Dimensões - Matemática A 11.º Ano - Material Didático Santillana PDF

DIMENSÕES Matemática A CRISTINA NEGRA EMANUEL MARTINHO HELDER MARTINS Consultores científicos: 11.o ano de escolaridade 12...

DIMENSÕES Matemática A CRISTINA NEGRA EMANUEL MARTINHO HELDER MARTINS Consultores científicos: 11.o ano de escolaridade 12 Pedro J. Freitas Hugo Tavares Projeto muito completo com uma enorme quantidade de atividades e tarefas. Livro do professor P rojeto com garantia de rigor científico e em conformidade com o Programa e as Metas Curriculares em vigor. Vasta coleção de recursos multimédia de grande utilidade pedagógica. Tabela de orientação para o professor com a identificação das Metas Curriculares e localização da aplicação das mesmas no manual. C  aderno de atividades e avaliação contínua, orientado para as avaliações formativa e sumativa, que contempla as tipologias de atividades indicadas pelo IAVE e permite a monitorização das aprendizagens. 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Todos estes recursos podem ser utilizados no computador, tablet ou telemóvel (compatível com iOS, Android e Windows). 001103_enc001-004.indd 4 17/03/17 12:53  Metas curriculares Matemática A 12.o ano de escolaridade I 001103 I-XVI.indd 1 01/02/17 19:04 Metas curriculares CálCulo CoMbinatório CC12 VOLUME 1 introdução ao CálCulo CoMbinatório 1. Conhecer propriedades das operações sobre conjuntos PÁGINAS DO MANUAL 1.1 #Provar, dados conjuntos A e B , que A 1 B se e somente se A + B = A e se e somente se 11 A , B = B e que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. 1.2 Justificar, dados subconjuntos A e B de um conjunto U , A e B que A 1 B se e somente se 12 B1 A. 1.3 #Provar, dados conjuntos A , B e C , que são verdadeiras as igualdades (A + B) + C = A + (B + C) , 12 e 13 A + B = B + A , (A + B) , C = (A , C) + (B , C) e A + A = A , bem como as que se obtêm permutando em todas as ocorrências os símbolos «+» e «,» , e designá-las respetivamente por «associatividade», «comutatividade», «distributividade» e «idempotência». 1.4 #Provar, dado um conjunto U , que, para quaisquer subconjuntos A e B de U , A + B = A , B 14 e A , B = A + B , e designar estas igualdades por «Leis de De Morgan para conjuntos». 1.5 Provar, dados conjuntos A , B e C , que (A , B) × C = (A × C) , (B × C) e que C × (A , B) = 16 = (C × A) , (C × B). 2. Conhecer factos elementares da combinatória 2.1 Saber, dados conjuntos A e B , que #A = #B se e somente se existir uma bijeção de A sobre B 18 e nesse caso identificar os conjuntos A e B como «equipotentes». 2.2 Saber, dados conjuntos A e B tais que A + B = Q , que #(A , B) = #A + #B. 19 2.3 +Provar, dados conjuntos A e B de cardinais respetivamente iguais a n ! IN e a m ! IN , que 19 o cardinal do produto cartesiano A × B é igual a n × m. 2.4 +Reconhecer que existem exatamente np sequências de p ! IN 0 elementos, não necessariamente 21 distintos, escolhidos num conjunto de cardinal n ! IN , designar esse número por «arranjos com repe- tição de n elementos p a p » («nAlp») e reconhecer que, dados n objetos, existem exatamente nAlp formas distintas de efetuar p extrações sucessivas de um desses objetos, repondo o objeto escolhido após cada uma das extrações. 2.5 +Designar, dado um conjunto E , por «conjunto das partes de E » o conjunto formado pelos subcon- 28 juntos de E , representá-lo por P(E) e reconhecer que se E tiver p ! IN 0 elementos (#E = p) então P(E) tem 2 p elementos (#P(E) = 2 p). 2.6 Reconhecer que existem exatamente n × (n - 1) × (n - 2) × … × 2 × 1 formas de ordenar 24 os elementos de um conjunto de cardinal n H 1 , designar este número por «(número de) permutações de n elementos» e representá-lo por «n!» («n fatorial»). 2.7 Saber que, por convenção, 0! = 1 , reconhecendo que esta definição é a única para a qual a igualdade 24 n! = n(n - 1)! vale também para n = 1. n! 23 e 24 2.8 +Reconhecer que existem exatamente n × (n - 1) × … × (n - p + 1) = sequências (n - p)! de p ! IN 0 elementos distintos escolhidos num conjunto de n H p elementos, designar este número por «(número de) arranjos (sem repetição) de n elementos p a p » («nAp») e reconhecer que, dados objetos, existem exatamente formas distintas de efetuar p extrações sucessivas de um desses objetos, sem repor o objeto escolhido após cada uma das extrações. II Metas curriculares © Santillana 001103 I-XVI.indd 2 01/02/17 19:04  n Ap n! 30 2.9 Justificar que um conjunto de n ! IN 0 elementos tem exatamente = subconjuntos de p p! p! (n - p)! elementos (0 G p G n) , e designar este número por «(número de) combinações de n elementos p a p» , n Ap reconhecendo que, dado n ! IN objetos, existem exatamente formas de escolher p (p G n) de entre eles p! e representar este número por «nCp» , por «Cpn» ou por «a npk» , reconhecendo que se trata de um número natural. 2.10 +Simplificar expressões envolvendo fatoriais, arranjos e combinações. 33 3. Conhecer o triângulo de Pascal e o binómio de Newton 3.1 Justificar, dados números naturais n e p , p G n , que nCp =nC n - p de dois modos distintos: 41 utilizando um cálculo algébrico e um argumento combinatório. n 41 3.2 Justificar, dado n ! IN , que / n Ck = 2 n , interpretando esta igualdade à luz do número de subcon- k=0 juntos de um conjunto de n elementos. 3.3 +Reconhecer, dados números naturais n e p , p < n , que n + 1Cp + 1 = nCp + nCp + 1 e utilizar esta 42, 43 igualdade para construir, progressivamente, o «triângulo de Pascal», no qual figuram, na n-ésima linha, e 44 os números nC0 , nC1 , nC2 , … , nCn - 1 e nCn , por esta ordem. 