Lezioni SUPSI - Metodi Numerici CFD - PDF

Ciclo di Studio di Ingegneria Meccanica corso di Simulazioni Termo-Fluidodinamiche La risoluzione delle equazioni e gli schemi numerici Prof. Maurizio C. Barbato DTI - SUPSI - Manno...

Ciclo di Studio di Ingegneria Meccanica corso di Simulazioni Termo-Fluidodinamiche La risoluzione delle equazioni e gli schemi numerici Prof. Maurizio C. Barbato DTI - SUPSI - Manno CFD Lab. 2022  Sommario ! Risoluzione delle equazioni algebriche ! Convergenza; ! Sottorilassamento; ! Schemi numerici: ! Tipologie ! Accuratezza ! Diffusione numerica Credits: Parte del materiale presentato in queste slides è adattato dal materiale originale stilato da André Bakker CFD Lab. 2022  Soluzione del sistema di equazioni lineari ! Metodi diretti: inversione della matrice A; metodo di Gauss. ! Per una matrice NxN il numero di operazioni da compiere è N3 mentre il numero di coefficienti da memorizzare è N2. ! Metodi iterativi: metodo di Jacobi,metodo di Gauss Seidel, TDMA. ! Per una matrice NxN il numero di operazioni da compiere è N per ciascuna iterazione; il numero di coefficienti da memorizzare è molto inferiore a N2 poiché è necessario memorizzare solo i coefficienti diversi da zero. CFD Lab. 2022  Soluzione del sistema di equazioni ! I codici di fluidodinamica che si basano sulla discretizzazione ai Volumi Finiti applicano metodi iterativi di soluzione. ! Il più diffuso è il TDMA (Tri-Diagonal Matrix Algorithm) ! Ma quando iterazioni sono necessarie? CFD Lab. 2022 La convergenza CFD Lab. 2022  Interruzione delle iterazioni: convergenza ! Il processo iterativo va continuato sino a quando, per i valori delle variabili in esame, le differenze tra una iterazione e la successiva siano piccole a sufficienza. ! Dal punto di vista matematico questo significa che: ! in tutte le celle del nostro dominio computazionale le equazioni di conservazione discretizzate sono soddisfatte nell'ambito della soglia di tolleranza definita. ! Dal punto di vista fisico questo significa che: ! le leggi di conservazione della massa, della quantità di moto, dell'energia e delle specie chimiche sono rispettate nel dominio computazionale. CFD Lab. 2022  Convergenza: i residui - 1 ! Per misurare il livello di soddisfacimento delle equazioni di conservazione discretizzate si introduce il concetto di residuo: ! Il residuo rappresenta il “livello di sbilanciamento'' dell'equazione di trasporto discretizzata: CFD Lab. 2022  Convergenza: i residui - 2 ! Per ottenere errori relativi i residui vengono scalati: ! Nella pratica questi possono essere normalizzati in funzione del valore massimo del residuo registrato durante il processo iterativo. ! Il valore del residuo integrato su tutto il dominio computazionale è quindi: CFD Lab. 2022  Convergenza: i residui - 3 Valori (consigliati) per i residui: ! Massa: 10-4 ! Quantità di moto: 10-4 ! Energia: 10-6 ! Specie chimiche: 10-5 Importante: non usate mai una soluzione con non sia arrivata a convergenza, i risultati associati possono essere molto diversi dalla soluzione esatta. CFD Lab. 2022  Convergenza: altri indici ! Bilancio della massa; ! Per i flussi esterni la variazione dei coefficienti aerodinamici è un indice da considerare. ! Bilancio dell’energia; ! Variazione della temperatura; ! Per apparecchiature rotanti la variazione della coppia. CFD Lab. 2022 Il sottorilassamento CFD Lab. 2022  Sottorilassamento - 1 ! La risoluzione dell’equazione algebrica, ad ogni iterazione n fornisce un valore per la variabile f nel centro-cella P. ! L’aggiornamento della soluzione dal passo n al passo n+1 viene però fatto con la tecnica del sottorilassamento: ! Dove αϕ è il fattore di sottorilassamento: ! αϕ < 1 sottorilassamento. Questa tecnica rallenta la convergenza, ma aumenta la stabilità del calcolo (riduzione della possibilità di oscillazioni e di divergenza). ! αϕ = 1 nessun rilassamento. CFD Lab. 2022  Sottorilassamento - 2 ! I fattori di sottorilassamento sono utili a sopprimere le oscillazioni della soluzione iterativa dovute agli errori numerici. ! fattori di sottorilassamento troppo bassi possono rallentare eccessivamente la convergenza e dare l’idea che il calcolo vi sia arrivato quando non è così. ! Si consiglia di usare i fattori di sottorilassamento così come si fa con i limiti di velocità: si va sempre al valore massimo possibile (che eviti oscillazioni e divergenza). ! Se non si ha esperienza, meglio adottare i valori di default. ! Per soluzioni a convergenza con residui della pressione e della quantità di moto ancora relativamente alti, si possono ridurre i relativi fattori di sottorilassamento per farli