Handout Mathematik_Modul 1 PDF

1 Mathematische Zeichen ▪ ∈ ist Element der Menge ▪ ∉ ist kein Element der Menge ▪ ⊂ ist Teilmenge der Menge. ▪ ⊆ ist Teilmenge von oder gleich. ▪ ⊃ ist Obermenge von. ▪ ⊇ ist Obermenge von oder gleich. ▪ = gleich ▪ ≠ ungleich ▪ 𝐴 = { } = 𝜙 leere Menge ▪ < ist kleiner...

1 Mathematische Zeichen ▪ ∈ ist Element der Menge ▪ ∉ ist kein Element der Menge ▪ ⊂ ist Teilmenge der Menge. ▪ ⊆ ist Teilmenge von oder gleich. ▪ ⊃ ist Obermenge von. ▪ ⊇ ist Obermenge von oder gleich. ▪ = gleich ▪ ≠ ungleich ▪ 𝐴 = { } = 𝜙 leere Menge ▪ < ist kleiner als Z.B. 6 < 10 ▪ ≤ ist kleiner oder gleich Z.B. 6 ≤ 10, 6 ≤ 6 ▪ > ist größer als Z.B. 4 > 2 ▪ ≥ ist größer oder gleich Z.B. 4 > 2, 4 ≥ 4 ▪ Das Zeichen ∧ steht für das Bindewort „und“. ▪ Das Zeichen ∨ steht für das Bindewort „oder“. Beispiele: ▪ Gegeben sind die Mengen 𝑋 = {5,7, 8, 11}, 𝑌 = {3, 6, 7, 8, 10} Ist 5 Ein Element von 𝑋 ? ja, 5 ∈ 𝑋. Ist 20 Ein Element von 𝑌 ? nein, 20 ∉ 𝑌. Ist 8 Ein Element von 𝑋 , 𝑌 ? ja, 8 ∈ 𝑋 ∧ 8 ∈ 𝑌. Ist 8 Ein Element von 𝑋 , 𝑌 ? ja, 8 ∈ 𝑋 ∧ 8 ∈ 𝑌. Ist 10 Ein Element von 𝑋 , 𝑌 ? nein, 10 ∉ 𝑋 aber 10 ∈ 𝑌 Ist 30 Ein Element von 𝑋 , 𝑌 ? nein, 30 ∉ 𝑋 ∧ 30 ∈ 𝑌 ▪ Gegeben sind die Mengen 𝑋 = {1, 2, 4, 8}, 𝑌 = {1, 2, 4, 8, 10}, 𝑍 = {2, 4, 1, 8} Entscheide mit Begründung, ob die angegebene Beziehung gilt: 𝑎) 𝑋 ⊂ 𝑌 𝑏) 𝑋 = 𝑍 𝑎) 𝑋 ⊂ 𝑌 gilt, weil jedes Element von 𝑋 auch Element von 𝑌 ist. 𝑏) 𝑋 = 𝑍 gilt, weil jedes Element von 𝑋 auch Element von 𝑍 ist und jedes Element von 𝑍 auch Element von 𝑋 ist. 2 Verknüpfung von Mengen 2.1 Durchschnittsmenge (Durchschnitt) Die Durchschnittsmenge (Schnittmenge) von 𝐴 und 𝐵 (𝐴 ∩ 𝐵) ist die Menge aller Elemente, die in 𝐴 und zugleich in 𝐵 enthalten sind. Man liest: „𝐴 geschnitten 𝐵“ 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 } Merken Sie! Sei 𝐴 und 𝐵 zwei Mengen und 𝐴 ⊂ 𝐵 dann gilt 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 Beispiele: Gegeben sind die Mengen: 𝑋 = {1, 2, 4, 8}, 𝑌 = {1, 2, 4, 8, 10}, 𝑍 = {12, 40 , 11} 𝑋 ∩ 𝑌 = {1, 2, 4, 8 } = 𝑋 𝑋∩ 𝑍 = { } 2.2 Vereinigungsmenge Die Vereinigungsmenge von 𝐴 und 𝐵 (𝐴 ∪ 𝐵) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind. Man liest: „A vereinigt B“. 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} Merken Sie! Sei 𝐴 und 𝐵 zwei Mengen und 𝐴 ⊂ 𝐵 dann gilt 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 Beispiele: Gegeben sind die Mengen: 𝑋 = {1, 2, 4, 8}, 𝑌 = {1, 2, 4, 8, 10} 𝑋 ∪ 𝑌 = {1, 2, 4, 8 , 12 } = 𝑌 2.3 Differenzmenge Die Differenzmenge 𝐴\𝐵 (gesprochen: 𝐴 ohne 𝐵) ist die Menge aller Elemente, die in A und nicht in B enthalten sind. 