Linear Algebra 2 Notes - Anat Amir - 2024B PDF
Document Details
Uploaded by EverlastingCopernicium
2024
ע. מילוא
Tags
Summary
These are lecture notes for a Linear Algebra 2 course in the 2024B semester, taught by Anat Amir. The notes cover topics like linear transformations, matrices, vector spaces, and more.
Full Transcript
רשימות קורס | לינארית 2 2024סמסטר ב' ענת אמיר נכתב ע“י ע.מילוא | תיקונים :ר.זהות ,ש.לוי ,ע.בר אילן...
רשימות קורס | לינארית 2 2024סמסטר ב' ענת אמיר נכתב ע“י ע.מילוא | תיקונים :ר.זהות ,ש.לוי ,ע.בר אילן תוכן העניינים 3 28.5הרצאה 1 3 פולינומים .................................................... 4 תחום שלמות ................................................... 7 30.5הרצאה 2 7 עוד פולינומים .................................................. 11 04.6הרצאה 3 11 לכסון ...................................................... 16 06.6הרצאה 4 16 הפולינום האופייני ................................................ 20 12.6הרצאה 5 20 משפט קיילי-המילטון ............................................... 25 18.06הרצאה 6 25 הפולינום המינימלי ................................................ 31 20.06הרצאה 7 31 משפט הפירוק הפרימרי ............................................. 34 25.06הרצאה 8 34 מרחבים פריקים )ובעיקר אי-פריקים( ....................................... 37 משפט ז'ורדן ................................................... 39 27.06הרצאה 9 39 עוד קצת ז'ורדן ................................................. 1 45 02.07הרצאה 10 45 תבניות בילינאריות ................................................ 50 04.07הרצאה 11 50 תבניות ריבועיות ................................................. 57 09.07הרצאה 12 57 עוד קצת תבניות בילינאריות ........................................... 58 מכפלות פנימיות ................................................. 64 11.07הרצאה 13 64 אורתוגונליות )או מ“פ -המשך( ......................................... 70 16.07הרצאה 14 70 היטל אורתוגונלי ................................................. 72 העתקות צמודות לעצמן ............................................. 76 18.07הרצאה 15 76 המשפט הספקטרלי לה“ל צמודות לעצמן ..................................... 82 23.07הרצאה 16 82 ההעתקה הצמודה ................................................ 88 25.07הרצאה 17 88 מטריצות ומ“פ .................................................. 94 30.7הרצאה 18 94 הצורה הקנונית של מטריצה נורמלית ...................................... 97 העתקות ומטריצות אוניטריות ואורתוגונליות ................................... 100 01.08הרצאה 19 העתקות ומטריצות אורתוגונליות ואוניטריות -המשך 100.............................. 106 06.08הרצאה 20 קצת פירוקים 106.................................................. 111 08.08הרצאה 21 פירוק 111................................................... SVD 113 אז מה היה לנו? 2 28.5הרצאה 1 פולינומים תזכורת :פולינום ממעלה nמעל שדה Fהוא צ“ל של חזקות של משתנה :x X n = )p (x ak x k , a 0 , a 1 ,... , a n ∈ F k=0 ונסמן deg (p (x)) = n פולינום האפס ) O (xהוא פולינום שבו כל המקדמים בצ“ל הם .0נגדיר ∞.deg O (x) = − נאמר ש α ∈ Fהוא שורש של הפולינום ) p (xאם מתקיים .p (α) = 0 נאמר ש ) p (xמחלק את ) f (xאם קיים פולינום ) q (xכך ש ,f = q · pונסמן ).p (x) | f (x בנוסף מתקיים deg (g (x) · p (x)) = deg g + deg p בהינתן זוג פולינומים f, gנגדיר את ה gcdלהיות מחלק משותף שכל מחלק משותף מחלק גם אותו ,כלומר gcd (f, g) = p ⇒ ∀q (x) : q | f ∧ q | g ⇒ q | p משפט ) 1משפט חשוב ללא הוכחה(.