Modelli atomici quantistici semiclassici PDF

## Modelli atomici quantistici semiclassici Come abbiamo già avuto modo di dire il modello planetario di Rutherford risultava in contraddizione con i principi dell'elettrodinamica classica e doveva pertanto essere corretto. Rimaneva inoltre ancora irrisolto il problema degli spettri a righe, la cui...

## Modelli atomici quantistici semiclassici Come abbiamo già avuto modo di dire il modello planetario di Rutherford risultava in contraddizione con i principi dell'elettrodinamica classica e doveva pertanto essere corretto. Rimaneva inoltre ancora irrisolto il problema degli spettri a righe, la cui soluzione appariva con molta probabilità legata proprio alla struttura atomica. Visto il successo ottenuto nella risoluzione del problema del corpo nero e dell'effetto fotoelettrico, attraverso l'introduzione nel formalismo matematico della costante di Planck, Bohr decise di tentare la stessa strada anche per risolvere il problema degli spettri a righe. ### 4.1 Il modello atomico di Bohr Preso in considerazione l'atomo di Idrogeno, Bohr introdusse alcune ipotesi in modo da far intervenire all'interno della struttura atomica la costante h. #### 1^ ipotesi Esiste uno stato stazionario dell'atomo caratterizzato da particolari orbite circolari lungo le quali gli elettroni si muovono senza emettere radiazioni elettromagnetiche. Gli elettroni che percorrono tali orbite stazionarie possiedono una certa quantità ben definita di energia detta livello energetico dell'orbita.  Essendo gli elettroni in equilibrio in tali orbite la forza centrifuga ($mv^2/r$) deve eguagliare la forza di attrazione coulombiana $kZe^2/r^2$ tra l'elettrone negativo ed il suo nucleo, contenente Z protoni con carica pari alla carica e dell'elettrone. 21 Per l'Idrogeno Z=1 e la relazione diventa: $mv^2/r = k e^2/r^2$ da cui si ricava il raggio: $r = ke^2/(mv^2)$ $1) r = ke^2/mv^2$ 21 Utilizzando il sistema di unità di misura cgs, la costante di proporzionalità k vale $k = 1/(4\pi\epsilon_{0}) = 1 (dyn.cm^2-u.e.s.^2)$ e la carica dell'elettrone, espressa in u.e.s., vale e = -4.80296-10-10 u.e.s. Nel Sistema Internazionale k = 8.98755179 10^9 (N m^2 C^2). #### 2) $mvr = nh/(2\pi)$ dove $mvr$ è il momento della quantità di moto dell'elettrone in orbita attorno al suo nucleo, detto anche momento angolare orbitale. $h/(2\pi)$ prende il nome di costante di Planck normalizzata e viene spesso indicata con $\hbar$ (acca tagliato) ed n è un numero intero positivo, detto numero quantico principale. In pratica Bohr impone una condizione di quantizzazione del momento angolare, che si rivelerà in seguito fondamentale e caratteristica di qualsiasi corpo rotante. Tale condizione si esprime dicendo che il momento angolare dell'elettrone deve essere un multiplo intero di acca tagliato. Il momento angolare quantizzato condiziona i valori che possono assumere il raggio delle orbite e l'energia totale (cinetica+potenziale) o livello energetico, che l'elettrone possiede. Raggi e livelli energetici risultano pertanto anch'essi quantizzati in funzione di n. ##### Raggio quantizzato: Dalla condizione di quantizzazione del momento angolare si ricava la velocità che sostituita nella 1) fornisce la relazione quantistica