Apuntes de Matemáticas Avanzadas Bloque 3 PDF

Matemáticas avanzadas Bloque 3  M atemáticas avanzadas Contenido 4. Conjuntos 4.1. Concepto y definición 4.2. Notación 4.3. Operaciones de conjunto 4.4. Álgebra de conjuntos 2 ...

Matemáticas avanzadas Bloque 3  M atemáticas avanzadas Contenido 4. Conjuntos 4.1. Concepto y definición 4.2. Notación 4.3. Operaciones de conjunto 4.4. Álgebra de conjuntos 2  C onjuntos bloque tres Clave ACTIVIDADES SUMATIVAS Son las distintas tareas que desarrolla el estudiante para verificar el logro de un objetivo de aprendizaje Actividades de aprendizaje específico: ensayos, mapas mentales o conceptuales, cuadros comparativos, entre otras. Son entregables que representen alguna práctica Actividad integradora en contextos laborales: proyectos, análisis de casos, diseño de propuestas, entre otros. Es un examen de opción múltiple que contempla Evaluación final reactivos de la totalidad de contenidos de la materia. Es un espacio para la discusión grupal a partir de Foro de discusión preguntas detonadoras o los resultados de actividades previas. Desarrollo de contenido creado y enriquecido por Wiki múltiples usuarios, que se publica en la web. Desarrollo de contenido que puede ser creado y Blog enriquecido por uno o varios usuarios, que se publica en la web de forma cronológica. LECTURAS Lectura base Lectura complementaria Lectura recomendada Artículos de difusión o de reporte Literatura consolidada del área de de investigación que muestran Lectura breve que muestra conocimiento, considerada como reflexiones o aplicaciones reales un enfoque diferente de “libro de texto”. El formato puede que se vinculan con los temas los temas estudiados. ser texto, audio o video. estudiados. El formato puede ser texto, audio o video. 3  M atemáticas avanzadas INSTRUCCIONES Y RECURSOS Actividades formativas Estudio de caso Reflexión Ejercicio Proposición breve que pretende Descripción breve de una Actividad breve y replicable que enfatizar información relevante situación que permita aplicar las permite detonar, desarrollar del tema para considerar sus competencias que se pretende o comprobar aprendizajes. implicaciones en la práctica. desarrollar. Actividad sugerida, no Actividad sugerida, no tiene Actividad sugerida, no tiene tiene impacto en la evaluación. impacto en la evaluación. impacto en la evaluación. Reforzadores Ejemplo ¿Sabías que…? Tip Proposición breve que pretende Descripción breve de una Actividad breve y replicable que enfatizar información relevante situación que permita aplicar las permite detonar, desarrollar del tema para considerar sus competencias que se pretende o comprobar aprendizajes. implicaciones en la práctica. desarrollar. Actividad sugerida, no Actividad sugerida, no tiene Actividad sugerida, no tiene tiene impacto en la evaluación. impacto en la evaluación. impacto en la evaluación. MULTIMEDIA Clip de video Clip de audio Recurso web Recomendación de recurso Recomendación de sitios Recomendación de recurso didáctico didáctico breve (no mayor a cinco web ajenos a la plataforma breve (no mayor a cinco minutos) que minutos) que ilustra un tema en de IEU, con información explica un tema en formato de audio. formato de video. relevante sobre un tema. 4  C onjuntos bloque tres Introducción Un conjunto es aquella agrupación de elementos y valores que tienen una relación, atributos y características semejantes entre sí, y que se utiliza para agrupar y ordenar números reales y naturales. Con base en lo anterior, en el tercer bloque estudiaremos temas relacionados con el concepto y la definición de conjuntos, al igual que sus propiedades y características principales. Enseguida, examinaremos la notación que se emplea para realizar la representación de conjuntos, a fin de comprender su forma y estructura. Además, llevaremos a cabo Consulta la presentación operaciones con conjuntos, para conocer las principales operaciones del autor y cómo afectan a otros conjuntos. Finalmente, desarrollaremos operaciones con álgebra de conjuntos, para aplicar reglas o teoremas algebraicos a dichos conjuntos de valores. Objetivo del bloque Realizar operaciones matemáticas de conjuntos, por medio de diagramas de Venn y álgebra de conjuntos, para identificar sus características y atributos, así como su aplicación. 