יהיו f, g 6= 0פולינומים מעל שדה .Fאז קיימים ויחידים פולינומים q, rכך ש- f (x) = q (x) · g (x) + r (x) , deg r < deg g ול r-נקרא שארית החלוקה. טענה .2יהא ) f (xפולינום ממעלה nמעל השדה .F א.אם α ∈ Fשורש של fאז x − α | fוגם קיים ) q (xממעלה n − 1כך ש ).(x − α) · q (x) = f (x ב.ל f -יש לכל היותר nשורשים בשדה. ג.אם F ⊆ Kו q (x) -פולינום נוסף שמחלק את fב K-אז בהכרח ) q (xמחלק את ) f (xגם ב.F - הוכחה. א.נחלק עם שארית את ) f (xב.(x − α)-נקבל שקיימים ) q (x) , r (xכך ש- f (x) = q (x) · (x − α) + r (x) , deg r < deg (x − α) = 1 ⇒ r (x) = C ∈ F 3 נקבל )0 = f (α) = q (α) · 0 + r (α) = C ⇒ r (x) = 0 ⇒ f (x) = q (x) · (x − α ב.באינדוקציה בעזרת סעיף א'. ג.נחלק עם שארית מעל Fונקבל ).f (x) = g1 (x) · q (x) + r1 (xמהנתון קיים ) g2 (xכך ש.f (x) = g2 (x) · q (x)- מיחידות החלוקה מעל Kנסיק ,r1 = 0וכן ש .g1 = g2 נסמן ב F [x] -את אוסף כל הפולינומים מעל .Fנשים לב שזה לא שדה ,שכן לא לכל פולנום קיים איבר הופכי ): אבל היא כן מקיימת כל אקסיומה אחרת שאינה קיום איבר הופכי.לקבוצה כזו נקרא חוג קומוטטיבי עם יחידה. הגדרה .3חוג קומוטטיבי עם יחידה שבו אין מחלקי 0נקרא תחום שלמות. דוגמה .F [x] , Z.4 טענה .5בתחום השלמות מתקיים כלל הצמצום: a · b = a · c ∧ a 6= 0 ⇒ b = c תחום שלמות הגדרה .6יהי Rתחום שלמות.נאמר ש c ∈ R -הפיך אם קיים לו איבר הופכי. דוגמה .7ב F [x] -כל פולינום ממעלה 0הוא הפיך. הגדרה .8יהי Rתחום שלמות.נאמר ש a, b ∈ R -חברים אם קיים c ∈ Rהפיך כך ש ,b = c · a -ונסמן .a ∼ b דוגמה .9ב F [x]-מתקיים ) p (x) ∼ c · p (xלכל קבוע שונה מ.0- טענה .10יהיו a, b ∈ Rכך ש a|bוגם .b|aאז .a ∼ b הוכחה.נשתמש בכלל הצמצום וסיימנו. הגדרה .11נאמר ש p ∈ R -ראשוני אם כאשר p | a · bבהכרח p | aאו .p | bנאמר ש p -אי-פריק אם p = a · bאז a או bהפיכים )והשני חבר(. טענה .12בתחום שלמות Rכל ראשוני הוא אי-פריק. 4 הוכחה.יהי pראשוני.נציג ,p = a · bוברור שמתקיים .p | a · bמהגדרת ראשוני בהכרח p | aאו .p | b בה“כ ,p | aאז p ∼ aולכן bהפיך. משפט .13יהי Rתחום שלמות שבו כל אי-פריק הוא ראשוני.אז ב R-יש את יחידות הפירוק למכפלת אי-פריקים ,עד כדי שינוי סדר וחברות. הוכחה.אהובתנו -אינדוקציה. בסיס.m + n = 2 :כאן m = n = 1ונקבל ש .p1 = q1 צעד האינדוקציה: Y m Y n | p1 = pi qj i=1 j=1 אך p1אי-פריק וראשוני ולכן קיים 1 ≤ j ≤ nשעבורו ,p1 | qjבה“כ .j = 1כלומר קיים c ∈ Rשעבורו p1 · c = q1אך q1אי-פריק ולכן או cאו p1הפיכים p1.אי-פריק ובפרט איננו בפיך ,לכן cהפיך ו.p1 ∼ q1 -נקבל Y m Y n · p1 · pi = c · p1 qj i=2 j=1 ומכלל הצמצום והנחת האינדוקציה סיימנו. הערה .14הפיכים אינם מוגדרים כאי-פריקים וראשוניים. הגדרה .15יהי Rתחום שלמות I ⊆ R.נקרא אידיאל אם: Iמכיל את .0 א. Iסגור לחיבור. ב. Iסגור לכפל בכל איברי .R ג. דוגמה .16הזוגיים ב ,Z -ובאופן כללי לכל a ∈ Rמתקיים I = Raאידיאל. הגדרה .17יהי Rתחום שלמות.אידיאל Iנקרא ראשי אם קיים a ∈ Rכך ש.I = R · a = {r · a | r ∈ R}- תחום שלמות נקרא תחום ראשי אם כל אידיאל בו הוא ראשי. משפט .18בתחום ראשי כל אי-פריק הוא ראשוני. הוכחה.