del raggio: $r = n^2 * 5.292*10^{-11} m$ per n = 1 $r = 5.292 * 10^{-11} m$ (52.92 pm = 0.5292 Å) è il raggio della orbita circolare più vicina al nucleo dell'Idrogeno ed è detto raggio di Bohr (a)22. In fisica atomica il raggio di Bohr a, viene utilizzato come unità di misura di lunghezza e denominato bohr. $1 bohr = 5.291772 * 10^{-11} m$ ##### Energia quantizzata (livello energetico): L'energia associata ad un elettrone in moto su di un'orbita quantizzata si calcola come somma dell'energia cinetica ($1/2 * mv^2$) e dell'energia potenziale ($-k e^2/r$). Se esplicitiamo dalla 1) la quantità $mv^2 = ke^2/r$ e la sostituiamo nell'espressione dell'energia cinetica, Il valore negativo dell'energia deriva dalla convenzione di porre pari a zero l'energia potenziale dell'elettrone a distanza infinita. Per n = 1 l'elettrone si trova nello stato di minima energia possibile, detto stato fondamentale. Gli stati caratterizzati da n > 1 si dicono stati eccitati. In fisica atomica l'energia potenziale coulombiana dell'elettrone nella prima orbita di Bohr viene utilizzata come unità di misura di energia e denominata hartree (in onore del fisico inglese Douglas Rayner Hartree). $E = -k e^2/r = -8.98755 * 10^9 (1.602*10^{-19})^2/(5.291772*10^{-11}) = -4.359 * 10^{-18} J$ $1 hartree = 4.359 * 10^{-18} J$ Un hartree corrisponde al doppio dell'energia di legame dell'elettrone nello stato fondamentale (n = 1) dell'atomo di idrogeno: |Raggi quantizzati|Livelli energetici quantizzati| |:---|:---| |$r = n^2 * 5.292 * 10^{-11} m$| $E = -(2.180 * 10^{-18}) / n^2 J = 13.6 / n^2 eV$ | | |$n = ∞: 0 eV$ | | |$n = 4: -0.85 eV$ | | |$n = 3: -1.5 eV$ | | |$n = 2: -3.4 eV$ | | |$n = 1: -13.6 eV$ | #### 3^ Ipotesi L'atomo può passare dallo stato fondamentale ad uno eccitato assorbendo energia. In questo modo gli elettroni possono assumere l'energia necessaria per passare da un'orbita più interna ad una più esterna. L'energia assorbita affinché avvenga il salto quantico dell'elettrone, o transizione elettronica, deve essere esattamente uguale alla differenza di energia esistente tra il livello energetico superiore e quello inferiore. 24 Quando si fa riferimento all'energia associata ad una sola particella è più comodo utilizzare l'elettronvolt (eV). 1 eV è l'energia cinetica acquistata da un elettrone sottoposto alla differenza di potenziale di 1 Volt. 1 eV = 1.6022 * 10^-19 C * 1V = 1.6022 * 10^-19 joule  Quando l'elettrone si trova in un orbita superiore a quella in cui si trova normalmente, l'atomo possiede un surplus di energia che lo rende instabile (eccitato). L'elettrone è quindi destinato a tornare nell'orbita di partenza riemettendo l'energia precedentemente assorbita tramite un fotone la cui energia è appunto pari a: $Ε_2 - Ε_1 = ΔΕ = hv$ La radiazione emessa, avendo una frequenza univocamente determinata dalla differenza di energia esistente tra due particolari livelli energetici, è rigorosamente monocromatica ed apparirà come una ben determinata riga allo spettroscopio. L'energia emessa durante una transizione da un livello $n_2$ ad un livello $n_1$, con $n_2 > n_1$, è: $\Delta E = E_2 - E_1 = -(2.180 * 10^{-18})( 1/n_2^2 - 1/n_1^2) joule$ Ricordando che $\Delta E = hv$ e che $c = \lambda v$, sostituendo