Инженерлік графика казакша PDF

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Ж. ЖАҢАБАЕВ ИНЖЕНЕРЛІК ГРАФИКА (Сызба геометрия, машина жасау сызуы) Оқулық Алматы, 2012 1 УДК 76 (075.8) ББК 85.15 я 73 Ж 28 Пікір жазға...

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Ж. ЖАҢАБАЕВ ИНЖЕНЕРЛІК ГРАФИКА (Сызба геометрия, машина жасау сызуы) Оқулық Алматы, 2012 1 УДК 76 (075.8) ББК 85.15 я 73 Ж 28 Пікір жазғандар: Есмұхан Ж. М. – техника ғылымдарының докторы, профессоры; Бəйдібеков Ə. К. – техника ғылымдарының докторы, профессор; Нəби Ы. – педогогика ғылымдарының докторы, профессор. Ж 28 Жаңабаев Ж. Инженерлік графика (Сызба геометрия, машина жасау сызуы). Оқулық/Ж. Жаңабаев. Экономика, – Алматы. 2012. – 507 бет. ISBN 978-601-225-469-3 Оқулық Қазақстан Республикасы Білім жəне ғылым министрлігі техникалық жоғары оқу орындарының барлық техникалық мамандық- тарында оқитын бакалаврларды «Инженерлік графика», «Сызба геометрия жəне инженерлік графика», «Машина жасау сызуы жəне компьютерлік графика» пəндері бойынша даярлау үшін бекіткен Мемлекеттік стандарттарының талаптарына сəйкес жазылған. Оқулық екі бөлімнен тұрады: «Сызба геометрия» жəне «Машина жасау сызуы». Оқулық оқытудың кредиттік технология бойынша оқитын студенттердің өзіндік жұмысын ұйымдастыру үшін үлкен мүмкіндік береді. Əрбір бөлім алынған білімді тексеруге алынған өзін-өзі тексеру сұрақтары, жаттығулар жəне тест тапсырмаларымен аяқталады. Оқулықта келтірілген жаттығулар студентке теориялық білімін бекітуге жəне нақты инженерлік тапсырмаларды шешуге көмектеседі. Оқулық техникалық жоғары оқу орындарының күндізгі жəне сырттай оқу бөлімдері студенттеріне, бакалаврлар мен магистранттарға, конструкторларға арналып шығарылып отыр. УДК 76 (075.8) ББК 85.15 я 73 ISBN 978-601-225-469-3 © Жаңабаев Ж., 2012 © Қазақстан Республикасы жоғары оқу орындарының қауымдастығы, 2012 2  Шартты белгілеулер 1. А, В, С, D, Е, F, … 1, 2, 3, 4, 5, … – нүктелер 2. а, b, c, d, e,… – түзу сызықтар 3. , , ̃ , , ̃ ,… – қисық сызықтар 4. – горизоталь 5. f – фронталь 6. Р – профиль түзу 7. ,Q, , Г, Ф,,... – беттер 8. , , ,... – жазықтықтар 9. – фронталь проекциялар жазықтығы 10. – горизонталь проекциялар жазықтығы 11. – профиль проекциялар жазықтығы 12. А Ф – А нүктесі Ф бетіне тиесілі 13. А – А нүктесі жазықтығына тиесілі 14. А – А нүктесі жазықтығына тиесілі емес 15. |АВ| – А нүкетесінен В нүктесіне дейінгі арақа- шықтық 16. | | – жəне жазықтығының арақашықтығы 17. Фк Фі – Фк фигурасы Фі фигурасымен беттеседі 18. Фк Фі – Фк фигурасы Фі фигурасымен бірігеді 19. Фк Фі – Фк фигурасы Фі фигурасымен қиылысады 20. // – параллельдік 21. – перпендикулярлық 22. – айқасады 23. беттеседі, тең, амал нəтижесі 24. – «жəне» деген мағынаны береді 25. – жазық немесе екі жақты бұрыш 26. – айқас түзулер 27. – логикалық салдар 28. – эквиваленттілік 29. – байланыс сызықтар 30. – бəсекелес элементтер (мысалы, А В – А жəне В нүктелері горизонталь бəсекелес, теріс жағдайда фронталь бəсекелес). 3  АЛҒЫ СӨЗ Ұсынылып отырған оқулықтың құрылымы мен стилі негізінен автордың 2005 жылы жарық көрген «Инженерлік жəне компью- терлік графика» техникалық мамандықтар даярлайтын ЖОО арналған оқулық басылымына ұқсас болып келеді. Бұл басылымынң ерекшелігі сызбаның жасалуы екі (қос) кескін тəсілі теориясы тұрғысынан қарастырылады, осының салдарынан мазмұны мен жеке бөлімдерге тиісті өзгерістер енгізілген. Мұнда Мемлекеттік білім беру стандарттарының ұсыныс шегінде жəне бұрыннан бар оқулықтың көлемі бойынша мүмкіндіктер шегінде рецензенттер мен əріптестердің ескертулері жəне тілектері айтарлықтай дəрежеде ескерілген. Жекелей, бұл басылымда жіктеу мəселесі өзгеше қарастырылған, сызбаны түрлендіру бөлімі толық қаралған, жеке түсініктер нақтыланған, теориялық ережелерді практикада қолданудың сондай-ақ позициялық есептер шешімінің қосымша жолдары келтірілген. Екінші бөлімінде машина жасау сызбалары қазіргі кезде машина жəне механизмдерді жобалау жүйелерінде, олардың конструк- циялық құрылымдарындағы алатын орны ерекше екені анықталып отыр. Осыған байланысты бұл бөлімнің біріктірулер жəне берілістер тарауы жаңа стандарттар негізінде қарастырылған. Техникалық жəне ғылыми əдебиеттердегі қолданылып жүрген терминдердің түсіндірілуі бірмағыналы болмау салдарынан, жəне де ұсынған оқулықпен жұмыс істеу ыңғайлы болу үшін автор бұл оқулығында Инженерлік графикадан орысша-қазақша термино- логиялық сөздік келтірген. Дегенмен кейбір терминдер ТМД аясында бұрынғысынша қалдырылған. Мысалы, стандарттау бойынша ТМД мемлекеттерінің жасаған стандарттарын бекітетін Мемлекетаралық кеңестің (МАК-тың) шешімімен əрекеттегі бұрынғы Кеңес Одағының стандарттары (ГОСТары) мемлекет- аралық стандарттар, яғни ГОСТ күйінше қалдырылған. Оның үстіне олар Интернетте де ГОСТ деп енгізілген. Осы себептерге байланысты оқулықта ГОСТ термині МЕСТ терминіне ауыстырылмаған. Автор рецензенттерге: профессорлар Ж. М. Есмұханға, Ə. К. Бəйдібековке, Ы. Нəбиге басылымға оқулықты дайындауға, теориялық ережелерді редакциялық бағалауды жəне кəсіби ұсыныстарды бергендері үшін өзінің алғысын білдіреді. 4  КІРІСПЕ Инженерлік кəсіби еңбегінің сапасының маңызды сипаттама- ларының бірі нақты өндірістік үдерістерді, заманауи механизмдерді немесе ұйымдастырушылық-техникалық кешенді модельдеуге мүмкіндігін беретін графикалық сауаттылығы мен шығармашылық бабының деңгейі болып табылады. Сауаттылықтың осындай деңгейін қалыптастыруға «Инженерлік графика» пəні үлкен əсер етеді. Қазіргі уақытта оқытудың кредиттік технологиясын енгізумен көптеген пəндер, оның ішінде «Сызба геометрия», «Машинажасау сызуы» немесе «Техникалық сызу», «Инженерлік-құрылыс сызуы» т.с.