נניח ש p -אי-פריק ,ומחלק את .a · b נתבונן באידיאל .I = R · p + R · aמכיוון ש R-תחום ראשי ,ולכן קיים c ∈ Rכך ש.I = R · c = Rp + Ra : נשים לב ,p, a ∈ Iולכן .c | a, pמכיוון ש p -אי-פריק c ,או חבר או הפיך. אם c ∼ pוגם ,c | aא בהכרח p | aוסיימנו. 5 אם cהפיך ,אז .I = Rc = Rבפרט קיימים d, e ∈ Iעבורם .1 = d · p + e · aנכפול ב b-ונקבל b=d·p·b+e·a·b אך pמחלק את שני איברי הסכום ,ולכן p | bכנדרש. משפט F [x].19תחום ראשי. הוכחה.נתבונן באידיאל לא טריוויאלי ].{0} 6= I ⊆ F [x יהי p (x) ∈ Iפולינום ממעלה מינימלית שהוא לא אפס.נראה שלכל f (x) ∈ Iמתקיים .p | f לפי חלוקה עם שארית קיימים ] q (x) , r (x) ∈ F [xשעבורם f =q·p+r כאשר .deg r < deg pאולם r =f −q·p∈I וממינימליות pנסיק ∞.deg r = −לכן .p | f מכאן אפשר להסיק שכל פולינום הוא אי-פריק אם“ם הוא ראשוני. 6 30.5הרצאה 2 עוד פולינומים ראינו שכל פולינום ניתן לפרק בצורה יחידה )עד כדי חברות( למכפלת אי-פריקים.כדי להתמודד עם עניין החברות ,ניתן להסתכל על הפולינום המתוקן :פולינום שבו מקדם החזקה הגבוהה הוא .1 משפט .20אם ] f, g ∈ F [xאז קיים ויחיד עד כדי חברות ) ,gcd (f, g) = p (xוגם קיימים שני פולינומים )a (x) , b (x שעבורם )p (x) = a (x) f (x) + b (x) g (x הוכחה.נגדיר את האידיאל }].I = {a (x) f (x) + b (x) g (x) | a, b ∈ F [xזהו אידיאל בתחום ראשי ,ולכן קיים ∈ )p (x ] F [xכך ש.I = F [x] · p (x) - ברור ש p (x) -שייך לאידיאל ,ולכן קיימים a, bכנדרש. נשים לב שגם fוגם gשייכים לאידיאל ,ולכן .p | f, gבנוסף )p (xמקסימלי ,שכן אם d (x) | f, gגם .d (x) | a·f +b·g = p אם peהוא gcdנוסף ,בהכרח p | peוגם pe | pכלומר הינם חברים. מסקנה .21אם f, gזרים ,אז קיימים ] a, b ∈ F [xכך ש: )1 = a (x) f (x) + b (x) g (x הגדרה .22שדה Fנקרא סגור אלגברית אם לכל פולינום ] f (x) ∈ F [xממעלה ≤ 1יש שורש. משפט ) 23המשפט היסודי של האלגברה( C.סגור אלגברית. מסקנה .24ב C [x]-הגורמים האי-פריקים הם הפולינומים הלינארים (x − λ) , λ ∈ C מיחידות הפירוק נסיק שאם ) p (xמתוקן ממעלה nאז יש לו פירוק יחיד למכפלת nגורמים לינארים.נציג: Y m = )p (x (x − λ)rk k=1 כאשר λ1 , λ2 ,... , λkשונים זה מזה וגם .r1 + r2 +... + rm = deg p הגדרה .25עבור הסימונים לעיל ,נאמר שλk -שורש מריבוי .rk שאלה לגיטימית :מהם הגורמים האי-פריקים ב?R [x]- 7 דוגמה x2 + 1.26הוא פולינום אי-פריק מעל .R טענה .27אם ] f (x) ∈ R [xפולינום עם שורש ,λ ∈ Cאז גם λשורש. P הוכחה.מציג .f (x) = nk=0 αk xkנציב :λ X n k X n k X n = f λ = αk λ = αk λ α k λk = 0 k=0 k=0 k=0 כאשר השתמשנו בתכונות כפל וחיבור בצמוד.מעל המרוכבים הוכחה זו לא היתה עובדת ,שכן הסתמכנו על כך שα = α - בהיותם ממשיים. מסקנה .28אם λ ∈ C \ Rשורש של ] f (x) ∈ R [xנקבל שבחלוקה עם שארית מעל :C )(x − λ) x − λ | f (x אך המכפלה הנ“ל היא פולינום ממשי ,מכיוון ש ,R ⊆ Cלהסיק ש )x2 − 2Re (λ) x + |x|2 | f (x כלומר הפולינומים האי-פריקים מעל Rהם או פולינומים לינאריים ,x − λ, λ ∈ Rאו פולינומים ריבועיים עם דיסקרימיננטה שלילית ,כלומר x − α2 + β 2 < 0 | α, β ∈ R שהרי לכל פונקציה ממעלה גבוהה יותר יש שורש מרוכב.אם השורש ממשי ,הפולינום פריק.אם השורש אינו ממשי, לפולינום יש מחלק ריבועי כפי שראינו קודם. משפט ) 29יפיפה(.יהיו Fשדה ,ו f (x) ∈ F [x]-פולינום אי-פריק ממעלה ≤ .2אז קיימת ל f -הרחבה לשדה F ⊆ Kכך ש f -פריק ב.K- דוגמה x2 + 1.30אי-פריק ב ,R-אך כן פריק ב.C- Pn−1 f (x) = xn +כאשר .n ≥ 2נבנה את המטריצה הנלווית מגודל i=0 הוכחה.