semblant provenir de F¢). – Rayon 3 : le rayon issu de B et se dirigeant vers le foyer principal objet F émerge parallè- lement à l’axe optique. B¢ est le point d’intersection des rayons émergeant de la lentille ou de leurs prolongements. Cela fixe la position de l’image ponctuelle A¢ de l’objet ponctuel A sur l’axe optique. B Rayon 2 Rayon 1 F’ A’ A F O Rayon 3 B’ 3. EN PRATIQUE… Construisons l’image A'B' d’un objet plan AB perpendiculaire à l’axe optique, pour différentes positions de l’objet. Par convention, les objets et images sont représentés en traits pleins s’ils sont réels et en pointillés s’ils sont virtuels. Lentille convergente Lentille divergente AB est un objet réel situé à une distance de AB est un objet réel la lentille supérieure à la distance focale B B B' F' A' A F O A F' A' O F B' A ' B' est une image réelle renversée. A ' B' est une image virtuelle droite, plus petite que l’objet. 216  Fiche 68 Lentilles minces Lentille convergente Lentille divergente AB est un objet réel situé entre le centre AB est un objet virtuel situé entre le centre B' optique O et le foyer objet F optique O et le foyer objet F B' B B A' F A O F' F' O A F A' A ' B' est une image virtuelle droite, agrandie. A ' B' est une image réelle droite, agrandie. AB est un objet virtuel AB est un objet virtuel situé à une distance de la lentille supérieure à la distance focale B B' F' B A' F O A' A F' O F A B' A ' B' est une image réelle droite, plus petite que l’objet. A ' B' est une image virtuelle renversée. Les constructions ci-dessus montrent que : – Pour un rayon incident ne passant pas par le centre optique, le rayon émergent se rapproche de l’axe optique si la lentille est convergente et s’en éloigne si la lentille est divergente. – Les mesures algébriques FA et F'A' sont toujours de signe contraire. c Mettons concrètement en œuvre un objet virtuel. Il faut former l’image réelle A'B' d’un objet réel AB par une lentille convergente (L1) et en utiliser l’image réelle A'B' en tant qu’objet virtuel pour la lentille d’étude (L2). → Première étape : On forme l’image réelle A'B' de l'objet réel AB par la lentille (L1) de centre optique O1 et de points focaux F1 et F1'. B F1' A' A F1 O1 B' L1 → Deuxième étape : On place la lentille étudiée (L2) de telle manière que les rayons arrivent sur (L2) en convergeant et en semblant se diriger vers A'B'. Pour la lentille (L2), A'B' devient un objet virtuel. Prenons l’exemple d’une lentille (L2) divergente, de centre optique O2 et de points focaux F2 et F2'. On construit l’image A''B'' de l’objet virtuel A'B' en traçant deux rayons particuliers issus de B’. B F1' O2 A' A' ' A F1 O1 F ' F2 2 B' L1 L2 B' ' 217  69 Relations des lentilles minces 1. EN QUELQUES MOTS… La relation de conjugaison permet de déterminer la position de l’image d’un objet par une len- tille mince et le grandissement donne accès à la taille de l’image. Les relations peuvent s’expri- mer en prenant comme origine le centre optique O de la lentille ou les foyers principaux F et F'. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) Relation de conjugaison La relation de conjugaison s’exprime de deux manières : Relation de Descartes Relation de Newton Origine au centre optique O Origine aux foyers principaux F et F' 1 1 1 − = FA F'A' = OF OF' = − f '2 OA' OA f' Les grandeurs sont des mesures algébriques exprimées en m. b) Grandissement Le grandissement, noté γ, permet de comparer la taille de l’image A'B' à celle de l’objet AB ainsi que son sens. Il est défini par : AB : taille de l’objet (m). A'B' γ= AB A'B' : taille de l’image (m). γ : grandissement (sans unité). Si γ est positif, l’image et l’objet sont dans le même sens : l’image est dite droite. Si γ est négatif, l’image et l’objet sont de sens opposés : l’image est dite renversée. Le grandissement γ peut s’exprimer de deux manières : Origine au centre optique O Origine aux foyers principaux F et F' OA' f F'A' γ= γ=− =− OA FA f' Ainsi, γ est positif si l’objet et l’image sont de nature différente (objet réel et image virtuelle ou objet virtuel et image réelle) tandis que γ est négatif si l’objet et l’image sont de même nature. 