с. пəндер бір «Инженерлік графика» пəніне топтастырылған. Сызба геометрия нүктелердің, сызықтардың, беттердің жиыны болып табылатын кеңістіктік пішіндерді жазықтықта кескіндеу, олардың проекциялық кескіндері бойынша сызбаны оқу, яғни объектіні кеңістіктік елестету əдістері (тəсілдері) туралы түсінік беретін геометрия бөлімдерінің бірі болып табылады. Сызба геометрия өзінің мазмұны бойынша өзге ғылымдардың арасында ерекше орынға ие: ол онсыз ешқандай инженерлік шығармашылық болмайтын адамның кеңістіктік елестетуін дамытудың ең жақсы құралы болып табылады. Машинажасау сызуы – болашақ бакалаврды оқытудың бірінші сатысы, онда құрастыру құжаттарын жасау мен рəсімдеудің негізгі ережелері оқытылады. Машинажасау сызуы курсын оқудың нəтижесінде бакалаврлар стандартты тетікбөлшектердің, олардың ажырамалы жəне ажыратылмалы біріктірулерін жəне құрастыру бірліктерінің сызбасын күрделілік пен тағайындалудың əртүрлі деңгейдегі құрастыру сызбалары мен жалпы түрдегі сызбаларды салу жəне оқу олардың (бөлшектеу) тəсілдерін меңгереді. Олар сондай-ақ өзінің болашақ мамандығының бұйым тараптарының құрастыру элементтері мен техникалық тетікбөлшектердің нобайын түсіру мен сызбасын орындау тəжірибиесін алады, құрастыру сызбасында көрсетілген жұмыс принципі туралы, тетікбөлшектерді дайындаудың негізделген техникалық процестері туралы, сызбалардың компьютерлік орындалу мүмкіндіктері туралы, халықаралық стандарттар туралы түсінігі болады. Машинажасау сызуы курсын оқыту нормативті құжаттар, құрастыру құжатаның бірыңғай жүйесінің (ҚҚБЖ) мемлекеттік стандарттарының біліміне негізделеді. 5  Техникалық ой мен өндірістік құжаттамаларды өрнектеу құралы ретінде сызбаны толық меңгеру, сондай-ақ сызуда тұрақты дағдыларды игеру курстық жəне дипломдық жобалау тəжірибиесімен бекітілген сəйкес профильдің барлық техникалық пəндер кешенін меңгерудің нəтижесінде қол жетеді. 6  ИНЖЕНЕРЛІК ГРАФИКА ПƏНІ ____________________________________ Инженерлік графика – бұл сызба геометрия жəне машина жасау сызуынан тұратын пəн. Кез келген бұйым өндірудің үдерісі оның конструкторлық құжатын жасаудан басталады. Конструкторлық құжаттар деп жекелей немесе жиынтық түріндегі бұйымның құрамы мен құрылымын анықтайтын жəне оны жасау немесе дайындау, бақылау, қабылдау, пайдалану жəне жөндеу үшін қажетті мəліметтерді мазмұндайтын графикалық жəне мəтіндік құжаттарды айтады. Бұйым деп кəсіпорында дайындауға жататын өндірістің кез келген затыy немесе заттар жиынтығын айтады. Бұйымдардың тек геометриялық қасиеттерін (олардың пішінін, өлшемдерін) қарастыра отырып, бұл кеңістік геометриялық объектілер екеніне назар аударайық, ал осы объектілерді жасауға керек құжат қағазда, демек, жазықтықта беріледі. Одан басқа, бұйымды жасау үшін негізгі қызметі құжатта көрсетілген оның өлшемдері атқарады, оларды геометриялық параметрлер деп атайтын боламыз. Сірə, бұйымның геометриялық пішіні мен оның параметрлері туралы мəліметтерді сызба деп аталатын конструкторлық құжатының графикалық бөлігі құрайды. Демек, сызба – ол жазық кескіндер жəне геометриялық параметрлер түрінде бұйымдарды жасауға немесе дайындауға қажетті мəліметтер келтірілген графикалық құжат. Сызба геометрия сызбада кеңістіктік геометриялық объектілердің кескіндерін (модельдерін) салу тəсілдерін, олардың геометриялық қасиеттерін жəне осы кескіндерде кеңістіктік геометриялық есептерді шығару тəсілдерін зерттейді. Өзінің мəні бойынша сызба геометрия бірегей техникалық тіл, жазық кескіннің теориясы немесе негізі болып табылады. Оның бірегейлігі барлық адамзат үшін оның бірыңғай болатынында. Оның ақпараттылығы оны өзге тілмен ауыстыру іс-жүзінде мүмкін болмайтындай соншалықты үлкен. Мұнда біз «сызба» түсінігіне əдейі акцент жасайтынымызды ескеру қажет. 7  Бірақ сызба геометрия заңдары кез келген геометриялық пішіндердің кескініне таралады. Сызба геометрияның əдістерімен салынған сызбалар келесі негізі талаптарға жауап беруі тиіс. 1. Көрнекілігі. Сызбаның бұл қасиеті бұйым туралы кеңістіктік елестетуді туындатады. 2. Салу қарапайымдылығы, яғни кескіндерді салу жəне оларда есептерді шығару жеткілікті қарапайым болуы тиіс. 3. Қайтымдылығы – бұл сызба бойынша кеңістікте кескінделген объектінің пішіндерін, өлшемдері мен орындарын көз алдына 4. келтіру (елестету) мүмкіндігі, яғни оригиналды тұрғызудың (жасаудың) мүмкіндігі. 5. Геометриялық есептерді жеткілікті дəрежедегі дəлдікпен шешу мүмкіншілігі. Осыдан сызба геометрияның негізгі мақсаттары шығады:  Жазықтықта геометриялық объектілерді проекциялау (модельдеу) əдістерін зерттеу жəне жасау;  Геометриялық түрлендірулер мен олардың қасиеттерін зерттеу;  Жазық кескіндерде кеңістіктік геометриялық есептерді шешу əдістерін жасау;  Сызбаның қайтымдылығын қамтамасыз ететін жағдайларды жасау жəне жаңа технологияларды есепке алумен бұйымдарды сапалы жасау. Сызба геометериясының негізгі тəсілі проекциялау тəсілі болып табылады, сондықтан осы тəсілмен салынған сызбаларды проекциялық сызбалар деп атайды. Дегенмен сызбаның көрнекілігін жəне бұйым өндіру мүмкіндігін қамтамасыз ету үшін кескіндерді рəсімдеу жəне оларды қосымша ақпаратпен сүйемелдеу заңдары орнатылады. Бұл заңдарды мақсатты мемлекетаралық стандарттарына (ГОСТ) біріктірген. Ал осындай стандарттардың жинағын Конструкторлық құжаттардың бірыңғай жүйесі немесе қысқаша КҚБЖ (ЕСКД) деп атайды. 8  I-БӨЛІМ 1. СЫЗБА ГЕОМЕТРИЯ ЖƏНЕ ОНЫҢ НЕГІЗГІ ТƏСІЛІ Сызба геометрия математика бөлімдерінің бірі бола отырып, үшөлшемді кеңістікті жазықтыққа проекция- лау немесе бейнелеу əдістері жəне стереометриялық (кеңістіктік) есептерді сызбада графикалық шешу тəсілдерін зерттейді. Алдымен кеңістіктің өлшемділігі дегеніміз не? Осыған сипаттама берейік. Мектеп геометриясы курсында оқылатын декартты координаталар жүйесін алатын болсақ, оның Ох сандық осі бір өлшемді кеңістікті, Оху жазық жүйесі (системасы) екі өлшемді кеңістікті, ал Охуz кеңістік жүйесі – үш өлшемді кеңістікті анықтайды. Бұл кеңістіктерде кез келген А нүктесі сəйкесінше (тиісінше) бір (ХА), екі (ХА,УА) жəне үш (ХА,УА,ZА) координаталары арқылы бір мəнді беріледі. Осыған сəйкес А нүктесінің бір, екі жəне үш еркіндік дəрежелері болады. Ендеше үшөлшемді кеңістіктің геометриялық фигурала- рының алуан түрлілігі жəне олардың арасындағы қатынастар сызба геометрия оқу курсының пəнін құрайды. Геометриялық фигуралардың ең қарапайымдарына нүкте, түзу жəне жазықтық жатады. Кеңістіктің негізгі элементі ретінде нүкте есептелінеді, сондықтан жиындар теориясы тұрғысынан кез келген геометриялық фигура, оған тиісті барлық нүктелер жиыны болып қарастырылады. Сондай нүктені негізгі элемент дей отырып түзуде бір параметрлі (∞1) нүктелер жиыны, жазықтықта екі параметрлі (∞2) нүктелер жиыны, ал кеңістікте – үш параметрлі (∞3) нүктелер жиыны бар деп айта аламыз, өйткені түзудегі нүкте бір координатамен (ол бірпараметрлі), жазықтықтағы нүкте екі координатасымен (екіпараметрлі), ал кеңістіктегі нүкте үш координатасымен (үшпараметрлі) бір мəнді анықталады. Геометриялық фигуралар араларында келесі қатынастар болуы мүмкін: – позициялық (тиістілік, қиылысу, параллельдік); – метрикалық (арақашықтық, бұрыш). 