3.4 +Reconhecer, dado n ! IN , a igualdade entre polinómios nas variáveis x e y , 46 n (x + y)n = xn + nC1 xn - 1 y1 + nC2 xn - 2 y2 + … + nCn - 1 x1 yn - 1 + yn = / n Ck xn - k yk , designando-a k=0 por «binómio de Newton», e por esta razão, designar os números igualmente por «coeficientes binomiais». 4. Resolver problemas 4.1 +Resolver problemas envolvendo operações sobre conjuntos e cardinais de conjuntos. 16 4.2 +Resolver problemas de contagens envolvendo arranjos e combinações. 36 a 39 4.3 +Resolver problemas envolvendo o triângulo de Pascal e o binómio de Newton. 48 a 51 Probabilidades Prb12 VOLUME 1 definição de Probabilidade 1. Definir espaços de probabilidade PÁGINAS DO MANUAL 1.1 Identificar, dado um conjunto finito E , uma «probabilidade no conjunto P(E) das partes de E » 68 e 70 como uma função P de domínio P(E) e de valores não negativos, tal que P(E) = 1 e, para A, B ! P(E) disjuntos, P(A , B) = P(A) + P(B) , designar, neste contexto, o conjunto E por «espaço amostral» ou «universo dos resultados», P(E) por «espaço dos acontecimentos», os respetivos elementos por «acontecimentos», P(A) , para A ! P(E) , por «probabilidade do acontecimento A » e o terno (E, P(E), P) por (um caso particular de) «espaço de probabilidade». 1.2 Designar, dado um conjunto finito E e uma probabilidade P no conjunto P(E) , o conjunto vazio Q 68, 69, por «acontecimento impossível», o conjunto E por «acontecimento certo», dois acontecimentos por 70 e 71 «incompatíveis» ou por «mutuamente exclusivos» se forem disjuntos, por «complementares» ou por «contrários» se forem disjuntos e a respetiva união for igual a E e por «equiprováveis» se tiverem a mesma probabilidade. 1.3 Designar, dado um conjunto finito E , uma probabilidade P no conjunto P(E) e um acontecimento 69 A 1 E , por «casos favoráveis a A » os elementos de A e por «casos possíveis» os elementos do espaço amostral E. Metas curriculares © Santillana III 001103 I-XVI.indd 3 01/02/17 19:04 Metas curriculares 1.4 Designar, dado um conjunto finito E e uma probabilidade P no conjunto P(E) , um acontecimento 71 A por «elementar» quando #A = 1 e por «composto» quando #A H 2. 1.5 Justificar, dado um conjunto finito E , que a função P de domínio P(E) definida por 6A ! P(E), 69 e 71 #A P(A) = é a única probabilidade em P(E) tal que os acontecimentos elementares são equiprová- #E veis e designar esta definição da função de probabilidade por «definição de Laplace». 1.6 Provar, dado um conjunto finito E , uma probabilidade P no conjunto P(E) e um acontecimento 73 A ! P(E) , que P( A) = 1 - P(A) e que P(Q) = 0. 1.7 Provar, dado um conjunto finito E , uma probabilidade P no conjunto P(E) e acontecimentos 74 A, B ! P(E) , que se A 1 B , P(B\A) = P(B) - P(A) , justificando que P(A) G P(B) , e designar este último resultado por «monotonia da probabilidade». 1.8 Justificar, dado um conjunto finito E e uma probabilidade P no conjunto P(E) , que 6A ! P(E), 74 P(A) ! [0, 1]. 1.9 Provar, dado um conjunto finito E , uma probabilidade P no conjunto P(E) e acontecimentos 74 A, B ! P(E) , que P(A , B) = P(A) + P(B) - P(A + B). 1.10 Saber que se podem considerar espaços amostrais E infinitos, podendo-se definir, nessa situação, uma 76 e 77 função de probabilidade P cujas propriedades generalizam as que caracterizam este conceito no caso em que E é finito, desde que se defina de forma apropriada a classe de acontecimentos, subconjunto de P(E) , que constitui o domínio de p. 2. Definir probabilidade condicionada 2.1 Reconhecer, no quadro de uma experiência aleatória em que o universo dos resultados é finito, que, se 91 se souber que um dado acontecimento B ocorreu, o número de casos possíveis da experiência aleatória é #B e o número de casos favoráveis de um acontecimento A é dado por #(A + B) , e justificar que, se os acontecimentos elementares forem equiprováveis, a probabilidade de ocorrer A sabendo que # (A + B) P (A + B ) ocorreu B é igual a = em que P representa a probabilidade no espaço inicial. #B P (B) 2.2 Designar, dada uma probabilidade P e dois acontecimentos A e B , com P(B) ! 0 , por «probabili- 91 dade de A se B » , por «probabilidade condicionada de A se B » ou por «probabilidade de ocorrer A P (A + B) sabendo que ocorreu B » a quantidade e representá-la por «P(A|B)». P (B) 2.3 #Provar, dado um conjunto finito E , uma probabilidade P no conjunto P(E) e um acontecimento 92 B ! P(E) , com P(B) ! 0 , que a função PB definida pela expressão PB (A) = P(A|B) é uma proba- bilidade em P(E). 2.4 Justificar, dada uma probabilidade P e dois acontecimentos A e B que P(A + B) = P(A)P(B) 96 e 97 se e somente se P(B) = 0 ou P(B) ! 0 e P(A|B) = P(A) , e identificar os acontecimentos e como «independentes» quando é verdadeira uma destas condições equivalentes. 2.5 #Provar, dado um conjunto finito E , uma probabilidade P no conjunto P(E), N ! IN e uma partição 99 e 100 {E1, E 2, … , E N} de E constituída por acontecimentos de probabilidade não nula, que para todo o acontecimento A 1 E, P(A) = P(A|E1)P(E1) + P(A|E2)P(E2) + … + P(A|EN)P(EN) e designar este resultado por «Teorema da probabilidade total». 3. Resolver problemas 3.1 +Resolver problemas envolvendo cálculo combinatório e a determinação de probabilidades em situa- 78 e 82 ções de equiprobabilidade de acontecimentos elementares. 