3. EN PRATIQUE… c Un objet réel AB perpendiculaire à l’axe optique, A étant sur l’axe optique, est placé à 12 cm d’une lentille mince divergente de centre optique O et de distance focale image f ' = −6 cm. La taille de cet objet est AB = 2 cm. Déterminons la position et la taille de son image A'B'. Appliquons la relation de conjugaison : 1 1 1 1 1 1 − = avec OA = −12 cm ⇒ − = ⇔ OA' = −4 cm OA' OA f' OA' ( −12) ( −6) 218  Fiche 69 Relations des lentilles minces A'B' est donc une image virtuelle. B Exprimons le grandissement γ : B' OA' ⎪⎧OA' = −4 cm 1 γ= avec ⎨ ⇒ γ = : l’image est OA ⎪⎩OA = −12 cm 3 A F' A' O F droite et plus petite que l’objet. Sa taille est : A'B' = γ AB = 0, 66 cm. c Étudions le système centré constitué par deux lentilles minces convergentes (L1) et (L2) de dis- tances focales images respectives f1' = 10 cm et f2' = 15 cm , placées à une distance O1O2 =30 cm. Ce type d’association de lentilles est utilisé dans certains instruments d’optique (fiche 72). Plaçons un objet réel AB = 1 cm à 6 cm du centre optique O1 de la lentille (L1). → Déterminons la position de son image A'B' par le système centré. L’objet AB donne une image A i Bi par la lentille (L1). Appliquons la relation de conjugaison : ⎧ 1 1 1 ⎪ − = ' 1 1 1 1 1 1 ⎨ O1A i O1A f1 ⇒ = + = + = − cm -1 ⇔ O1A i = −15 cm ⎪ O1A i O1A f1' −6 10 15 ⎩O1A = −6 cm A i Bi est une image virtuelle qui devient un objet pour la lentille (L2). Sa position par rapport à (L2) est : O2 A i = O2O1 + O1A i = −30 − 15 = −45 cm : A i Bi est un objet réel. L’objet A i Bi donne l’image A'B' par la lentille (L2). Appliquons la relation de conjugaison : 1 1 1 1 1 1 1 1 2 − = ⇔ = + = + = cm -1 ⇔ O2 A' = 22, 5 cm. ' ' −45 15 45 O A O2 A i 2 ' f2 O A ' O2 A i f2 2 → Construisons l’image A'B' en traçant un pinceau lumineux issu de B. Bi B A' Ai F1 A O1 F1' F2 O2 F2' B' L1 L2 A'B' A'B' A i Bi → Calculons la taille de l’image A'B' : γ = = = γ L γ L où γ L et γ L sont AB A i Bi AB 1 2 1 2 les grandissements respectifs des deux lentilles. O2 A' O1A i 22, 5 −15 Ainsi γ = = × = −1, 25 : l’image A'B' est renversée et plus grande que O2 A i O1A −45 −6 l’objet AB. On en déduit sa taille : A'B'= − 1,25 cm. 219  70 Focométrie 1. EN QUELQUES MOTS… La mesure des distances focales est appelée « focométrie ». Les distances focales des lentilles convergentes peuvent être mesurées par de nombreuses méthodes, en particulier les méthodes de Bessel et Silberman. Dans le cas des lentilles divergentes, les méthodes sont moins nom- breuses et plus complexes ; néanmoins il est souvent possible de coupler la lentille divergente à une lentille convergente de distance focale connue afin d’obtenir un système convergent. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) Lentilles convergentes : Méthodes de Bessel et de Silberman Un objet réel plan AB perpendiculaire à l’axe optique, A étant sur l’axe optique, donne une image A'B' par la lentille convergente (L) de centre optique O et de distance focale image f’. Soit D la distance entre l’objet et l’écran : AA' = D. Écrivons la relation de conjugaison et exprimons la mesure algébrique AO > 0 en fonction de D et f’ : 1 1 1 ⎪⎧OA' = OA + AA' = − AO + D 1 1 1 − = avec ⎨ ⇒ + = OA' OA f ' ⎩⎪OA = − AO D − AO AO f ' 2 On obtient ainsi l’équation du second degré suivante : AO − D AO + Df ' = 0 dont le discri- minant est : Δ = D 2 − 4 Df ' = D ( D − 4 f '). c Premier cas : méthode de Bessel Lorsque