Kapitel 6 - Zahnradgetriebe.pdf

Maschinenelemente II Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Kapitel 6: Zahnräder und Zahnradgetriebe Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.1 Funktion und Wirkung Vorteile - kompakte Bauweise - hoher...

Maschinenelemente II Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Kapitel 6: Zahnräder und Zahnradgetriebe Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.1 Funktion und Wirkung Vorteile - kompakte Bauweise - hoher Wirkungsgrad Nachteile - starre Kraftübertragung - Schwingungen bei hohen Drehzahlen Aufgabe - Übertragung von Drehbewegungen und Leistungen (schlupffrei) - Drehzahlerhöhung / -verringerung - Momenterhöhung / -verringerung Bewegungs- und Kraftübertragung durch Formschluss - Übersetzung konst.  Festgetriebe - Übersetzung in Stufen veränderlich  Schaltgetriebe - Leistungsverzweigung  Verteilergetriebe Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Schaltgetriebe Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.1.1 Zahnräder und Getriebearten Zahnrad  Radkörper mit gesetzmäßig gestalteten Zähnen Eingriffspunkt  Wälzpunkt  wandert während des Eingriffs auf dem Profil Zwischen den Rückflanken herrscht Spiel Rad  Profil  Gegenrad Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Getriebebauarten Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Wälzgetriebe  Stirnradpaarungen - Radachsen liegen in einer Ebene parallel - Linienkontakt im Wälzpunkt, übliche Übersetzung imax ≤ 6 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Wälzgetriebe  Kegelradpaarungen - Radachsen senkrecht zueinander - Linienkontakt im Wälzpunkt, übliche Übersetzung imax ≤ 6 https://khkgears.net/new/gear_knowledge/abcs_of_gears-b/gear_types_and_characteristics.html Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Schraubwälzgetriebe - Radachsen liegen nicht in einer Ebene - Radachsen können rechtwinklig oder windschief zueinander stehen  Stirnrad-Schraubgetriebe: Punktkontakt, imax = 5, Leistungen klein  Kegelrad-Schraubgetriebe: Punktkontakt  Schneckenrad-Getriebe: Linienkontakt, 5 ≤ i ≤ 60 (100) Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.1.2 Verzahnungsgesetz Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Konstruktion von Gegenflanke und Eingriffslinie Gegenflanke Flanke Eingriffslinie Haberhauer, Bodenstein: Maschinenelemente, 13. Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2005 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Kinematische Bedingung Aus ähnlichen Dreiecken folgt und Gleitgeschwindigkeit gemeinsame Berührnormale n–n verläuft durch C  Bed.: d.h.: kein Abheben der Zähne   Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.1.3 Flankenprofile und Verzahnungsarten - alle Profile im Sinne des Verzahnungsgesetzes sind möglich - technisch relevant sind Flankenprofile:  die einfache Eingriffslinie ergeben  einfach zu fertigen sind  Rollkurven  Zykloiden  Abwicklung der Evolutentangente  Evolvente (spez.: Kreisevolvente) a) Zykloide a) Orthozykloide, b) Epizykloide, c) Hypozykloide Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Zykloidenverzahnung Rollkreis 2 rollt  auf W1  Kopfflanke k1 (Epizykloide)  in W2  Fußflanke f2 (Hypozykloide)  k1  f2 : Eingriffslinie CE Analog Rollkreis 1 Vorteile  Schmiegung: konvex  konkav  geringe Flächenpressung  kleine Zähnezahlen (z = 3) möglich Nachteile Wechsel der Flankenkrümmung  genauer Achsabstand erforderlich  hohe Herstellgenauigkeit  teuer  nur Paarung von Rädern mit gleichen Rollkreisen Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Zykloidenverzahnungen Hypozykloide Epizykloide Zykloidenverzahnung mit Zykloidenverzahnung