Matemáticas Avanzadas Bloque 2 PDF

Matemáticas avanzadas Bloque 2  M atemáticas avanzadas Contenido 3. Elementos de álgebra superior 3.1. Números reales y operaciones algebraicas 3.2. Exponentes y radicales 3.3. Ecuaciones e inecuaciones lineales y cuadráticas 3.4. Sistema de...

Matemáticas avanzadas Bloque 2  M atemáticas avanzadas Contenido 3. Elementos de álgebra superior 3.1. Números reales y operaciones algebraicas 3.2. Exponentes y radicales 3.3. Ecuaciones e inecuaciones lineales y cuadráticas 3.4. Sistema de ecuaciones lineales 2  E lementos de álgebra superior bloque dos Clave ACTIVIDADES SUMATIVAS Son las distintas tareas que desarrolla el estudiante para verificar el logro de un objetivo de aprendizaje Actividades de aprendizaje específico: ensayos, mapas mentales o conceptuales, cuadros comparativos, entre otras. Son entregables que representen alguna práctica Actividad integradora en contextos laborales: proyectos, análisis de casos, diseño de propuestas, entre otros. Es un examen de opción múltiple que contempla Evaluación final reactivos de la totalidad de contenidos de la materia. Es un espacio para la discusión grupal a partir de Foro de discusión preguntas detonadoras o los resultados de actividades previas. Desarrollo de contenido creado y enriquecido por Wiki múltiples usuarios, que se publica en la web. Desarrollo de contenido que puede ser creado y Blog enriquecido por uno o varios usuarios, que se publica en la web de forma cronológica. LECTURAS Lectura base Lectura complementaria Lectura recomendada Artículos de difusión o de reporte Literatura consolidada del área de de investigación que muestran Lectura breve que muestra conocimiento, considerada como reflexiones o aplicaciones reales un enfoque diferente de “libro de texto”. El formato puede que se vinculan con los temas los temas estudiados. ser texto, audio o video. estudiados. El formato puede ser texto, audio o video. 3  M atemáticas avanzadas INSTRUCCIONES Y RECURSOS Actividades formativas Estudio de caso Reflexión Ejercicio Proposición breve que pretende Descripción breve de una Actividad breve y replicable que enfatizar información relevante situación que permita aplicar las permite detonar, desarrollar del tema para considerar sus competencias que se pretende o comprobar aprendizajes. implicaciones en la práctica. desarrollar. Actividad sugerida, no Actividad sugerida, no tiene Actividad sugerida, no tiene tiene impacto en la evaluación. impacto en la evaluación. impacto en la evaluación. Reforzadores Ejemplo ¿Sabías que…? Tip Proposición breve que pretende Descripción breve de una Actividad breve y replicable que enfatizar información relevante situación que permita aplicar las permite detonar, desarrollar del tema para considerar sus competencias que se pretende o comprobar aprendizajes. implicaciones en la práctica. desarrollar. Actividad sugerida, no Actividad sugerida, no tiene Actividad sugerida, no tiene tiene impacto en la evaluación. impacto en la evaluación. impacto en la evaluación. MULTIMEDIA Clip de video Clip de audio Recurso web Recomendación de recurso Recomendación de sitios Recomendación de recurso didáctico didáctico breve (no mayor a cinco web ajenos a la plataforma breve (no mayor a cinco minutos) que minutos) que ilustra un tema en de IEU, con información explica un tema en formato de audio. formato de video. relevante sobre un tema. 4  E lementos de álgebra superior bloque dos Introducción El álgebra superior, también conocida como álgebra abstracta, posee métodos de análisis y resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales y cuadráticas, así como la teoría de ecuaciones, entre otras áreas. Con base en lo anterior, en el segundo bloque estudiaremos temas relacionados con los números