נניח בה“כ שהפולינום מתוקן.נציגו כαi xi - :n × n 0 0 0... −α0 1 0 0... −α1 .. Af = 0 1 0 ) . ∈ Mn (F .. ..... . . 1 −αn−1 8 נבדוק שהצבת המטריצה הנלווית בפולינום נקבל :f (Af ) = 0 נבחר עבור 1 ≤ i ≤ n − 1יתקיים Af · ei = ei+1 ⇒ Ai · e1 = Ai · ei+1 X n−1 = ⇒ An e1 = A · An−1 e1 = Aen −αi ei+1 i=0 מכאן X n−1 = ) f (Af Anf e1 + −αi Ae1 i=0 X n−1 X n−1 = −αi ei+1 + αi Ae1 = 0 i=0 i=0 ועבור 2 ≤ i ≤ nניתן להסתמך על הגרירות לעיל. נגדיר אם כן את :K }]K = {p (Af ) | p ∈ F [x נשים לב שעבור הצבת מטריצות סקלריות נקבל את איברי ,Fכלומר אכן .F ⊆ K אם נצליח להראות ש Kשדה ,נסיק ש Af = x (Af ) ∈ K -היא שורש של fמעל .K ) ,K ⊆ Mn (Fולכן מתקיימות כמעט כל אקסיומות השדה בצורה טריוויאלית.נותר לוודא: .1סגירות לחיבור :טריוואלי מסגירות לחיבור ב.F [x]- 2.סגירות לכפל :כנ“ל. .3חוק החילוף בכפל :נובע ישירות מכך שכל מטריצה מתחלפת עם עצמה ועם החזקות שלה. .4קיום איבר הופכי :ניקח .0 6= B = g (Af ) ∈ Kנשים לב ש ,f ∤ g -שכן ) f (Af ) = 0 6= g (Af כמו כן ,ה gcd (f, g) | f -כאשר fאי-פריק.מכאן שהוא או הפיך ,או חבר. אולם אם gcd (f, g) ∼ fהיינו מקבלים סתירה לכך ש .f ∤ gלכן בהכרח ה gcdהפיך ,ובפרט שווה ל.1-מכאן שקיימים ] a, b ∈ F [xעבורם 1=a·f +b·g 9 :Af נציב =0 z }| { I =a (Af ) f (Af ) +b (Af ) g (Af ).B −1 = b (Af ) כלומר 10 04.6הרצאה 3 לכסון הגדרה .31תהי T : V → Vה“ל.נאמר ש 0 6= v ∈ V -הוא וקטור עצמי )ו“ע( של Tשמתאים לערך עצמי )ע“ע( λ ∈ F אם .T v = λv דוגמה .32 1.כל וקטור 0 6= v ∈ Vהוא ו“ׂע של I : V → Vשמתאים לע“ע .1 2.תהא ] D : R [x] → R [xהעתקת הנגזרת.נשים לב שלכל p (x) 6= 0מתקיים ,deg D (p) < deg pולכן הו“ע של D הם רק הפולינומים הקבועים שאינם ,0והם מתאימים לע“ע .0 3.במרחב הפונקציות הגזירות אינסוף פעמים נתבונן בהעתקת הנגזרת ,ולכל λ ∈ Rהפונק' f (x) = eλxהיא ו“ע שמתאים לע“ע .λ 4.עבור העתקת הסיבוב Tθ : R2 → R2ישנם ו“ע עבור θ = 0, πבלבד. הגדרה .33תהי T : V → Vה“ל.עבור λ ∈ Fנגדיר את המרחב העצמי )מ“ע(: }Vλ = {v ∈ V | T v = λv טענה Vλ.34הינו ת“מ של .V הוכחה.מתקיים )Vλ = {v ∈ V | (T − λI) v = 0} = ker (T − λI ואכן Vλת“מ כגרעין של ה“ל .T − λI : V → V הגדרה .35תהי ) .A ∈ Mn (Fנאמר ש 0 6= v ∈ F nהוא ו“ע שמתאים לע“ע λ ∈ Fאם .Av = λv דוגמה .36נביט במטריצה ובוקטורים: ! ! ! 2 1 1 1 =A = , v1 = , v2 2 3 2 −1 מתקיים ! ! 4 1 = Av1 =4 = 4v1 8 2 11 ! 1 = Av2 = 1 = 1v2 −1 כלומר v1ו“ע של Aשמתאים לע“ע v2 ,4ו“ׂ שמתאים לע“ע .1 משפט .37יהי Vמ“ו ממימד T : V → V ,nה“ל ו A ∈ Mn (F )-מטריצה מייצגת של Tביחס לבסיס כלשהו .B לכל 0 6= v ∈ Vמתקיים ש v-הוא ו“ע של Tשמתאים לע“ע λ ∈ Fאם“ם [v]Bהוא ו“ׂע של Aשמתאים לע“ע .λ הוכחה.מתקיים T v = λv ⇐⇒ [T v]B = [λv]B ⇐⇒ A [v]B = λ [v]B טענה .38תהי T : V → Vה“ל ותהי A ⊆ Vקב' וקטורים עצמיים שמתאים לע“ע שונים.אז Aבת“ל. הוכחה.נניח בשלילה ש A 6= ∅ -ת“ל ונתבונן בצ“ל לא טריוויאלי של איברי Aשמתאפס ובו מספר מינימלי של וקטורים: P . mיהיו λ1 , λ2 ,... , λmסקלרים שונים זה מזה ,כך שk=1 αk vk = 0 ,T vk = λk vk - נשים לב ש ,m 6= 1 -שהרי וקטור האפס אינו ו“ע.נחשב ! X m X m X m 0 = T (0) = T α k vk = = αk T v k α k λk v k k=1 k=1 k=1 כלומר X m X m X m =0 α k λk v k − λm = α k vk (αk λk − αk λm ) vk k=1 k=1 k=1 Xm X m−1 = = αk (λk − λm ) vk αk (λk − λm ) vk k=1 k=1 קיבלנו צ“ל לא טריוויאלי של m − 1וקטורים בסתירה למינימליות.