5  M atemáticas avanzadas Lecturas base Estruch Fuster, V., Gregori Gregori, V. y Roig Sala, B. (2017). Álgebra matricial (pp. 13-21). Valencia: Universitat Politècnica de València. Recuperado de: shorturl.at/vMR02 Capitelli, N. A., Escayola, R. M., Fernández, X. L., Rossi, G. D. (2019). Álgebra A (pp. 19-24). Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Eudeba. Recuperado de: shorturl.at/tuGLR Ortiz Aguirre, I. J., Henríquez Antepara, E. J., Rodríguez Revelo, E., Ruata Avilés, S. A. y Cañizales Perdomo, B. C. (2020). La didáctica de la teoría de conjuntos y las probabilidades: una mirada hacia las ciencias y la ingeniería (pp. 6-19). Texas: Tecnocientífica Americana. Recuperado de: shorturl.at/ioDLY Lecturas complementarias Ceballos, L., Zambrano, J., Ortiz, W., Leyva, M., Yudelnabis, L. Y Smarandache, F. (2018). Enfoque didáctico de la teoría de conjuntos y probabilidades (pp. 44-63). Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas / Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas / Universidad de Guayaquil. Recuperado de: shorturl.at/ahjxN García Pérez, C. (2018). Unidad V. Teoría de conjuntos (pp. 2-11). Recuperado de: shorturl.at/bdjsF Maximenko, E. (2017). Operaciones con conjuntos (pp. 1-10). Recuperado de: shorturl.at/cruHW 6  C onjuntos bloque tres 4. Conjuntos Un conjunto es aquella agrupación de elementos y valores que tienen una relación, atributos y características semejantes entre sí, y se utiliza en las matemáticas para agrupar y ordenar números reales y naturales. Con base en lo anterior, estudiaremos temas relacionados con el concepto y la definición de conjuntos, su notación para hacer representaciones, además realizaremos operaciones de conjuntos con diagramas de Venn y expresiones a través del álgebra de conjuntos. 4.1. Concepto y definición Gracias a la representación axiomática de la teoría de conjuntos, propuesta por Georg Cantor, se logró formalizar la noción de infinito, mediante formas de números transfinitos, es decir, números cardinales y ordinales. De acuerdo con esto, los números infinitos no tienen el mismo tamaño o el mismo cardinal. Aguilar, Bravo, Gallegos, Cerón y Reyes (2009) expresan que “un conjunto es una colección de objetos con características definidas. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas y sus elementos se delimitan con llaves y se separan con comas” (p. 225). Por ejemplo, un conjunto de vocales se puede representar A = {a, e, i, o, u}; el conjunto de números, N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…}, al igual que el conjunto de días de la semana, S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}. Por otra parte, para indicar que un elemento pertenece o no pertenece a un conjunto se emplean los símbolos y respectivamente. Por ejemplo, el conjunto B = {a, e, i, o, u} tiene una u que pertenece al conjunto B y se representa como u B, mientras que x no pertenece a B y se representa como x B. Asimismo, existen conjuntos de números, los cuales se clasifican de la siguiente forma (Aguilar et al., 2009, p. 226): Número naturales: N = {1, 2, 3, 4 ,5 ,6 ,7…} Números enteros: Y = {… -, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…} Números racionales: Y = { x I x = p/q, q Z, q ≠ 0 } Números irracionales: aquellos que no se expresan como el cociente de dos números enteros, por ejemplo, la raíz cuadra de un número, el valor de π (Pi), entre