reales y las operaciones algebraicas. También conoceremos las características de los exponentes y los radicales, a través de diversos ejemplos y situaciones, y las ecuaciones e inecuaciones lineales y cuadráticas, así Consulta la presentación como su respectiva graficación. Para concluir, mostraremos diversos del autor métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Objetivo del bloque Realizar operaciones algebraicas, por medio de los sistemas de ecuaciones lineales, con la finalidad de resolver problemas de ecuaciones e inecuaciones lineales y cuadráticas. 5  M atemáticas avanzadas Lecturas base Castañeda Hernández, S., Barrios Sarmiento, A. y Gutiérrez García, I. (2017). Manual de álgebra lineal (pp. 26-64). Colombia: Universidad del Norte. Recuperado de: shorturl.at/oxDL5 De Oteyza de Oteyza, E., Lam Osnaya, E., Hernández Garciadiego, C. y Carrillo Hoyo, A. M. (2018). Álgebra superior aplicada (pp. 104-124). México: Pearson Educación de México. Recuperado de: shorturl.at/uxAL0 Hernández Pérez, M. (2018). Álgebra lineal: ejercicios de práctica (pp. 3-10). México: Grupo Editorial Patria. Recuperado de: shorturl.at/dklJL Salazar Guerrero, L. y Bahena Román, H. (2018). Álgebra (pp. 194-220). México: Grupo Editorial Patria. Recuperado de: shorturl.at/xMU14 Lecturas complementarias Cornejo Arteaga, P. M. L. (2016). Ecuaciones cuadráticas. Recuperado de: shorturl.at/mpuQ3 Matemáticas Online (2017). Expresiones algebraicas. Recuperado de: shorturl.at/cfwAH Ortiz González, F. R. (2017). Apuntes de álgebra (2ª ed.) (pp. 15- 27; 29-37). México: Universidad Nacional Autónoma de México. Universidad Autónoma de Aguascalientes (2017). Matemáticas I. Álgebra. Recuperado de: shorturl.at/aeuCV 6  E lementos de álgebra superior bloque dos 3. Elementos de álgebra superior En este bloque estudiaremos los temas más relevantes del álgebra superior, es decir, los números reales, las operaciones algebraicas, los exponentes, los radicales, las ecuaciones lineales, las ecuaciones cuadráticas, las inecuaciones, los sistemas de ecuaciones lineales, entre otros. 3.1. Números reales y operaciones algebraicas Los números reales tiene un conjunto R, llamado conjunto de números reales, donde se encuentran las operaciones de suma (+) y producto (.), las cuales cumplen con la propiedad de cerradura, donde los números reales x, y deben cumplir con las siguientes condiciones: 1. x + y es un número real 2. x - y es un número real La siguiente propiedad se llama propiedad de la igualdad, por lo que la R está relacionada con el signo igual (=), la cual deberá cumplir con las siguientes condiciones: 1. a = a (reflexiva) 2. Si a = b, entonces b = a (simétrica) 3. Si a = b y b = c, entonces a = c (transitiva) 4. Si a = b, entonces a + c = b + c 5. Propiedad de sustitución, donde a = b, entonces a puede ser sustituida por b. Por otra parte, Ariza et al. (2016) sostienen que “para el estudio formal de los números reales requerimos sus axiomas, que se dividen en tres clases: axiomas de campo, axiomas de orden y axiomas del supremo” (p. 58). En primer lugar, abordaremos los axiomas de campo, los cuales presentan las siguientes propiedades y leyes: 1. Conmutativa: donde x, y deberán cumplir las siguientes condiciones: a) x + y = y + x b) x. y = y. x 2. Asociativa: donde x, y deberán cumplir las siguientes condiciones: a) x + (y + z) = (x + y) + z b) x. (y. z) = (x. y). z 3. Distributiva: donde x, y deberán cumplir las siguientes condiciones: a) z (x + y) = zx + zy 4. Ley de neutro: cero pertenece a R y uno pertenece a R, por tanto, cero es diferente a uno. a) x + 0 = x b) x. 1 = x 7  M atemáticas avanzadas Si deseas profundizar en el 5. Ley de inverso: donde –x pertenece a R, de modo que x + tema, observa el siguiente (-x) = 0 video, el cual