מכאן נסיק ש A-בת“ל. הגדרה .39יהי Vמ“ו ותהי T : V → Vה“ל.לכל λ ∈ Fנגדיר את הריבוי הגיאומטרי של λלהיות .dim Vλ S משפט .40יהי Vמ“ו ותהא T : V → Vה“ל.לכל ע“ע λ ∈ Fשל Tנסמן ב Bλ -בסיס למ“ע .Vλאז B = Bλקב' λ בת“ל. הוכחה.נתבונן בצ“ל לא טריוויאלי של איברי Bשמתאפס: סכימה של איברי בסיססכימת ע"ע {|}z {|}z ∈Bλ Xm Xnk z}|{k dkj · vkj k=1 j=1 12 נסמן את הסכימה הימנית ב.vk -מכיוון שהוא או ו“ע או וקטור האפס ,ומכיוון שו“ע שמתאימים לע“ע שונים הם בת“ל )משפט קודם( נסיק שכל vkהוא .0מכאן של dkj = 0שהרי Bλבת“ל וקיבלנו סתירה P . λ מסקנה dim (Vλ ) ≤ dim V.41 הגדרה .42יהי Vמ“ו ממימד ,nותהי T : V → Vה“ל.נאמר ש T -לכסינה אם קיים ל V -בסיס של ו“ע של .T P . λ טענה T.43לכסינה אם“ם dim Vλ = n הוכחה.אם Tלכסינה ,קיים ל V -בסיס של ו“ע שבו nוקטורים ,וכל אחד מהם נמצא במ“ע כלשהו.לכן: X ≤n dim Vλ ≤ n λ P ניקח את האיחוד של הבסיסים של המ“ע ,ונקבל קב' בת“ל בת nוקטורים -מכאן λ בכיוון השני ,אם dim Vλ = n שהיא בוודאי בסיס של .V למה כל זה טוב לנו בחיים? יהא ) B = (b1 , b2 ,... , bnבסיס של ו“ע שמתאימים לע“ע .λ1 , λ2 ,... , λn . . . λ1 0 ... 0 .. .. .. 0 λ2 ... 0 [T ]B = [T b 1 ] [T b 2 ] . . . [T b n ] =. . .. .. .. .. .. .. . . . . . . . 0 0 ... λn אז מגניב ,מטריצה אלכסונית.ולמה זה טוב לנו בחיים? אריתמטיקה! סכום מטריצות הופך להיות רק סכום האלכסון )דא( ,כפל מטריצות הופך להיות כפל איברי האלכסון )אוקיי חביב( אבל הקרם דה-לה קרם -קל להציג את המטריצה בפולינום: k P λ1 0 ... 0 ak α1k 0 ... 0 P X 0 λ2 ... 0 0 ak α2k ... 0 ak .. .. .. .. = .. .. .. .. . . . . . . . . P 0 0 ... λn 0 0 ... ak αnk הגדרה .44תהי ) .A ∈ Mn (Fנאמר ש A-לכסינה מעל Fאם קיימת ) P ∈ Mn (Fהפיכה כך ש P −1 AP -אלכסונית. משפט .45יהי Vמ“ו ממימד nותהיינה T : V → Vה“ל ו A = [T ]B -כאשר Bבסיס כלשהו של .Vאז Tלכסינה אם“ם Aלכסינה. 13 הוכחה. ⇐ :נניח ש T -לכסינה ויהי Cבסיס ו“ע של .Tמתקיים אלכסונית {|}z −1 [T ]C = [I]B C [T ] B ][I C B = ][I B C · A · [I]C B ולכן Aלכסינה עפ“י הגדרה. | | ⇒ :נניח ש A-לכסינה ,וקיימת P = v1... vn כך ש P −1 AP = D :אלכסונית P.הפיכה ,ולכן עמודותיה בסיס | | [·]−1נמצא בסיס של .Vנשים לב: .Fאם נפעיל את B n של λ1 0 ... 0 | | | | | | 0 λ2 ... 0 AP = P D ⇒ A v1 v2... vn = v1 v2 ... vn .. .. .. .. . . . . | | | | | | 0 0 ... λn כלומר עמודות Pהן ו“ע של ,Aוההעתקה ההופכית להעתקת הקואורדינטות מעתיקה אותן לו“ע של .Tמכאן ש T -לכסינה. מסקנה A ∈ Mn (F ).46לכסינה אם“ם קיים ל F n -בסיס של ו“ע של .A ראינו שאם ) A ∈ Mn (Fו λ ∈ F -ע“ע אז ).Vλ = ker (A − λIאבל איך מוצאים ע“ע? אלו הערכים שעבורם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית .(λI − A) x = 0כלומר ,ערכי λשעבורם .det (λI − A) = 0 הגדרה .47תהי ) .A ∈ Mn (Fנגדיר את הפולינום האופייני של Aלהיות ).fA = det (xIn − A טענה λ ∈ F.48הוא ע“ע של ) A ∈ Mn (Fאם“ם .fA (λ) = 0 הוכחה.אם λע“ע אז קיים 0 6= v ∈ F nכך ש ,Av = λv -כלומר (λI − A) v = 0ולכן )0 = det (λI − A) = fA (λ ולהיפך אם fA (λ) = det (λI − A) = 0אז קיים 0 6= v ∈ F nכך ש (λI − A) v = 0ולכן Av = λvו v-ו“ע של A שמתאים לע“ע .λ ! 