otros. Números reales: consiste en la unión de los números racionales con los irracionales. También es importante mencionar cómo se dividen los tipos de números. A continuación, enlistamos dicha clasificación (Aguilar et al., 2009, p. 226): Números dígitos: estos se encargan de mostrar la base del sistema decimal, por ejemplo, 0, 1, 2, 3, 4, 5,… Números par: son aquellos números divisibles entre dos, por ejemplo, 2, 4, 6, 8,… 7  M atemáticas avanzadas Números impar: son aquellos que no son divisibles entre dos, por ejemplo, 1, 3, 5, 7,… Números primos: son aquellos números que tienen dos divisores: uno, y el mismo número, por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 9, 11,… Números compuestos: son aquellos que tienen dos o más divisores primos, por ejemplo, 4, 6, 8, 9, 10, 14,… Múltiplo de números: es el múltiplo de un numero k, de forma nk, donde n es un numero natural, por ejemplo, múltiplo de 3 es 3, 6, 9, 12,… Si deseas profundizar en los Si deseas profundizar en los conceptos y propiedades de los conceptos y propiedades conjuntos, observa el siguiente video, el cual muestra que los de los conjuntos, observa conjuntos están conformados por un grupo de objetos que el siguiente video, el cual comparten atributos semejantes entre sí. muestra que los conjuntos Una vez que hemos conocido el concepto y definición de los están conformados por conjuntos, en el siguiente tema analizaremos cómo realizar la un grupo de objetos que notación correcta de los conjuntos para se expresen de forma comparten atributos matemática. semejantes entre sí. 4.2. Notación La notación o representación de un conjunto se lleva a cabo de forma descriptiva (por comprensión) y de forma enumerativa (por extensión). Según Aguilar et al. (2009), la forma descriptiva o por comprensión menciona “la característica principal de los elementos del conjunto” (p. 227). Por ejemplo, para representar el conjunto S = {x n I x es divisor de 7} en forma descriptiva, este se interpreta como “x pertenece al conjunto de los números naturales, por lo que x es un divisor de siete”, por tanto, x es una variable que cumple con los atributos del conjunto S. Por otro lado, Aguilar et al. (2009) dicen que en la forma enumerativa “se enlistan los elementos del conjunto; si algún elemento se repite, se considera una sola vez” (p. 227). Por ejemplo, el conjunto N= {n M I n < 6} se lee de la siguiente manera: “los números naturales que son menores a 6” y su representación enumerativa es: N = {1, 2, 3, 4, 5}. 8  C onjuntos bloque tres Ahora bien, otro concepto importante es la cardinalidad de un conjunto, la cual se refiere al número de elementos que están dentro del conjunto, por ejemplo, la cardinalidad del conjunto C = {x I x es compuesto menor que 8, x N}, por lo que la forma enumerativa del conjunto C es: C = {2, 4, 6, 7}; su cardinalidad es cuatro y se denota de la siguiente manera: n(C) = 4. Del mismo modo, dentro de la cardinalidad se encuentra un conjunto finito, el cual es un conjunto que tiene una cardinalidad definida y establecida. Por ejemplo, el conjunto D = {x I x es un día de la semana}, y su solución enumerativa es B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}, es decir, que es un conjunto de siete elementos con una cardinalidad definida y es un conjunto del tipo finito. Por otra parte, un conjunto infinito es aquel cuya cardinalidad no está claramente establecida y definida, ya que es exageradamente grande para contarlo. Por ejemplo, determinaremos si el conjunto D = {x M I x es un múltiplo de 5} es infinito. Por tanto, la forma enumerativa del conjunto D será la siguiente: D = {5, 10, 15, 20, 25, 30,…}, es decir, que se trata de un conjunto indefinido con una cardinalidad n (D) = ∞. Un conjunto vacío, llamado también nulo, es el conjunto que no tiene elementos y se denota { }, por ejemplo, determinaremos