muestra las Si deseas profundizar en el tema, observa el siguiente video, el propiedades de los números cual muestra las propiedades de los números reales. reales. Por otro lado, se encuentran las operaciones algebraicas, es decir, la suma, la resta, la multiplicación, la división y la ley de exponentes. Según Aguilar, Bravo, Gallegos, Cerón y Reyes, (2009), “en la suma, los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes” (p. 272), por ejemplo, sumar el polinomio 5x3 – 3x2 – 6x - 4; -8x3 + 2x2 – 3; 7x2 -9x + 1. Estos polinomios deberán escribirse de la siguiente forma para reducir los términos semejantes: (5x3 - 3x2 - 6x - 4) + (-8x3 + 2x2 - 3) + (7x2 - 9x + 1) = -3x3 + 6x2 - 15x - 6. Ahora bien, para el caso de la multiplicación es importante Por otro lado, en la resta recordar las reglas de los signos: (+) (+) = +, (+) (-) = -, (-) (+) = se debe identificar al -, (-) (-) = +, así como la ley de los exponentes: am.an = am+n, por minuendo y al sustraendo para reducir los términos ejemplo, al multiplicar (-5x4y5z) (3x2y6z) se deberán multiplicar los semejantes. Por ejemplo, coeficientes y las bases: (-5x4y5z) (3x2y6z) = (-5)(3) x4 x2 y5 y6 z, si restamos (4a - 2b - 5c) por lo que al aplicar las leyes de los signos y de los exponentes se - (3a - 5b -7c), el resultado obtendría lo siguiente: -15 x4+2y5+6z1+1 = -15 x6y1z2. sería el siguiente: 4a - 2b - 5c - 3a + 5b + 7c. Al agrupar Por otra parte, la división también tiene sus reglas de operación, y simplificar los términos, las cuales son las siguientes: (+) / (+) = +, (+) / (-) = -, (-) / (+) = -, (-) se obtiene: 4a -3a - 2b + / (-) = +. Además, los exponentes que presenten bases iguales se 5b -5c + 7c = a + 3b + 2c. restan am / an = am-n. Por ejemplo, si queremos dividir -16a5b4c6 / 8a2b3c, el resultado sería el siguiente: -16 / 8 a5-2b4-3c6-1 = -2a3bc5. Tal como pudiste ver en los videos, para encontrar el resultado Si deseas analizar más deseado se siguen diversos procesos para realizar cada una de ejemplos de operaciones estas operaciones. Una vez que hemos conocido las principales algebraicas, observa los características, propiedades y leyes de los números reales, siguientes videos: así como las operaciones algebraicas, en el siguiente tema Suma y resta. Video 2 estudiaremos las propiedades de los exponentes y los radicales. 8  E lementos de álgebra superior bloque dos 3.2. Exponentes y radicales Multiplicación de polinomios. Video 3 El exponente, conocido también como potencia o potenciación, “es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma las veces que lo indique el exponente” (Aguilar et al, 2009, p. 438); por ejemplo, an = a.a.a…, donde a es la base y n el exponente a potenciar o elevar. Si planteamos un caso hipotético y nuestro objetivo es encontrar el resultado de (-2x)3, con el fin de comprender mejor la operación desglosaremos cada una de las expresiones: (-2x)3 = (-2x) (-2x) (-2x) = -8x3. División de polinomios. Por otra parte, se encuentran los teoremas de los exponentes, Video 4 los cuales dicen que si a, b, m, n pertenecen a R y a, b es diferente de cero, entonces: am.an = an+m, donde an.am = (a.a.a.a… a) (a.a.a.a…a) = a.a.a.a…a = an+m. Por ejemplo, para encontrar el resultado de x3.x5, se aplica el teorema y se obtiene lo siguiente: x3.x5 = x3+5 = x8. Si se presenta la forma am/an = am-n. Ahora bien, si dividimos -27m7/-3m3, se representaría de la siguiente manera: -27/-3 m7-3 = 9m4. Asimismo, existe otro teorema que expresa que a0 = 1, por ejemplo, si deseamos resolver la operación (-12m7)0, obtendríamos lo siguiente: (-12m7)0 = 1. En caso de contar con una estructura de potencia, como a-n = 1/an, esta se podrá desarrollar como en el ejemplo de (-3x)-2 y quedaría de la siguiente manera: (-3x)-2 = 1/(-3x)2 = 1/(-3x) (-3x) = 1/9x2. Del mismo modo, otro teorema muestra que si (an)m = an.m, el cual es posible aplicarlo al ejemplo de (x3.y4.z2)4 y se representaría de la siguiente forma: Si deseas saber cómo se (x3.y4.z2)4 = x(3)(4).y(4)(4).z(2)(4) = x12.y16.z8. Otro caso de potenciación se aplican las propiedades origina cuando se presenta la forma (a/b)n = an/bn, por ejemplo, de las potencias y los al desarrollar (m4.n3/r2)5 quedaría (m4.n3)5/(r2)5 = (m4)5.