Exercícios de Probabilidades PDF

E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 1 Exercı́cios de probabilidades 13. [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. O clube náutico da cidade A...

E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 1 Exercı́cios de probabilidades 13. [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. O clube náutico da cidade A oferece aos seus sócios a possibilidade de praticarem as seguintes modalidades: vela, canoagem e windsurf. De acordo com os dados disponı́veis, 30% dos sócios praticam vela, 10% e 20% praticam, respetivamente, canoagem e windsurf. Por outro lado, 5% dos sócios praticam vela e windsurf. É selecionado um sócio ao acaso. (a) Sabendo que esse sócio pratica vela, qual a probabilidade de praticar windsurf ? (b) Qual a probabilidade de esse sócio não praticar nem windsurf nem vela? (c) O acontecimentos “um sócio, selecionado ao acaso, praticar vela” e “um sócio, selecionado ao acaso, praticar windsurf ” são acontecimentos independentes? Justifique a sua resposta. (d) Para responder às alı́neas anteriores que conceito de probabilidade utilizou? 14. [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. Sejam A1 , A2 , e A3 acontecimentos com probabilidades de ocorrência diferentes de zero. Sabe-se que: P(A1 ) = 0.12, P(A2 ) = 0.10 e P(A2 ∩ A3 ) = 0.05. A1 é mutuamente exclusivo quer com A2 quer com A3. Dois dos acontecimentos referidos, Ai , i = 1, 2, 3, são independentes. Calcule P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ). 18. [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. Considere os seguintes acontecimentos, A1 , A2 e B, definidos em Ω, em que: 1 2 P(A1 |B) = e P(A2 |B) =. 4 3 Comente as seguintes afirmações: (a) A1 e A2 são acontecimentos mutuamente exclusivos. (b) A1 e B são acontecimentos mutuamente exclusivos. 22.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. Dos três fornecedores (A1 , A2 , A3 ), de um certo produto, para uma conhecida loja (em partes de 30%, 50% e 20% respetivamente), todos fornecem produtos com deficiências, sendo a percentagem de produtos defeituosos sobre o total fornecido por cada um deles de 7%, 5% e 4%, respetivamente. (a) Tendo comprado um produto, e verificado que apresentava deficiências, qual o fornecedor mais provável? (b) Qual a probabilidade de um produto ter vindo do fornecedor A1 e apresentar deficiências? Ai P(Ai ) P(B|Ai ) P(B ∩ Ai ) = P(B|Ai ) · P(Ai ) P(Ai |B) Total 1 - P(B) 1 ricardo manuel [email protected] LATEX 1 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 23.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. As famı́lias de uma pequena cidade escolhem uma (e só uma) de três alternativas para fazer férias: Praia. Campo. Ficar em casa. Durante a última década verificou-se que escolhiam aquelas alternativas, respetivamente, 50%, 30% e 20% das famı́lias da referida cidade. A probabilidade de descansar durante as férias está ligada à alternativa escolhida: 0.4, 0.6 e 0.5 conforme se tenha ido para a praia, para o campo ou ficado em casa. (a) Qual a probabilidade de uma famı́lia desta pequena cidade, escolhida ao acaso, descansar durante as férias? (b) Sabendo que uma determinada famı́lia descansou durante as férias, qual a alternativa mais provável de ter sido escolhida por esta famı́lia? Ai P(Ai ) P(B|Ai ) P(B ∩ Ai ) = P(B|Ai ) · P(Ai ) P(Ai |B) Total 1 - P(B) 1 24.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. Uma empresa produz unicamente três tipos de vassouras, sendo que 40% e 20% do tipo A2 e A3 respetivamente. De acordo com a informação do controlo de qualidade sabe-se que 5% da totalidade das vassouras produzidas têm o comprimento do cabo inferior ao estabelecido e 17.5% das vassouras do tipo A3 apresentam a mesma deficiência. Sabe-se ainda que 30% das vassouras com comprimento inferior ao estabelecido são do tipo A2. (a) Calcule a probabilidade de uma vassoura do tipo A2 ser defeituosa. (b) Qual a percentagem das vassouras defeituosas que são do tipo A1. Ai P(Ai ) P(B|Ai ) P(B ∩ Ai ) = P(B|Ai ) · P(Ai ) P(Ai |B) Total 1 - P(B) 1 25. [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. Sabe-se que 25 em cada 1000 habitantes é portador do vı́rus Kuksi. Atualmente é possı́vel efetuar um teste