9  Позициялық қатынастарға бір фигураның басқасына өзара тиесілігі бар немесе жоқ негізінде жазықтықта жəне кеңістікте орналасуларын білдіретін қатынастар жатады. Мұндағы «тиестілігі» термині «жатыр», «арқылы өтеді» сияқты осындай түсінікті алмастырады. Мысалы, «А нүктесі α жазықтағында жатыр», «l түзуі В нүктесі арқылы өтеді» деген сөз тіркестерінің орнына «А нүктесі α жазықтығына тиісілі», «В нүктесі l түзуіне тиесілі» сөз тіркестерін қолдануға болады. Сонымен бірге бұл курста геометриялық фигуралар жəне олардың проекцияларын белгілеу, олардың арасындағы қатынастарды кескіндеп көрсету, сонымен қатар геометриялық сөйлемдерді, есептерді шығару алгоритмдерін жəне теоремаларды дəлелдеу үшін орта мектеп геометриясының жаңа курсында қабылдаған белгілеулер мен символдардан құралатын жиындар теориясының тілі қолданылып отыр. Мысалы, жоғарыда келтірілген сөз тіркестерін символдық түрінде А (А нүктесі  жазықтығына тиесілі); В  l (В нүктесі l түзуіне тиесілі) деп жазуға болады. Сол сияқты кейбір геометриялық фигуралар араларындағы түрлі қатынастарды төмендегі символдар арқылы жазуға болады: 1) l  А (l түзуі А нүктесі арқылы өтеді); 2) l  α (l түзуі α жазықтығына тиесілі); 3) АВСD=[AB]  [BC]  [CD] (АВСD сынық сызығын [AB], [BC], [CD] кесінділерден біріктіру); 4) Кl∩α (К нүктесі l түзуінің α жазықтығымен қиылысқан нүктесі); 5) m=α  β (m түзуі α жəне β жазықтықтарының қиылысу сызығы); Егер көрсетілген белгілерді сызықшамен сызып тастаса, онда ол «емес» мағынасын білдіреді. 6) Аl (А нүктесі l түзуіне тиесілі емес); 7) l  А (l түзуі А нүктесі арқылы өтпейді); 8) а в ( а, в түзулері параллель емес); 9) [AB]≠ [CD] ([AB] кесіндісі [CD] кесіндісіне тең емес). Логикалық операцияларды белгілейтін символдар: 1) ас  вс  ав (егер екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар өзара параллель болады); 2) Аα  Аlα (егер нүкте жазықтықта жататын қандай да бір сызыққа тиесілі болса, онда ол осы жазықтыққа тиесілі); 10  Метрикалық қатынастарға – фигуралардың бір-бірінен арақашықтықтарын, бұрыштарын, т.с.с өлшемдерін анықтайтын қатынастар жатады. Геометриялық фигура кескінінің құрылу үдерісін кеңістікті жазықтыққа проекциялау немесе кескіндеу деп атайды. Фигураның нүктелерін, олардың кескіндерімен байланыстыратын түзулерді проекциялаушы түзулер, ал алынған кескінді осы фигураның проекциясы немесе моделі, кескіні, нұсқасы деп атайды. Кескіннің құрылуын ұйымдастыратын əдісті көрсету үшін «проекция» сөзінің алдына проекциялау əдісінің атын жазады, мысалы А/-А нүктесінің центрлік проекциясы, ал (SА) – проекциялаушы түзу, т.с.с. Кескіндерді жазықтықта салу үшін келесі проекциялау əдістерін қолданады: 1. Центрлік проекциялау; 2. Параллель (қиғашбұрышты) проекциялау; 3. Ортогональ проекциялау. 1.1. ЦЕНТРЛІК ПРОЕКЦИЯЛАУ Центрлік проекциялау / жазықтығынан жəне одан тыс орналасқан S нүктесінен құрылады (1.1-сурет). / жазықтығын – проекциялау жазықтығы, кескіндеу, картина жазықтығы, ал S нүктесін проекциялау центрі немесе қарау нүктесі деп атайды. / проекциялар жазықтығының шегі жоқ, ал суретте оны көрнекті болу үшін жазық фигура етіп көрсетеді. а) ə) 1.1-сурет. Центрлік проекциялаудың құрылуы: а) нүктелердің центрлік проекциялары; ə) сызықтың центрлік проекциясы 11  / жазықтығын жəне S проекциялау центрін (оның / жазықтығына қатысты орны берілгенде) проекциялау аппараты деп атайды. Біз кеңістіктің кейбір А нүктесін (оригиналын) бір көзбен анықтап отырмыз деп ойлайық осы нүкте жəне S нүктесі арқылы 1 жазықтығымен қиылысқанша проекциялаушы (SА) түзуін жүргізейік. Бұны былай жазамыз: / А1=(SA)  , яғни, А нүктесінің / жазықтығындағы А/ проекциясы (SA) түзуінің / проекциялар жазықтығымен қиылысу нəтижесі болып табылады. Байқайық, нүкте (оригинал) проекциялар жазықтығының алдынды да, артында да, сондай-ақ S центріне жетпей де орналасуы мүмкін. Бұдан кескін құру принципі өзгермейді. Мысалы 1.1-сурет, а-дағы В жəне С нүктелерінің проекциялары дəл солай алынады: В/=(SВ)  /; С/=(SС)  /. Осылайша алынған А1, В1, С1 нүктелері А, В, С нүктелерінің / жазықтығындағы центрлік проекциялары болып табылады. Кеңістіктің кейбір а~ қисық сызығының центрлік проекциясын салу үшін (1.1 ə-сурет,), оның бойынан бірқатар {А, В, С, В, D,...} нүктелерін таңдап проекциялаушы (SA), (SВ), (SС), / (SD)...түзулерін жүргіземіз, олардың жазықтығымен / / / / қиылысында {А ,В ,С , D ,...} нүктелер жиынының проекцияларын анықтаймыз. Енді осылай анықталған нүктелер арқылы қисық сызық жүргізсек, а~ сызығының / жазықтығындағы а~ 1 центрлік проекциясын аламыз. а~ сызығындағы нүктелерді неғұрлым тығыздау етіп алсақ, оның а/ проекциясы соғұрлым дəлірек салынады. S центрі арқылы жүргізілетін проекциялаушы түзулердің жиынтығы конустық {S, а~ } (S-конустың төбесі, а~ -бағыттаушы сызық) бетін құрайды (1.1 ə-сурет,). Мұндайда а~ сызығының а~ 1 проекциясы конустық бетінің / проекциялар жазықтығымен қиылысқан сызығы болып табылады деуге болады, яғни 12  а~ 1 =  1 Сол себепті центрлік проекциялауды перспективалық, ал проекциялауды кейде конустық проекциялау деп атайды. Біз нүктелік кеңістіктің (кеңістік фигураның) моделін жазықтықта центрлік проекциялау тəсілімен салу принципін қарастырдық. Осы арада центрлік проекциялаудың негізгі қасиеттерін келтірейік: 1-қасиет. Нүктенің проекциясы нүкте болады: А→А/; 2-қасиет. Қисық сызықтың проекциясы жалпы жағдайда қисық сызық болады: а~ → а~ 1 ; 3-қасиет. Егер нүкте сызыққа тиесілі болса, онда оның проекциясы сызықтың сəйкес проекциясына тиесілі болады (өзара тиістілік қасиеті): А а~ →А1 а~1 ; Үшінші қасиетінен мынадай салдары шығады: егер сызықтар қиылысса, онда олардың проекциялары осы сызықтардың проекцияларының қиылысу нүктесінде қиылысады. Егер (СN) сызығын – S центрі арқылы өтетін түзу деп алсақ, онда ол нүкте болып проекцияланады. Мұндай түзу проекциялаушы түзу деп аталады 1.1 ə-суретте сондай [СN] кесіндісі ұштарының С/=N/ проекциялары белгіленген. Проекциялаушы түзудің қараушыға қатысты нүктелерін бəсекелес нүктелер деп атайды. Егер [СN] кесіндісінің ұштарын бекітетін болсақ, онда қараушы С нүктесін көреді, өйткені ол қараушыға жақын орналасқан жəне бұл түзудің қалған нүктелерін жауып тұр. Бұл жағдайды геометриялық элементтердің кескіндерінде, олардың көрінетін не көрінбейтінін анықтау үшін пайдаланады. 