Guía de Estudio y Problemas de Dibujo 1 (Universidad Nacional Experimental del Táchira) PDF

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TACHIRA GUIA DE ESTUDIO Y PROBLEMAS Arq. Yettys A. Escalante Ing. Marcey García...

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TACHIRA GUIA DE ESTUDIO Y PROBLEMAS Arq. Yettys A. Escalante Ing. Marcey García Ing. Belkys Amador Ing. Jesús Reina San Cristóbal, Septiembre de 2.006  2 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 INTRODUCCIÓN El propósito fundamental de la materia de Dibujo es que los estudiantes de las ingenierías: Mecánica, Industrial, Electrónica, Producción Animal y Ambiental estén en la capacidad de visualizar y dibujar objetos en el espacio y en dos dimensiones, y a la vez comprender que el dibujo es un lenguaje gráfico empleado universalmente con un alto grado de aplicación. OBJETIVOS GENERALES Reconocer la importancia del dibujo como lenguaje gráfico y aplicar líneas, rótulos y las escalas empleadas en el dibujo. Visualizar y representar los objetos en el espacio y en dos dimensiones. Interpretar y dibujar las vistas de los sólidos en los sistemas de representación, así como el levantamiento de sólidos y cortes isométricos. Identificar e interpretar los diferentes planos que conforman un proyecto de construcción. OBJETIVOS TERMINALES Unidad I. Fundamentos del Dibujo: Al finalizar esta unidad el estudiante podrá comprender la importancia del dibujo como lenguaje gráfico universal, así como la utilización de los instrumentos y la aplicación en ingeniería. Unidad II. Geometría Descriptiva: Al finalizar esta unidad, el estudiante podrá visualizar los objetos en el espacio y representarlos gráficamente en dos dimensiones. Unidad III. Escalas, Acotamiento y representación de Sólidos: Al finalizar esta unidad, el estudiante estará en capacidad de interpretar, realizar y acotar vistas y cortes de sólidos en diferentes escalas, según los sistemas de representación normalizados, así como el levantamiento y corte isométrico de los sólidos. Unidad IV. Lectura e interpretación de planos: Al finalizar esta unidad, el estudiante podrá identificar e interpretar los diferentes planos que conforman un proyecto de construcción de una edificación.  3 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 ÚTILES DE DIBUJO Escuadras de tamaño mediano de 60º y 45º Borrador de buena calidad Escalímetro: ESC: 1/20; 1/50; 1/75; 1/25; 1/100; 1/125 Lápices: 2H y HB o Portamira con mina HB Transportador Tirro Papel Bond, tipo oficio, Base 20 Compás de precisión (con punta HB) Regla T Plantilla metálica para borrar Paño o escobilla para limpiar  4 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 UNIDAD I. FUNDAMENTOS DEL DIBUJO DIBUJO TÉCNICO Definición El Dibujo Técnico es la representación gráfica de un objeto o una idea práctica. Esta representación se guía por normas fijas y preestablecidas para poder describir de forma exacta y clara, dimensiones, formas, características y la construcción de lo que se quiere reproducir. Para realizar el Dibujo Técnico se requiere de instrumentos de precisión. Cuando no utilizamos estos instrumentos se llama dibujo a mano alzada o croquis. Utilización Es utilizado como un medio de expresión en la industria para la realización de planos tales como: construcción de estructuras mecánicas, instalación de tuberías, redes eléctricas, entre otras. También se utiliza como base en la Arquitectura y la Geología para la representación de planos de terrenos y edificaciones. Cumple afanes constructivos, tiene un fin práctico y se somete a normas establecidas. Características ¾ Específico utilitario: El dibujo abarca muchas formas de representación gráficas de carácter objetivo, simbólico y abstracto; todos orientados a cumplir una función específica. Tal característica lleva al Dibujo Técnico a satisfacer siempre un propósito de tipo utilitario. ¾ Preciso: Uno de los requerimientos de la industria es la precisión, un dibujo que no sea preciso puede ser completamente inútil o conducir a errores costosos. ¾ Técnico – Nítido: un dibujo debe ser ejecutado con la técnica apropiada o con destreza. Debe ser nítido, lo cual se logra observando el manejo y la distribución ordenada de los instrumentos. Cualidades ¾ Lenguaje Universal: puede ser interpretado fácilmente, independientemente del idioma hablado con algunas limitaciones dadas por las normas internacionales del Dibujo. ¾ Representado: el dibujo permite representar objetos e incorporar un gran número de ideas simbólicas y abstractas.  