(n3)5/(r2)5 = exponenciales, observa los m20.n15/r10 como resultado final. siguientes videos. Por otro lado, la forma (a/b)-n = (b/a)n se aplica al siguiente Propiedades de las ejemplo, (2x/3y)-2, por ende, el resultado sería (2x/3y)-2 = (3y/2x)2. potencias Video 5 En otro orden de ideas, una simplificación se deberá aplicar cuando se pueda reducir una expresión en un orden en que se determinen las operaciones necesarias, como el uso de signos de agrupación. Por ejemplo, queremos simplificar y resolver la siguiente expresión: (x2y-2)-3. Al aplicar el teorema (a.b)n = anbn, se obtendría: x-6y-6, por lo que al transformar el exponente a potencia positiva, este se representa como x-6y-6 = 1/x6.y6 = y6/x6. 9  M atemáticas avanzadas Ejemplos de potencias. Tal como pudiste ver en los videos anteriores, la potenciación obedece a una serie de reglas y propiedades, las cuales deberán Video 6 aplicarse, según sea el tipo de caso o situación, para encontrar el resultado esperado. En otro orden de ideas, empleando las palabras de Aguilar et al. (2009), “la expresión n√a recibe el nombre de radical y se define como n√a = b si y solo si bn = a” (p. 454); un radical está compuesto por diversos elementos: el coeficiente, el radicando y el índice de raíz. Por ejemplo, para 2√3, el coeficiente es 2, el radicando es 3 y el índice de la raíz es 2. Para calcular la raíz principal de un radical se deberá cumplir una condición, la cual expresa que sea a un número real y n un entero positivo mayor a 1, entonces si a = 0, entonces n√a = 0, además si a > 0, entonces n√a = b tal que bn = a. Por ejemplo, √25 = +- 5, ya que (5)2 = 25 y (-5)2 = 25. Ahora bien, si un radical funge como exponente, n√a es un número real, por lo que se deberá expresar como n√a = a1/n. Asimismo, los radicales tienen diferentes teoremas: uno de ellos indica que (n√a)n = a, y se desglosa de la siguiente manera: (n√a)n = (a1/n)n =an/n = a. Por otra parte, es posible representar un exponente fraccionario como un radical. Una expresión am/n se mostrará con radical de la siguiente forma: n√am, en donde el numerador corresponde al exponente del radical y el denominador al índice de la raíz. Por ejemplo, al expresar en forma de radical y1/3, quedará y1/3= 3√y1 = 3√y. Al igual que los exponentes, los radicales también utilizan una serie de teoremas, por ejemplo, n√a.b.c = n√a. n√b. n√c. Si deseamos encontrar el resultado de 3√2x2y, es necesario al aplicar el teorema anterior, pues quedaría de la siguiente manera 3√2x2y = 3√23 √x2 3√y. Otro de los teoremas expresa que la forma n√a/b = n√a/n√b, por ejemplo, el resultado de √5a/3 sería √5a/3 = √5/√3 = √5√a/√3. Por otro lado, es posible calcular las raíces de expresiones algebraicas, las cuales utilizan la siguiente forma: n√am = am/n, por ejemplo, si se pretende obtener el resultado de 3√64x3, se descompone la expresión: 64x3 = 26x3, y al aplicar el teorema correspondiente, se expresa 3√26x3 = 3√26 3√x3= 26/3x3/3 = 22 x = 4x. Asimismo, un radical puede simplificarse de la forma n√am, con m>= n, la cual se puede expresar como am, siendo un producto base donde el exponente de ellas es un múltiplo de n. Por ejemplo, al simplificar la expresión 3√x13, el radicando se deberá 10  E lementos de álgebra superior bloque dos descomponer en factores: x13 = x12 x, y al aplicar el teorema de los