3.2 +Resolver problemas envolvendo espaços de probabilidades e a determinação de propriedades da fun- 73, 75 ção de probabilidade. e 82 3.3 +Resolver problemas envolvendo probabilidade condicionada, acontecimentos independentes e o Teo- 93 a 95, 97 rema da probabilidade total. a 102, 108 a 115 IV Metas curriculares © Santillana 001103 I-XVI.indd 4 01/02/17 19:04  funções reais de VariáVel real frVrb12 VOLUME 1 liMites e Continuidade 1. Utilizar teoremas de comparação e os teoremas das sucessões e funções enquadradas PÁGINAS DO MANUAL 1.1 #Provar, dadas sucessões convergentes (un) e (vn) , que se, a partir de certa ordem, un G vn , então, 124 lim un = lim vn. 1.2 #Provar, dadas sucessões (u n) e (vn) , que se, a partir de certa ordem, u n G vn e lim u n = +3 , 125 então, lim vn = +3. 1.3 #Provar, dadas sucessões (u n) e (vn) , que se, a partir de certa ordem, u n G vn e lim vn = -3 , 125 então, lim un = -3. 1.4 #Provar, dadas sucessões (un ) e (vn) convergentes com o mesmo limite l e uma sucessão (wn) tal 126 que, a partir de certa ordem, un G wn G vn , que (wn) é convergente e lim wn = l , e designar este resultado por «Teorema das sucessões enquadradas». 1.5 #Provar, dadas funções reais de variável real f e g de domínio D e a ! IR um ponto aderente a D , 127 que, se para todo o x ! D, f(x) > g(x) e lim g(x) = +3 (respetivamente lim f(x) = -3 ) , então, x"a x"a lim f(x) = +3 (respetivamente lim g(x) = -3 ) e estender este resultado ao caso de limites por x"a x"a valores superiores ou inferiores a a bem como ao caso de limites em !3. 1.6 #Provar, dado um número real l , funções reais de variável real f , g e h de domínio D e a ! IR , 127 que se lim g(x) = lim h(x) = l e se para todo o x ! D, g(x) G f(x) G h(x) , então, lim f(x) = l , x"a x"a x"a estender este resultado ao caso de limites por valores superiores ou inferiores a a , bem como ao caso de limites em !3 , e designar este resultado por «Teorema das funções enquadradas». 2. Conhecer propriedades elementares das funções contínuas 2.1 Saber, dada uma função real de variável real f contínua num intervalo I = [a, b] , a < b , que, para 130 qualquer valor k ! IR do intervalo de extremos f(a) e f(b) , existe c ! I tal que f(c) = k e designar esta propriedade por «Teorema dos valores intermédios» ou por «Teorema de Bolzano-Cauchy». 2.2 Saber, dada uma função real de variável real f contínua num intervalo [a, b] , a < b , que f admite 135 máximo e mínimo absolutos e designar este resultado por «Teorema de Weierstrass». 3. Resolver problemas 3.1 +Resolver problemas envolvendo os teoremas de comparação e das sucessões e funções enquadradas 128, 134 para o cálculo de limites e o estudo da continuidade de funções reais de variável real. a 141 deriVadas de funções reais de VariáVel real e aPliCações 4. Relacionar a derivada de segunda ordem com o sentido da concavidade do gráfico de uma função e com a noção de aceleração 4.1 Designar, dada uma função real de variável real f diferenciável num intervalo I tal que a função 144 derivada fl é diferenciável num ponto a ! I , a derivada (fl)l(a) por «derivada de segunda ordem de f no ponto a » e representá-la por «f m(a)». 4.2 Identificar uma função real de variável real f como «duas vezes diferenciável» num dado intervalo I 144 se f m(a) existir para todo o a ! I. 4.3 +Provar, dada uma função duas vezes diferenciável num intervalo I = ]a, b[, a < b , e c ! ]a, b[ , 153 tal que fl(c) = 0 , que se f m(c) > 0 (respetivamente f m(c) < 0 ) f admite um mínimo (respetivamente um máximo) local em c. Metas curriculares © Santillana V 001103 I-XVI.indd 5 01/02/17 19:04 Metas curriculares 4.4 +Provar, dada uma função diferenciável num intervalo I , que f tem a concavidade voltada para cima 145 e 146 (respetivamente voltada para baixo) em I se e somente se fl for estritamente crescente (respetiva- mente estritamente decrescente) em I. 4.5 Justificar, dada uma função f duas vezes diferenciável num intervalo I de extremo esquerdo a 147 e extremo direito b , que se para todo o x ! ]a, b[ , f m(x) > 0 (respetivamente f m(x) < 0 ) , o gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima (respetivamente voltada para baixo) no intervalo I. 4.6 Justificar, dada uma função f duas vezes diferenciável num intervalo I , que se o gráfico da função f 147 tem a concavidade voltada para cima (respetivamente voltada para baixo) no intervalo I , então, para todo o x ! I, f m(x) H 0 (respetivamente f m(x) G 0 ). 4.7 Identificar, dada uma função f de domínio D , o ponto ^c, f(c)h onde c ! D , como «ponto de infle- 148 xão do gráfico de f » se existirem números reais a < c e b > c tais que [a, b] 1 D e a concavidade do gráfico de f no intervalo [a, c] tem sentido contrário à concavidade do gráfico de f no intervalo [c, b] e, nesse caso, referir que «o gráfico de f tem ponto de inflexão em c ». 4.8 Justificar, dada uma função f duas vezes diferenciável num intervalo I , que se o gráfico de f tem 149 ponto de inflexão em c , então, f m(c) = 0. 4.9 Identificar, fixado um instante T0 para origem das medidas de tempo, uma unidade de tempo T , uma 153 reta numérica r com unidade de comprimento L , um intervalo I 1 IR , não vazio nem reduzido a um ponto, dada a função posição p de um ponto P que se desloca na reta r durante o intervalo de tempo I e dois instantes de t1 < t2 de I , a «aceleração média de P no intervalo no intervalo de tempo [t1, t2] pl(t2) - pl(t1) na unidade L/T 2 » como a taxa média de variação de pl entre t1 e t2 , t2 - t1 , e, para t ! I , a «aceleração instantânea de P no instante t na unidade L/T 2 » como a derivada de segunda ordem de p em t. 5. Resolver problemas 5.1 +Resolver problemas envolvendo propriedades das funções diferenciáveis. 