𝐴\𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} Merken Sie! Sei 𝐴 und 𝐵 zwei Mengen und 𝐴 ⊆ 𝐵 dann gilt 𝐴 \ 𝐵 = { } Beispiele: Gegeben sind die Mengen: 𝑋 = {1, 2, 4, 8}, 𝑌 = {1, 2, 4, 8, 10} 𝑋 \ 𝑌={ } , 𝑌 \ 𝑋 = {10} 3 Positive und negative Zahlen 3.1 Die natürlichen Zahlen Die Menge der natürlichen Zahlen kürzt man ab mit dem Zeichen ℕ: ℕ = {0, 1 ,2 , … … … } ℕ𝑢 = { 1 , 3 ,5 , 7, … … … } Menge der ungeraden natürlichen Zahlen. ℕ𝑔 = { 0 , 2 ,4 , 6, … … … } Menge der geraden natürlichen Zahlen. Man kann die natürlichen Zahlen mit der Null am Zahlenstrahl veranschaulichen. Jede natürliche Zahl (n) {ausgenommen der Zahl null (0)} hat: Einen Vorgänger: n- 1 Einen Nachfolger: n+ 1 Zum Beispiel: Der Vorgänger der Zahl (7) ist (6) und der Nachfolger der Zahl (7) ist (8). 3.1.1 Grundrechnungsarten in den natürlichen Zahlen 3.1.1.1 Rechenarten 1. Stufe Addition (addieren): Summand + Summand = Summe Z.B. 7 + 8 = 15 Subtraktion (subtrahieren): Minuend – Subtrahend = Differenz. Z.B. 20 – 12 = 8 3.1.1.2 Rechenarten 2. Stufe Multiplikation (multiplizieren): Faktor * Faktor = Produkt Z.B. 6 * 7 = 42 (a * b) * c = a * (b *c) Division (dividieren): Dividend : Divisor = Quotient Z.B. 35 : 7 =5 3.2 Die ganzen Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen enthält alle natürlichen Zahlen, die Null und alle negativen Gegenzahlen der natürlichen Zahlen. Für ganze Zahlen verwendet man den Buchstaben ℤ. Die Zahlenmenge kann folgendermaßen beschrieben werden: ℤ = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … } Man kann die ganzen Zahlen an der Zahlengeraden veranschaulichen. Der Betrag einer ganzen Zahl ist die Länge des Pfeils von null zu der Zahl. a wenn a > 0 ist ‫׀‬a‫=׀‬ Z.B. ‫׀‬-8‫ =׀‬8 und ‫׀‬8‫=׀‬8 - a wenn a < 0 ist Ganze Zahlen kann man der Größe nach ordnen 3.2.1 Grundrechnungsarten in den ganzen Zahlen Addition (addieren): Die erste Regel ist: Wenn die Zeichen gleich sind, macht man das gleiche Zeichen im Ergebnis und addiert die beiden Zahlen. Die zweite Regel ist: sind die Zeichen unterschiedlich so nehme ich das Zeichen von großen Zahl im absoluten Wert und subtrahiere die Kleine von der Großen. Merke + (-) = -, + (+) = +, - (-) = +, - (+)= - Beispiele: 1) (+4) + (+8) = + 12 oder + 4 + (+8) = +12 oder 4 + 8 = 12 2) (-8) +( -12) = - 20 oder - 8 + (-12) = -20 oder - 8 - 12 = -12 3) (+4) + (- 8) = - 4 oder + 4 + (- 8) = - 4 oder 4-8=-4 4) (-8) +( +12) = + 4 oder - 8 + (+12) = + 4 oder - 8 + 12 = + 4 5) – 4 + 4 = 0 Subtraktion (subtrahieren): Subtrahieren einer ganzen Zahl bedeutet: Addieren der Gegenzahl! Beispiele: (+7) – (+ 11) = (+ 7) +(- 11) = + 7 – 11 = - 4 (+20) – (+ 8) = (+ 20) + (- 8) = +20 -8 = + 12 (- 42) – (- 22) = (- 42) +(+ 22) = -42 + 22 = - 20 (- 33) – (+ 77) = (- 33) +(- 77) = - 33 – 77 = - 110 Multiplikation (multiplizieren): Haben beide Faktoren dasselbe Vorzeichen, dann ist das Produkt positiv. Haben beide Faktoren verschiedene Vorzeichen, dann ist das Produkt negativ. Kurzform: (+). (+) = (+) (-). (-) = (+) (+). (-) = (-) (-). (+) = (-) Beispiele: a) (+7). (+ 11) = + 77 b) (-7). (- 5) = + 35 c) (- 20). (+ 8) = - 160 Division (dividieren): Der Quotient zweier Zahlen (≠ 0 ) mit gleichen Vorzeichen ist eine positive Zahl. (+a) : (+b) = +(a : b) Plus durch plus gibt plus. (- a) : (- b) = +( a : b) Minus durch minus gibt plus. Der Quotient zweier Zahlen (≠ 0 ) mit verschiedenen Vorzeichen ist eine negative Zahl. (+ a) : (- b ) = - ( a : b) Plus durch minus gibt minus. (- a) : (+ b) = - ( a : b) Minus durch plus gibt minus. Es gilt auch bei den ganzen Zahlen: Durch die Zahl Null kann man nicht dividieren Beispiele: a) (+44) : (+ 11) = + 4 b) (-70) : (- 10) = + 7 c) (- 32) : (+ 8) = - 4 d) (+21) : (- 3) = - 7 4 Rechenregeln und Klammersetzung 4.1 Vorrangregel, Klammerregel Die Rechnungsarten zweiter stufe (Multiplikation, Division) haben Vorrang vor den Rechnungsarten erster Stufe (Addition, Subtraktion). Kurzsprechweise: „Punktrechnung vor Strichrechnung“. Treten in einer Rechnung Rechnungsarten erste und zweier Stufe sowie Klammern auf, so gilt: 1) Zuerst sind die Rechnungen in den Klammern auszuführen. 2) Innerhalb und außerhalb der Klammern sind die Rechnungsarten zweier Stufe vor den Rechnungsarten erster Stufe auszuführen. Beispiel: (-3). (-5) – (+ 6). (- 9) + (- 37) – (+ 8) = +15 – (- 54) – 37 – 8 = 15 + 54 – 45 = 24 4.2 Kommutativgesetz - Vertauschungsgesetz a+b=b+a Man darf die Summanden vertauschen. a*b=b*a Man darf die Faktoren vertauschen Beispiele: 5 + 18 = 23 ⇒ 5+18=18+5 = 23 18 + 5 = 23 5 * 8 = 40 ⇒ 5 * 8 = 8 * 5 = 40 8 * 5 = 40 4.3 Assoziativgesetz - Verbindungsgesetz (a + b) + c = a + (b +c) Man darf bei mehreren Additionen hintereinander die Klammern beliebig setzen. (a * b) * c = a * (b *c) Man darf bei mehreren Multiplikationen hintereinander die Klammern beliebig setzen. Beispiele: (5+3) + 2= 8 + 2 = 10 ⇒ (5+3) + 2=5+(3+2) = 10 5+(3+2) = 5 + 5 = 10 (5*3) * 2= 15 * 2 = 30 ⇒ (5 ∗ 3) ∗ 2 = 5 ∗ (3 ∗ 2) = 30 5*(3*2) = 5 * 6 = 30 4.4 Distributivgesetz – Verteilungsgesetz Das Distributivgesetz besagt, dass die Multiplikation über Addition und Subtraktion 'verteilt' werden kann a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c a ⋅ (b - c) = a ⋅ b - a ⋅ c Beispiele: 8 ⋅ (3 + 2) = 8 ⋅ 3 + 8 ⋅ 2 8 ⋅ (3 - 2) = 8 ⋅ 3 - 8 ⋅ 2 5 Einheiten 5.1 Längenmaße umrechnen *1000 *10 *10 *10 Einheit Abkürzung Km m dm cm mm Kilometer Km : 1000 : 10 : 10 : 10 Meter m Dezimeter dm Beispiele: Zentimeter cm a) 8 km = 8 * 1000 = 8000 m , b) b) 42000 m = 42000 : 1000 = 42 km Millimeter mm c) 2 m = 2 * 10 = 20 dm = 20 * 10 = 200 cm = 200 * 10 = 2000 mm d) 90 dm = 90 : 10 = 9 m 5.2 Gewicht umrechnen Gewicht Abkürzung Tonne t *1000 *1000 *1000 Kilogramm kg t kg g mg Gramm g : 1000 : 1000 : 1000 Milligramm mg Beispiele: a) 1 t = 1000 kg b) 4 t = 4 * 1000 = 4000 kg c) 5 kg = 5 * 1000 000 = 5000 0000 mg d) 4000 mg = 4000 : 1000 = 4 g 5.3 Zeiteinheiten umrechnen Zeit Abkürzung *12 *30 * 24 * 60 * 60 Jahr y Monat m y m d h min s Tag d : 12 : 30 : 24 : 60 : 60 Stunde h Minute min Sekunde s Beispiele: a) 2 y = 2 * 12 = 24 m b) 120 d = 120 * 30 = 4 m c) 5 h = 5 * 60*60 = 18000 s d) 24000 s = 24000 : 60 = 400 m