4-қасиет. Проекциялаушы түзудің проекциясы нүкте болады (нүктеге туындайды), ал түзуде бекітілген нүктелер бəсекелес нүктелер болып табылады. Кеңістіктің кейбір ℓ түзу сызығының центрлік проециясын алуды қарастыралық (1.2-сурет). ℓ түзу сызығы S центрімен бірге проекциялаушы α {S, ℓ} жазықтығын құрайды. Бұл жерде {S, ℓ}- α жазықтығының анықтаушысы. Онда ℓ түзуінің центрлік ℓ/ проекциясы α жазықтығының / жазықтығымен қиылысқан түзу сызығы болып табылады: 13  ℓ/= α  /. 5-қасиет. Жалпы жағдайда түзу сызықтың проекциясы түзу сызық болады. Түзу сызықты проекциялаудың жекеленген қасиеттерін зерттейік. ℓ түзуінің / проекциялар жазықтығымен қиылысқан М/ нүктесі түзудің ізі деп аталады. Түзудің ізі өзінің проекциясымен беттеседі (1.2-сурет). Проекциялаушы (SА) түзуі ℓ түзуімен бұрышын құрайды. А нүктесі ℓ түзуі бойымен / жазықтығынан неғұрлым алыстаған сайын бұрышы соғұрлым кішірейе береді, шегінде ол нөлге тең болады. Егер ℓ түзуінде шексіз қашықтықтағы В нүктесін алсақ, онда проекциялаушы (S В ) түзуі ℓ түзуіне параллель болып қалады жəне / жазықтығын В/ нүктесінде қияды. Демек, В/ нүктесі ℓ түзуіндегі шексіз қашықтықтағы В нүктесінің центрлік проекциясы болады: В = ℓ  (S В/ ), яғни ℓ жəне (S В/ ) параллель түзулер шексіз қашықтықтағы В нүктесінде қиылысады. В нүктесі меншіксіз нүкте деп аталады. Сол сияқты, егер К нүктесін ℓ түзуі бойымен алыстата берсек, онда қайтадан В меншіксіз нүктесіне келеміз. Бұл параллель түзулер қиылыспайды деп бекітілген Евклид аксиомасына қайшы келеді. Мұндай қайшылықтарды жою үшін Евклид кеңістігін меншіксіз (шексіз қашықтықтағы) нүктелерімен толықтырады. Оны кеңейтілген Евклид кеңістігі деп атайды. Бұл кеңістікте ℓ түзуінің В меншіксіз нүктесі нағыз В/ нүктесіне проекцияланады. 14  (SА) түзуін қарастыралық. А нүктесі К нүктесіне жақындай бере γ бұрышы кішірейе береді, жəне / шегінде К =ℓ/  (SК) болады, ал бұл параллель ℓ/ жəне (SК) түзулері / меншіксіз К нүктесінде қиылы- сады деген мағынаны білдіреді. Яғни, меншікті К нүктесінің 1.2-сурет. Түзудің центрлік проекциясы меншіксіз нүкте проекциясы болады. Демек, ℓ/ проекциясы түзу- / дің меншіксіз нүктесі В проекция- сынан басталады да К меншікті нүктесінің меншіксіз К/ нүктесінде тəмамдалады. S нүктесінің проек- циясы / анықталмайды. S нүктесінен өтетін жазықтығына параллель  жазықтығының барлық нүктелерінің проекциялары меншіксіз нүктелер болады, ал  жəне / жазықтықтарының өздері меншіксіз түзу бойымен қиылысады: q∞=   / Сонымен меншіксіз нүктелермен, түзулермен жəне жазықтықпен толықтырылған Евклид кеңістігі келесі тиесілік қатынастарына ие болады: 1. Бір жазықтықтың екі түзуі əрқашан қиылысады; 2. Түзу сызық жəне жазықтық əрқашан қиылысады. 3. Екі жазықтық əрқашан қиылысады. 1.2. ПАРАЛЛЕЛЬ ПРОЕКЦИЯЛАУ ЖƏНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ S проекциялау центрін таңдалған s бағытында шексіздікке қашықтатайық. Сонда проекциялаушы түзу сызықтар (мысалы, АА/) осы бағытқа параллель болады (1.3 а-сурет), ал проекциялаушы түзулер бір-біріне параллель етіп жүргізіледі. Бұл түзулер ℓ сызығын проекциялағанда цилиндрлік проекциялаушы бетін құрайды. Нəтижесінде ℓ/=  /-ℓ 15 сызығының параллель проекциясы болып табылады. Мұндай проекциялау параллель проекциялау тəсілі деп аталады. а) ə) 1.3-сурет. Параллель проекциялау тəсілі Паралллель проекциялар центрлік проекциялаудың 1.1. параграфында кетірілген барлық қасиеттеріне ие бола отырып, оның өзіндік ерешеленген қасиеттері болатынын көрсетейік: Кеңістікте параллель [АВ] жəне [FK] кесінділерін алып s бағыты бойынша / жазықтығына проекциялайық (2.3 ə-сурет). Бұл кесінділерді проекциялайтын проекция-лаушы жазықтықтар өзара параллель, демек [А/В/] ⁄ ⁄ [F/K/] 6-қасиет. Кеңістіктегі өзара параллель түзулердің проекциялары параллель болады: а||в→а/||в/. Сондай-ақ а түзуіндегі үш нүктенің қарапайым қатынасы сақталынады: (АВС)=(А/В/С/) немесе кеңейтілген түрде: АС  А/ С / =   ВС  В / С /.   7-қасиет. Параллель кесінділердің пропорцияналдығы олардың проекцияларында да сақталынады: А С  = / / АС  В С   А В   р ; А С  - қатынасын р бұрмалану көрсеткіші / / / / / / В С  АВ АС деп атайды. 8-қасиет. Параллель проекциялауда берілген бағыттағы барлық кесінділер үшін бұрмалану көрсеткіші бірдей болады. 16  9-қасиет. Проекциялар жазықтығына параллель түзудің кесіндісі осы жазықтыққа нақты шамасына проекцияланады. Егер [АВ] ⁄⁄ / (1.4-сурет), онда А/АВВ/ фигурасы параллелограмм болады, демек АВ  А/ В / Егер  АВС ⁄⁄ / , онда  АВС=  А/В/С/, бұл 9- қасиетінің салдары болады. Салдар. Проекциялар жазық- 1.4-сурет. Жазық фигураның тығына параллель жазық фигура проекциясы нақты шамасына проекция- ланады. Өз кезегінде параллель проекциялау қиғаш бұрышты (проекциялаушы түзулер проекциялар жазықтығына перпендикуляр емес) жəне тік бұрышты (проекциялаушы проекциялар жазықтығына перпендикуляр) проекциялауларға бөлінеді. Соңғы жағдайдағысын ортогональ (тік бұрышты) проекциялау деп атайды. 1.3. КЕСКІНДЕРДІҢ ҚАЙТЫМДЫЛЫҒЫН ҚАМТАМАСЫЗ ЕТЕТІН ƏДІСТЕР Сызба геометрияға осы тараудың басында берілген анықтамасынан, сызбаға келесі талаптар қойылады: қайтымдылық, дəлдік, қарапайымдылық, көрнекілік. Соңғы үш талап түсіндіруге мұқтаж емес. Сызбаның қайтымдылық түсінігін ашайық: Егер проекциялау центрі жəне проекция жазықтығы берілсе, онда кеңістік нүктесінің проекциясы бір мəнді анықталады – ол проекциялаушы түзудің проекция жазықтығымен қиылысқан нүктесі болады. Кері есеп (проекциялары бойынша нүктенің кеңістіктегі орнын анықтау) бірмəнді болмайды, себебі проекция жазықтығындағы бір нүктенің өзіне проекциялаушы түзудің бойында жататын сансыз көп нүктелер проекцияланады. Мұндайда геометриялық фигураның бір проекциясы бойынша оның кеңістіктегі пішіні (формасы) мен орнын анықтау мүмкін емес. 17  Мысалы, 1 проекциялар жазықтығы жəне оған тиісті А1 нүктесі берілген делік. А нүктесінің (оригиналдың) кеңістіктегі орнын бір ғана А1 проекциясы арқылы анықтауға бола ма? Бұны проекциялар аппаратын еселемей жасау мүмкін емес. Кеңістікте екі S1,S2 проекциялау центрлерінен жəне екі 1, 2 проекциялар жазықтықтарынан тұратын проекциялау аппаратын таңдайық (1.5-сурет).