si el conjunto A = {x N I 2x - 1 = 0}. El valor que cumple con la igualdad es ½, pero este no valor no forma parte del conjunto de los números naturales, en consecuencia, el conjunto A esta vacío, por lo que A = { }, y presenta una cardinalidad de n(A) = 0. Ahora bien, también se encuentran los conjuntos equivalentes, los cuales aplican para dos conjuntos como A y B que no sean vacíos, donde A es igual al conjunto B, solo si tiene la misma cantidad de cardinalidad, además se denota como A = = B, y se lee “A es equivalente a B”. Por ejemplo, si el conjunto A = {x N I x es divisor de 6} y B = {a, e, i, o} se deberá comprobar que son conjuntos equivalentes; por tanto, los cardinales quedarían de la siguiente manera: n(A) = 4 y n(B) = 4, por ende, son conjuntos equivalentes A = = B. Asimismo, existen los conjuntos iguales, los cuales tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos. Por ejemplo, el conjunto A = {x N I x es divisor de 6} y B = {1, 2, 3, 6}, ¿son iguales? La forma enumerativa de estos conjuntos sería: A = {1, 2, 3, 6} y B = {1, 2, 3, 6}, por lo que tienen la misma cardinalidad: n(A) = n(B) = 4, y los mismos elementos, por lo que ambos conjuntos son iguales. Por otro lado, están los conjuntos disjuntos, que son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común. Por ejemplo, el conjunto R = {x N I x es divisor de 5} y S = {x N I 2 < x > 5} y su forma enumerativa quedaría de la siguiente manera: R = {x N I x es divisor de 5} y S = {3, 4}, por tal motivo, estos conjuntos no tienen elementos en común y son disjuntos. En otro orden de ideas, cuando se tienen demasiados elementos es posible dividirlos en pequeños grupos, los cuales se denominan subconjuntos. Con base en lo anterior, para Aguilar et al. (2009), “dado un conjunto S se dice que A es subconjunto de S, si todos los elementos de A están contenidos en el conjunto S y se denota por A S” (p. 231). Esto quiere decir que un conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto. 9  M atemáticas avanzadas Por ejemplo, verificaremos si los conjuntos A = {x I x es un digito} y B = {2, 4, 6, 8} son B A. La forma enumerativa del conjunto A sería: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,}, por lo que los elementos de A están dentro del contenido del conjunto B, por tanto, B A. Ahora bien, un subconjunto propio corresponde a dos conjuntos (A y B), donde el subconjunto B es propio de A, si todos los elementos de B están en A y no son equivalentes, por ejemplo, tenemos dos conjuntos, E = {2, 4, 6, 8} y F = {2, 4, 6}, por tanto, verificaremos que E F; como podemos observar, todos los elementos del conjunto E están contenidos en el conjunto F, además E no es equivalente a F, por ende, el conjunto quedaría como el conjunto E F. Así pues, otro término que es importante conocer es el número de subconjuntos de un conjunto, el cual se representa en la siguiente fórmula: N(s) = 2n con n = cardinalidad. Por ejemplo, nuestro objetivo es demostrar que el número de subconjuntos del conjunto dado por S = {a, b, c, d}, por ello, la cardinalidad del conjunto es cuatro, entonces n = 4. Si aplicamos su fórmula, el número de subconjuntos = 24 = 16. Por otra parte, existe el conjunto con potencia, el cual se refiere al conjunto que forman todos los subconjuntos dentro de un conjunto. Por ejemplo, determinaremos el conjunto con potencia de P = {2, 4, 6, 8}, por tanto, el número del subconjunto P sería: N(s) = 24 Para conocer más acerca = 16. de la notación de los Finalmente, se encuentra el conjunto universo, el cual está conjuntos, observa el formado por los conjunto A, B, C, donde un subconjunto de un siguiente video, el cual conjunto U integra a todos los demás conjuntos, por ejemplo, el muestra varios ejemplos y conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los conjuntos A = {2, 4, 6, 8}, explica cómo se expresan B = {1, 2, 3, 4} y C = {1, 2, 6, 7}, entonces A U, B U, C U, por los conjuntos por extensión tanto, U es el conjunto universo. y por comprensión. Para conocer más acerca de la notación de los conjuntos, observa el siguiente video, el cual muestra varios ejemplos y explica cómo se expresan los conjuntos por extensión y por comprensión. Una vez que hemos analizado la notación de los conjuntos, en el siguiente tema estudiaremos cómo realizar operaciones con dichos conjuntos y cuáles son sus elementos. 