laboratorial para averiguar se determinado indivı́duo é ou não portador do vı́rus Kuksi. Porém, o teste não é infalı́vel. A probabilidade do teste ser negativo para um indivı́duo portador do vı́rus é de 0.004. Por outro lado, a probabilidade de um indivı́duo ser portador do vı́rus, tendo o teste laboratorial dado negativo, é 0.01139%. (a) Qual a probabilidade de o teste laboratorial dar um resultado positivo? (b) Qual a probabilidade de um indivı́duo, escolhido ao acaso, que não é portador do vı́rus Kuksi, realizar este teste e o resultado ser negativo? ricardo manuel [email protected] LATEX 2 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 26.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. Uma instituição bancária especializada no crédito habitação sabe que 6.8% dos clientes que recorrem aquele crédito, não pagam a prestação na data indicada no contrato. Por essa razão os clientes são classificados de acordo com o seu nı́vel de risco, conforme se evidencia no quadro seguinte: Nı́vel de risco N.º de clientes Baixo 30 000 Moderado 55 000 Elevado 15 000 Total 100 000 Os clientes de risco baixo e risco moderado pagam a prestação mensal na data estipulada no contrato com probabilidade de 0.99 e 0.95, respetivamente. (a) Qual a probabilidade de um cliente classificado como sendo um cliente com um nı́vel de risco elevado, não pagar a sua prestação mensal na data estipulada no seu contrato? (b) Qual a probabilidade de um cliente que não pagou a sua prestação mensal na data estipulada no seu contrato, ter sido classificado como um cliente com um nı́vel de risco moderado? (c) Qual a probabilidade de um cliente pagar a sua prestação mensal na data estipulada no seu contrato e ser considerado um cliente com um nı́vel de risco baixo? (d) Que conceito de probabilidade utilizou para resolver o problema? Ai P(Ai ) P(B|Ai ) P(B ∩ Ai ) = P(B|Ai ) · P(Ai ) P(Ai |B) Total 1 - P(B) 1 29.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. Um estudante efetuou um teste com perguntas de escolha múltipla. O estudante ou conhece a resposta à pergunta e, nesse caso, dá a resposta certa ou não conhece a resposta à pergunta e, nesse caso, tenta adivinhar respondendo ao acaso. Considere que existem cinco alternativas de resposta possı́veis que são igualmente plausı́veis. Coloque- se no lugar do professor. Sabendo que o estudante acertou na resposta correta a uma pergunta do teste, qual a probabilidade do estudante conhecer de facto a resposta certa a essa questão? Resolução A1 : ‘Conhece a resposta’. A2 : ‘Não conhece a resposta’. B: ‘Responde corretamente’. P(Ai ∩ B) 5p P(Ai |B) = P(A1 |B) = P(B) 1 + 4p ricardo manuel [email protected] LATEX 3 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL Ai P(Ai ) P(B|Ai ) P(B ∩ Ai ) = P(B|Ai ) · P(Ai ) P(Ai |B) 5p A1 p 1 p 1 + 4p 1 1− p 1− p A2 1− p 5 5 1 + 4p 1 + 4p Total 1 - P(B) = 1 5 30.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. O mercado do serviço móvel terrestre está dividido entre duas empresas, CELUM e CELDOIS, com quotas respetivamente de 60% e 40%. O organismo regulador encomendou um estudo de opinião do mercado do qual concluiu o seguinte: 70% dos utilizadores estão satisfeitos e, dos clientes da CELUM, 80% estão satisfeitos. (a) Qual a percentagem de clientes da CELDOIS que estão satisfeitos? (b) Qual a divisão do mercado, dentro dos clientes satisfeitos? (c) Qual a probabilidade de encontrar um cliente que tenha contrato com a CELUM e se sinta insatisfeito? Ai P(Ai ) P(B|Ai ) P(B ∩ Ai ) = P(B|Ai ) · P(Ai ) P(Ai |B) Total 1 - P(B) 1 31.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo]. A empresa OMEGA produz bens de equipamento. A sua produção destina-se a dois mercados externos: Estados Unidos da América (25%) e França (15%). A restante produção é vendida internamente. Estudos efetuados permitiram concluir que 20% dos bens produzidos para França sofrem de pequenas anomalias, enquanto que 30% dos bens com anomalias se destinam ao mercado norte americano. Sabe-se ainda que a percentagem de bens com anomalias destinada ao mercado interno é metade da que se destina ao mercado norte americano. (a) A empresa, confrontada com esta situação, defende que no máximo só 4% da sua produção apresenta anomalias. Comente esta afirmação (apresente todos os cálculos efetuados). (b) Se se constatar que um determinado bem, escolhido ao acaso, apresenta anomalias, qual a probabilidade de este vir a ser consumido no mercado interno? Ai P(Ai ) P(B|Ai ) P(B ∩ Ai ) = P(B|Ai ) · P(Ai ) P(Ai |B) Total 1 - P(B) 1 ricardo manuel [email protected] LATEX 4 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 2 Exercı́cios de variáveis aleatórias 1.