opportunamente si ottiene $\Delta E = hc/\lambda$, quindi $\Delta E = hc/\lambda$ ed in definitiva $1/\lambda = (2.180 * 10^{-18}) / hc ( 1/n_1^2 - 1/n_2^2 ) = 1.0974 * 10^7 ( 1/n_1^2 - 1/n_2^2 ) m^{-1}$ Per calcolare il numero d’onde $\bar{V}$ (reciproco della lunghezza d'onda) della riga emessa durante una transizione elettronica, Bohr ritrova dunque, per via teorica, la medesima relazione trovata empiricamente da Balmer : $1/\lambda = R ( 1/n_1^2 - 1/n_2^2)$ I numeri interi n ed m che nella relazione di Balmer non presentavano alcun significato fisico, nel modello atomico di Bohr diventano rispettivamente il numero quantico del livello più interno n₁, ed il numero quantico del livello più esterno n₂, tra i quali avviene la transizione. - Ponendo nella $n_1 = 2$ ed $n_2$ intero superiore a due si possono trovare tutte le lunghezze d'onda delle righe spettrali prodotte dalle transizioni elettroniche dalle orbite più esterne verso la seconda orbita. Tale righe spettrali corrispondono ovviamente alla serie di Balmer.  - Ponendo invece $n_1 = 1$ si ottengono le righe spettrali della serie di Lyman, le quali rappresentano dunque le transizioni elettroniche dalle orbite più esterne verso la prima e cosi via per le altre serie. - Ponendo infine $n_2 = ∞$ si ottiene la lunghezza d'onda che deve possedere la luce con cui irraggiare l'atomo per estrarre l'elettrone e portarlo all'infinito. In altri termini è possibile calcolare teoricamente l'energia di ionizzazione dell'atomo. Il numero quantico principale n può assumere teoricamente tutti i valori compresi tra 1 ed infinito. In pratica però tutti gli atomi conosciuti sistemano i loro elettroni al massimo in 7 livelli energetici, i quali vengono spesso indicati con le lettere K, L, M, N, O, P, Q. |Serie|n interno|Righe spettrali (A in nm)| |:---|:---|:---| |Lyman|1|121,6 102,5 97,2 94,9 93,7 93,0 92,6 92,3 91,15 | |Balmer|2|656.3 486.1 434.1 410.2 397.0 388.9 383.5 364.6 | |Paschen|3|1874.5 1281.4 1093.5 1004.6 954.3 922.6 820.1 | |Brackett|4|4052.5 2625.9 2166.1 1945.1 1818.1 1458.0 | |Pfund|5|7476 4664 3749 3304 2279 |  Un altro aspetto notevole del modello di Bohr è che la costante di Rydberg viene ad essere calcolata in funzione di costanti note (come la carica dell'elettrone, la sua massa, la velocità della luce, etc) ed il suo valore risulta in ottimo accordo con il valore misurato sperimentalmente. |Costante di Rydberg| |:---| |Condizione di equilibrio dinamico: forza centrifuga = forza coulombiana|$mv^2/r = kZe^2/r^2$| |Condizione di quantizzazione del momento angolare orbitale|$mvr=nh$| Dalla 2) esplicitiamo la velocità $v = nh/(mr)$ che sostituita nella 1) fornisce il raggio quantizzato: $r = n^2h^2/(4\pi^2mkZe^2)$ L'energia totale di un livello (cinetica + potenziale) è: $E = 1/2 mv^2 - kZe^2/r$ Dalla 1) esplicitiamo $mv^2 = kZe^2/r$ che sostituita nella 4) fornisce: $E = 1/2 * (kZe^2/r) -kZe^2/r = -kZe^2/(2r)$ che sostituita nella 5) fornisce: $E = -( k^2Z^2me^4)/(2n^2h^2)$ Sostituiamo nella 5) il raggio r con il valore quantizzato della 3) per avere l'energia quantizzata: $E = -(k^2Z^2me^4)/(2nh^2)$ La differenza di energia tra un livello energetico n₂ esterno ed un livello n₁ più interno è: $\Delta E = E_2 - E_1 = (k^2Z^2me^4)/(2h^2)(1/n_1^2-1/n_2^2)$ $$ 7) \Delta E = E_2 - E_1 = \frac{k^2Z^2m e^4}{2h^2}(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}) $$ Poiché $\Delta E = hv$ e $c = \lambda v$ si avrà che: $\frac{1}{\lambda} = \frac{\Delta E}{hc}$ e dunque, dividendo entrambi i membri della 7) per ch, otteniamo: $$ 8) \frac{1}{\lambda} = \frac{2\pi^2 Z^2m e^4 k^2}{ch^3}(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}) $$ Come si può facilmente verificare, tale relazione corrisponde a quella trovata sperimentalmente da Balmer ed il termine $2\pi² Z²m e^4 k²/ch³$ non è altro che la costante di Rydberg, espressa in funzione di costanti note. Sostituendo opportunamente i valori (con Z = 1 per l'idrogeno) si ottiene $2\pi² Z²m e^4 k²/ch³ = 10.973.732 m^{-1}$ in ottimo accordo con il valore sperimentale della costante di Rydberg. Il valore calcolato per la costante di Rydberg risulta ancora più vicino al dato sperimentale se si tiene conto anche della massa del protone (M) intomo al quale ruota l'elettrone. In effetti l'elettrone non ruota intorno al protone, ma entrambi ruotano attomo ad un baricentro comune in modo da soddisfare la relazione m*r = M*r`, dove r ed r` sono le distanze rispettivamente di m ed M dal baricentro. L'accelerazione centrifuga dell'elettrone non è dunque a rigore $mv^2/r$ come compare in 1), ma $mv^2/r`$. È possibile tuttavia dimostrare che il moto combinato del sistema elettrone/protone attorno al baricentro comune è equivalente al moto di una particella di massa ridotta (µ ) $µ = \frac{m * M}{m+M} = \frac{M }{1+ \frac{M}{m}}$ che descriva un'orbita di raggio $r+ r` = \frac{m+M}{M}r$ attorno al baricentro. In altre parole la 1) rimane valida se si sostituisce la massa dell'elettrone con la sua massa ridotta. Così la costante di Rydberg R, corretta per un elemento di massa M, è: $R = \frac{2\pi^2 \epsilon_0 µ k^2}{ch^3} = \frac{2\pi^2 emk^2}{ch^3}(1 + \frac{m}{M})^{-1} = R (1 + \frac{m}{M})^{-1}$ dove R è la costante universale di Rydberg o costante di Rydberg per massa infinita. R è infatti il valore calcolato senza tener conto della massa del nucleo M, il che equivale ad ipotizzare un nucleo di massa M infinitamente grande per cui: $lim_{M \to \infty} µ = m (1 + \frac{m}{M})^{-1} = m$ Tenendo conto che per l'idrogeno m/M è pari a 1/1836, la costante di Rydberg corretta per l'idrogeno vale: $R = \frac{10.973.732}{1+ \frac{1}{1836}}= 10.967.758 m^{-1}$ Valore che coincide perfettamente con il dato sperimentale. Per lo stesso motivo é da prevedersi uno spostamento delle righe spettrali quando invece delfidrogeno comune si consideri un suo isotopo pesante. II Deuterio, ad esempio, che possiede un nucleo doppiamente pesante, essendo composto di un protone e di un neutrone, dovrebbe presentare uno spostamento delle righe spettrali di notevole entità e quindi facilmente osservabile (il rapporto m/M diventa infatti 1/3672). II Deuterio fu scoperto nel 1932 da H.C. Urey proprio osservando il previsto spostamento delle righe spettrali. Calcoliamo a titolo d'esempio il dislivello energetico esistente tra n=2 ed n=3, la frequenza e la lunghezza d'onda della riga spettrale ($H_α$) della transizione elettronica relativa. $\Delta E = E_3 - E_2 = (-2.42*10^{-19}) - (-5.45*10^{-19}) = 3.03*10^{-19} J$