Кеңістіктің кейбір А нүктесін S1 центрінен 1-ге жəне S2 центрінен 2-ге проекциялап, проекциялаушы түзулердің 1 жəне 2–мен қиылыстарында: А1=( S1 А)  1; А2=( S2А)  2 нүктелерін аламыз. Салынған А1,А2 жəне берілген S1, S2, А нүктелердің барлығы бір проекциялаушы  жазықтығында жатыр, олай болса кері есепті шығаруымызға болады. Ол үшін (S1,А1) жəне (S2, А2) түзулерін жүргізсек, олардың қиылысында А нүктесінің кеңістіктегі орнын бір мəнді анықтаймыз: А= (S1,А1)  (S2,А2). Осыдан қос А1, А2 нүктелер арқылы алынған қайтымды сызба кеңістіктегі А нүктесінің моделі болды. Демек, осылайша кеңістіктің (S1, S2) түзуіндегі нүктелерінен басқа барлық нүктелерін модельдеуге болады. Қарастырылған əдіс нүктелік кеңістікті модельдейтін қос 1.5-сурет. Қос кескіндер тəсілі кескіндеу əдісінің инженерлік практикада қолданылатын ық- шамды (толығырақ , -ні қараңыз) түрі болып табылады. 18  1.4. МОНЖ ТƏСІЛІ. МОНЖ ЭПЮРІ. НҮКТЕНІҢ ЕКІ (ОС) КӨРІНІСТІ ЖƏНЕ ҮШ КӨРІНІСТІ КЕШЕНДІ СЫЗБАЛАРЫ XVIII ғасырдың соңында Батыс Еуропа елдерінде капиталистік өндірістің дамуы машиналар жəне механизмдер тетікбөлшектерін кескіндеу үшін лайықталған жоғары дəлдігімен жəне қарапайымдылығымен ерекшеленетін қайтымды кескіндерді жасауды керек етеді. Француз математигі əрі инженері Гаспар Монж (1746-1818 жж.) кеңістік заттарының кескіндерін салу теоремасы мен практикасы бойынша сол уақытта жинақталған білімді жүйелеп жəне жалпыландырып, олардың кескінін екі немесе үш өзара перпендикуляр проекциялар жазықтықтарына ортогональ (грек сөзінен: orthogonios-тік бұрышты) проекциялау жолымен алуды ұсынды Кескіндерді алудың мұндай тəсілі Монж тəсілі деп аталады жəне бұл тəсілмен алынатын ортогональ проекциялар сызбаның анықтылығын, дəлдігін жəне оңай өлшенетіндігін қамтамасыз ете отырып, жазықтықта машинажасау тетікбөлшектерін кескіндеудің осы күнге дейін негізгі əдісі болып табылады. Монж тəсілі бойынша проекциялар жазықтықтарының біреуі үнемі горизонталь жағдайда орналасады.Оны горизонталь проекциялар жазықтығы деп атайды жəне 2 əріпімен белгілейді. Екінші вертикаль жазықтық – фронталь проекциялар жазықтығы деп аталады, ол 1 əріпімен белгіленеді. Олардың х= 1  2 қиылысу сызығы: проекциялар осі деп аталады (1.6 а- cурет). а) ə) 19  б) в) г) 1.6-cурет. Нүктені екі проекциялар жазықтықтарына ортогональ проекциялау: а) кеңістіктік сызба; ə) қайтымды сызбаны алу; б) Монж тəсілі; в) Монж эпюрі; г) проекциялар осі көрсетілмеген сызба Айта кетейік біз 1 əрпімен фронталь проекциялар жазықтығын, ал 2 əрпімен горизонталь проекциялар жазықтығын белгіледік. Бұлай белгілеуіміздің себебі машина жасау сызбаларында 1-де тетікбөлшектің бас көрінісі, ал қалған көріністері 2-де, керек болған жағдайда 3-те т.с.с. кескінделіне береді. Кескіндерді алу принципі бұдан өзгермейді. Кеңістіктің кейбір А нүктесін өзара перпендикуляр 1  2 жазықтықтарына s1  1 жəне s2  2 бағыттары бойынша ортогональ проекциялайық (1.6 а-cурет). Проекциялаушы түзулер А нүктесінде қиылыса отырып х осіне перпендикуляр проекциялаушы α{АА1  АА2} жазықтығын құрайды. Бұл жазықтық х осін Ах нүктесінде, ал проекциялар жазықтығын АА1=α  1 жəне АА2=α  2 түзулер бойынша қияды. Нəтижесінде проекциялау жазықтықтарының А нүктесінің проекциялаушы түзулерімен қиылысуы А1 жəне А2 проекцияларының орындарын нақты анықтайды: А1=1  ( АА1); А2=2  ( АА2). Алынған А1 жəне А2 проекциялары тиісінше А нүктесінің фронталь проекциясы жəне горизонталь проекциясы деп аталады. Бірақ бұл əлі кеңістіктік көріністі өз алдына елестету болып тұр, ал іс жүзінде қолданатын сызбаны алу үшін, π2 жазықтығын 20 х осінен π1 жазықтығымен беттескенше бұрады (1.6 б-cурет). Сонда А нүктесінің А1,А2 проекциялары байланыс сызығы деп аталатын (А1А2) вертикаль түзуінің бойында орналасады (1.6 в- cурет). (А1А2) байланыс сызығы х осіне əрқашанда перпендикуляр болады. Алынған кескін Монж эпюрі (сызбасы) немесе кешенді сызба, ал осы сызбадағы А1 жəне А2 нүктелері А нүктесінің эпюрі, моделі, кешенді сызбасы деп аталады. Оны біз былай белгілейміз: А{А1,А2} Мұндай сызбаның қайтымды болатынына көз жеткізу қиын емес. Егер А нүктесінің А1 жəне А2 проекциялары берілген болса (1.6 ə-cурет), онда А1 арқылы 1-ге жəне А2 арқылы 2-ге перпендикулярлар жүргізіліп олардың қиылысында бір ғана - А нүктесін аламыз. Нəтижесінде нүктенің екі проекциясы оның берілген проекциялар жазықтықтарына қатысты кеңістіктегі орнын нақты анықтайды. Эпюрге өте отырып, біз проекциялар жазықтықтары мен нүкте орналасуының кеңістік көрінісін жоғалттық. Бірақ, ары қарай көретініміздей, эпюр кескіндерді едəуір қарапайым салынуымен қатар олардың дəлділігін жəне қолайлы өлшемділігін қамтамасыз етеді. Ол бойынша кеңістіктік көрінісін келтіру үшін, оқушының кеңістіктік ойлағыштық қабілеті талап етіледі. Мысалы: 1.6 в-cурет, бойынша 1.6 а-cуретте кескінделген сызбаны елестете білу керек. Қос кескіндеу əдісі тұрғысынан қарағанда Монж сызбасы 1 жəне 2 жазықтықтарын бір-біріне перпендикуляр етіп орналастыруынан алынған жеке (дербес) жағдайы болып табылады (1.6 а-cуретке қараңыз), өйткені S1 жəне S2 центрлері s1 жəне s2 бағыттарындағы меншіксіз нүктелеріне айналады.Демек s1 жəне s2 проекциялау бағыттары сəйкесінше 1 жəне 2-ге перпендикуляр, ал осы бағыттарға параллель болатын (АА1) жəне (АА2) проекциялаушы түзулер 1 жəне 2-ге ортогональ болып орналасады. 1.4.1. Екі көріністі кешенді сызба Техникалық сызбалар Монж эпюрі негізінде құрылатынын, жəне де бұл сызбаларда нəрсенің 1-дегі проекциясын алдынан 21 қарағандағы көрінісі, 2-дегіні үстінен қарағандағы көрінісі, 3- тегі көрінісін сол жақ көрінісі деп аталатындарын біз бұрыннан білеміз. Олай болса өзара байланысқан екі немесе одан да көп проекциялардан (көріністерден) тұратын сызбаларды екі көріністі немесе үш көріністі кешенді (комплекс) сызба деп атауымызға болады. Ары қарай А{А1,А2} белгілеуін А нүктесінің екі көріністі кешенді сызбасы немесе қысқаша А нүктесінің сызбасы деп атауға келісейік. Кескіндерді салу практикасында əдетте проекциялар осьтерін, қажеттілігі болмаса, сызбайды. Бірақ олардың қатыстары бары проекциялық байланыс сызығы мен өлшемдері арқылы байқалады. Мұндай сызбаны проекциялар осі көрсетілмеген сызба немесе осі жоқ (оссіз) эпюр деп атайды (1.6 г-сурет). Бұйымдарды кескіндегенде вертикаль А1А2 байланыс сызығын сақтайды, бірақ сызбайды, ал керек болған жағдайда оны 1.6 г-суретте көрсетілгендей етіп қысқа сызықшалармен немесе мүлдем сызықшаларсыз кескіндейді. Мұндай жағдайда, сызба проекциялар жазықтықтарын параллель тасымалдауға дейінгі дəлдікпен берілген деп айтады. Осі көрсетілмеген сызбада х осін қалауымызша жүргізуімізге болады, бірақ ол байланыс сызығына перпендикуляр болатынын ұмытпауымыз керек. а) ə) 