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Uma moeda apresenta cara três vezes mais frequentemente que coroa. Seja X a v.a. que representa o número de caras em 3 lançamentos desta moeda, deduza a função de probabilidade e a função distribuição de X. 2.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O número de navios que diariamente atracam em determinado porto, é uma variável aleatória cuja função massa de probabilidade é dada por: x 0 1 2 3 4 5 fX (x) = P(X = x) a 2a b b 2c c (a) Sabendo que 30% dos dias atracam no porto menos de 2 navios e que em 36% dos dias atracam mais de 3 navios, determine a função de probabilidade e a função de distribuição. (b) Qual a probabilidade de, em 2 dias, chegarem, em cada um deles, mais de 4 navios ao porto. 3.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O número de jovens que diariamente são atendidos por um especialista em planeamento familiar, em determinado centro de saúde, é uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade: x 0 1 2 3 4 5 6 fX (x) = P(X = x) 0.05 k 0.35 0.20 0.05 0.03 0.02 (a) Determine o valor de k. (b) Deduza a função de distribuição da variável aleatória X. (c) Determine o valor da mediana. (d) Qual a probabilidade de, em certo dia, serem atendidos no máximo 5 jovens? (e) Qual o número médio de jovens atendidos por dia? E o número mais provável de jovens atendidos (dia)? (f) Qual o número de dias num mês (30 dias) em que são atendidos no centro de saúde no mı́nimo 3 jovens? 4.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] A variável aleatória X, pode assumir os valores 0, 1 e 2. Sabendo que E(X) = 1.7 e Var(X) = 0.41, determine: (a) A função de probabilidade de X. (b) A função de distribuição de X. 5.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] A procura diária de um determinada peça é uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade: k × 2x f (x) = , x = 1, 2, 3, 4. x! (a) Determine o valor da constante k e calcule a procura média diária. (b) Suponha que cada peça é vendida por 5 e. O fabricante produz diariamente três peças. Qualquer peça que não tenha sido vendida ao fim do dia deve ser inutilizada provocando um prejuı́zo de 3 e. Quando espera o fabricante ganhar no final de cada dia? ricardo manuel [email protected] LATEX 5 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 7.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Num condomı́nio fechado, o número de horas pagas pelo aluguer de um campo de ténis, por cada condómino, tem a seguinte função de probabilidade: 2 x   −  (x = 1, 2, 3) fX (x) = P(X = x) = 3 6   0 (c.c.) (a) Considere o custo (Y ) de aluguer por condómino. Sabendo que a 1.ª hora custa 5 e, a 2.ª hora custa 4 e e a 3.ª hora custa 3 e, calcule o valor médio e a variância do custo de aluguer por condómino. (b) Que alterações ocorrerão no valor médio e na variância do custo de aluguer por condómino, se o con- domı́nio decidir aumentar os preços em 5%. 10.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Seja X uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por: 1    (5 < x < 15) fX (x) = 10   0 (c.c.) (a) Deduza a função distribuição e determine P(X > 8) e P(X > 13|X < 8). (b) Calcule o valor esperado e a variância de X. 11.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O verdadeiro peso, em mg por comprimido, de uma conhecida marca de analgésicos é uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por:   10 (9.95 < x < 10.05) fX (x) = 0 (c.c.)  (a) Qual a probabilidade de um determinado comprimido pesar mais de 9.98 mg? (b) Qual a probabilidade de um determinado comprimido pesar exatamente 10.02 mg? (c) Calcule a função distribuição e represente-a graficamente. 12.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 13.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 14.