z = 4 für Zahnstangen für Gebläseflügel r1 und r2: Rollkreise G. Niemann · H. Winter: Maschinenelemente, Band 2: Getriebe allgemein, Zahnradgetriebe - Grundlagen, Stirnradgetriebe; 2. Auflage; Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder b) Evolvente  Abrollen einer Geraden auf beliebiger Grundkurve  Kreisevolvente: Abrollen einer Geraden auf einem Grundkreis Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Evolventenfunktion – DIN 867 – Eingriffswinkel a Evolvente T · rb·j rb · a r C Wälzpunkt j a x a = 20° M A rb·inva = rb·x Grundkreis · AT = rb·j = TC rb·j tana = =j r² =rb² + (rb·j)² = rb²·(1+j²) rb r² = rb²·(1+tan²a) = rb²·(1/cos²a) x = j – a = inva = tana – a r = rb /cosa bzw. d = db /cosa DIN 867: a = 20°  Wälzpunkt C mit Teilkreis d = db /cos20° Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Evolventenverzahnung  Außenradpaar Nullräder a = 20° T2 C E A T1 x  Bild 20-13 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Evolvente Vorteile  Eingriffslinie Gerade n – n  geringe Empfindlichkeit gegen Achsabstandsänderungen  Einfache und kostengünstige Herstellung (Abwälzverfahren) Nachteile  Außenverzahnungen  Zahnflanken konvex  hohe Flächenpressung  Mindestzähnezahl z = 14 (bei Geradverzahnung) 7.1.4 Bezugsprofil  DIN 867  Zahnstange  gerade Flanken  Profilwinkel aP = a = 20° Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.2 Außenverzahntes Stirnrad mit Geradverzahnung 6.2.1 Geometrie der Geradstirnräder a) Begriffe Teilung p = s + e auf den Teilkreis d bezogen Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Teilung – Zähnezahl – Modul Teilkreisumfang U1/2 = p · d1/2 p · d1/2 = z1/2 · p p d1/2 = z1/2 · = z1/2 · m m  DIN 780  TB 21-1 p d1/2 Durchmesser, bei dem a = 20° m und z1/2  Konstrukteur/-in db1/2 = d1/2 · cosa = m · z1/2 · cosa  Grundkreisdurchmesser Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder b) Verzahnungsmaße der Nullräder (Außenverzahnung) Nullrad  Profilbezugslinie des Werkzeugs rollt auf dem Teilkreis ab  Eingriffswinkel a = 20°  Wälzkreis dw Teilkreis d Kopfkreisdurchmesser ha = m Werkzeugprofil- bezugslinie Fußkreisdurchmesser Teilkreis hf = 1,25·m Übersetzung m1 = m2 = m G. Niemann, · H. Winter: Maschinenelemente, Band 2, 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003 Zähnezahlverhältnis Übersetzung ins Langsame i = u > 1 Übersetzung ins Schnelle i = 1/u < 1 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder c) Eingriffsteilung pe, Eingriffsstrecke ga, Profilüberdeckung ea 𝑔 ⏞ 𝑑 𝑑 −𝑑 𝑑 −𝑑 𝜀 = ≥ 1,1 (1,25) 𝑑 +𝑑 𝑝 𝑝 =𝜋 cos 𝛼 𝑔 = + − sin 𝛼 𝑧 2 2 2 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder d) Profilverschiebung Anwendung zur  Vermeidung von Unterschnitt bei kleinen Zähnezahlen z  Erreichung eines vorgegebenen Achsabstandes a  Erhöhung von Tragfähigkeit und ggf. Überdeckungsgrad ea Unterschnitt, wenn z < zg (Grenzzähnezahl) z=9 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Grenzzähnezahl C ha T a r a Unterschnitt entsteht, wenn die Werkzeugprofilecke in den Grundkreis eindringt. Mit ha = CT∙sina Im Grundkreis existiert und CT = r∙sina keine Evolvente. folgt: ha = r∙sin²a mit: r = ½∙m∙z folgt: ha = ½∙m∙z∙sin²a DIN: ha = m folgt zg = 2/sin²a ≈ 17 für Nullräder Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Praktische Grenzzähnezahl zg ≈ 14 (bei geradverzahnten Nullrädern) Vermeidung von Unterschnitt durch Profilverschiebung V = x·m Rad Profilverschiebung Nullrad V=0 V-Rad V≠0 Vplus V>0 s, e, da, df Vminus V 0) Ziel: annähernd gleiche Tragfähigkeit V-Getriebe x1 + x2 ≠ 0; aw ≠ a = 20° von Ritzel und Rad © TU-Berlin Übersetzung: i = n1/n2 = dw2/dw1 = d2/d1 = db2/db1 = z2/z1 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Achsabstand a und Betriebseingriffswinkel aw V1=x1·m M1 Vplus-Rad Nullgetriebe M1 n n d1 aw db1 a dW1 · db1 ad = (d1+d2)/2 d1 · aw a = 20° a C C · d2 · dW2 n db2 n db2 d2 a aw M2 M2 Nullrad Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Profilverschiebungsfaktoren und ihre Aufteilung Bestimmung von x1 und x2 Bestimmung von a bei gegebenem Achsabstand a bei gegebenen x1 und x2 2 180° 𝛼 ≈ 3 inv 𝛼 − inv 𝛼 5 𝜋 0,05 ∑ 𝑥 inv𝛼 − inv𝛼 = 0,04 ∑𝑧 2 tan 𝛼 0,03 0,02 0,01 Annähernd gleiche 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 0 Zahnfußtragfähigkeit -0,01 -0,02 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Kopfspiel c und Kopfkürzung k Getriebe Profilüberdeckung Vplus aw > a  ea = ga/pe  Vminus aw < a  ea = ga/pe  Ziel: ea ≥ 1,1 (1,25) c = a – ½·(da1 + df2) oder c = a – ½·(da2 + df1) Ziel: c = 0,25·m für Bezugsprofil II Dazu ggf. Kopfkürzung k (wenn k < 0  da1/2 ) k = k*·m = a – ad – m·(x1 + x2) mit k* - Kopfhöhenänderungsfaktor Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.2.2 Geometrie der Schrägstirnräder Vorteile - ruhigerer Lauf - größerer Überdeckungsgrad - günstiger für hohe Drehzahlen - Zähne höher belastbar - unempfindlicher gegen Zahnformfehler Nachteile - Axialkräfte - höhere Reibungsverluste - geringerer Wirkungsgrad www.holtech-antriebstechnik.de/ Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder a) Schrägungswinkel Zähne sind schraubenförmig gewunden b G. Niemann, · H. Winter: Maschinenelemente, Band 2, 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003 Empfehlung b ≈ 8° … 20°  DIN 3978 (auf Teilkreis bezogen) Zahnflanken  im Stirnschnitt Evolventen  Abwälzvorgang  aber nicht im Normalschnitt  Fertigung Gleiche Werkzeuge wie für Geradverzahnung. Es gilt: mit at > an = 20° und mn = m Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder b) Verzahnungsmaße (Nullräder) https://www.maedler.de/product/ 1643/1618/2133/stirnzahnraeder -stahl-schraeg-verzahnt-rechts- Stirnschnitt und-links-modul-1 Teilkreisdurchmesser Grundkreisdurchmesser Nullachsabstand Normalschnitt Kopfkreisdurchmesser Fußkreisdurchmesser Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder c) Eingriffsverhältnisse, Gesamtüberdeckung (Nullverzahnung) Sprung Sprungüberdeckung Profilüberdeckung Gesamtüberdeckung Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder d) Profilverschiebung – Ersatzzähnezahl d Ersatzzähnezahl zn > z dn > d Praktische Grenzzähnezahl < 14 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Profilverschiebungsfaktor und Getriebeabmessungen Profilverschiebung (Normalschnitt) V-Getriebe Betriebseingriffswinkel awt für Sollachsabstand a Profilverschiebungsfaktoren S x für Sollachsabstand a Aufteilung von S x mit Ersatzzähnezahlen zn1 und zn2 (Gl. 21.33  TB 21-6) Profilüberdeckung (V-Getriebe) Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.3 Entwurf  Wahl der Hauptabmessungen 1. Wellendurchmesser  Entwurfsdurchmesser d (s. Wellenberechnung) 2. Übersetzung i  i ≤ 6 (8)  größere Übersetzung  mehrstufiges Getriebe  Gesamtübersetzung: i = i1 ∙ i2 ∙ i3 ∙ … ∙ in  h = h 1∙h 2∙h 3∙ … ∙h n  ganzzahlige Einzelübersetzungen vermeiden 3. Ritzelzähnezahl z1  Richtwerte TB 21-12 4. Zahnbreite b  Ritzelzähne b1 breiter als Radzähne b2  Fertigungstoleranzen  überschlägig  TB 21-13  Durchmesser-Breitenverhältnis yd = b1/d1  Modulbreitenverhältnis ym = b1/m 5. Schrägungswinkel b  b ≈ 8 … 20°  Axialkraft auf Lager mit geringerer Radialkraft leiten 6. Modul m  näherungsweise berechnen, je nach Vorgabe  Bild 21-21 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Modulbestimmung  Bild 