scendere. CFD Lab. 2022 Gli schemi numerici CFD Lab. 2022  15 Scelta degli schemi numerici 18/10/22 CFD Lab. 2022  Schemi numerici ! I valori delle variabili f e delle loro derivate ¶f/¶x, sono necessari sulle facce delle celle. Lo notiamo ricordando la equazione di trasporto integrata: ! I valori possono essere calcolati sulla base dei valori della variabile relativi ai centri cella. ! A questo punto operiamo una discretizzazione usando degli schemi numerici: ! Prim’ordine upwind (First-order upwind) ! Schema centrato (Central differencing) ! Power-law ! Second’ordine upwind (Second-order upwind) ! QUICK. CFD Lab. 2022  Proprietà degli schemi numerici ! Gli schemi numerici devono garantire le seguenti proprietà: ! essere conservativi: cioè devono garantire la conservazione delle proprietà risolte; ! essere limitati: i valori che predicono devono essere entro limiti realistici; ! garantire il trasporto: poiché i fenomeni diffusivi sono isotropi mentre quelli convettivi seguono la direzione del flusso, lo schema numerico deve saper riconoscere la direzione del flusso e determinare come essa incide sui ruoli reciproci di convezione e diffusione. CFD Lab. 2022  Prim’ordine upwind Valore f(x) interpolato ! Facile da implementare; fW fw ! Stabile; fP ! Molto diffusivo; w W P ! Utile per soluzioni di prima approssimazione Direzione del flusso CFD Lab. 2022  Schema centrato valore f(x) interpolato ! Più accurato del prim’ordine upwind; fP fe ! Comporta oscillazioni e conseguente fE instabilità se il numero di Péclet è > 2. P e E ! A questo si può ovviare usando un filtro che lo riporta ad uno schema upwind quando Pe > 2. Lo schema così ottenuto si chiama, schema ibrido. Il numero di Péclet è il rapporto tra il trasporto ! Per Pe < 2 è accurato al secondo convettivo e quello ordine. diffusivo. CFD Lab. 2022  Power law ! Il valore sulla faccia viene calcolato con un profilo esponenziale “appoggiato” f(x) valore sui valori ai centri cella. interpolato fP ! Il profilo esponenziale viene approssimato con la seguente “power fe law”: fE P e E ! Dove Pe è il numero di Péclet. x Dx ! Per Pe > 10 il termine diffusivo, il secondo a secondo membro, viene ignorato riportando lo schema ad un prim’ordine upwind. CFD Lab. 2022  Second’ordine upwind ! Più accurato del prim’ordine upwind. fW valore ! Nelle regioni con gradienti intensi può f(x) interpolato portare ad “overshoots”: valori delle fP variabili al di fuori del range definito dai valori nei centri cella. Necessita di ”limiters”. fe fE W P e E ! I metodi second’ordine upwind con I limiters sono i più diffusi perché accurati e stabili. Direzione del flusso CFD Lab. 2022  QUICK ! QUICK: Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinetics. fW valore f(x) interpolato ! Una legge quadratica è appoggiata tra due nodi a monte ed uno a valle fP dell’interfaccia. ! fe fE ! Schema accurato al terzo ordine per P e W E griglie equispaziate. ! In regioni con forti gradienti può provocare overshoots e undershoots Direzione del flusso e quindi problemi di stabilità CFD Lab. 2022 L’accuratezza degli schemi numerici CFD Lab. 2022  Precisione ed accuratezza - definizioni ! Per la misurazione dei fenomeni fisici: ! L’accuratezza indica quanto una misura vicina è al valore vero. ! La precisione indica quanto vicini o quanto ripetibili siano i risultati delle diverse misurazioni. CFD Lab. 2022  Precisione ed accuratezza - 1 Precisione Accuratezza CFD Lab. 2022  Precisione ed accuratezza - definizioni ! Per la simulazione numerica: ! L’accuratezza: è la vicinanza della soluzione ottenuta alla soluzione vera (effetto della qualità del modello numerico). ! La precisione: è la vicinanza (coerenza) delle soluzioni una all’altra (effetto degli errori casuali); CFD Lab. 2022 Precisione ed accuratezza - 2 CFD Lab. 2022  Esempio di precisione ! Se risolviamo un problema di CFD con un sw che gira su due computer diversi, potremmo avere soluzioni con simile accuratezza, ma differenti a causa di architetture diverse dei processori: CFD Lab. 2022  Esempio di accuratezza ! Prendiamo un numero conosciuto, 𝜋: ! 3.14 ! 