160 5.2 +Esboçar o gráfico de funções definidas analiticamente começando por determinar o respetivo domínio 150, 151, e, sempre que possível, os zeros, os intervalos de monotonia, os extremos locais e absolutos, o sentido 154 e 160 das concavidades, os pontos de inflexão e as assíntotas ao respetivo gráfico. a 163 5.3 +Resolver problemas de otimização envolvendo funções diferenciáveis. 156 e 160 a 163 5.4 +Resolver problemas envolvendo funções posição, velocidades médias e velocidades instantâneas, 159 e 160 acelerações médias e acelerações instantâneas e mudanças de unidades de aceleração. a 163 5.5 +Resolver problemas envolvendo a determinação de valores aproximados de soluções de equações 160 a 163 da forma f(x) = g(x) ( f e g funções contínuas) utilizando uma calculadora gráfica, em casos em que é possível justificar, através da leitura das informações fornecidas pela calculadora, que determinados valores coincidem, até à casa decimal indicada, com soluções da referida equação, utilizando proprie- dades conhecidas das funções contínuas, como o Teorema dos valores intermédios, ou outras pro- priedades analíticas das funções f e g , previamente estabelecidas. VI Metas curriculares © Santillana 001103 I-XVI.indd 6 01/02/17 19:04  trigonoMetria e funções trigonoMétriCas tri12 VOLUME 1 diferenCiação de funções trigonoMétriCas 1. Estabelecer fórmulas de trigonometria PÁGINAS DO MANUAL 1.1 +Reconhecer, dados ângulos a e b cuja soma é um ângulo convexo, que 180 cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) e sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b). 1.2 +Reconhecer, dado um ângulo a convexo de amplitude superior à de um ângulo b , que 178 a 180 cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) e sin(a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b) , onde a - b é um ângulo cuja soma com b é igual a a. 1.3 Saber que, para todos os x, y ! IR , cos(x ! y) = cos x cos y " sin x sin y , 181 e 182 sin(x ! y) = sin x cos y ! cos x sin y , estendendo-se assim as fórmulas já conhecidas envolvendo apenas medidas de amplitude de ângulos geométricos convexos e justificar que sin(2x) = 2 sin x cos x e cos(2x) = cos2 x - sin2 x. 2. Calcular a derivada de funções trigonométricas 2.1 +Reconhecer que, para todo o x ! ;0, ; , sin x G x G tan x e provar que lim r sin x 185 e 186 2 x"0 x = 1 , referindo este limite como «limite notável». 2.2 Provar que as funções seno e cosseno são diferenciáveis e que para todo o x ! IR , sinlx = cos x 189 e 190 e coslx = -sin x. 191 2.3 Provar que a função tangente é diferenciável no respetivo domínio D tan e que para todo o x ! Dtan , 1 tanlx = 1 + tan2 x =. cos2 x 3. Relacionar osciladores harmónicos e a segunda lei de Newton 3.1 Designar por «oscilador harmónico» um sistema constituído por um ponto que se desloca numa reta 198 numérica em determinado intervalo de tempo I , de tal forma que a respetiva abcissa, como função de t ! I , seja dada por uma expressão da forma x(t) = A cos(~t + {) , onde A > 0 , ~ > 0 e { ! [0, 2r[ , designar estas constantes, respetivamente, por «amplitude», «pulsação» e «fase», justifi- 2r 1 car que a função x é periódica de período T = ~ e designar f = por «frequência» do oscilador T harmónico. 3.2 Esboçar o gráfico de funções definidas por f(x) = a sin(bx + c) + d , f(x) = a cos(bx + c) + d e 203, 204, f(x) = a tan(bx + c) + d , onde a, b, c, d ! IR, a, b ! 0. 205 e 207 3.3 Saber, dado um ponto material P de massa m colocado na extremidade de uma mola cuja outra extre- 200 e 201 midade se encontra fixa, que tomando por origem da reta numérica em que P se desloca o respetivo ponto de equilíbrio, a abcissa x(t) da posição de P no instante t satisfaz a equação mxm(t) = -ax(t) (a > 0) , interpretando o termo -ax(t) como a força exercida pela mola sobre P («lei de Hooke»), designar a igualdade desta força com o produto da massa pela aceleração de P por (um caso particular da) «segunda Lei de Newton» e resolver problemas envolvendo sistemas massa-mola com estas características. 3.4 Justificar, dado a > 0 , que as funções definidas por uma expressão da forma x(t) = A cos_ a + bi , 201 onde A e b são constantes reais, satisfazem a equação diferencial x = -ax , saber que todas as soluções desta equação são dessa forma, e reconhecer que um sistema constituído por uma mola e por um ponto material P colocado na respetiva extremidade constitui um oscilador harmónico. Metas curriculares © Santillana VII 001103 I-XVI.indd 7 01/02/17 19:04 Metas curriculares 4. Resolver problemas 4.1 +Resolver problemas envolvendo a utilização de fórmulas trigonométricas, o estudo de funções defini- 181 a 184, das a partir de funções trigonométricas, a determinação dos respetivos intervalos de monotonia bem 190 a 193, como os extremos relativos e absolutos. 194 a 197, 206, 208 e 209 e 212 a 219 4.2 +Resolver problemas envolvendo derivadas de funções trigonométricas e osciladores harmónicos. 199, 202, 203, 208, 209 e 212 a 219 funções exPonenCiais e funções logarítMiCas fel12 VOLUME 2 Juros CoMPostos e núMero de nePer 1. Operar com juros compostos e definir o número de Neper PÁGINAS DO MANUAL 1.1 Designar, dado um número real r , uma unidade de medida temporal T e n ! IN , por «aplicar juros 8 compostos à taxa de r % a T durante n períodos de tempo T » a um dado capital disponível em certo instante inicial t 0 , a operação que consiste em calcular um juro igual a r % do capital disponível no início de cada período de tempo com duração igual a T e adicioná-lo ao capital findo esse período, começando este processo a partir do instante t 0 , e levando-o a cabo n vezes seguidas. 