1.7-сурет. Нүктелердің əртүрлі ширектерде орналасулары: а) кеңістік сызбасы; ə) эпюрдегі сызбасы 22  Өзара перпендикуляр 1 жəне 2 проекциялар жазықтықтары кеңістікті төрт екіжақты бұрыштарға бөледі, оларды кеңістіктің ширектері немесе квадранттары деп атайды. Олар 1.7 а- суретте І, ІІ, ІІІ, ІV рим цифрларымен нөмірленген. І-ширекте барлық координаталар оң болады. Кеңістіктің кез келген нүктесі ширектердің қайсы бірінде орналасуына байланысты оның эпюрдегі (1.7-сурет, ə) проекциялары х осіне қатысты əр түрлі жағдайда орналасуы мүмкін. Мысалы, І ширекте орналасқан А{А1,А2} нүктесінің, горизонталь А2 проекциясы х осінің астында, ал фронталь А1 проекциясы осьтің үстінде орналасады (1.7 ə- сурет). Оның үстіне бұл нүкте 1 жəне 2 жазықтықтарынан бірдей қашықтықта орналасқан, себебі [А1Ах]=[А2Ах]. В{В1,В2} нүктесі ІІ-ширекте яғни 2-нің үстінде жəне 1-дің артында орналасқан, олай болса оның фронталь жəне горизонталь проекциялары х осінің үстінде орналасады. В нүктесі 2-ге қарағанда 1-ге жақын, өйткені [В2Вх В1Вх]. Егер осы арада В нүктесі 1 жəне 2-ден бірдей қашықтықта орналасқан болса, онда В1=В2 болар еді. Сондай-ақ С{С1,С2} нүктесі ІІІ-ширекте В{В1,В2} нүктесінен сол жағында орналасқан, оның горизонталь С2 проекциясы х осінің үстінде, ал фронталь С1 проекциясы х осі астында орналасады. [С1Сх [С2Сх болғандықтан С нүктесі 1-ге қарағанда 2-ден алысырақ орналасқан. D{D1,D2} нүктесі IV ширекте В{В1,В2}нүктесінің оң жағында орналасқан. Оның проекциясының екеуі де х осінің астында орналасады. D нүктесі 2-ге қарағанда 1-ге жақын. Себебі [D1Dх [D2Dх. Егер нүкте проекциялар жазықтығында жатса, онда оның бір проекциясы х осінде жатады. Мысалы Е нүктесі 1 жазықтығында жатыр, себебі оның Е2 проекциясы х осінде орналасқан; сол сияқты F нүктесі 2-де жатыр,оның F1 проекциясы х осінде орналасып тұр. 1.8-сурет, а-де А{А1,А2} жəне В{В1,В2} нүктелері 2 жазықтығына қатысты бір-біріне симметриялы болып орналасқан. Сызбада мұндай нүктелердің горизонталь проекциялары бір бірімен беттеседі: А2=В2, ал фронталь проекциялары х осінен бірдей қашықтықтарда орналасады: [А1Ах]=[В1Вх] (1.8 ə-сурет). 23  а) ə) б) A1 A1 Ā x Ax=Bx x Ax B2 =A2 A2 B1 1.8-сурет. Бір-біріне симметриялы нүктелерді кескіндеу; а) кеңістіктік сызба; ə) сызбадағы кескіні; б) А нүктесінің х осінен арақашықтығын анықтау Проекциялар осі бар болғанда А нүктесінің 1 жəне 2 проекциялар жазықтықтарына қатысты орны [А2Ах] кесіндісімен (А нүктесінің 1 проекциялар жазықтығынан арақашықтығы) жəне [А1Ах] кесіндісімен (А нүктесінің 2 проекциялар жазықтығынан арақашықтығы) анықталатындарын білдік. Енді дəл осылай А нүктесінің х проекциялар осінен арақашықтығын анықтауға болады. Ол [А2Ах] жəне [А1Ах] катеттері бойынша құрылған тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасымен  анықталады (1.8 б-сурет): эпюрде [А2Ах]-қа тең [А1 А] кесіндісін (А2Ах) сызығына перпендикуляр сала отырып, ізделініп жатқан арақашықтықты білдіретін А Ах гипотенузасын аламыз. 1.4.2. Үш көріністі кешенді сызба Бірқатар салуларда жəне есептер шығаруда 1 , 2 жүйесіне басқа да проекциялар жазықтықтарын енгізуге тура келеді. Енді 1 , 2 жүйесіне тағы бір 3 проекциялар жазықтығын енгізуді қарастыралық 1.9 а-суретте. 3 əріпімен белгіленген жазықтық 1-ге де, 2-ге де перпендикуляр. Оны профиль проекциялар жазықтығы деп атайды. 3 жазықтығы да 1 сияқты вертикаль орналасады. Өзара перпендикуляр үш 1  2  3 проекциялар жазықтықтарының қиылысында О нүктесінен тарайтын х осінен басқа у жəне z проекциялар осьтері пайда 24 болады. Кеңістіктің кейбір А нүктесінің 1, 2 , 3 жазықтықтарында ортогональ проекцияларын құруды өзара перпендикуляр екі жазықтықтарда құру тұрғысынан (1.9 б- суретке қараңыз) қарастыруға болады: 1 – 2 А1 – А2; 2 – 3 А2–А3; 1– 3 А1 –А3. А нүктесінің А1,А2,А3 проекцияларының алынуы 1.9 а-суретте нұсқамалар арқылы көрсетілген. А3 проекциясы А нүктесінің профиль проекциясы деп аталады. а) ə) π1 z z А1 Аz А3 π3 A x Аx y х O Аy k у А2 π2 y 1.9-сурет. Үш көріністі сызбаның құрылуы: а) кеңістіктік сызба; ə) жазық сызба Енді үш өзара перпендикуляр проекциялар жазықтықтарына проекцияланған А нүктесінің жазық сызбасын (эпюрін) құру үшін 2 жазықтығын х осінен, ал 3 жазықтығын z осінен айналдырып 1 жазықтығымен беттестіреміз.Бұл жерде у осі «екіге бөлініп» кескінделеді (1.9 ə-сурет). Нəтижесінде өзара байланысқан үш А1,А2,А3 нүктелерден тұратын жазық сызба- Монж эпюрін аламыз (1.9 ə-сурет). Мұндай сызбада (А1,А3) сызығы горизонталь байланыс сызығы деп аталады. Енді вертикаль (А1А2) жəне горизонталь (А1А3) байланыс сызықтарын пайдаланып А нүктесінің берілген А1 жəне А2 проекциялары бойынша А3 проекциясын салуға болады. Ол үшін горизонталь (А1А3) байланыс сызығының бойына [АхА2]=[АzА3] кесіндісін өлшеп салсақ жеткілікті. Сондай-ақ А3 проекциясын 1.9 ə-суретте 25 көрсетілгендей етіп О нүктесінен шеңбер доғасын жүргізу, немесе  у2Оу3 тікбұрышының биссектриссасы арқылы да анықтауға болады, соңғысын тұрақты k түзуі деп атайды. Осылайша Анүктесінің үш проекцияларын бір жазық сызбада байланыстырып кескіндеуден алынған сызбаны А нүктесінің үш көріністі кешенді сызбасы деп атайды. Оны А{А1,А2,А3} деп белгілейміз. а) ə) z z A A А А B B C C x А А O O B у A A C2 k А у у 1.10-сурет. Үш көріністі сызбадағы k тұрақты түзуі: а) k-тұрақты түзуін анықтау; ə) k тұрақты түзуі арқылы проекциялық байланысты орнату. Үш көріністі кешенді сызбада проекциялық байланысты k тұрақты түзуі арқылы орнату өте ыңғайлы. Ол берілмеген жағдайда оны сызбада былай анықтайды: А нүктесінің үш А1, А2, А3 проекциялары берілген делік (1.10 а-сурет). А3А0⁄⁄А1А2 жəне А2А0⁄⁄А1А3 параллель түзулерін саламыз. А2А0А3 сынық сызығы горизонталь-вертикаль байланыс сызығы деп аталады. Осы арада АуА0 Ау А3 фигурасы квадрат, ал оның диагоналі k тұрақты түзуі болады. Бұл түзудің орны координаталар осьтерін таңдауға байланысты емес, бірақ олардың бас нүктесі əрқашанда осы түзуде жатады. Сызбада k тұрақты түзуі берілген жағдайда нүктенің кез келген екі проекциялары арқылы үшінші проекциясын оңай анықтауға болады. Мысалы, А{А1,А2}нүктесін берейік – горизонталь жəне сынық байланыс сызықтарының қиылысында А3-ті табамыз (1.10 ə-сурет). С{С1,С3}-ті берейік - 26 вертикаль жəне сынық байланыс сызықтарының қиылысында С2- ні анықтаймыз. Егер х осін берсек, онда оның k түзуімен қиылысуы О координаталар басын жəне у пен z осьтерінің орналасуын анықтайды. 