radicales para el producto se obtiene lo siguiente: 3√x13 = 3√x12 x = 3√x12 3√x = x12/3 3√x = x4 3√x. Tal como pudiste ver en los videos, los teoremas que analizamos Si deseas profundizar en anteriormente permiten realizar operaciones con radicales, tales el tema y aprender cómo como suma, resta, multiplicación y división. Una vez que hemos se realizan operaciones conocido las propiedades y leyes de los exponentes y radicales, con radicales, observa en el siguiente tema estudiaremos las características principales los siguientes recursos de las ecuaciones e inecuaciones lineales y cuadráticas. multimedia: Suma y resta de radicales. 3.3. Ecuaciones e inecuaciones Video 7 lineales y cuadráticas Una ecuación lineal tiene la forma Ax + By + C = 0, donde A, B, C son las constantes reales, siempre y cuando A y B no sean cero, por ese motivo, reciben el nombre de ecuaciones lineales. Por ejemplo, la ecuación 2x – 3y -5 = 0 corresponde a una ecuación lineal donde A = 2, B = -3 y C = -5. Además, para resolver la ecuación lineal debemos encontrar los pares ordenados (x, y) que son números reales. Planteemos un caso hipotético, para verificar si el par ordenado de (1, 4) resuelve la ecuación 2x - 3y - 14 = 0, se deben sustituir los valores: Multiplicación y división de Para (1, -4) 2x - 3y - 14 = 0 radicales. Video 8 2(1) -3(-4) - 14 = 0 2 + 12 -14 = 0 0=0 Por lo tanto, esto indica que el par ordenado (1, -4) es la solución correcta. Por otra parte, una ecuación lineal se puede graficar y corresponde a una línea recta, la cual se puede crear por medio de un conjunto de puntos que tienen la siguiente estructura: (x, y) Ax + By + C = 0. Por ejemplo, esta gráfica se puede aplicar en la siguiente ecuación: 2x – 3y + 7 = 0. En primer lugar, debemos identificar dos puntos de una recta, por lo que se sustituyen dos valores para x o para y en la ecuación. A continuación utilizaremos el valor de x = -2 para sustituirla y despejarla, y quedaría de la siguiente manera: 11  M atemáticas avanzadas 2x - 3y + 7 = 0 2(-2) -3y + 7 = 0 -4 -3y + 7 = 0 3 - 3y = 0 -3y = -3 y = -3/-3 y = 1, por lo tanto, el punto queda como (-2, 1) Para el caso de x = 1, se sustituye y se despeja, por lo que se obtiene lo siguiente: 2x - 3y + 7 = 0 2(1) -3y + 7 = 0 2 -3y + 7 = 0 9 - 3y = 0 -3y = -9 y = -9/-3 y = 3, por ende, el punto queda como (1, 3) Finalmente, debemos localizar los puntos y dibujar la recta correspondiente, la cual se representa en la siguiente figura: Figura 1. Gráfica de una ecuación lineal. Fuente: Aguilar et al. (2009, p. 497). Por otro lado, las inecuaciones son aquellas expresiones que tienen una forma tipo f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) < = g(x), f(x) >= g(x), las cuales se resuelven de manera similar a las ecuaciones, por ejemplo, al resolver una inecuación, se obtiene lo siguiente: 12  E lementos de álgebra superior bloque dos 5x + 6 < 3x – 8 Por otra parte, si deseas 5x -3x < -8 -6 conocer detalladamente las propiedades de las 2x < -14 inecuaciones, observa los x < -14/2 siguientes videos, los cuales x = -7, donde todos los valores x son menores que -7 y satisfacen muestran ejemplos de a la ecuación. inecuaciones de primer y segundo grado.. Resolución Asimismo, existen las inecuaciones de valor absoluto, las cuales de inecuaciones de primer se resuelven al convertir la función del valor absoluto en dos grado. Video 9 inecuaciones, por ejemplo: | x – 3 | > 3, que se convierte en -3 > (x-3) > 3 y queda de la siguiente manera: X -3 > 3 -3 > x -3, los valores que corresponderán a esta inecuación serán mayores a cero y menores a seis. Tal como pudiste ver en los videos, es posible realizar operaciones matemáticas con inecuaciones al separarlas, como si se tratasen de ecuaciones independientes. Ahora bien, también existen ecuaciones cuadráticas, las cuales presentan “la forma Resolución de inecuaciones ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c pertenecen a R, y a es diferente de de segundo grado. Video 10 0; el término ax2 se llama cuadrático, bx es el término leal, y c es el término independiente” (Aguilar et al., 2009, p. 498). Por otra parte, para resolver ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, se utiliza la fórmula general, la cual se muestra en la siguiente imagen. 