10  C onjuntos bloque tres 4.3. Operaciones de conjunto Antes de comenzar a explicar las operaciones relacionadas con los conjuntos, es importante mencionar que para llevar a cabo la representación de conjuntos y realizar sus respectivas operaciones se utilizan los diagramas de Venn. Aguilar et al. (2009) indican que el diagrama de Venn “es la representación de un conjunto o conjuntos y sus operaciones, que delimitan figuras planas como círculos o rectángulos; por lo general, los círculos delimitan a los elementos del conjunto o conjuntos dados y los rectángulos demarcan al conjunto universo” (p. 232). Por ejemplo, si deseamos representar el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, a través de un diagrama de Venn, quedaría de la siguiente forma: Figura 1. Representación de un diagrama de Venn. Fuente: elaboración propia. Por otro lado, es posible representar en un diagrama de Venn al conjunto C = {x N I x es múltiplo de 3 menor que 17}, como se muestra en la siguiente figura: Figura 2. Diagrama de Venn para un conjunto. Fuente: elaboración propia. Como pudiste ver, la forma enumerativa del conjunto C = {3, 6, 9, 12, 15}, mientras que el conjunto universo alude a los números naturales. Ahora bien, también es posible representar dos conjuntos en un diagrama de Venn. Por ejemplo, la siguiente figura representa los conjuntos P = {1, 5, 7} y R = {2, 4, 6, 8} en un diagrama de Venn de la siguiente forma: 11  M atemáticas avanzadas Figura 3. Diagrama de Venn para dos conjuntos. Fuente: elaboración propia. Asimismo, si nuestra intención es representar un conjunto universo con dos conjuntos independientes como U = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18}, C = {2, 6, 10, 12} y D = {4, 6, 8, 10, 17}, se visualizaría de la siguiente manera: Figura 4. Diagrama de Venn de un conjunto universo. Fuente: elaboración propia. Estos elementos se colocan en la región en común de los conjuntos C y D, mientras que los elementos faltantes se colocan en la zona que sobra, y los elementos que no aparecen en ambos conjuntos se deberán insertar fuera. Ahora bien, si queremos representar un conjunto universo junto a dos conjuntos que no tienen elementos repetidos entre sí, se realizaría de la siguiente manera: Por ejemplo, U = {3, 4, 6, 9, 10, 12, 13, 17}, A = {3, 6, 9, 10} y B = {4, 12}. Al no haber elementos en común, los diagramas de Venn se colocarán separados, junto con sus elementos, y los que no aparecen se insertarán fuera de estos, como se muestra en la siguiente figura: 12  C onjuntos bloque tres Figura 5. Diagrama de Venn de conjuntos separados. Fuente: elaboración propia. Por otra parte, si nuestro objetivo es representar conjuntos que no tienen elementos entre sí, es posible hacerlo por medio de un diagrama de Venn, por ejemplo, si tenemos los conjuntos U {3, 4, 6, 8, 10, 12, 13}, A = {3, 6, 9, 10} y B = {4, 12}, se distribuirían de la siguiente manera: Figura 6. Diagrama de Venn de un conjunto universo que no tiene elementos entre sí. Fuente: elaboración propia. También se puede representar la intersección de tres o más conjuntos dentro de un conjunto universo por medio de un diagrama de Venn, a partir de los conjuntos U = {2, 4, 6, 9, 10, 11, 12,13, 16, 21}, A = {2, 5, 9, 10}, B = {2, 4, 6, 9} y C = {2, 4, 5, 16, 21}, como se muestra en la siguiente figura: Figura 7. Diagrama de Venn de tres conjuntos. Fuente: elaboración propia. 