2 2 = Aנבנה את הפולינום האופייני: דוגמה .49עבור 1 3 x − 2 −2 = )fA = det (xI − A = (x − 2) (x − 3) − 2 −1 x − 3 )= x2 − 5x + 4 = (x − 4) (x − 1 14 והע“ע הם 1ו. 4- 15 06.6הרצאה 4 הפולינום האופייני תזכורת :עבור ) ,A ∈ Mn (Fהפולינום האופייני )פ“א( הינו ) ,fA (x) = det (xIn − Aוהע“ע של Aהינם השורשים של פולינום זה. משפט .50עבור ) ,A ∈ Mn (Fהפולינום fAהוא פולינום מתוקן ממעלה ,nכאשר המקדם של xn−1הוא ) ,−tr (Aוהמקדם של x0 = 1הוא .(−1)n det A הוכחה.המקדם של 1בפ“א מתקבל מהצבת x = 0בפולינום ,ואכן fA (0) = det (0 − A) = det (−A) = (−1)n det A כעת נשים לב שמתקיים x − α11 −α12 ... −α1n deg≤n−2 −α21 x − α22 ... −α2n Y n {|}z = )fA (x) = det (xI − A .. .. ... .. = )(x − αkk ) + p (x . . . k=1 −αn1 −αn2 ... x − αnn כאשר דרגת הפולינום הימני נובעת מחישוב תמורות :כל תמורה שאינה כלל איברי האלכסון הראשי בהכרח אינה כוללת שני איברי xבמכפלה.קיבלנו deg≤n−1 z trA |} { {|}z )= xn + −α11 − α22 −... − αnn xn−1 + g (x) +p (x Qn ,והפ“א של מטריצת בלוקים הינו = A k=1 מסקנה .51הפ“א!של מטריצות אלכסוניות או משולשות הינו ) (x − αkk B 0 . ⇒ fA = fB · fC 0 C תזכורת קלה לדמיון מטריצות :תהיינה ) A, B ∈ Mn (Fזוג מטריצות דומות.אז מתקיים: קיימת מטריצה הפיכה Pכך ש) B = P −1 AP -ההגדרה לדמיון(. דמיון מטריצות הוא יחס שקילות. 16 trA = trB, det A = det B עבור מ“ו Vממימד ,nבסיסים D, Cוה“ל T : V → Vמתקיים ש [T ]D , [T ]C -דומות שכן D [T ]C [I]C .[T ]D = [I]C C D משפט .52למטריצות דומות יש את אותו פ“א. הוכחה.אם A, Bדומות ,אז קיימת Pהפיכה כך ש.B = P −1 AP -לכל x ∈ Fמתקיים ש xIn − A, xIn − B -דומות גם כן שכן P −1 (xIn − A) P = P −1 xIn P − P −1 AP = xIn − B אולם הדיטרמיננטות של מטריצות דומות שוות ,ומכאן )fA (x) = det (xIn − A) = det (xIn − B) = fB (x הראינו שוויון בין הפ“א לכל סקלר מהשדה.אם Fאינסופי זה מספיק ,אך אם מדובר בשדה סופי לא בהכרח הפ“א יהיו זהים ונצטרך להראות זאת. כעת נראה שהשוויון מתקיים גם כאשר xהינו משתנה ,ולא רק סקלר :נבחין ש- ))∈Mn (F (x z |} { x − α11 −α12 ... −α1n −α21 x − α22 ... −α2n = )fA (x .. .. .. .. . . . . −αn1 −αn2 ... x − αnn כאן ) F (xהוא שדה הפונק' הרציונליות מעל השדה :F )p (x = )F (x | p, q ∈ F [x] , q 6= 0 )q (x כלומר xIn − A, xIn − Bדומות כמטריצות מעל ) ,F (xובפרט מתקיים השויון הדרוש. הגדרה .53תהי T : V → Vה“ל כאשר .dim V = nנגדיר את הפולינום האופייני )פ“א( של Tלהיות הפ“א של המטריצה המייצגת של ,Tכלומר ) fT (x) = f[T ]B (xביחס לבסיס Bכלשהו של .Vנשים לב שהוא מוגדר היטב ,שכן אם ניקח בסיסים שונים הטריצות המייצגות יהיו דומות ולכן עם אותו פולינום אופייני. מסקנה .54הע“ע של ה“ל Tהם שורשי הפ“א שלה. 17 דוגמה .55 Tθ : R2 → R2 1.העתקת הסיבוב. ! cos θ − sin θ x − cos θ sin θ [Tθ ]E = )⇒ fT (x = (x − cos θ)2 + sin2 θ sin θ cos θ − sin θ x − cos θ ונשים לב שלפ“א אין שורשים ממשיים כאשר .sin θ 6= 0מעל המרוכבים השורשים הינם .x1,2 = cos θ ± sin θ D : Rn [x] → Rn [x] 2.העתקת הנגזרת. 0 1 0 ... 00 x −1 0 0 2 ... 00 x −2 0 0 0 ... 03 ... [D]E =. .. .. = )..... ⇒ fD (x .. .. x = xn+1 . . .. ... −n 0 0 0 0... n x 0 0 0 0... 0 הגדרה .56הריבוי האלגברי של ע“ע λמהשדה מוגדר להיות הריבוי שלו כשורש של הפ“א. )תזכורת :אם λשורש מריבוי dשל פולינום ) ,p (xאז ) (x − λ)d | p (xוגם )((x − λ)d+1 ∤ p (x Q הערה .57אם p (x) = kj=1 (x − λj )rjכאשר λ1 , λ2 ,... , λkשונים זה מזה ,אז λjהוא שורש מריבוי .rj טענה .58תהי T : V → Vה“ל.אז לכל ע“ע λשל Tמתקיים עבור הריבוי האלגברי שלו rλוהריבוי הגיאומטרי שלו :dλ d λ ≤ rλ הוכחה.