13  M atemáticas avanzadas Figura 2. Fórmula general. Fuente: Aguilar et al. (2009, p. 501). Si deseas comprender Tal como pudiste ver en el video, es posible resolver las cómo resolver ecuaciones ecuaciones de segundo grado, a través de la fórmula general cuadráticas por medio de la para encontrar los valores correspondientes a x1 y a x2. fórmula general, el siguiente Finalmente, se encuentra la función cuadrática, la cual es una video muestra cómo aplicar “función polinomial de la forma y=ax2 + bx + x, donde a, b, c y este procedimiento. X pertenecen a R con a diferente de cero” (Aguilar et al., 2009, p. 513). Por ejemplo, para graficar la función y=x2 + 5x - 6 y mostrar sus raíces debemos hacer una tabla que contenga varios números para asignarlos a la variable x, los cuales se sustituyen en la función. Posteriormente, estos puntos se grafican uno por uno y se unen, por tanto, forman una curva o parábola, como se muestra a continuación. 14  E lementos de álgebra superior bloque dos Figura 3. Tabla y gráfica de una función. Fuente: Aguilar et al. (2009, p. 513). En la figura anterior se puede observar que esta parábola corta Si deseas entender cómo al eje de las x con los valores x = -6 y x = 1, por lo que sus raíces graficar ecuaciones corresponden a -6 y -1, respectivamente. cuadráticas y sus Tal como pudiste ver en el video, es posible graficar este tipo propiedades, observa el de ecuaciones, cuando se asignan valores a una variable, y se siguiente video, el cual sustituyen, para crear una parábola que se muestre dentro de una muestra cómo aplicar este gráfica. procedimiento. Una vez que hemos analizado las características y ejemplos de las ecuaciones e inecuaciones lineales y de segundo grado, en el siguiente tema estudiaremos las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales y algunos ejemplos. 3.4. Sistema de ecuaciones lineales Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables forman parte de los sistemas de ecuaciones y presentan la siguiente forma: Dicho conjunto está constituido por los pares ordenados que cumplen y satisfacen a las dos ecuaciones, por lo que cada ecuación representa una recta en un plano cartesiano. Cuando las rectan se intersectan en un punto, significa que el sistema de ecuaciones tiene una solución. Por ejemplo, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 15  M atemáticas avanzadas Al resolver la primera ecuación donde x=0, y=0, quedaría de la siguiente manera: x + 2y = 4 x + 2y = 4 0+ 2y = 4 x + 2(0) = 4 2y = 4 x=4 y = 4/2 y=2 Por lo tanto, la intersección con el eje Y es (0,2) mientras que la intersección con el eje X es (4, 0). Para la segunda ecuación x=0, y=0: 3x - y = 5 3x - y = 5 3(0) - y = 5 3x - (0) = 5 -y = 5 x = 5/3 (-1) –y = 5 (-1) y = -5 Por lo tanto, la intersección con el eje Y es (0,-5) mientras que la intersección con el eje X es (5/3, 0). Al graficar dicha recta, se resuelve el sistema de ecuaciones y el punto (2,1) es en el que se intersectan las dos rectas, tal como se muestra a continuación. Figura 4. Gráfica de un sistema de ecuaciones. Fuente: Aguilar et al. (2009, p. 398). 