1.2 Provar, dado um capital inicial C0 , que, aplicando-se juros compostos à taxa de r % a T , o capital 9 disponível ao fim de n ! IN períodos de tempo T é igual a Cn = C0c1 + r m. n 100 1.3 Justificar, dado um número real r , um número natural n e um capital C 0 disponível no início de um 10 determinado período de um ano, que, dividindo esse ano em n períodos iguais de medida temporal T r e aplicando juros compostos à taxa de n % a T durante esses n períodos ao capital inicial C 0 , o capital disponível ao fim do ano é igual a Cn = C0 c1 + r m. n 100n 11 e 12 1.4 +Provar que a sucessão de termo geral un = c1 + 1 m é crescente, majorada, justificar que é conver- n n gente, designar por «número de Neper» («e») o respetivo limite, interpretar todos estes resultados à luz da noção de juro composto e saber que e é um número irracional. funções exPonenCiais 2. Definir as funções exponenciais e estabelecer as respetivas propriedades principais 2.1 +Provar, dado um número real a > 0 , que a função definida no conjunto dos números racionais por 15 f(x) = ax é crescente se a > 1 e decrescente se a < 1. 2.2 +Provar, dado um número real a > 0 , que a função f definida no conjunto dos números racionais por 16 f(x) = ax satisfaz lim f(x) = 1 e justificar que f é contínua. x"0 2.3 +Provar, dado um número real a > 1 , que a função f definida no conjunto dos números racionais por 16 f(x) = ax satisfaz lim f(x) = +3 , utilizando o limite já conhecido lim an = +3 e o facto de ser x "+3 crescente. 2.4 Justificar, dado a ! IR , que a função f definida no conjunto dos números racionais por f(x) = a x 17 satisfaz lim f(x) = 0 quando a > 1 , e, quando 0 < a < 1 , lim f(x) = 0 e lim f(x) = +3. x "-3 x "+3 x "-3 VIII Metas curriculares © Santillana 001103 I-XVI.indd 8 01/02/17 19:04  2.5 Saber, dado um número real a > 0 e um número irracional x , que se (qn)n ! IN é uma qualquer suces- 17 e 18 são de números racionais de limite x , a sucessão de termo geral aqn é convergente e o respetivo limite depende apenas de x e de a , e que, representando esse limite por «ax» , se estende a função definida por f(x) = a x em QI ao conjunto IR , obtendo-se por este processo uma função contínua nesse con- junto, designada por «função exponencial de base a » , que mantém a monotonia, os limites em !3 e as propriedades algébricas de f em Q I : para todos x, y ! IR e b > 0 , a x × a y = a x + y , (ax)y = axy , x = a-x , y = ax - y , (ab)x = axbx e c m = x. x 1 a a x ax a a b b 2.6 Saber que, tal como no caso em que b ! Q I , mais geralmente quando b ! IR , a função definida em 21 IR+ por f(x) = xb é contínua. 22 e 23 2.7 Saber que a função definida em IR\[-1, 0] por f(y) = d1 + y n tem por limite e em !3 e justificar, y 1 dado x ! IR , que limb1 + n l = ex. x n 2.8 Designar a função exponencial de base e simplesmente por «função exponencial» e representá-la 24 também por «exp». eh -1 24 2.9 Saber que lim = 1 , referindo este limite como um «limite notável». h"0 h 2.10 Provar que a função exponencial é diferenciável em IR e que para todo o x ! IR , expl(x) = exp(x). 25 e 26 funções logarítMiCas 3. Definir as funções logarítmicas e estabelecer as respetivas propriedades principais 3.1 Reconhecer, dado um número real a > 0, a ! 1 , que a função f : IR " IR+ definida por f(x) = ax 34 e 35 é bijetiva e designar a respetiva bijeção recíproca, f -1: IR+ " IR , por «logaritmo de base a » , representá-la por «loga» , e justificar que 6x ! IR+, aloga(x) = x e 6x ! IR, loga(ax) = x. 3.2 Designar o logaritmo de base 10 por «logaritmo decimal», representando-o também por «log» 36 e designar o logaritmo de base e por «logaritmo neperiano», representando-o também por «ln». 3.3 Justificar que a função logaritmo de base a é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. 38 3.4 Justificar que x = 1 é o único zero da função logaritmo de base a > 0 , a ! 1 , e que, se a > 1 (respetiva- 38 mente se 0 < a < 1 ) , 6x ! IR+, loga(x) > 0 + x > 1 (respetivamente 6x ! IR+, loga(x) < 0 + x > 1 ). 3.5 Justificar, dado a > 1 , que lim loga(x) = -3 e que lim loga(x) = +3. 39 x"0 x "+3 3.6 Justificar, dado 0 < a < 1 , que lim loga(x) = +3 e que lim loga(x) = -3. 39 x"0 x "+3 40 e 41 3.7 #Provar, dado a > 0, a ! 1 , e x, y ! IR+ , que loga(xy) = loga(x) + loga(y) , logad 1 n = -loga(y) , y e logac m = loga(x) - loga(y) e loga(x y) = y loga(x). x y logb (x) 42 3.8 #Provar, dados a, b > 0 , a ! 1 e b ! 1 , que loga(x) =. logb (a) 3.9 Justificar, dado a > 0 e x ! IR , que ax = exln(a). 36 3.10 Justificar, dado a > 0 , que a função exponencial de base a é diferenciável e que a respetiva derivada 46 é dada, em IR , pela expressão ln(a)ax. Metas curriculares © Santillana IX 001103 I-XVI.indd 9 01/02/17 19:05 Metas curriculares 3.11 +Provar, dado a > 0, a ! 1 , que loga é diferenciável e que para todo o x ! IR+ , 47 e 48 1 1 logla(x) =. ln (a) x 3.12 Justificar, dado a ! IR\ Q I , que a função x a é diferenciável para x > 0 , de derivada ax a - 1 , 49 estendendo-se assim o caso já conhecido correspondente a a racional. liMites notáVeis 4. Conhecer alguns limites notáveis envolvendo funções exponenciais e logarítmicas ex 54 e 55 4.1 +Provar que lim = +3. x "+3 xk ln (x) 56 4.2 Justificar que lim x =0. x "+3 4.3 +Calcular limites de funções e sucessões envolvendo logaritmos e exponenciais. 