Δ > 0 ⇔ D > 4 f ' , l’équation admet deux solutions. Il existe donc deux positions de la lentille (L), notées O1 et O2, qui permettent la formation d’une image nette sur l’écran : D − D2 − 4 f ' D D + D2 − 4 f ' D AO1 = AO2 = 2 2 B écran écran F F’ B A’ A O1 F’ A’ A F O2 B’ D D B’ Appelons d la distance entre les deux positions de la lentille : d = O1O2. d = O1O2 = O1A + AO2 = AO2 − AO1 = D2 − 4 f ' D D2 − d 2 Ainsi la distance focale image f’ cherchée est : f ' = 4D 220  Fiche 70 Focométrie Concrètement, la distance D entre l’objet et l’écran est fixée ; on mesure alors la distance d entre les deux positions de la lentille fournissant une image sur l’écran, on en déduit f¢. Il faut noter que les grandissements mesurés pour les deux positions de la lentille sont inver- ses l’un de l’autre : O1A' AO1 − D D + D2 − 4 f ' D O2 A' AO2 − D 1 γ1 = = =− et γ 2 = = = O1A AO1 D − D2 − 4 f ' D O2 A AO2 γ1 c Deuxième cas : méthode de Silberman Lorsque Δ = 0 ⇔ D = 4 f ' , l’équation n’admet qu’une solution. Il n’existe qu’une seule posi- tion de la lentille donnant une image nette sur l’écran : La lentille est à égale distance de l’objet et de D AO = l’écran ; le grandissement est : γ = −1. Concrète- 2 ment, il faut placer la lentille et l’écran de telle écran manière que l’image soit de même taille que l’objet B mais renversée. En mesurant la distance D séparant F’ A’ l’objet AB de l’écran, on peut déduire la distance A F O focale image de la lentille : B’ D f '= D 4 b) Lentilles divergentes La méthode la plus simple consiste à accoler la lentille divergente (L) dont on souhaite déter- miner la distance focale image f¢ à une lentille convergente (L0) de distance focale f0' connue. Cherchons quelle condition doit remplir f0' pour que la lentille équivalente à (L) + (L0) soit convergente ; il sera alors possible d’appliquer l’une des méthodes décrites précédemment. Un objet AB donne une image A'B' par la lentille (L). A'B' devient alors un objet pour la len- tille (L0). Appelons A''B'' l’image finale. Les deux lentilles ayant le même centre optique O, les relations de conjugaison s’écrivent : ⎧ 1 1 1 ⎪ − = ⎪ OA' OA f ' 1 1 1 1 ⎨ 1 ⇒ − = + ⎪ 1 1 OA'' OA f0 f ' ' − = ⎪⎩ OA'' OA' f ' 0 L’association des deux lentilles conduit donc à une lentille équivalente de distance focale ' image féq telle que les vergences de deux lentilles accolées s’ajoutent : 1 = 1 + 1 f' f ' f' éq 0 1 1 1 La lentille mince équivalente doit être convergente : >0 ⇔ + >0. f ' f ' f ' ⎪⎧ f0' > 0 1 1 éq 0 ⎨ ⇒ − + > 0 ¤ f0' < f ' : la distance focale de la lentille convergente (L0) ⎩⎪ f ' < 0 f' f0' doit donc être plus petite en valeur absolue que celle de la lentille divergente. 221  71 L’œil 1. EN QUELQUES MOTS… L'œil constitue un système optique élaboré capable de s’adapter pour observer un objet proche puis, instantanément, un objet éloigné. Il supporte également de grandes variations d'intensité lumineuse. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) Description de l’œil L’œil est composé du cristallin qui est assimilable à une lentille convergente et permet la for- mation des images sur la rétine, membrane constituée de cellules photosensibles (cônes et bâtonnets). L’iris joue le rôle d’un diaphragme en limitant l’intensité lumineuse pénétrant dans l’œil. Ainsi le rayon de l’ouverture circulaire correspondant à la pupille varie de 1 à 4 mm. Les images, renversées, se formant sur la rétine sont transmises par le nerf optique au cerveau qui se charge de les interpréter : renversement, correction de la distorsion. L’œil a une sensibilité maximum pour une longueur d’onde de 550 nm (vert). iris rétine humeur aqueuse humeur vitrée cristallin cornée nerf optique b) Modèle de l’œil L’œil peut être assimilé à une lentille mince convergente de distance focale variable (le cristal- lin) placée à une distance fixe de 16 mm d’un écran (la rétine). Ce modèle est appelé œil réduit. 