16  E lementos de álgebra superior bloque dos Por otra parte, es posible resolver sistemas de ecuaciones lineales por medio del método de Cramer (determinantes), el cual expresa que “una determinante de 2 x 2 es un arreglo rectangular de números que tienen la siguiente forma” (Aguilar et al., 2009, p. 408): Por ejemplo, resuelve la siguiente determinante: Asimismo, es posible aplicar una reducción del método de Cramer en un sistema de ecuaciones que presente la siguiente forma: Por ende, se debe encontrar la reducción para x y y así como una solución general del sistema. Dicha estructura se muestra en la siguiente figura: 17  M atemáticas avanzadas Figura 5. Forma de reducción por el método de Cramer. Fuente: Aguilar et al. (2009, p. 410). El método de Cramer se aplica si nuestro objetivo es obtener las siguientes tipos de rectas: Concurrentes: cuando los determinantes son distintos a cero. Coincidentes: cuando los determinantes son iguales a cero. Paralelas: si un determinante denominador es igual a cero. A continuación se muestra cómo aplicar el método de Cramer y determinar la solución de un sistema lineal: Al aplicar la solución general, quedará de la siguiente forma: 18  E lementos de álgebra superior bloque dos Por consiguiente, la solución es x=2, y=1, y se trata de una recta concurrente. Asimismo, es posible resolver sistemas de dos ecuaciones que se reducen a lineales. A continuación se muestra un ejemplo: Enseguida llevamos a cabo las operaciones correspondientes para cada ecuación y realizamos la simplificación de términos semejantes: 2x + 19 = 3 (y - x) 2(x - 5y) =5(y - 5) - 8y 2x + 19 = 3y -3x 2x - 10y =5y - 25 - 8y 2x + 3x - 3y = -19 2x - 10y -5y + 8y =-25 5x -3y = -19 2x -7y = -25 Por lo tanto, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 5x - 3y =-19 2x - 7y =-25 Ahora debemos resolver el sistema de ecuaciones. Por tal motivo, utilizaremos el método de reducción, tal como se muestra a continuación: (5x - 3y =-19) (-2) 5x – 3y =-19 (2x - 7y = -25) (5) 5x -3(3) =-19 -10x + 6y =38 5x -9 =-19 10x - 35y =-125 5x =-19 + 9 -29y =-87 5x =-10 Si deseas comprender cómo resolver sistemas y =-87/-29 x =-10/5 de ecuaciones, observa el y =3 x =-2 siguiente video. Por tal motivo, la solución del sistema de ecuaciones será x = 2, y = 3. Tal como pudiste ver en el video, es posible resolver sistemas de ecuaciones lineales, a través del método de reducción, el de igualación o el de sustitución. Con este tema ha finalizado el segundo bloque de la materia Matemáticas para ingeniería. Te invitamos a realizar la actividad de aprendizaje correspondiente, para aplicar lo visto en un ejercicio práctico. 19  M atemáticas avanzadas Referencias Aguilar Márquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Gallegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M. y Reyes Figueroa, R. (2009). Matemáticas simplificadas (2ª ed.). México: Pearson Educación. Recuperado de: https:// elibro.net/es/lc/ieu/titulos/39550 Ariza Velázquez, E., Espinoza Hernández, N. B., García Juárez, P., García Tamayo, R., Herrera Cobián, D., Palomino Jiménez, C., Ramírez Hernández H. D. y Zamora Lima, C. (2016). Fundamentos matemáticos para ingeniería y ciencias. México: Alfaomega Grupo Editor. 20  E lementos de álgebra superior bloque dos Actividad Graficación de funciones lineales y cuadráticas en Excel Valor: 15% Consulta en la plataforma el objetivo de la actividad y las instrucciones correspondientes. Recuerda que si tienes alguna duda respecto del entregable o de los temas programados para esta semana, puedes resolverla con tu asesor, ya sea durante la sala online o solicitando una asesoría individual. Rúbrica Antes de realizar la actividad te sugerimos revisar la rúbrica en la plataforma, a fin de identificar con claridad los criterios con los que será evaluado tu entregable. Revisa los descriptivos de cada criterio y apégate al nivel óptimo para conseguir la puntación máxima. 21