23, 25, 28 a 31, 57 a 60, 69 a 71 e 74 a 81 Modelos exPonenCiais 5. Estudar modelos de crescimento e decrescimento exponencial 5.1 Saber que a evolução de determinadas grandezas, como a massa de uma substância radioativa, a tem- 61 e 62 peratura de alguns sistemas ou o número de indivíduos de certas populações, pode ser modelada por uma «equação diferencial de 1.ª ordem» da forma fl = kf , que traduz o facto de, em cada instante, a taxa de variação ser aproximadamente proporcional à quantidade de grandeza presente. 5.2 Justificar, dado um número real k , que as funções f(x) = cekx , onde é uma constante real, são solu- 62 e 63 ções em IR da equação diferencial fl = kf e que todas as soluções desta equação são dessa forma, mostrando que dada uma qualquer solução f , tem derivada nula a função e-kx f(x). 6. Resolver problemas 6.1 +Resolver problemas envolvendo juros compostos. 9, 10, 28 a 31 e 74 a 81 6.2 +Resolver problemas envolvendo as propriedades algébricas das funções exponenciais e logarítmicas. 19 a 21, 28 a 31, 35, 36, 39, 41 a 45, 50 a 53 e 74 a 81 6.3 +Resolver problemas envolvendo o estudo de funções definidas a partir de funções exponenciais 26 a 31, 46, e logarítmicas, a determinação dos respetivos intervalos de monotonia bem como os extremos relativos 48 a 53, e absolutos e a existência de assíntotas ao respetivo gráfico. 69 a 71 e 74 a 81 6.4 +Resolver problemas envolvendo a modelação de sistemas por equações da forma yl = ky, k ! IR. 63 a 71 e 74 a 81 X Metas curriculares © Santillana 001103 I-XVI.indd 10 01/02/17 19:05  PriMitiVas e CálCulo integral PCi12 VOLUME 2 noção de PriMitiVa 1. Definir a noção de primitiva PÁGINAS DO MANUAL 1.1 Designar, dada uma função f real definida num intervalo I , uma função F por «primitiva de f em 90 e 91 I » quando F é diferenciável em I , e, para todo o x ! I, Fl(x) = f(x) e designar f como «primiti- vável em I » quando f admite uma primitiva nesse intervalo. 1.2 Justificar, dada uma função f primitivável num intervalo I e F e G duas primitivas de nesse inter- 91 valo f , que a função F - G é constante em I. 1.3 Justificar que, se f é primitivável num intervalo I , então, as primitivas de f nesse intervalo são as 91 funções definidas pelas expressões F(x) + c, c ! IR , onde F é uma qualquer primitiva de f em I , representar esta expressão por «Pf» ou por «# f(x)dx» e designar as constantes c por «constantes de primitivação». 1.4 Justificar, dado um intervalo I , um ponto a ! I, b ! IR e uma função f primitivável em I , que 93 existe uma única primitiva de F em I tal que F(a) = b. 1.5 Calcular e conhecer de memória as primitivas das funções «de referência para a primitivação»: 94 1 1 , xa (a ! IR\{0, -1}) , x , ex , sin x e cos x. 1.6 Justificar, dadas funções f e g primitiváveis num intervalo I e k ! IR , que f + g e kf são 96 primitiváveis em I , que a soma de uma primitiva de f com uma primitiva de g é uma primitiva de f + g e o produto de uma primitiva de f por k é uma primitiva de kf e representar estes resultados, respetivamente, pelas expressões «# ^f(x) + g(x)hdx = # f(x)dx + # g(x)dx» e «# kf(x)dx = k# f(x)dx» , quando estas notações não forem ambíguas e designá-los conjuntamente por «linearidade da primitivação». 1.7 +Calcular primitivas de funções dadas por expressões da forma ul(x) f^u(x)h , sendo conhecida uma 96 e 97 primitiva de f. noção de integral 2. Abordar intuitivamente a noção de integral definido 2.1 Identificar, dado um referencial cartesiano e uma função f contínua e não negativa num intervalo 99 [a, b] (a G b) , o «integral de f entre a e b » c y f (x) dx m como a medida, na unidade quadrada b a associada à unidade de comprimento desse referencial, da área da região do plano delimitada pelas retas de equação x = a e x = b , o eixo das abcissas e o gráfico de f. 100 2.2 Conhecer a origem histórica da expressão « y f(x)dx» , representando o símbolo «#» uma «soma» b a e «f(x)dx» a medida da área de um «retângulo» com lados de medida f(x) e «dx» , sendo esta última «infinitesimal». 100 2.3 Saber que, na expressão « y f(x)dx» , o símbolo «x» pode ser substituído por qualquer outro e designar, b a por esta razão, a variável x como «muda». 2.4 Reconhecer, dadas funções f e g e contínuas e não negativas num intervalo [a, b], (a G b) , que se 100 para todo o x ! [a, b], g(x) < f(x) , então, y a b g(x)dx G y a b f(x)dx , e designar esta propriedade por «monotonia do integral definido». Metas curriculares © Santillana XI 001103 I-XVI.indd 11 01/02/17 19:05 Metas curriculares 2.5 Reconhecer, dada uma função f contínua não negativa num intervalo [a, b], (a < b) , que a função Fa 102 definida em [a, b] por Fa(x) = y a b f(t)dt é a primitiva de f no intervalo [a, b] nula em a e designar este resultado por «Teorema fundamental do cálculo (integral)». 104 2.6 Provar, dada uma função f contínua não negativa num intervalo [a, b], (a < b) , que ya b f(t)dt = [F(x)]ba , onde F é uma qualquer primitiva de f no intervalo [a, b] e [F(x)]ba = F(b) - F(a) , e designar este resultado por «Fórmula de Barrow». 2.7 Saber, dada uma função f contínua não negativa num intervalo I e dois pontos a e b de I tais que 104 e 105 y f(x)dx = - y f(x)dx e justificar que com esta convenção, dados quais- a b a < b , que, por convenção, b a quer pontos a, b e c de I , se tem y a b f(x)dx = y a c f(x)dx + yc b f(x)dx , designando este resultado por «relação de Chasles». 