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] A procura diária (em centenas de horas) dos serviços prestados por uma empresa de limpeza é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:  a  2x −  (0.5 < x < 1.5) 2 fX (x) =  0 (c.c.)  (a) Determine o valor de a. (b) Calcule a probabilidade da procura diária exceder 100 horas. (c) Calcule a receita diária esperada, sabendo que a empresa cobra 10 e por hora de serviço prestado. (d) Calcule a função distribuição cumulativa da variável aleatória X e determine o valor da mediana. ricardo manuel [email protected] LATEX 6 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 15.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O tempo (horas) de fabrico de uma peça de metal é uma variável aleatória com a seguinte função densidade: 30x − 6x2    (0 < x < 5) fX (x) = 125   0 (c.c.) (a) O responsável pela produção das peças de metal, garante que só cerca de 10% das peças levam mais de 4 horas a serem fabricadas. Acha que o responsável pela produção têm razão? Justifique a sua resposta apresentando todos os cálculos efetuados. (b) O responsável afirma ainda que, das peças que levam mais de 2 horas a serem produzidas, mais de metade têm um tempo de fabrico superior a 3 horas. Comente a afirmação do responsável. (c) Determine o tempo médio de produção de cada peça. 19.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Seja X uma variável aleatória com a seguinte função densidade:   1 + x (−1 < x < 0) fX (x) = 1 − x (0 < x < 1) 0 (c.c.)  (a) Represente graficamente a função densidade da variável aleatória X. (b) Com base na representação gráfica, calcule P(X < 0). (c) Calcule o valor esperado de X. (d) Calcule a variância de X. 25.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 26.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Num agrupamento escolar, foram observadas 3000 crianças de ambos os sexos. Na tabela seguinte apresenta-se a função de probabilidade conjunta referente ao número de irmãos (X) e o número de atividades extracurriculares (Y ) realizadas por cada criança desse agrupamento. X 0 1 2 3 fY (y) Y 0 0 0.10 0.05 - 0.30 1 - - 0.08 0 0.40 2 0.22 0.06 0.02 - 0.30 fX (x) 0.40 a 0.15 b 1 (a) Determine os valores de a e b e complete a tabela. Indique os cálculos efetuados. (b) Qual a probabilidade de selecionarmos uma famı́lia com três filhos, sabendo que é uma famı́lia que propor- ciona a cada filho duas atividades extracurriculares. (c) Determine o número médio de atividades extracurriculares e calcule Var(2Y + 3). 27.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 28.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 29.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] ricardo manuel [email protected] LATEX 7 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 30.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Numa loja de uma certa marca, as vendas diárias de gravatas e lenços de mão de homem, representadas por X e Y , respetivamente, apresentam a seguinte função de probabilidade conjunta: Y 0 1 2 X 0 0.12 0.13 0.25 1 0.03 0.01 0.10 2 0.05 0.01 0.30 (a) Determine o número médio de gravatas vendidas diariamente. (b) O número de lenços vendidos é independente do número de gravatas vendidas? Justifique com cálculos. (c) Determine o coeficiente de correlação linear entre X e Y. Comente o resultado obtido. 31.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 32. [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere a seguinte função de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional (X,Y ): x+y f (x, y) = , x = 0, 1, 2; y = 0, 1. 9 (a) Determine Cov(X,Y ) e interprete o resultado. (b) Calcule P(X = 2|Y = 1), P(X = Y ) e P(X > Y ). 36.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Sejam X, Y e W = 4X +Y variáveis aleatórias tais que: E(X) = 2,Var(X) = 4, E(Y ) = Var(Y ) = 100 e Cov(X,Y ) = 10, calcule E(W ) e Var(W ). 37.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] X Dada a variável aleatória X, sabe-se que E(X) = 6 e E(X 2 ) = 62. Considere a v.a. Y , definida por Y = + 1. 3 (a) Determine E(Y ) e Var(Y ). (b) O que conclui acerca da correlação entre as variáveis? 41.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Sendo X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer, demonstre que: Cov(X −Y, X +Y ) = Var(X) −Var(Y ). 