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974 94459230781640628620899862803482534211706798214808651 CFD Lab. 2022  L’errore di troncamento ! L’errore di troncamento è indotto dalla differenza che c’è tra le equazioni discretizzate e le equazioni esatte. ! Se ricordate, questo errore l’abbiamo incontrato trattando lo sviluppo in serie di Taylor: CFD Lab. 2022  Accuratezza degli schemi numerici ! Sviluppo in serie di Taylor: Dx NW N NE dyn n W P E ! Ipotesi: griglia equispaziata w e Dy dys s SW SE S dxw dxe CFD Lab. 2022  Accuratezza degli schemi numerici ! Usando la precedente ricavo il valore nel centro cella P: ! E quindi posso valutare: CFD Lab. 2022  Accuratezza degli schemi numerici ! Usando la precedente ricavo il valore nel centro cella P: ! E quindi posso valutare: CFD Lab. 2022  Errori di troncamento ! L’uso di schemi numerici di discretizzazione che risolvono su una griglia discreta delle equazioni relative ad un fluido continuo comporta l’insorgere di errori numerici detti di errori di troncamento; ! l’entità di tali errori si riduce all’aumentare del numero di celle utilizzato per discretizzare il dominio computazionale, cioè con il raffinamento della griglia. Griglia di calcolo Errore di troncamento CFD Lab. 2022  Errori di arrotondamento ! La capacità di memorizzare un numero (fisicamente lo spazio di memoria) da parte di un computer è limitata ad un numero finito di cifre significative; ! questo significa che nei calcoli effettuati con un computer esiste inevitabilmente un errore di arrotondamento che è più o meno grande a seconda del grado di accuratezza usato per la memorizzazione dei dati; ! la presenza degli errori di arrotondamento è inevitabile; ! Possiamo ridurli passando da un approccio: single-precision floating point (32 bit) a double-precision floating point (64 bit) CFD Lab. 2022  Errori di arrotondamento ! Possiamo ridurli passando da: single-precision floating point (32 bit) a double-precision floating point (64 bit) CFD Lab. 2022  Esempio ! Prendiamo un numero conosciuto, 𝜋: ! 3.14 ! 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974 94459230781640628620899862803482534211706798214808651 Che tipo di errore è questo? CFD Lab. 2022 La diffusione numerica CFD Lab. 2022  Accuratezza e diffusione numerica - 1 ! La diffusione numerica è una diffusione fittizia che sorge in flussi dominati dalla convezione (con alto Pe). Zero diffusione ! Nell’esempio riportato senza diffusione k=0 numerica la diagonale dovrebbe separare Fluido Caldo in maniera secca le zone a diversa T = 100ºC temperatura 100 e 0 ºC. Fluido freddo ! La diffusione numerica in questo caso è T = 0ºC ingenerata dalla natura inclinata del flusso e dal gradiente di temperatura normale alla direzione del flusso. CFD Lab. 2022  Accuratezza e diffusione numerica - 2 Upwind Upwind primo ordine secondo ordine 8x8 64 x 64 CFD Lab. 2022  Accuratezza e diffusione numerica - 2 Upwind Upwind primo ordine secondo ordine 8x8 64 x 64 ! Griglia più fitta Come evitarla? CFD Lab. 2022 ! Schema di ordine più alto  Accuratezza della soluzione ! Gli schemi di ordine più elevato sono più accurati, sono però meno stabili e aumentano il tempo di calcolo. ! È opportuno far partire la risoluzione con uno schema al prim’ordine e dopo un certo numero di iterazioni, passare ad uno schema più accurato (= stabilità + accuratezza). ! Lo schema “second’ordine upwind” è sufficiente a garantire l’accuratezza richiesta nei problemi ingegneristici. CFD Lab. 2022 42 Procedure di soluzione CFD Lab. 2022  Procedure di soluzione - 1 ! I metodi di soluzione basati sui Volumi Finiti possono usare una procedura di soluzione “segregata” oppure “accoppiata”. ! Procedura segregata: le equazioni per ogni variabile vengono risolte in maniera consecutiva, una dopo l’altra. ! Procedura accoppiata: le equazioni per ogni variabile vengono risolte simultaneamente. ! La procedura segregata è il default ed è adatta a flussi di fluidi a densità costante o a flussi incomprimibili (Mach < 0.3) ! La procedura accoppiata è adatta a flussi comprimibili ad elevato numero di Mach soprattutto in presenza di onde d’urto. CFD Lab. 2022 44  Procedure di soluzione - 2 ! Procedura segregata segregated solver or pressure-based ! Procedura accoppiata coupled solver or density based CFD Lab. 2022 45  Algoritmo di soluzione segregato Aggiornam. delle proprietà Risoluzione eq. quant. di moto (u, v, w) Risol. eq. correz. press. (continuità); aggiornamento pressione e flussi di massa Risol. equazioni: energia, specie, turbolenza e scalari. Convergenza? No Si Stop CFD Lab. 2022  Algoritmo di soluzione accoppiato Aggiornam. proprietà Risoluzione simultanes delle eq. di continuità, quantità di moto, energia, e specie chimiche. Soluzioni delle eq. della turbolenza e degli scalari Convergenza? No Si Stop CFD Lab. 2022  Algoritmo di soluzione non-stazionario Si assegna il time step e si inizializza la soluzione Si applica la proc. di soluz. segregata o accoppiata fino a converg. Si aggiorna la soluzione con i valori al time step corrente Si è arrivati al tempo desiderato? Nuovo time step No Si Stop CFD Lab. 2022 FINE LEZIONE CFD Lab. 2022