2.8 Identificar, dado um referencial cartesiano e uma função f contínua num intervalo [a, b] (a G b) tal 106 que f(x) G 0 para x ! [a, b] , o «integral de f entre a e b » c y f (x) dx m como o simétrico da b a medida da área da região do plano delimitada pelas retas de equação x = a e x = b , o eixo das abcissas e o gráfico de f e reconhecer que se tem y b a f(x)dx = - y -f(x)dx. a b 2.9 Reconhecer, dadas funções f e g contínuas e não negativas ou não positivas num intervalo [a, b] (a G b) , 106 y ^f(x) + g(x)hdx = y y y kf(x)dx = k y f(x)dx e designar o conjunto b b b b b que f(x)dx + g(x)dx e que a a a a a destes resultados por «linearidade do integral definido». 2.10 Identificar, dada uma função f contínua de domínio [a, b] (a G b) para a qual existe k ! IN , {0} 108 e c0, c1, … , ck + 1 , com a = c0 < c1 < … < ck + 1 = b , tal que f é não negativa ou não positiva em cada um dos intervalos [cj, cj + 1] (0 G j G k) , o integral f de entre a e b , y a b f(x)dx , como a soma yc0 c1 f(x)dx + yc1 c2 f(x)dx + … + y ck ck + 1 f(x)dx , reconhecendo que este valor não depende da sequência (c1, … , ck) e saber que se podem estender a esta categoria de funções a propriedade de monotonia do integral, o Teorema fundamental do cálculo, a fórmula de Barrow, a relação de Chasles (com a mesma convenção relativa à inversão dos extremos de integração) e a propriedade de linearidade. 3. Resolver problemas 3.1 +Resolver problemas envolvendo o cálculo de integrais definidos. 104, 106, 113 a 115 e 118 a 121 3.2 +Resolver problemas envolvendo funções posição, velocidade, aceleração e a primitivação e integração 97, 98, de funções reais de variável real. 113 a 115 e 118 a 121 3.3 +Resolver problemas envolvendo a determinação da medida da área de regiões do plano delimitadas 111 a 115 por gráficos de funções. e 118 a 121 XII Metas curriculares © Santillana 001103 I-XVI.indd 12 01/02/17 19:05  núMeros CoMPlexos nC12 VOLUME 2 introdução aos núMeros CoMPlexos 1. Conhecer o contexto histórico do aparecimento dos números complexos e motivar a respetiva construção PÁGINAS DO MANUAL 1.1 Saber que, em meados do século xvi, Girolamo Cardano apresentou uma fórmula, dita «fórmula resol- 128 vente para equações do terceiro grau», que permite obter uma solução real de equações do terceiro grau da forma x3 + px + q = 0 em função dos números reais p e q. 1.2 Saber que, ao substituir formalmente p e q por certos valores na fórmula de Cardano, esta passa 129 e 130 a apresentar o símbolo « -1 » e que, operando formalmente com este símbolo, considerando em particular que « -1 × -1 = -1» , se obtém efetivamente uma solução real da equação x3 + px + q = 0 , e que este facto está na origem da motivação para se definir adequadamente um «número» cujo quadrado é igual a -1. 1.3 +Reconhecer que, se existir um conjunto C contendo IR , munido de duas operações «+» e «×» que 130 estendem respetivamente a operação de adição e de multiplicação de números reais, mantendo os mes- mos elementos neutros, que são associativas, comutativas, tais que «×» é distributiva relativamente a «+» , e tal que C contém um elemento i que satisfaz i × i = -1 , então, para a, b, c, d ! IR , tem-se necessariamente em C a equivalência a + bi = c + di + a = c / b = d , bem como as igualdades (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i e (a + bi) × (c + di) = ac - bd + (ad + bc)i , notando, em particular, que os resultados das operações «+» e «×» sobre elementos de C da forma x + yi (x, y ! IR) têm essa mesma forma. 2. Definir o corpo dos números complexos 2.1 Definir em IR 2 uma operação aditiva «+» por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e uma operação 131 multiplicativa «×» por (a, b) × (c, d) = (ac - bd, ad + ac) ^(a, b), (c, d) ! IR2 h , designar o conjunto IR 2 , quando munido destas duas operações, por «corpo dos números complexos» e representá-lo por C. 2.2 Justificar que as operações «+» e «×» , definidas em IR2 , são associativas, comutativas, que (0, 0) e (1, 0) 133 são respetivamente os elementos neutros de «+» e «×» e que «×» é distributiva relativamente a «+». 2.3 Justificar que, dados a, c ! IR, (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) e (a, 0) × (c, 0) = (ac, 0) e, por esta razão, 131 identificar IR com um subconjunto de C , associando a cada x ! IR o par ordenado (x, 0) ! C e representando, portanto, o número complexo (x, 0) por «x». 2.4 Representar o número complexo (0, 1) por «i» , designá-lo por «unidade imaginária» e provar que 131 i2 = -1. 2.5 Provar que, dado um número complexo z , existe um único número real a e um único número real b 131 e 132 tais que z = a + bi , observando que z é, por definição, um par ordenado (a, b) ! IR 2 e que (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi. 2.6 Designar, dado um número complexo z = a + bi (a, b ! IR) , a por «parte real de z » e b por «parte 132 imaginária de z » , e representá-las respetivamente por Re(z) e por Im(z). 2.7 Justificar que um número complexo z é real se e somente se Im(z) = 0 e designar por «números ima- 132 ginários puros» os números complexos não reais tais que Re(z) = 0. 2.8 Justificar, dados a + bi, c + di ! C , que (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i e que 133 (a + bi) × (c + di) = ac - bd + (ad + bc)i. 2.9 Designar, dado um plano munido de um referencial ortonormado direto e a, b ! IR , o ponto de coor- 134 e 135 denadas (a, b) como o «afixo do número complexo z = a + bi » e reconhecer que se podem assim representar os números complexos no plano, designando, neste contexto, o plano por «plano complexo» ou «plano de Argand», o eixo das abcissas por «eixo real» e o eixo das ordenadas por «eixo imaginário». 