16 mm O iris cristallin rétine c) Accommodation L’œil ne voit nettement un objet que si son image se forme sur la rétine. La distance lentille- écran étant fixe et les objets situés à des distances variables, le cristallin doit adapter sa cour- bure et donc modifier sa vergence pour que les images se forment sur la rétine. On dit que l’œil accommode. Le cristallin est donc une lentille de distance focale image f ' = OF' adaptable. c Punctum remotum : lorsque le cristallin est au repos, la position du point objet vu nettement par l’œil est appelée punctum remotum et notée PR. Un œil normal, dit emmétrope, voit net- tement les objets situés à l’infini : PR = ∞. On a donc f ' = OF' = 16 mm (F′ est sur la rétine). c Punctum proximum : pour voir des objets situés à distance finie, le cristallin augmente sa cour- bure, il se bombe de façon à accroître la convergence de l’œil ; la distance focale f ' du cristallin diminue. Le point objet le plus proche vu distinctement est appelé punctum proximum et noté 222  Fiche 71 L’œil PP. La distance œil-PP, notée dm, est appelée distance minimale de vision distincte. Pour un œil normal, d m = 25 cm. PR = PP = 25 cm O Zone de vision distincte iris cristallin rétine d) Pouvoir séparateur angulaire L’œil ne peut distinguer deux objets que si leurs images se for- ment sur des cellules différentes de la rétine. La résolution angu- laire correspondante, appelée pouvoir séparateur angulaire, est α de l’ordre d’une minute (α = 3.10−4 rad ). e) Les défauts de l’œil L’œil myope : L’œil hypermétrope : un œil trop convergent un œil pas assez convergent L’image d’un objet à l’infini se forme en L’image d’un objet à l’infini se forme en avant de la rétine : le foyer image de l’œil arrière de la rétine : le foyer image de l’œil au repos est en avant de la rétine. au repos est en arrière de la rétine. O O cristallin rétine cristallin rétine Le PR est à distance finie. Le PP est plus Le PR est virtuel. Le PP est plus éloigné rapproché que pour un œil normal. que pour un œil normal. PR PP PP PR O O Zone de vision distincte Zone de vision distincte cristallin rétine cristallin rétine La myopie est corrigée par une lentille L’hypermétropie est corrigée par une len- divergente. tille convergente. 3. EN PRATIQUE… Calculons les valeurs extrêmes de la vergence d’un œil emmétrope (normal). Elles sont obtenues pour un objet placé au PR et au PP : Æ Lorsque l’objet est au PR = ∞, la distance focale image f¢ correspond à la distance cristallin-rétine : 1 1 f¢ = 16 mm = 16.10-3 m ⇒ V = = = 62, 5 δ f ' 16.10−3 Æ Lorsque l’objet est au PP, f¢ est obtenu en appliquant la relation de conjugaison de la len- tille mince pour un objet ponctuel A à 25 cm de l’œil donnant une image A¢ sur la rétine : 1 1 1 ⎧⎪OA = −25.10−2 m 1 − = avec ⎨ ⇒ f¢ = 15 mm = 15.10-3 m ⇒ V = = 66, 5 δ OA' OA f' −3 ⎪⎩OA' = 16.10 m f ' 223  72 Loupe 1. EN QUELQUES MOTS… Une lentille convergente peut, dans certaines conditions, jouer le rôle de loupe, c’est-à-dire per- mettre l’observation d’un objet sous un angle plus grand. La loupe est l’instrument d’optique le plus simple. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) Définition d’une loupe C’est une lentille convergente, de courte dis- B’ tance focale (1 à 10 cm), utilisée pour former d’un objet réel AB une image virtuelle droite B agrandie. L’objet AB doit être ainsi placé entre A’ O F A F’ le plan focal objet et la loupe. Dans la suite, on modélisera la loupe par une lentille mince. Pour que l’œil observe sans fatigue, donc sans accommodation, un objet à travers une loupe, l’image A'B' doit être à l’infini. L’objet AB est ainsi dans le plan focal objet de la lentille. L’image A'B' étant à l’infini, la position de l’œil n’a pas d’importance. b) Diamètre apparent La loupe sert à augmenter le diamètre apparent sous lequel est vu un objet AB : α : angle ou diamètre apparent sous B Objet AB lequel l’objet AB est vu à l’œil nu (rad). α vu à l’œil nu A α′ : angle ou diamètre apparent sous B’ lequel l’objet AB est vu à travers la B loupe, c’est-à-dire angle sous lequel α' A’ F A O F’ est vue l’image A'B' (rad). Cas particulier : lorsque l’œil se trouve au foyer image F¢ de la lentille, α¢ Objet AB ne dépend pas de la position de l’objet mais seulement de sa taille. vu à travers B’ En effet, dans les conditions de l’approxi- une loupe mation de Gauss : B α’ AB A’ FA O F’ α ' ≈ tan α' = f' B’ B α’ A’ F≡A O F’ 224  Fiche 72 Loupe c) Puissance d’une loupe c La puissance, notée P, est définie par : α¢ : angle sous lequel l’objet AB est vu à travers la loupe (rad). α' P= AB AB : taille de l’objet (m). P : puissance de la loupe (dioptries, δ). cPuissance intrinsèque Pi : Lorsque l’image A'B' est à l’infini, la puissance est dite intrinsèque. D’après les schémas précédents et compte-tenu des conditions de Gauss : AB 1 α ' ≈ tan α ' = ⇒ Pi = = V : la puissance intrinsèque est égale à la vergence de la loupe. f' f' Lorsque l’œil est situé au foyer image de la lentille, P = Pi. d) Grossissement d’une loupe Le grossissement commercial, noté Gc, est défini par : α’ : angle sous lequel l’objet AB est vu à travers la loupe lorsque l’image est au punctum remotum PR de l’œil (à l’infini) (rad) α' Gc = αPP : angle sous lequel l’objet AB est vu à l’œil nu, l’objet étant placé au α PP punctum proximum PP de l’œil (à une distance d m = 25 cm de l’œil) (rad) Gc : grossissement commercial (sans unité) AB α' α PP ≈ tan α PP = ⇒ Gc = dm = P dm. dm AB d De plus, l’image étant à l’infini, P = Pi. Ainsi, Gc = Pi d m = m f' e) Latitude de mise au point L’image A'B' est vue nettement si elle est située entre le PR et le PP de l’œil. Cela définit deux positions extrêmes AR et AP pour l’objet AB. La distance ARAP est appelée latitude de mise au point. La région de l’espace objet située entre AR et AP, permettant l’observation d’images nettes, est appelée profondeur de champ de la loupe. 3. EN PRATIQUE… Une lentille mince convergente de distance focale image f ' = 5 cm est utilisée comme loupe. L’œil, placé au foyer image F’ de la loupe, observe un objet AB à travers celle-ci. Détermi- nons la latitude de mise au point de la loupe pour un œil emmétrope. Pour cela, il faut déterminer les positions de l’objet, AR et AP, correspondant respectivement à : – l’image A'B' au PR (à l’infini) : l’objet AB doit être dans le plan focal objet de la loupe. Ainsi, A R ≡ F ⇒ A R O = FO = f ' = 5 cm 1 1 1 – l’image A'B' au PP : on applique la relation de conjugaison − =. OA' OA P f' ( f '− d m ) f ' OA' = OF' + F'A' = OF' − d m = −20 cm ⇒ OA P = = −4 cm dm On en déduit la latitude de mise au point : A A = A O + OA = 1 cm 225  73 Instruments d’optique 1. EN QUELQUES MOTS… Certains instruments d’optique utilisent l’œil comme récepteur et permettent l’observation d’objets difficiles à visualiser à l’œil nu. Les conditions d’observation doivent être optimisées et l’œil doit en particulier éviter de se fatiguer en accommodant. D’autres instruments ont pour but de former une image sur un écran ou une surface photosensible. 