42.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 43.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere as variáveis aleatórias X e Y tais que Y = aX + b (a e b constantes reais). (a) Mostre que Cov(X,Y ) = aVar(X). (b) Deduza o coeficente de correlação linear Cor(X,Y ). 44.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere as variáveis aleatórias Z = X −Y e W = X +Y , em que X e Y são não correlacionadas linearmente. Sabendo que Var(Z) = 100 e Var(Y ) = 64, calcule e interprete o coeficiente de correlação linear entre Z e W. 45.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Seja X, Y e Z v.a. independentes, com desvios padrão respetivamente iguais a 5, 12 e 9, calcule o coeficiente de correlação entre U e V [Cor(U,V ) = ρU,V ], e interprete o resultado obtido, sabendo que U = X +Y e V = Y + Z. ricardo manuel [email protected] LATEX 8 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 3 Exercı́cios de distribuições teóricas discretas 1.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Um vendedor de gravatas anda de porta em porta a vender gravatas. Durante uma manhã consegue falar com 16 pessoas. Em cada casa, onde lhe abrem a porta, a probabilidade de vender uma gravata é de 0.1. Qual a probabilidade de vender pelo menos uma gravata numa manhã? 2.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Num teste de escolha múltipla com 4 alternativas, sobre 20 questões, qual a probabilidade de um estudante obter nota superior ou igual a 7 valores, se responder ao acaso e as perguntas forem igualmente pontuadas com 1 valor? 3.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] A probabilidade de um jogador de basquetebol concretizar um lance livre é de 0.75. O jogador vai efetuar cinco lances livres de forma independente. (a) Defina a distribuição de probabilidades da variável aleatória X, que representa o número de lances livres concretizados em cinco tentativas. (b) Calcule a probabilidade do jogador concretizar os cinco lances livres. (c) Qual o número mais provável de lances livres concretizados pelo jogador? 4.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Numa via de acesso a Lisboa, se a probabilidade de um painel ser visto por um automobilista for de 0.6, quantos painéis, no mı́nimo, deverão ser colocados nessa via para ser superior a 0.9 a probabilidade de certo automobilista ver pelo menos um dos painéis? 12.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O número diário de doentes com complicações cardiovasculares que chegam a uma determinada unidade de cuidados intensivos, segue uma distribuição de Poisson com valor médio igual a seis. A unidade de cuidados intensivos pode atender oito doentes por dia. Caso o número de doentes exceda aquele valor os doentes são transportados para outra unidade. (a) Qual a probabilidade de, em certo dia, não ser necessário transportar doentes para outra unidade? (b) Qual o número de doentes mais provável a chegarem por dia àquela unidade? (c) Determine a probabilidade de numa semana (sete dias) haja dois dias em que o número de doentes chegados àquela unidade seja no máximo três. 13.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O número de apólices que um angariador de seguros vende por mês, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com valor médio igual a nove. (a) Qual o número mais provável de apólices que o angariador venderá por mês? (b) Sabendo que nos mês passado o angariador vendeu 10 apólices, qual a probabilidade deste mês o mesmo angariador conseguir vender mais de 15 apólices? (c) Sabendo que, no presente mês, já foram vendidas 10 apólices, qual é a probabilidade de no final do mês o angariador conseguir vender mais de 15 apólices? ricardo manuel [email protected] LATEX 9 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 14.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O número de aviões que chegam por dia a um hangar para serem reparados é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de valor médio igual a cinco. A capacidade de atendimento diário é de cinco aviões. (a) Qual a probabilidade de um certo dia não ficar nenhum avião por atender? (b) Qual a probabilidade de, nos próximos 3 dias, chegarem ao hangar para serem reparados apenas 2 aviões? (c) Qual a probabilidade de chegarem pelo menos dois aviões para serem reparados, num dia em que se sabe que pelo menos um avião chegará ao hangar? 