2.10 Justificar, dados números complexos z = x + yi e z0 = a + bi , x, y, a, b ! IR , que o afixo de z + z0 135 é a imagem pela translação de vetor u(a, b) do ponto M , afixo de z. Metas curriculares © Santillana XIII 001103 I-XVI.indd 13 01/02/17 19:05 Metas curriculares 3. Operar com números complexos 3.1 Designar, dado um número complexo z = a + bi , a, b ! IR , por «conjugado de z » o número com- 137 plexo a - bi , representando-o por z , e justificar que o ponto afixo de z é a imagem pela reflexão de eixo real do ponto afixo de z. 3.2 Justificar, dados números complexos z e w , que z + w = z + w , zw = z w e z = z. 138 z+z z-z 138 3.3 Justificar, dado um número complexo z , que Re(z) = e que. 2 2i 3.4 Justificar, dado um número complexo z ! 0 , que z é um número real (respetivamente um número 139 imaginário puro) se e somente se z = z (respetivamente z = -z ). 3.5 Designar, dado um número complexo z , por «módulo de z » a medida da distância, no plano complexo, 139 e 140 entre a origem e o ponto afixo de z , representá-lo por z , justificar que se z = a + bi, a, b ! IR , z = a 2 + b 2 , que o módulo de um número complexo estende a noção de módulo de um número real e que se tem a equivalência z = 0 + z = 0. 3.6 Provar, dados pontos A e B afixos respetivamente dos números complexos z 1 e z 2 , que 140 AB = z2 - z1. 3.7 Justificar, dados números complexos z e w , que zw = z w , z = z , z 2 = zz e 141 z + w G z + w , designando esta última propriedade por «desigualdade triangular». 3.8 Designar, dado um número complexo z não nulo, por «inverso de z » um número zl tal que zz = 1 , 142 1 1 justificar que existe e é único, representá-lo por « z » e provar que o inverso de z é igual a 2 z. z 3.9 Designar, dados números complexos z e w , z ! 0 , o «quociente de w por z » como o número 142 e 143 w complexo pelo qual se tem de multiplicar z para obter w , representá-lo por « z » e justificar que w 1 z =w× z. 144 e que c z m = w w w w 3.10 Justificar, dados números complexos z e w , z ! 0 , que z = z. z 4. Definir a forma trigonométrica de um número complexo 4.1 Designar um número complexo z de módulo 1 por «unitário» e justificar, dado um número complexo z , 150 e 151 que z é unitário se e somente se existir um número real a tal que z = cos a + i sin a , designando a , nesse caso, por um «argumento de z » e justificar que dois argumentos de um mesmo número complexo diferem por 2kr, k ! Z. 4.2 Justificar, dados números complexos unitários z1 = cos a + i sin a e z2 = cos b + i sin b , a, b ! IR , 151 e 152 z1 que z1z 2 = cos(a + b) + i sin(a + b) e que z = cos(a - b) + i sin(a - b) , representar, para 2 i ! IR , o número complexo cos i + i sin i por «eii» , designando esta expressão por «exponencial e ia complexa de ii » e motivar esta notação observando que se tem eia eib = ei(a + b) e ib = ei(a - b). e 4.3 +Reconhecer, dado um número complexo z ! 0 , que existe um único número positivo r e um único 153 e 154 número complexo unitário w tais que z = rw , que r = z e se i for um argumento de w , designar igualmente i por um «argumento de z » , interpretando geometricamente r e i. XIV Metas curriculares © Santillana 001103 I-XVI.indd 14 01/02/17 19:05  4.4 Designar a representação de um número complexo z ! 0 na forma z eii , onde i é um argumento 154 e 155 de z , por «forma trigonométrica» (ou «forma polar») de z , e justificar, dados números complexos não nulos z e zl de argumentos respetivamente iguais a i e a il , que z = zl se e somente se z = zl e existir k ! Z tal que i = il + 2kr , interpretando geometricamente esta equivalência. 4.5 Justificar, dado um número complexo z ! 0 , que existe um único argumento de z no intervalo 157 ]-r, r] , designá-lo por «argumento principal de z » e representá-lo por «Arg(z)». 4.6 Justificar, dado um número real i , que se M é o afixo de um número complexo z , o afixo do número 158 complexo eiiz é a imagem de M pela rotação de centro O e ângulo generalizado de medida i. 4.7 Justificar, dado um número complexo z0 ! 0 , que se M é o afixo de um número complexo z , o afixo 159 do número complexo z0z é a imagem de M pela rotação de centro O e ângulo orientado de medida i , argumento de z0 , composta com a homotetia de centro O e razão z0. 4.8 Justificar que i é um argumento do número complexo não nulo z = a + bi , a, b ! IR , se e somente 156 a b b se cos(i) = e sin(i) = e que, nesse caso, se a ! 0 , tan(i) = a. 2 2 2 2 a +b a +b 4.9 Provar, dado i ! IR e n ! IN , que (cos i + sin i)n = cos(ni) + i sin(ni) e designar este resultado 160 por «Fórmula de De Moivre». 5. Extrair raízes n-ésimas de números complexos 5.1 +Reconhecer, dado um número complexo w ! 0 e um número natural n H 2 , que a equação zn = w 162 a 164 ic m n a 2rk + tem exatamente as n soluções zk = w e n , k = 0, 1, … , n - 1 , onde a é um argumento n de w , e designar estes números por «raízes n-ésimas de w » ou «raízes de ordem n de w ». 5.2 Reconhecer, dados a, b, c ! IR, (a ! 0) , que, se D = b2 - 4ac < 0 , as raízes da equação 165 e 166 -b + i 4ac - b 2 -b - i 4ac - b 2 az2 + bz + c = 0 , em C , são dadas por z1 = e z2 =. 2a 2a 6. Resolver problemas 6.1 +Resolver problemas envolvendo números complexos e as respetivas propriedades algébricas. 136, 143 a 149 e 182 a 189 6.2 +Resolver problemas envolvendo a representação, por números complexos, de isometrias do plano 167, 168, 174 a (translações, reflexões e rotações) ou outras transformações do plano, como as homotetias. 177 e 182 a 189 6.3 +Resolver problemas envolvendo a representação trigonométrica de números complexos. 161, 174 a 177