Modelli atomici quantistici semiclassici PDF

# Modelli atomici quantistici semiclassici ## 4.1 Il modello atomico di Bohr **1^ Ipotesi:** * Esiste uno stato stazionario dell'atomo caratterizzato da particolari orbite circolari lungo le quali gli elettroni si muovono senza emettere radiazioni elettromagnetiche. * Gli elettroni che percorrono...

# Modelli atomici quantistici semiclassici ## 4.1 Il modello atomico di Bohr **1^ Ipotesi:** * Esiste uno stato stazionario dell'atomo caratterizzato da particolari orbite circolari lungo le quali gli elettroni si muovono senza emettere radiazioni elettromagnetiche. * Gli elettroni che percorrono tali orbite stazionarie possiedono una certa quantità ben definita di energia detta livello energetico dell'orbita. **Equilibrio delle forze:** * La forza centrifuga ($mv^2$/r) deve eguagliare la forza di attrazione coulombiana (kZe^2/r^2) tra l'elettrone negativo ed il suo nucleo, contenente Z protoni con carica pari alla carica e dell'elettrone. **Derivazione del raggio:** * Per l'Idrogeno Z=1 * 21 Utilizzando il sistema di unità di misura cgs, la costante di proporzionalitá k vale $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ (dyn.cm²-u.e.s.-2) e la carica dell'elettrone, espressa in u.e.s., vale e=4,80296·10-10 u.e.s. * Nel Sistema Internazionale k -8,98755179 10° (N m² C²). **Quantizzazione del momento angolare:** * In pratica Bohr impone una condizione di quantizzazione del momento angolare, che si rivelerà in seguito fondamentale e caratteristica di qualsiasi corpo rotante. * Tale condizione si esprime dicendo che il momento angolare dell'elettrone deve essere un multiplo intero di acca tagliato. **Quantizzazione del raggio e del livello energetico:** * Il momento angolare quantizzato condiziona i valori che possono assumere il raggio delle orbite e l'energia totale (cinetica + potenziale) o livello energetico, che l'elettrone possiede. * Raggi e livelli energetici risultano pertanto anch'essi quantizzati in funzione di n. * $m v r = \frac{nh}{2 \pi}$. **Raggio quantizzato:** * Dalla condizione di quantizzazione del momento angolare si ricava la velocità che sostituita nella 1) fornisce la relazione quantistica del raggio. * $r = n^2 5,292 \cdot 10^{-11} m$. * per n = 1 * r = 5,292 10^-11 m (52,92 pm = 0,5292 Å) è il raggio della orbita circolare più vicina al nucleo dell'Idrogeno ed è detto raggio di Bohr (a₀)²². **Energia quantizzata (livello energetico):** * L'energia associata ad un elettrone in moto su di un'orbita quantizzata si calcola come somma dell'energia cinetica (1/2 mv²) e dell'energia potenziale (-kZe²/r). * $E = -\frac{kZe^2}{2r}$. * Se esplicitiamo dalla 1) la quantità $mv^2 = \frac{kZe^2}{r}$ e la sostituiamo nell'espressione dell'energia cinetica, il valore negativo dell'energia deriva dalla convenzione di porre pari a zero l'energia potenziale dell'elettrone a distanza infinita. **Stati fondamentali ed eccitati:** * Per n = 1 l'elettrone si trova nello stato di minima energia possibile, detto stato fondamentale. * Gli stati caratterizzati da n > 1 si dicono stati eccitati. **Hartree:** * In fisica atomica l'energia potenziale coulombiana dell'elettrone nella prima orbita di Bohr viene utilizzata come unità di misura di energia e denominata hartree (in onore del fisico inglese Douglas Rayner Hartree). * $E = -\frac{kZe^2}{r}$. **3^ Ipotesi : ** * L'atomo può passare dallo stato fondamentale ad uno eccitato assorbendo energia. * L'energia assorbita affinché avvenga il salto quantico dell'elettrone, o transizione elettronica, deve essere esattamente uguale alla differenza di energia esistente tra il livello energetico superiore e quello inferiore. * $E_2 - E_1 = \Delta E = hv$ **Energia emessa durante una transizione:** * L'energia emessa durante una transizione da un livello n2 ad un livello n1, con n2 > n1, è * $ \Delta E = E_n - E_{n1} = 2,180 \cdot 10^{-18} (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n_2^2}) J$ * $ \Delta E = hc/\lambda$ * $\lambda = \frac{hc}{2,180 \cdot 10^{-18} (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})} = (1,0974 \cdot 10^7 m^{-1}) (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) $ **Serie Spettrali:** * Ponendo nella n1 = 2 ed n2 intero superiore a due si possono trovare tutte le lunghezze d'onda delle righe spettrali prodotte dalle transizioni elettroniche dalle orbite più esterne verso la seconda orbita. * Tale righe spettrali corrispondono ovviamente alla serie di Balmer. * Ponendo invece n1 = 1 si ottengono le righe spettrali della serie di Lyman, le quali rappresentano dunque le transizioni elettroniche dalle orbite più esterne verso la prima e cosi via per le altre serie * Ponendo infine n2 == ∞ si ottiene la lunghezza d'onda che deve possedere la luce con cui irraggiare l'atomo per estrarre l'elettrone e portarlo all'infinito. In altri termini è possibile calcolare teoricamente l'energia di ionizzazione dell'atomo. **Costante di Rydberg:** * Un altro aspetto notevole del modello di Bohr è che la costante di Rydberg viene ad essere calcolata in funzione di costanti note (come la carica dell'elettrone, la sua massa, la velocità della luce, etc) ed il suo valore risulta in ottimo accordo con il valore misurato sperimentalmente. * $R = \frac{2\pi^2\epsilon_0^2\mu k^2e^4}{ch^3} = \frac{2\pi^2mk^2e^4}{ch^3}(1 + \frac{m}{M}) = 10,973,732 \cdot (1 + \frac{m}{M}) m^{-1} $.