21-21 Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.4 Tragfähigkeitsnachweis  Schadensarten an Zahnrädern Überlastbruch Ermüdungsbruch www.tandwiel.info/de/verzahnungen/verschleissund-schaeden-der-verzahnung-verzahnungen-tandwiel-info/ Grübchenbildung Fressen Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.4.1 Nennkräfte an Zahnrädern Fr Geradverzahnung (Fa = 0 und b = 0, at = a = 20°) at Fbn Ft Fa b T Schrägverzahnung d mit Fr = Ft · tanat und tanat = tanan/cosb folgt und Kräfte auf Teilkreis d bezogen (an = a = 20°) Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.4.2 Belastungseinflussfaktoren Nennbelastungen ( Ft) Anwendungsfaktor KA Einfluss An-/Abtriebsmaschine Dynamikfaktor Kv Einfluss Getriebeeigendynamik Breitenfaktoren KHb, KFb Ungleicher Kraftverlauf auf Zahnflanken und Zahnfuß Stirnfaktoren KHa, KFa Ungleiche Kraftaufteilung auf Zahnpaare infolge Verzahnungsabweichungen Gesamtbelastungseinfluss - für Zahnfußtragfähigkeit KFges = KA · Kv · KFa · KFb - für Grübchentragfähigkeit KHges = √KA · Kv · KHa · KHb Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Bestimmung der Breitenfaktoren KHb und KFb: Flankenlinienabweichung - Erfahrungswerte aus TB 21-16a, oder  durch Verformung – fsh - Gl. 21.75  TB 21-16b  K‘ Herstellbedingte Flanken- - Gl. 21.76  TB 21-16c  fHb linienabweichung – fma  fHb – zul. Flankenlinien-Winkel-Abweichung Flankenlinienabweichung  - Gl. 21.77 unter Verwendung von fma und fsh vor dem Einlaufen – Fbx Flankenlinienabweichung  - Gl. 21.78  TB 21-17  vermindert um yb nach dem Einlaufen – Fby Exponent NF für den  - Gl. 21.79 Breitenfaktor KFb Bestimmung der  - Gl. 21.74 mit Fby, Fm/b = Kv·(KA·Ft/b), KHb , NF Breitenfaktoren – KHb, KFb Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder 6.4.3 Nachweis der Zahnfußtragfähigkeit Spannungen im Zahnfuß - sb inf. Ft - sd inf. Fr (vernachlässigt) - ts inf. Ft (vernachlässigt) Mit Korrekturfaktoren folgt die örtliche Zahnfußspannung YFa – Formfaktor  Zahnform YSa – Zahnfuß (Kerbwirkung) Ye – Überdeckungsfaktor Yb – Schrägenfaktor Mit KFges folgt die Zahnfußspannung Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Nachweis der Zahnfußtragfähigkeit 1. Nennkräfte 2. Korrekturen inf. Betriebsbedingungen, Montage, Fertigung und Einlaufverhalten Bedingungen  KA, KV, KFa, KFb  KFges am Zahnrad 3. Korrektur inf. Zahnform  YFa, YSa, Ye, Yb 4. Korrektur der Prüfstandbedingungen zur Modifikation des Werkstoffgrenzwertes sFlim Werkstoffeinfluss  YST = 2, YNT, YdrelT ≈ 1, YRrelT ≈ 1, YX – aus 1., 2., 3.  Zahnfußspannung sF sFG – aus 4.  Zahnfuß-Grenzfestigkeit Sicherheit SF = s F sFG ≈ 2·sFlim·YNT·YX Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Hertz‘sche Pressung  Grübchenbildung Mit Korrekturfaktoren folgt die Flankenpressung im Wälzpunkt C ZH – Zonenfaktor Flankenkrümmung im Wälzpunkt Flankenkrümmung ry1, ry2 variabel ZE – Werkstoffpaarung Ze – Überdeckungsfaktor Zb – Schrägenfaktor Mit KHges folgt die Flankenpressung am Wälzkreis Maschinenelemente II Kapitel 6: Zahnradgetriebe Prof. Dr. sc. techn. W. Schröder Nachweis der Grübchentragfähigkeit 1. Nennkräfte 2. Korrekturen inf. Betriebsbedingungen, Montage, Fertigung und Einlaufverhalten Bedingungen  KA, KV, KHa, KHb  KHges am Zahnrad 3. Korrektur inf. Zahnform, Werkstoffpaarung und Eingriff  Z H , Z E , Z e, Z b 4. Korrektur der Prüfstandbedingungen zur Modifikation des Werkstoffgrenzwertes sHlim Werkstoffeinfluss  ZL, Zv, ZR, ZNT, ZW, ZX – aus 1., 2., 3.  Flankenpressung sH sHG – aus 4.  Flankengrenzfestigkeit sHG Sicherheit SH = s H sHG = sHlim·ZNT·(ZL·Zv·ZR)·ZW·ZX Bei Radpaaren, Werte des weicheren Werkstoffs oder Näherungswerte