13  M atemáticas avanzadas Como pudiste observar, los elementos que se encuentran repetidos son insertados en la zona en común de los tres conjuntos, en cambio, los elementos sobrantes se insertan en sus respectivos conjuntos. Una vez que hemos revisado la representación de conjuntos por medio de los diagramas de Venn, a continuación estudiaremos las operaciones de conjuntos. La primera operación es la unión de conjuntos. Aguilar et al. (2009) indican que si “A y B son conjuntos no vacíos, entonces la unión de A y B se define como A B = { x | x A o x B }” (p. 234), la cual se representa en la siguiente figura a través del diagrama de Venn: Figura 8. Unión de conjuntos. Fuente: elaboración propia. Como pudiste ver, la unión de dos conjuntos es el conjunto que se constituye por los elementos de los dos conjuntos. Por ejemplo, tenemos los conjuntos P = {3, 5, 6, 8, 10} y Q = {2, 6, 8, 10}, y nuestro objetivo es encontrar su unión, P Q. La unión de estos conjuntos se conforma por todos los elementos de los dos conjuntos, mientras que los elementos que se repiten se deberán escribir solo una vez, por tanto, el resultado es el siguiente: P Q = {2, 3, 5, 6, 8, 10}. Analicemos otro caso hipotético, tenemos el conjunto E = {x N | x es divisor de 20} y F = {x N | x es divisor de 6}, y deseamos encontrar la unión de los conjuntos y representarla en un diagrama de Venn. Por tal motivo, su forma enumerativa sería: E = {1, 2, 4, 5, 10, 20} y F = {1, 2, 3, 6}, por lo que su resultado es E F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20} y el diagrama de Venn se visualiza en la siguiente figura: Figura 9. Unión de conjuntos. Fuente: elaboración propia. 14  C onjuntos bloque tres Otra de las operaciones de conjuntos es la intersección de conjuntos, la cual, con base en Aguilar et al. (2009), indica que si “A y B son conjuntos no vacíos, entonces su intersección de A y B es A B = {x | x A y x B}” (p. 235), además se representa al rellenar la región común de ambos conjuntos, como se muestra en la siguiente figura: Figura 10. Intersección de conjuntos. Fuente: elaboración propia. En dicha operación, solo se integran los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Por ejemplo, al representar los conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, P = {1, 2, 5, 6} y Q = {1, 4, 5, 6, 7} se seleccionarán únicamente los elementos que se repiten en ambos conjuntos, por tanto el conjunto P Q= {1, 5, 6}. La siguiente figura muestra dicha intersección. Figura 11. Diagrama de Venn de la intersección de conjuntos. Fuente: elaboración propia. Planteemos otro caso hipotético. Tenemos los conjuntos E = {x | x es un dígito} y F = {x N | x ≥ 8}, los cuales deberán representarse en un diagrama de Venn. Para ello, la forma enumerativa de ambos conjuntos es E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, F = {8, 9, 10, 11, 12,…}. Ahora debemos encontrar la intersección de los conjuntos y seleccionar los elementos que se repiten en los dos conjuntos. El resultado es E F = {8, 9} y se visualiza en la siguiente figura: 15  M atemáticas avanzadas Figura 12. Diagrama de Venn de la intersección. Fuente: elaboración propia. Por otro lado, otro tipo de conjunto es el conjunto complemento, el cual, según Aguilar et al. (2009), se origina cuando “U es el conjunto universo y A un subconjunto de U, por tanto, el complemento de A es A’ = {x | x U y x A}” (p. 237). Este conjunto tiene a los elementos que pertenecen a U y que no son parte del conjunto A, por lo que se denota como A’. El diagrama de Venn se representa a través del sombreado de la zona que está fuera del conjunto A, como se muestra a continuación. Figura 13. Diagrama de Venn conjunto complemento. Fuente: elaboración propia. Por ejemplo, identificaremos el complemento y