1.4.3. Кескіндер-көріністер Монж тəсілінің негізінде алынған үш көріністі кешенді сызба, оның анықтылығын, дəлдігін жəне қолайлы өлшемділігін қамтамасыз ете отырып, сызбада машинажасау тетікбөлшектерін кескіндеудің негізгі əдісі болады. Мысал ретінде 1.11-суретте берілген нəрсенің көрнекі кескіні бойынша үш көріністі кешенді сызбасын салу жолы көрсетілген. Нəрсе 1, 2, 3 проекциялар жазықтықтарынан құралған жүйеде орналастырылып, осы жазықтықтарға ортогональ проек- цияланады (1.11 а-сурет). Нəрсенің жазық сызбасын (эпюрін) алу үшін проекциялар жазықтықтарын бұрады: 2 жазықтығы төменге түсіріледі де, ал 3 жазықтығы оңға бұрылады. Нəтижесінде сызба жазықтығында нəрсе көріністер келесі ретте орналасады: 1-де алдынан қарағандағы көрінісі, дəл соның астында, 2-де – үстінен қарағандағы көрінісі, ал одан оң жақта, яғни 3-те сондай биіктікте сол жақ көрінісі (1.11 ə-сурет). Көріністердің осылай орналасуы проекциялық байланыс деп аталады жəне барлық елдерде бірдей қатаң сақталынады. а) ə) 1.11-сурет. Тетікбөлшектің үш көріністі сызбасын құру: а)нəрсенің көрнекі кескіні; ə) нəрсенің үш көріністі кешенді сызбасы. 27  Осы сызбада нəрсеге тиісті А, В, С, D, нүктелерінің проекцияларын анықтайтын проекциялық байланыс сызықтары көрсетілген. Конструкторлық құжаттарда қолданылатын кескіндерді құру, орналастыру жəне рəсімдеу ережелері жайында анағұрлым жете мəліметтер КҚБЖ (ЕСКД) – стандарттарында, жəне, жеке жағдайда «Кескіндер – көріністер, тіліктер, қималар» ГОСТ 2.305-68 стандартында сипатталады. Бірақ бұл проблемалар инженерлік графика курсында оқылады, ал көріністер жайында түсініктің берілу себебі, оны жекеленген оқу-графикалық жұмыстарына пайдалануға ыңғайлы жəне де ол кескіндердің қасиеттері мен құрылуының теориялық негіздерінен оларды практикалық қолдануға бірқалыпты өту жолдарының көпірі іспеттес. 1.4.4. Нүктенің тік бұрышты координаталар жүйесіндегі моделі 1.9 а-суретке қайта оралайық. 1, 2, 3 проекциялар жазықтықтары өзара үш Ох,Оу,Оz түзу сызықтары бойларымен қиылысып Охуz декартты координаталар жүйесін құрайды. Бұл жүйеде 1, 2, 3 проекциялар жазықтықтары тиісінше хОz, хОу, уОz координаталық жазықтықтары болады. Координаталық жазықтықтардың Ох,Оу,Оz қиылысу сызықтарын координаталық осьтері ал координаталық осьтердің қиылысу О нүктесі координаталар басы деп аталады. Координаталық осьтерін Охуz жүйесінде: Ох= 1  2 - абсциссалар (ендіктер) осі; Оу= 2  3 - ординаталар (тереңдіктер) осі; Оz = 1  3 - аппликаталар (биіктіктер) осі деп атайды. Охуz жүйесінде нүкте орнының моделі осы нүктенің тікбұрышты координаталарын (нүктенің үш өзара перпендикуляр координаталық жазықтықтардан арақашық- тықтарын білдіретін сандарын) біле отырып салынатын моделімен бірдей. Енді Охуz жүйесінде орналасқан кейбір А нүктесінің координаталарын анықтайтын кесінділердің құрылуын 28 көрсетелік: А нүктесінен əр координаталық жазықтықтарына перпендикулярлар жүргіземіз. А нүктесінің абсциссасы деп аталатын бірінші координатасы [ОАх] кесіндісінің ординатасы деп аталатын екінші координатасы [АхА2] кесіндісінің, аппликата деп аталатын үшінші координатасы [А2А] кесіндісінің сандық өлшемдерімен анықталады. Координаталардың əріптік белгілеулерінде ХА əрпімен А нүктесінің абсциссасы, УА əрпімен - ординатасы жəне ZА əрпімен аппликатасы көрсетіледі. Сонымен А нүктесінің (оригиналдың) кеңістіктегі орны үш перпендикуляр кесінділермен анықталып тұр: ОАх  АхА2  А2А немесе ХА  УА  ZА. Бұны координаталық сынық сызық деп атайды. Нүктені, оның берілген координаталары арқылы салынуы осы үшбуынды сынық сызықтың салынуымен іспеттес. Мұндайда ХА ,УА ,ZА немесе ХА , ZА, УА т.с.с. кесінділерін тізбектеп салу керек. Осылайша А нүктесін, əрқайсысында үш координаталары бар алты комбинациялармен алуға болады. Координаталары арқылы алынған А нүктесінің моделін Монж координаталық моделі деп атаймыз жəне оны былай белгілейміз: А(ХА ,УА ,ZА). Алынған координаталық модель графикалық есептерді компьютерде шешу алгоритмдерін құрастыру үшін графикалық мəліметтерді кодтар арқылы енгізуге мүмкіндік береді. Координаталары мəлім нүктенің екі көріністі сызбасын салу оңай. Мысалы А(3, 3, 4) нүктесі берілген делік. Бұл жазу А нүктесі Х=3, У=3, ZА=4 координаталары арқылы тұрғызылады деген мағынаны білдіреді. Егер сызбаның масштабы берілген немесе таңдалған болса, онда х осінің бойындағы кейбір О нүктесінен (1.11 а-сурет) 3 бірліктерге тең [ОАх] кесіндісі, Ах нүктесінен осы оське жүргізілген перпендикулярдың бойына [АхА1]=4 бірл., жəне [АхА2]=3 бірл. кесінділерін салып А нүктесінің А1 жəне А2 проекцияларын аламыз. Оларды салу үшін тек х осін алсақ жеткілікті. Енді координаталарымен берілген А(20, 25, 30) нүктесінің үш көріністі сызбасын салуды қарастырайық. Егер сызба масштабын тор көзді парақтың масштабымен бірдей (М1:1) етіп алатын болсақ, онда ХА=20мм, УА=25мм, ZА=30мм-лерге тең кесінділер болып табылады. А нүктесінің А1, А2, А3 проекцияларының салынуы 1.12 ə-суреттен түсінікті. Егер А нүктесінің А1, А2, А3 29 проекцияларын осі көрсетілмеген сызбада салу керек болса, онда нүктенің қандай да бір проекциясы, мысалы А1 проекциясы таңдалады (1.12 б-сурет). Сосын вертикаль байланыс сызығы жүргізіледі де оның бойына |УА+ZА|-ға тең кесінді салынып А2 проекциясы, горизонталь байланыс сызығының бойына |ХА+УА|-ға тең кесінді салынып А3 проекциясы алынады. а) ə) б) 1.12-сурет. А нүктесін координаталары арқылы кескіндеу: а) екі көріністі сызбасын кескіндеу; ə) үш көріністі сызбасын кескіндеу; б) осі көрсетілмеген сызбада кескіндеу. Сондай-ақ проекциялар осьтерін координаталар осьтері етіп қабылдап, нүктенің координаталарын оның берілген проекциялары бойынша анықтауға болады. Мысалы, 1.12 а- суретте [ОАх],[АхА2],[АхА1] кесінділері А нүктесінің тиісінше ХА,УА,ZА – координаталарын анықтайды. Аттас координаталары бір-біріне тең нүктелер бəсекелес нүктелер болып табылады. Сызбада бəсекелес нүктелер бір проек циялаушы түзудің бойында орналасады. Сол себепті олардың аттас проекциялары проекциялар жазықтықтарының біреуінде беттеседі. Бəсекелес нүктелерді, олардың араларына ↑↓ белгілер қойып ажыратады. Егер нүктелер фронталь бəсекелес болса, онда ↑ белгісі қойылады. Мысалы А↑В  А1=В1, оқылуы А мен В фронталь бəсекелес нүктелер, яғни олардың 1-дегі аттас проекциялары беттеседі: А1=В1; өткені А=В. Егер нүктелер горизонталь бəсекелес болса, онда: С↓D  С2=D2. Эпюрге қарап (1.13 ə-сурет) бұл нүктелердің қайсысы қараушыға жақын орналасқандарын білуге болады. Мысалы, А нүктесі В-ға 30 қарағанда қараушыға жақын орналасқан, өйткені УАZD. Координаталық жазықтықтар өздерінің қиылысу сызықтарынан ары созыла бара кеңістікті сегіз үшжақты бұрыштарға бөледі. Оларды октанттар деп атайды (1.14-сурет). Бірінші төрт (І, ІІ, ІІІ, ІV) октанттар 3 жазықтығының сол жағында жəне қалған төртеуі (V, VІ, VІІ, VІІІ) оң жағында орналасады. 