יהא Vλהמ“ע המתאים ל.λ-יהא Bλ ⊆ Vλבסיס של תמ“ו זה.עפ“י הגדרה .|Bλ | = dλנשלים את Bλלבסיס Bשל Vונקבל λ ∗ .. . [T ]B = λ 0 C אך זוהי מטריצת בלוקים ,כלומר )fT (x) = (x − λ)dλ · fC (x 18 ולכן בהכרח .dλ ≤ rλ משפט ) 59משפט הלכסון(.תהי T : V → Vה“ל עם פ“א ).fT (xאז Tלכסינה אם“ם: Qk = )) fT (xכלומר הפ“א מתפרק למכפלת גורמים לינארים ,כאשר kהוא מספר הע“ע השונים( j=1 (x − λj )rj.1 .2לכל ע“ע של Tמתקיים השוויון .rλ = dλ הוכחה. ⇐: נניח כי Tלכסינה.לכן קיים ל V -בסיס של ו“ע ) B = (b1 , b2 ,... , bnשמתאימים לע“ע ) λ1 , λ2 ,... , λnכולל חזרות( עבורו [T ]Bאלכסונית.נקבל x − λ1 x − λ2 Y n = ) fT (x) = det (xIn − [T ]B ... = ) (x − λi i=1 x − λn כלומר הפ“א מתפרק למכפלת גורמים לינאריים.בנוסף dj X { |} k z X k deg f =n ≤ |n = dim V = |B ≤ dim V rj = n ⇒ d j = rj j=1 j=1 ⇒: Pk Pk .מהנתונים: j=1 ,כלומר dj = n j=1 dim Vλj נזכור ש Tלכסינה אם = n X k X k = dj rj = n j=1 j=1 כאשר השוויון האחרון נובע מחלק א' של ההוכחה ,שהרי הפ“א ממעלה nומתפרק למכפלת גורמים לינארים.נסיק מכך ש T -לכסינה כנדרש. 19 12.6הרצאה 5 משפט קיילי-המילטון הגדרה .60נגיד שה“ל T : V → Vכאשר dim Vסופי ניתנת לשילוש אם קיים ל V -בסיס Bכך ש [T ]B -משולשת. מטריצה ) A ∈ Mn (Fניתנת לשילוש אם היא דומה למטריצה משולשת. הערה T : V → V.61ניתנת לשילוש אם“ם [T ]Bניתנת לשילוש עבור בסיס Bכלשהו. משפט ) 62משפט השילוש(.תהא T : V → Vה“ל כאשר .dim V = nאז Tניתנת לשילוש אם“ם הפ“א של Tמתפרק למכפלת גורמים לינארים. הוכחה. ⇐ :נניח ש [T ]B -משולשת.מתקיים λ1 ∗ ∗ ∗ λ2 ∗ ∗ Yn [T ]B = .. = ) ⇒ fT (x ) (x − λk . ∗ k=1 λn כלומר הפ“א מתפרק למכפלת גורמים לינארים. ⇒ :נוכיח באינדוקציה על :dim V בסיס האינדוקציה: עבור dim V = 1מתקיים ) [T ]B ∈ Mn (Fתמיד משולשת לכל בסיס .B צעד האינדוקציה: כאן ,dim V = n + 1נציג Y n+1 = )fT (x ) (x − λk k=1 נבחר ו“ע v1 6= 0שמתאים לע“ע ,λ1כלומר .T v1 = λ1 v1נרחיב לבסיס של Bשל המ“ו .B = v1, , w1 , w2 ,... , wnנסמן ) B̂ = (w1 , w2 ,... , wnוכן ̂ ,W = SpanBכאשר זה כמובן ת“מ של Vממימד .nמתקיים λ1 α 1 α2 ... αn 0 [T ]B = .. . )  ∈ Mn (F 0 נשים לב ש ,T |W = T1 +T2 -כאשר } T1 : W → Span {v1ו T2 : W → W -ומקיימות = ̂(v1 ) = (α1 , α2 ,... , αn ) , [T2 ]B ̂[T1 ]B ̃.A 20 כמו כן ,מכיוון שמדובר במטריצת בלוקים: Y n+1 )(x − λk ) = fT (x) = (x − λ1 ) · f (x) = (x − λ1 ) · fT2 (x k=1 Q ,fT2 (x) = n+1כלומר הפ“א של T2מתפרק למכפלת גורמים לינארים.מהנחת האינדוקציה קיים לW - ולכן ) k=2 (x − λk בסיס ̂ Cכך ש [T2 ]Ĉ -משולשת עליונה.נגדיר ̂ C = v1 ∪ Cבסיס של ,Vונקבל λ1 ̂[T1 ]C λ1 ) (v1 [T ]C = [T ̂|W ]C C = ̂[T2 ]C כאשר זו משולשית עליונה ,כנדרש. משפט ) 63משפט קיילי-המילטון(.תהי ) .A ∈ Mn (Fאז .fA (A) = 0אם T : V → Vה“ל כאשר ∞ < ,dim Vאז .fT (T ) = 0 דוגמה .64 1.עבור מטריצה :2 × 2 ! 1 2 =A ⇒ fA (x) = x2 − 5x − 2 3 4 ! ! ! 1 2 1 2 1 2 = )⇒ fA (A −5 − 2I 3 4 3 4 3 4 ! 0 0 = 0 0 2.ראינו שהעתקת הנגזרת היא ,xn+1ואכן לכל פולינום pשמקיים deg p ≤ nיתקיים .p(n+1) (x) = 0 טענה .65אם A = [T ]Bהמטריצה המייצגת של ה“ל T : V → Vביחס לבסיס ,Bאז לכל ] p (x) ∈ F [xמתקיים )[f (T )]B = f (A 21 הוכחה.מתקיים " ! # " # X m X m X m X m X m α k xk ) (T = αk T k = = αk T k B = αk [T ]k α k Ak k=0 B k=0 B k=0 k=0 k=0 טענה .66אם A, Bזוג מטריצות דומות ו f (x) ∈ F [x] -אז גם ) f (A) , f (Bדומות. P −1 .f (x) = mאז k ,B = Pוk=0 αk x - הוכחה.