el diagrama de Venn del conjunto B = {2, 3, 5, 7}, con el conjunto universo U = {x N | x ≤ 9}. Por tanto, la forma enumerativa del conjunto es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, mientras que su complemento B se representa como B’ = {1, 4, 6, 8, 9} y el diagrama de Venn se visualiza de la siguiente manera: 16  C onjuntos bloque tres Figura 14. Diagrama de Venn ejemplo conjunto complemento. Fuente: elaboración propia. Planteemos otro ejemplo hipotético. Tenemos los conjuntos U = {2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14}, C = {2, 5, 6, 9, 12} y D = {3, 5, 6, 8, 9}, y deseamos determinar la intersección de C’ D. En primer lugar, obtenemos el complemento de C: C’ = {3, 8, 10, 13, 14}, por lo que la intersección de C’ con el conjunto D será C’ D = {3, 8, 10, 13, 14} {3, 5, 6, 8, 9} = {3, 8} y el resultado final es el siguiente: C’ D = {3, 8}. Por otro lado, otra de las operaciones que se pueden llevar a cabo mediante los conjuntos es la diferencia de conjuntos. Empleando las palabras de Aguilar et al. (2009), “si A y B son conjuntos no vacíos, se define la diferencia como el conjunto que contiene los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen al conjunto B. La diferencia se representa como A - B” (p. 239), por tanto, su expresión algebraica es A - B = A Bc ={x | x A y x B} y el diagrama de Venn de la diferencia de conjuntos se visualiza de la siguiente manera: Figura 15. Diagrama de Venn de la diferencia de conjuntos. Fuente: elaboración propia. 17  M atemáticas avanzadas Por ejemplo, existen los conjuntos C = {a, b, c, d, e} y D = {a, e, i, o, u}, por lo que identificaremos C - D y representaremos su diagrama de Venn. La solución señala que el conjunto contiene los elementos que pertenecen a C y que no corresponden al conjunto D: C - D = {a, b, c, d, e} - {a, e, i, o, u}, por tanto, C - D = {b, c, d}. Figura 16. Diagrama de Venn de la diferencia de conjuntos. Fuente: elaboración propia. Por otra parte, es posible realizar operaciones de conjuntos que involucren exclusivamente a los diagramas de Venn, por ejemplo, podemos representar un diagrama de la operación (C D)’ de la siguiente manera: Figura 17. Diagrama de Venn de la unión de conjuntos. Fuente: elaboración propia. Ahora bien, el complemento es todo lo que no forma parte de la unión, en consecuencia, el diagrama de Venn se visualiza de la siguiente manera: 18  C onjuntos bloque tres Figura 18. Diagrama de Venn del complemento. Fuente: elaboración propia. Otro ejemplo del uso de diagramas de Venn consiste en representar la unión de (A B) C, por consiguiente, debemos crear un diagrama de Venn diferente para cada situación. En la siguiente figura se muestra el diagrama de Venn de la unión de los conjuntos A B. Figura 19. Diagrama de Venn de unión. Fuente: elaboración propia. Por otra parte, el diagrama de Venn que pertenece al conjunto C se representa de la siguiente manera: 19  M atemáticas avanzadas Figura 20. Diagrama de Venn de unión del conjunto C. Fuente: elaboración propia. Por lo tanto, la intersección de la unión entre los conjuntos A y B con el conjunto C corresponde al área que comparten las zonas sombreadas (ver figura 21). Figura 21. Diagrama de Venn de unión e intersección de conjuntos. Fuente: elaboración propia. Por otro lado, cuando se presenta un diagrama de Venn con la operación (A B) (A - C), se puede representar gráficamente; por tanto, debemos trazar el diagrama de Venn de la primera operación, tal como se muestra a continuación. 20  C onjuntos bloque tres Figura 22. Diagrama de Venn de intersección. Fuente: elaboración propia. Posteriormente, desarrollaremos el diagrama de Venn que pertenece a la diferencia del conjunto A - C y se representaría de la siguiente manera: Figura 23. Diagrama de Venn de la diferencia. Fuente: elaboración propia. Por último, la solución del conjunto corresponde a la unión del área sombreada (ver figura 24): Figura 24. Diagrama de Venn de la unión. Fuente: elaboración propia. 