5 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 ¾ Instantáneo: El dibujo es una forma de lenguaje directo, lo cual favorece la interpretación instantánea. Mediante el dibujo, el observador obtiene la información completa de lo que se pretende comunicar. ¾ Versátil: La versatilidad del dibujo reside en la facilidad de su utilización en cualquier campo. Solamente una forma de expresión tan versátil como el Dibujo permite utilizarlo no solamente como lenguaje, sino como herramienta esencial en cualquier campo del conocimiento humano. ¾ Exactitud. Elementos integrantes Los elementos integrantes del Dibujo son: Forma y Texto Los dibujos están formados por líneas que representan curvas, aristas y contornos de los objetos. Al conjunto de líneas que constituyen la figura se le denomina Forma; y al conjunto de letras y signos se les llama Texto. Estos dos elementos deben mantener siempre una interacción significativa, es decir, la forma debe representar lo que dice el texto y viceversa. HERRAMIENTAS DEL DIBUJO TÉCNICO Instrumentos utilizados ¾ Tablero de dibujo: Es un instrumento de dibujo sobre el que se fija el papel para realizar el dibujo. Por lo general se construye de madera o plástico liso y de bordes planos y rectos lo cual permite el desplazamiento de la regla T. ¾ La regla T: Recibe ese nombre por su semejanza con la letra T. Posee dos brazos perpendiculares entre sí. El brazo transversal es más corto. Se fabrican de madera o plástico. Se emplea para trazar líneas paralelas horizontales en forma rápida y precisa. También sirve como punto de apoyo a las escuadras y para alinear el formato y proceder a su fijación. ¾ La regla graduada: Es un instrumento para medir y trazar líneas rectas, su forma es rectangular, plana y tiene en sus bordes grabaciones de decímetros, centímetros y milímetros. Sus longitudes varían de acuerdo al uso y oscilan de 10 a 60 cm. Las más usuales son las de 30 cm. ¾ Las escuadras: Se emplean para medir y trazar líneas horizontales, verticales, inclinadas, y combinada con la regla T se trazan líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Pueden llevar graduados centímetros y milímetros.  6 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Las escuadras que se usan en Dibujo Técnico son dos: La de 45º que tiene forma de triángulo isósceles con ángulo de 90º y los otros dos de 45º. La escuadra de 60º llamada también cartabón que tiene forma de triángulo escaleno, cuyos ángulos miden 90º, 30º y 60º. ¾ El transportador: Es un instrumento utilizado para medir o transportar ángulos. Son hechos de plástico y hay de dos tipos: en forma de semicírculo dividido en 180º y en forma de círculo completo de 360º. ¾ El compás: Es un instrumento de precisión que se emplea para trazar arcos, circunferencias y transportar medidas. Clases de compás. Compás de pieza: es el compás normal al que se le pueden colocar los accesorios como el portaminas o lápiz. Compás de puntas secas: posee en ambos extremos puntas agudas de acero y sirve para tomar o trasladar medidas. Compás de bigotera: se caracteriza por mantener fijos los radios de abertura. La abertura de este compás se gradúa mediante un tornillo o eje roscado. Es utilizado para trazar circunferencias de pequeñas dimensiones y circunferencias de igual radio. Compás de bomba: se utiliza para trazar arcos o circunferencias muy pequeñas. Está formado por un brazo que sirve de eje vertical para que el portalápiz gire alrededor de él. ¾ Plantillas para curvas irregulares: Se utilizan para trazar aquellas líneas con radios de curvaturas variables. ¾ Goma de borrar: Las gomas de borrar se emplean para hacer desaparecer trazos incorrectos, errores, manchas o trazos sobrantes. Por lo general son blandas, flexibles y de tonos claros para evitar manchas en el papel. Para eliminar del papel las partículas de grafito se usa una goma pulverizada dentro de una almohadilla llamada borrona. ¾ El tirro: El papel se fijará al tablero gracias a la cinta adhesiva o tirro, la cual, si es de buena calidad no dejará huella ni en el papel ni en el tablero.  