נסמן AP ! X m k X m X m αk P −1 AP = · αk P −1 Ak P = P −1 Ak ·P k=0 k=0 k=0 וסוף סוף הוכחת משפט קיילי-המילטון: הוכחה.נוכיח עבור T : V → Vכאשר ∞ < .dim Vראשית ,נוכיח באינדוקציה על dim Vעבור ה“ל הניתנת לשילוש: בסיס האינדוקציה :dim V = 1 המטריצה המייצגת ביחס לכל בסיס תהיה מהצורה ) ,[T ]B = (aוהפ“א הינו .fT (x) = x − a כעת ) ,[T − aI]B = (0ומכאן .fT (T ) = 0 צעד האינדוקציה :dim V = n + 1 Qn+1 Tניתנת לשילוש ,ולכן ) .fT (x) = k=1 (x − λkיהי B = b1 , b2 ,... , bn+1בסיס שביחס אליו [T ]Bמשולשת עליונה. מתקיים ∗ ∗ ∗ λ1 α1 α1 ∗ ∗ 0 λ2 α2 .. .. .... .. ̃A . [T ]B = . . ∗ . . = αn .. .. . . λn αn λn+1 0 0 ... 0 λn+1 נסמן ) ,B̂ = (b1 , b2 ,... , bnו.W = SpanB̂-זהו ת“מ של Vממימד .nנקבל T |W : W → Wוכן ̃.[T |W ]B̂ = Aנשים לב שזו מטריצה משולשת ,כלומר מהנחת האינדוקציה fT |W (T |W ) = 0 : W → W כאשר Y n = ̃fT |W = fA ) (x − λk k=1 22 כלומר ) .fT (x) = fT |W (x) (x − λn+1נשים לב ש ,(T − λn+1 I) : V → W -ולכן אם נראה שלכל v ∈ Bמתקיים (T − λn+1 I) v ∈ Wסיימנו ,שכן ∀w ∈ W : fT |W (T |W ) (w) = 0 ואכן: 1 ≤ k ≤ n : (T − λn+1 I) (bk ) = T bk − λn+1 bk ∈ W ועבור :k = n + 1 X n X n = ) (T − λn+1 I) (bn+1 = αk bk + λn+1 bn+1 − λn+1 bn+1 α k bk ∈ W k=1 k=1 ולסיכום: ∈W 0:W →W ∈W z |} { z |} { z |} { ∀v ∈ V : fT (T ) (v) = fT |W (T ) (T − λn+1 I) (v) =fT |W (T |W ) (T − λn+1 I) (v) = 0 נותר להוכיח את המשפט לה“ל שאינן ניתנות לשילוש: יהי Bבסיס כלשהו של Vונציג ) ,A = [T ] ∈ Mn (Fכאשר A.dim V = nאינה ניתנת לשילוש ,ולכן הפ“א שלה אינו מתפרק למכפלת גורמים לינארים מעל .Fהוכחנו שניתן להרחיב את Fלשדה Kשמעליו fA = fTכן מתפרקים למכפלת גורמים לינארים ,כלומר Aדומה למטריצה משולשת ).C ∈ Mn (Kמכאן ש fC (A)-דומה למטריצת האפס )מעל ,(Kולכן היא בעצמה מטריצת האפס.כלומר 0 = fC (A) = fA (A) = fT (A) = fT ([T ]B ) = [fT (T )]B ונסיק ש fT (T ) = 0-כ נ ד ר ש. n2 Akבהכרח ת“ל משיקולי מימד.אולם ,משפט קיילי-המילטון מוכיח לנו שגם הערה .67עבור ) A ∈ Mn (Fהחזקות k=0 n Ak k=0ת“ל ,כלומר }]n ≥ dim {p (A) | p ∈ F [x שכן ,הצבת המטריצה בפולינום הינה צ“ל לא טריוויאלי שמתאפס. הגדרה .68תהא T : V → Vה“ל כאשר ∞ < .dim Vהפולינום המינימלי של ) Tנסמן ) (mT (xהוא פולינום מתוקן ממעלה מינימלית ש T -מאפסת. משפט .69הפולינום המינימלי קיים ומוגדר היטב. 23 הוכחה.אידיאלים! נתבונן באידיאל ]) I = {p (x) | p (T ) = 0} ⊆ F [xאכן סגור לחיבור ,לכפל ומכיל את וקטור ה.(0-נשים לב ש I-אינו טריוויאלי )מכיל רק את (0שכן ממשפט קיילי-המילטון 6 fT ∈ I = .0 ] F [xהוא תחום ראשי ,ולכן ל I-יש יוצר מתוקן ,נסמנו ב.mT (x)-כמובן ש mT ∈ I-ולכן .mT (T ) = 0כמו כן לכל f ∈ Iמתקיים mT | fולכן mTממעלה מינימלית ,כנדרש. הערה .70אם f (T ) = 0בהכרח ,mT | fובפרט .mT | fT דוגמה ,T = Id.71אז המטריצה המייצגת הינה מטריצת היחידה.מכאן ש ,fT (x) = (x − 1)n -וכן )mT (x) = (x − 1 )וברור כי .(mT | fT 24 18.06הרצאה 6 הפולינום המינימלי טענה ) 72טענות של כלום(.אם Aמטריצה מייצגת של ה“ל Tביחס לבסיס Bאז .mA = mT הוכחה.לכל ] p (x) ∈ F [xמתקיים ) [p (T )]B = p ([T ]B ולכן אם נביט באידיאלים מתקיים }{p (x) | p (T ) = 0} = {p (x) | p (A) = 0 ומכאן שגם היוצר המתוקן היחיד שלהם -הפולינום המינימלי -זהה. מסקנה .73אם A, Cזוג מטריצות דומות אז .mA = mc הוכחה A, C.