21  M atemáticas avanzadas Si deseas profundizar en las Una vez que hemos revisado la notación de los conjuntos, en operaciones con conjuntos, el siguiente tema estudiaremos el álgebra de conjuntos y su observa el siguiente video, aplicación. el cual muestra que es 4.4. Álgebra de conjuntos posible realizar operaciones con conjuntos, a través de la aplicación de la unión, la El álgebra de conjuntos es un área de las matemáticas que se intersección y la diferencia, encarga del estudio de las operaciones básicas que se pueden para obtener el resultado llevar a cabo con los conjuntos, como la unión, la intersección, la deseado. diferencia y los complementos. Con base en lo anterior, Aguilar et al. (2009) sostienen que el álgebra de conjuntos posee “los conjuntos U, A, B y C tales que A U, B UyC U, donde U es el conjunto universo” (p. 248), y las operaciones de conjuntos se muestran en la siguiente tabla: Tabla 1. Álgebra de conjuntos. Fuente: Aguilar et al. (2009, p. 248). Por ejemplo, para demostrar que la operación (A B)’ = A’ B’, debemos aplicar las definiciones de operaciones de conjuntos, de tal manera que: (Definición de complemento) Si x (A B)’, entonces x Uyx (A B) (Definición de unión de conjuntos) Si x (A B), por lo tanto, x Aox B (Definición de complemento) Si x Aox B, por consiguiente, x Ayx B (Definición de intersección de conjuntos) En consecuencia, x (A B) Siendo así, (A B) = A B 22  C onjuntos bloque tres Ahora bien, si aplicamos las leyes de álgebra de conjuntos que aparece en la tabla 1, podemos demostrar que (A B) (A B’) = A, por medio de lo siguiente: (Ley distributiva (18)) (A B) (A B’) = A (B B’) (Operaciones con conjuntos (9)) =A U (Operaciones con conjuntos (11)) =A Por otra parte, cuando utilizamos las leyes de operaciones con conjuntos, es posible comprobar que (A B) C = (A C ) (B C ), a través de las siguientes fórmulas: (Ley conmutativa (19)) (A B) C=C (A B) (Ley distributiva (17)) = (C A) (C B) (Ley conmutativa (19)) = (A C) (B C) Asimismo, si aplicamos las leyes del álgebra de conjuntos restantes, podemos probar que A (B C) = (A - B) (A - C), Si deseas comprender mediante los siguientes procedimientos: mejor cómo aplicar el (Ley de De Morgan (22)) álgebra de conjuntos, observa el siguiente video, A (B C)=A (B C) el cual demuestra que es (Ley distributiva (18)) posible realizar operaciones = (A B) (A C) algebraicas con conjuntos, a través de la unión e (Operaciones con conjuntos (5)) intersección, para obtener el = (A - B) (A − C ) resultado deseado. Con este tema hemos finalizado el tercer bloque de la materia Matemáticas para ingeniería. Te invitamos a realizar la actividad de aprendizaje correspondiente, para aplicar lo visto en un ejercicio práctico. 23  M atemáticas avanzadas Referencias Aguilar Márquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Gallegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M. y Reyes Figueroa, R. (2009). Matemáticas simplificadas (2ª ed.). México: Pearson Educación. Recuperado de: https:// elibro.net/es/lc/ieu/titulos/39550 24  C onjuntos bloque tres Actividad Operaciones con conjuntos en Excel Valor: 20% Consulta en la plataforma el objetivo de la actividad y las instrucciones correspondientes. Recuerda que si tienes alguna duda respecto del entregable o de los temas programados para esta semana, puedes resolverla con tu asesor, ya sea durante la sala online o solicitando una asesoría individual. Rúbrica Antes de realizar la actividad te sugerimos revisar la rúbrica en la plataforma, a fin de identificar con claridad los criterios con los que será evaluado tu entregable. Revisa los descriptivos de cada criterio y apégate al nivel óptimo para conseguir la puntación máxima. 25