16.* [Reis, E. et al. (2021). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 27.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O número de automobilistas que chega (por minuto) a determinada estação de serviço para se abastecer de combustı́vel é uma v.a. com distribuição Poisson de valor médio igual a três. (a) Qual a probabilidade de, em 4 minutos, chegarem exatamente 12 automobilistas à estação de serviço? (b)... (c) Qual a probabilidade de, em 45 minutos, chegarem à estação de serviço mais de 180 automobilistas? 4 Exercı́cios de distribuições teóricas contı́nuas 17.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O intervalo de tempo (em minutos), entre a chegada de uma estação de serviço de dois camiões, é uma variável aleatória com distribuição uniforme definida no intervalor de 10 a 15. (a) Deduza a função densidade e a função de distribuição da variável em estudo. (b) Qual a probabilidade do intervalo de tempo entre a chegada de dois camiões não exceder os 12 minutos? (c) Sabendo que o último camião deixou a estação de serviço há 11 minutos, qual a probabilidade de se ter de esperar mais três minutos pela chegada à estação de serviço de um outro camião? 18.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] A duração (em horas) de dois dispositivos eletrónicos D1 e D2 têm distribuição normal com médias 43 e 45 e desvios padrão 6 e 3 respetivamente. Se o dispositivo tiver de ser usado por um perı́odo superior a 48 horas qual dos dois deve ser preterido? 19.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Determinado produto é empacotado automaticamente. Suponha que o peso do pacote (em gramas) é normal- mente distribuı́do com média de 450 e desvio padrão de 30 (adaptado). (a) Qual a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso ter um peso superior a 500 gramas? (b) Em 10 pacotes escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de existirem seis com peso superior a 600 gramas? 20.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Para avaliar a rentabilidade económica de determinada central telefónica, um operador de telecomunicações procedeu à análise dos tempos médios das chamadas provenientes dessa central, tendo concluı́do o seguinte: - 10.03% das chamadas duram menos de 3 minutos - 5.94% das chamadas duram mais de 15 minutos. (a) Admitindo que o tempo de duração (em minutos) das chamadas é uma v.a. com distribuição normal, calcule o valor médio e a variância da referida distribuição. (b) Comente: “Pouco mais de um 1/5 das chamadas provenientes da central têm duração inferior a 5 minutos”. ricardo manuel [email protected] LATEX 10 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL (c) Suponha que extrai uma amostra casual de 400 chamadas. Qual o número esperado de chamadas com duração entre 5 e 10 minutos? 21.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Numa prova de admissão de uma universidade, apresentaram-se 3500 candidatos. As pontuações obtidas seguem uma distribuição aproximadamente normal com média de 55 pontos e variância de 25 pontos2. (a) Um vez que a referida escola admite 700 candidatos, indique a nota do último candidato admitido. (b) Quantos candidatos obtiveram pontuação superior a 65 pontos? (c) Indique as pontuações extremas do grupo médio constituı́do por 50% dos candidatos. 22.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Uma editora tem duas livrarias em Lisboa, uma num centro comercial e outra situada na baixa pombalina. As livrarias são geridas de forma independente. As receitas mensais (em u.m.) de cada uma das livrarias seguem uma distribuição normal sendo a média e o desvio-padrão da livraria do centro comercial 250 (u.m.) e 50 (u.m.), respetivamente. (a) Qual a probabilidade de, num mês, as vendas da livraria do centro comercial serem superiores a 400? (b) O valor mediano e a variância das vendas mensais da livraria da baixa são respetivamente 200 e 204. Qual a probabilidade de, em certo mês, as vendas da livraria da baixa ultrapassarem as vendas do centro comercial? 23.