3 жазықтығы І жəне V, ІІ жəне VІ, ІІІ жəне VІІ, ІV жəне VІІІ – октанттар үшін симметрия жазықтығы болып табылады. І-октантта Охуz координаталар жүйесі оң декартты жүйе ал басқа октанттарда ол теріс жүйе болады. а) ə) 1.13-сурет. Бəсекелес нүктелер: а) кеңістік сызба; ə) жазық сызба (эпюр). 1.1-кесте. Октанттардағы нүкте коор-динаталары мəндерінің таңбалары Коор- Октанттар дина І VІ VІІ талар І ІІ ІІІ V VІ V І І Х + + + + - - - - У + - - + + - - + Z + + - - + + - - 1.14-сурет. Кеңістікті октанттарға бөлу Нүкте осы сегіз октанттардың əрбіреуінде орналасуы мүмкін. Нүктенің қай октантта орналасқанын оның координталары 31 мəндерінің оң (+) немесе теріс (-) болуларын 1.1-кестеге қарап анықтауға болады. Мысалы, егер нүкте координаталарының үшеуі де оң (+) болса, онда нүкте І – октантта орналасқан, ал егер нүкте координаталарының үшеуі де теріс (-) болса, онда нүкте VІІ –октантта орналасқан болып табылады. 1.5. АКСОНОМЕТРИЯЛЫҚ ПРОЕКЦИЯЛАР Сіздер алдыңғы тарауларда проекциялар жүйелері негізгілерінің бірі – ортогональды проекциялар жүйесін оқыдыңыздар. Одан ортогональды проекциялардың көмегімен сызбаларды орындау жеткілікті қарапайымды-лығымен түсіндірілетінін білдіңіздер. Дегенімен ортогональды проекциялау əдісінің аталған артықшылық-тарымен қатар айтарлықтай кемшіліктері де бар. Ортогональды проекциялар-мен берілген геометриялық фигураның (геометриялық дененің) пішіні туралы түсінік алу үшін бір мезетте екі, үш, ал кейде одан да көп проекцияларды қарастыруға тура келеді. Бұның себебі ортогональды проекциялар жүйесінде тік бұрыштап проекциялаудың бағыттары, əдетінше, геометриялық фигураның басты бағыттарының (биіктігі, ұзындығы жəне ені) біреуімен беттеседі де, осыдан оның қырлары не нақты шамасына, немесе нүктелер болып кескінделеді. Мұндайда кеңістіктегі фигураның пішіні мен орналасуы туралы біріңғай түсініктің қалыптасуы едəуір қиын болады. Геометриялық фигураның осы аталған басты бағыттарының үшеуі де бір мезетте бір жазықтыққа кескінделетін, осыдан оның көлемді (көрнекі) түрде қабылдануына мүмкіншілік туғызатын жүйені аксонометриялық проекциялар жүйесі немесе қысқаша аксонометрия деп атайды. Байқайық, аксонометрия сөзі гректің «аксон» – ось жəне «метрео» - өлшеу деген сөздерінен құралған, сонда дəлме-дəл аудармасы «осьтер бойынша өлшеу» болып шығады. Кейінірек, осындай əдіспен орындалған жазықтықтағы кескіндер дененің координаталар осьтеріне параллель негізгі өлшемдерін сызбаның өзінен оңай анықтауға, яғни оңай өлшенетініне мүмкіндіктер беретінін көреміз. Ал дененің осындай оңай өлшенеді деп аталатын қасиеті сызба үшін өте пайдалы болып келеді. 32  Берілген тетікбөлшектің осыған дейінгі параграфта (1.11 а, ə- суретке қараңыздар) көрсетілген кескіндеріне қайта оралайық. 1.16 а-суретте бұл тетікбөлшектің ортогональ сызбасы, ал 1.16- сурет, ə-де - аксонометриясы берілген делік. Бұл суреттерге салыстырмалы түрде қарап, кескіндердің артықшылықтары мен кемшіліктерін бағалайық Аксонометриялық сызба Монж сызбасына қарағанда көрнекілеу, себебі оның бас (негізгі) өлшемдерінің үшеуі де белгілі болып тұр. а) ə) 1.16-сурет. Тетікбөлшекті кескіндеу: а) ортогональ сызбасы; ə) аксонометриялық сызбасы Ортогональ сызбада көрнекілік жоқ, себебі тетікбөлшек проекцияларының əрқайсысында екі өлшемнен артық өлшем болмайды. Атап айтқанда фронталь жазықтығындағы проекциясында ені, ал горизонталь жазықтығындағы проекциясында биіктігі жоқ болады. Өз кезегінде ортогональ сызбада тетікбөлшектің жақтары негізгі проекциялар жазықтықтарына параллель орналасады, демек олар сəйкес проекциялар жазықтықтарына бұрмаланусыз проекцияланады. Егер сызбада тетікбөлшек беттерінің бас (негізгі) өлшемдерінің бағыттарын өзара перпендикуляр Ох,Оу жəне Оz координаталық осьтері арқылы белгілесек (1.16 а-сурет) онда тетікбөлшектің 33 өлшемдерін тікелей осы сызбадан алуға болады. Бұл ортогональ сызбаның артықшылығына жатады. Сонымен ортогональ сызбаға қарағанда аксонометриялық сызбаның артықшылығы, оның көрнекілігінде болатынын байқадық. Техникада аксонометриялық проекциялар түрлі объек- тілердің көрнекі кескінін орындау үшін қолданылады. Сондықтан төменде қаралатын мəселелер осы мақсаттың төңірегінде болады. 1.5.1. Негізгі түсініктер мен анықтаулар Кеңістікте натурал координаталар жүйесі жəне осы жүйеге тиісті А нүктесі берілген делік (1.17 а-сурет,). А нүктесі координаталық осьтер жүйесімен ОАхА2А - кеңістік сынық сызығының үш буындары арқылы байланысқан. Бұл сынықтың [ОАх]=ХА, [Ах А2]=УА жəне [Ах А2] =ZА кесінділері А нүктесінің натурал координаталары, ал А2 - А нүктесінің хОу координаталық жазықтығындағы ортогональ проекциясы болады. Егер енді Охуz – координаталық осьтерін жəне А нүктесін, оның / А2 горизонталь проекциясымен бірге жазықтығына / проекцияласақ, онда біз осы жазықтығында аксонометриялық деп аталатын сызба аламыз (1.17 ə-сурет). Ондағы А/ нүктесі А нүктесінің аксонометриялық проекциясы, ал А/2 нүктесі А нүктесінің екінші қайталанатын, немесе қысқаша қайталама проекциясы болады. Бұл проекция бұған дейін алынған А2 проекциясынан өзгеше проекция екенін ұмытпаңыздар.Осыдан қайтымды сызбаны алуға, яғни нүктенің аксонометриялық проекциясы жəне оның қайталама проекциясының көмегімен нүктенің координаталық осьтер жүйесіндегі орнын нақты (бірмəнді) анықтауға болады. Кеңістікте А нүктесінің натурал координаталар жүйесіне қатысты орны ОАхА2А кеңістік сынық сызығымен анықталса, А нүктесінің А/ аксонометриялық проекциясы сəйкес О/А/хА/2А/ жазық сынық сызығымен анықталады. 34  а) ə) 1.17-сурет. Аксонометриялық кескіндеудің схемасы: / а) координаталар жүйесіндегі А нүктесі; ə) аксонометриялық жазықтығына проекциялау. Аксонометриялық проекцияда кескінделетін нəрсенің нақты өлшемдерін орнату үшін аксонометриялық сызбада координаталар басы О/ нүктесінен О/х/,О/у,/О/z/ осьтері бойларына белгіленген е натурал масштабының проекциялары - ех/ , е у/ , еz/ / кесінділері көр?