2. CE QU’IL FAUT RETENIR… a) Définitions On distingue deux grands types d’instruments d’optique : Les instruments subjectifs Les instruments objectifs Ils donnent d’un objet AB une image Ils donnent d’un objet AB une image Définition A'B' réelle pouvant être recueillie sur un A'B' virtuelle observable par l’œil. écran ou une surface photosensible. la loupe, le microscope, la lunette le rétroprojecteur, l’appareil photo, la camé- Exemples astronomique, le télescope ra vidéo, le projecteur de diapositives b) Grandeur de l’image par rapport à celle de l’objet c Pour les instruments subjectifs, on se placera par la suite dans le cas le plus fréquent où l’œil n’accommode pas : l’image A'B' est au punctum remotum PR de l’œil (l’infini pour un œil normal). Les grandeurs significatives utilisées pour caractériser l’instrument dépendent de la position de l’objet : – Lorsque l’objet est proche, on utilise la puissance et le grossissement commercial de l’ins- trument définis dans la fiche relative à la loupe : α′ : angle sous lequel l’objet AB est vu à travers l’instrument (rad). α' P= AB AB : taille de l’objet (m). P : puissance de l’instrument (dioptries, δ). Lorsque image A'B' est à l’infini, la puissance correspondante est la puissance intrinsèque Pi. α′ : angle sous lequel l’objet AB est vu à travers l’instrument lorsque l’image est au punctum remotum PR de l’œil (à l’infini) (rad). α' Gc = αPP : angle sous lequel l’objet AB est vu à l’œil nu, l’objet étant placé au α PP punctum proximum PP de l’œil (à une distance d m = 25 cm de l’œil) (rad). Gc : grossissement commercial (sans unité). 226  Fiche 73 Instruments d’optique – Si l’objet est éloigné, il est caractérisé par son diamètre apparent α. On utilise le grossis- sement de l’instrument défini par : α′ : angle sous lequel l’objet AB est vu à travers l’instrument (rad). α' G= α α : angle sous lequel l’objet AB est vu à l’œil nu. G : grossissement (sans unité). Pour les instruments objectifs, la grandeur significative est le grandissement de l’instrument : AB : taille de l’objet (m). A'B' γ= A'B' : taille de l’image (m). AB γ : grandissement (sans unité). c) La lunette astronomique c La lunette astronomique permet l’observation d’objets à l’infini sous un angle plus grand et avec plus de luminosité. Elle associe les deux systèmes convergents suivants : – un objectif de grande distance focale (plusieurs mètres) donnant d’un objet AB à l’infini une image réelle agrandie A i Bi. Par la suite, l’objectif sera modélisé par une lentille mince convergente (L1) de centre optique O1, de foyers objet F1 et image F1' (distance focale f1' ). – un oculaire jouant le rôle de loupe et donnant de l’image intermédiaire A i Bi une image finale virtuelle A'B' observable par l’œil. Par la suite, l’oculaire sera modélisé par une len- tille mince convergente (L2) de centre optique O2, de foyers objet F2 et image F2' (dis- tance focale f2' ). c Pour que l’observation visuelle soit confortable, l’image finale A'B' doit être à l’infini (PR de l’œil normal). Ainsi la lunette astronomique est un système afocal : elle donne d’un objet à l’infini une image à l’infini. Le foyer image F1' de l’objectif est donc confondu avec le foyer objet F2 de l’oculaire. c Effectuons la construction d’un faisceau provenant d’un objet à l’infini vu sous un diamètre angulaire 2α. Pour cela, traçons le cheminement des deux faisceaux issus des points extrê- mes B et C de l’objet vus respectivement sous les angles α (en rouge) et – α (en noir) : – L’objet BC étant à l’infini, son image BiCi par la lentille (L1) est dans le plan focal image de l’objectif. Pour construire Bi, on trace le rayon particulier arrivant sous un angle α en passant par le centre optique O1. Ce rayon intercepte le plan focal image de la lentille (L1) en Bi. De la même façon, on trace l’image Ci de C par la lentille (L1). – BiCi étant dans le plan focal objet de l’oculaire, l’image finale B'C' est à l’infini. La direc- tion des deux faisceaux parallèles émergents issus des deux points extrêmes Bi et Ci de l’objet est obtenue en traçant les deux rayons passant par le centre optique. 227 Fiche 73 Instruments d’optique Cercle B∞ Ci oculaire B'∞ 2α