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Nas companhias de teatro de uma cidade (A) trabalham 5000 artistas. Os salários têm uma distribuição normal. Sabendo que metade ganham menos de 200 (u.m.) e que 5% ultrapassam as 250 (u.m.), calcule: (a) O melhor salário no grupo dos 2000 artistas pior pagos. (b) O pior salário no grupo dos 1000 artistas melhor pagos. (c) A probabilidade de em 10 artistas, selecionados ao acaso, encontrar 5 que ganham mais de 250 (u.m.). (d) Sabendo que numa outra cidade (B) trabalham 2000 artistas e que o seu salário tem também distribuição normal, com média 150 (u.m.) e desvio-padrão 40 (u.m.), calcule a probabilidade de um artista escolhido ao acaso auferir um salário superior ao de um outro que trabalha na cidade (A). 24.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Um certo barco pode transportar dois tipos de contentores: o tipo A, mais pequeno e o tipo B, maior. Depois de cheios, estes dois tipos de contentores têm peso que podemos considerar seguir uma distribuição normal. Um contentor do Tipo A pesa em média 15 toneladas, com um desvio-padrão de 3 toneladas, enquanto que para um contentor do tipo B pesa em média 20 toneladas com um desvio-padrão de 4 toneladas. Por razões técnicas, aconselha-se que o total da carga, a transportar pelo barco, não exceda as 1750 toneladas. (a) Suponha que foram carregados nesse barco 60 contentores do tipo A e 40 contentores do tipo B. Qual a probabilidade da carga total do barco exceder o limite aconselhado? (b) Tendo de carregar 40 contentores do tipo B quantos contentores do tipo A devem ser carregados, se não se pretender correr um risco superior a 5% de ultrapassar o limite de carga aconselhado. 25. [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O número de pessoas que semanalmente apresenta um pedido de emprego no centro de emprego de uma deter- minada área, tem uma distribuição de Poisson com valor médio igual a nove. Qual a probabilidade de num ano, aquele centro receber menos de 500 pedidos de emprego? 26. [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] ricardo manuel [email protected] LATEX 11 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL Um fabricante de tira-nódoas garante que determinado produto tira as nódoas de chocolate em 80% dos casos. Para verificar tal garantia, uma associação de consumidores decidiu efetuar um estudo sobre uma amostra de 100 elementos, aceitando essa garantia se o número de casos em que o referido produto foi eficaz for de pelo menos 75. Qual a probabilidade da garantia ser rejeitada supondo que a eficácia é mesmo de 80%? 31.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Seja X ⌢ N(µ = 1, σ = 1), determine P[(X − 1)2 < 5.01] 32.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere as seguintes variáveis aleatórias independentes: X ⌢ χ 2 (10) e Y ⌢ χ 2 (5). X +Y − 2 Considere ainda a variável T =. Calcule: 4 (a) P(T > 1.315). (b) E(T ). 33.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere as seguintes variáveis aleatórias independentes: X ⌢ N(µ = 5, σ = 3) e Y ⌢ χ 2 (9). (X − 5)2 Considere ainda a variável T =. Calcule: Y (a) P(Y ≥ 2.7). (b) E(Y ). (c) P(T ≤ 5.12) 34.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Seja (X1 , X2 ,..., X25 ) uma a.a. retirada de uma população normal de valor médio e variância 100 e (Y1 ,...,Y15 ) uma a.a. retirada de uma população normal de valor médio 90 e variância 24, calcule a probabilidade de:   X −Y (b) P[(Y − 90)2 > 197] (a) P < 2.5 2 35.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 1, 3ª ed. Edições Sı́labo. (Exercı́cio 35)] ricardo manuel [email protected] LATEX 12 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 5 Exercı́cios de distribuições por amostragem 1. [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere uma amostra casual de dimensão n = 2, (X1 , X2 ), retirada de uma população com distribuição: x 0 1 2 3 f (x) 0.60 0.25 0.10 0.05 (a) Calcule a probabilidade de obter a amostra (3, 1). (b) Qual, de todas as amostras possı́veis de dimensão n = 2, é a mais provável? (c) Qual a probabilidade de a média amostral, X ser igual a 2.5? 2.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere uma amostra casual de dimensão n = 2, (X1 , X2 ), retirada (com reposição) de uma população, cuja função (massa) de probabilidade é a seguinte: x 0 1 2 3 4 f (x) 0.15 0.12 0.35 0.20 0.18 (a) Qual, de todas as amostras possı́veis é a mais provável? (b) Determine P(X = 1.5) 3.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O conteúdo em litros de uma garrafa de azeite virgem extra de uma determinada marca segue uma distribuição normal com média µ = 0.99 e desvio-padrão de σ = 0.02. Qual a probabilidade do conteúdo médio numa amostra de 16 garrafas, selecionadas aleatoriamente, ser superior a 1 litro? 4. [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 5.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere uma população de Bernoulli da qual se retira uma amostra aleatória de dimensão n = 5. (a) Deduza a distribuição de probabilidade conjunta da amostra. (b) Admitindo que a probabilidade de sucesso é p = 0.6, calcule a probabilidade conjunta: (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (1, 0, 1, 0, 1). (c) Obtenha a distribuição amostral da proporção de sucessos numa amostra de dimensão n = 5. 6. [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 7. [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] 8. [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] (1 − θ )x Considere uma população cuja função de probabilidade é: f (x) = , x = 0, 1 0 < θ < 1. θ x−1 (a) Deduza a função probabilidade conjunta. (b) Calcule a probabilidade de (x1 , x2 ,..., x10 ) = (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1). 9.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere uma variável aleatória X retirada de um população com distribuição normal de média µ (desconhe- cida) e variância σ 2 = 15. Para uma amostra aleatória de dimensão n = 10, calcule: P[(X − µ)2 ≤ 7.53]. ricardo manuel [email protected] LATEX 13 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 10.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere uma variável aleatória X retirada de um população com distribuição normal de média zero e desvio 4 padrão um. Foi retirada uma amostra aleatória de dimensão 16 e usada a seguinte estatı́stica: T = ∑ Xi2. i=1 (a) Deduza a distribuição de T. (b) Indique o seu valor médio e a sua variância. 11.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] X3 + X9 Considere a estatı́stica, definida com base numa amostra aleatória de dimensão n = 10: T =. Qual a 2 distribuição de T se considerarmos que a amostra foi retirada de uma população com distribuição normal. 12.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O rendimento familiar, em euros, de determinada região segue uma distribuição normal com média µ = 500 e variância σ 2 = 324. Qual a probabilidade de, numa amostra de 16 (n = 16) famı́lias da região: (a) O rendimento familiar médio ser inferior a 491? (b) A variância amostral exceder 506.25? 13.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Considere uma amostra aleatória (X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ), obtida de uma população com distribuição normal de valor médio µ = 12 e variância σ 2 = 16. (a) Qual a probabilidade da média da amostra ser superior a 13? (b) Qual a probabilidade da variância corrigida da amostra ser superior a 4.24? 14.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] O erro de medição do comprimento do raio de um cı́rculo é uma v.a. com distribuição normal de valor médio µ = 0 e variância σ 2 = 25. Em 20 medições independentes, qual a probabilidade da média dos quadrados dos erros de medição ser superior a 30? 18.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] Pretende-se estimar a proporção de jovens do grupo etário dos 18 aos 25 anos que se interessam pela atividade polı́tica. Considere que a partir da referida população se retirou uma amostra aleatória de dimensão n = 100 e 100 definiu-se a estatı́stica: T = ∑ Xi. Explique o seu significado e deduza as distribuições amostrais de: i=1 X1 + X100 ∑100 T1 =. i=1 Xi 2 T2 =. 100 22.* [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] ricardo manuel [email protected] LATEX 14 E STAT ÍSTICA I ISCTE - IUL 6 Exercı́cios de estimação pontual 1. [Reis, E. et al. (2020). Exercı́cios de Estatı́stica Aplicada, Vol. 2, 3ª ed. Edições Sı́labo.] ricardo manuel [email protected] LATEX 15