7 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 ¾ Escalímetro: Se utiliza para medir y no para trazar líneas, este instrumento trae diferentes escalas, para aplicar en un dibujo o medir en un plano ya hecho. Los escalímetros presentan distintas graduaciones exactas las cuales son 1:100, 1:75, 1:50, 1:25, 1:125 y 1:20. ¾ Lápices: Son elementos esenciales para la escritura y el dibujo. Están formados por una mina de grafito y una envoltura de madera. Pueden ser de sección redonda o hexagonal. Grados de dureza de la mina. La mina de los lápices posee varios grados desde el más duro hasta el más blando. Con los de mina dura se trazan líneas finas de color gris y las más blandas líneas gruesas y de color negro. Están clasificados por letras y números. La H viene de la palabra “Hard” que significa duro, la F significa firme y la B de “Black” que significa negro. Características Abrev. Uso Muy blando y negro 4B Demasiado Muy blando y muy 3B Blando negro Blando y muy negro 2B Croquis Blando y negro B Rotulación Semi blando y negro HB Semi blando F Duro H Para delinear Más duro 2H Muy duro 3H Notablemente duro 5H Para trazados Muy duro 6H Dureza de Piedra 7H Demasiado Duro ¾ Papel La hoja de papel es una lámina delgada consistente en fibras de celulosa reducidas a pasta por procedimientos químicos y mecánicos, y obtenidas de trapos, madera, esparto (planta gramínea), etc. Se usa para escribir, dibujar, imprimir, etc. Tipos Principalmente para el dibujo se distinguen dos tipos de papel:  8 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Papel Opaco: Su color varía desde el blanco hasta el amarillento y es ligeramente brillante. Papel Traslúcido o Vegetal: Esta clase de papel es notablemente transparente y de tono blanco azulado. Tiene la característica de permitir el paso de la luz a través de él, lo que facilita ver con claridad cualquier dibujo que esté debajo del mismo. Además, es el adecuado para trabajar con tinta china, la cual se puede borrar, si es necesario, con bastante facilidad sin que se deteriore el papel. ALFABETO DE LAS LÍNEAS Línea Designación Aplicaciones generales Trazo continuo grueso Contornos de figuras (HB) Bordes de formato y cajetín Líneas de acotamiento Trazo continuo fino (2H) Rayado de parte cortada Nueva posición de una pieza A mano alzada (HB) Línea de rotura y cortes Plano de corte A trazos (HB) Líneas ocultas Ejes de simetría A trazos y puntos (2H) Centros de circunferencia NORMALIZACIÓN Es el trabajo de sistematizar el Dibujo Técnico de acuerdo a determinadas convenciones o normas. La normalización del Dibujo Técnico, la aplicación de reglas bien definidas y claras tanto para el dibujo como para su fabricación lo convierten en un lenguaje preciso. La aplicación de estas reglas, o normas o convenciones permiten una fácil comunicación de las ideas del proyectista. En cada país un organismo Oficial es el encargado de promulgar sus propias Normas. Normas más conocidas ¾ ISO (International Organization for Standardization): Fue fundada en 1947 con sede en Ginebra, y dependiente de la ONU.  9 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 A esta organización se han ido adhiriendo los diferentes organismos nacionales dedicados a la Normalización. En la actualidad son 140 los países adheridos, sin distinción de situación geográfica, razas, sistemas de gobierno, etc. El trabajo de ISO abarca todos los campos de la normalización, a excepción de la ingeniería eléctrica y electrónica que es responsabilidad del CEI (Comité Electrotécnico Internacional). ¾ DIN (Comité de Normas Alemanas): Fue fundada en 1917, constituyéndose el primer organismo dedicado a la normalización. La educación y formación de todo lo referente a normalización en cuanto a Dibujo Técnico se refiere ha sido realizado por la Comisión de Normas Alemanas (DIN). Sus resultados se expresan en las hojas de Normas, que llevan como distintivo de la marca DIN. ¾ ANSI (American National Standards Institute): Nace 1918, originalmente fundado como el American Engineering Standards Comité (AESC) para servir como coordinador (en EE.UU.) en el proceso del desarrollo de normas así como para ser una organización imparcial en la aprobación de normas americanas. ¾ ASME (American Society of Mechanical Engineers): Fundada en 1880 ASME es una organización profesional con 120000 miembros centrada en las aplicaciones técnicas, educativas y de la investigación en la comunidad de la ingeniería y de la tecnología. ASME conduce una de las operaciones que publican normas técnicas más grandes del mundo, ASME fija los códigos y los estándares industriales y de la fabricación internacionalmente reconocidos que realzan seguridad pública. ¾ COVENIN (Comisión venezolana de Normas Industriales): Es un organismo creado en el año 1958, cuya misión es planificar, coordinar y llevar adelante las actividades de Normalización y Certificación de Calidad en el país, al mismo tiempo que sirve al Estado Venezolano y al Ministerio de Producción y Comercio en particular, como órgano asesor en estas materias. FORMATOS Se llama formato a la hoja de papel en que se realiza un dibujo, cuya forma y dimensiones en mm están normalizadas  10 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Tipo de Formato Tamaño de Papel Margen (mm) Formatos de la serie 4A0 1682 x 2378 20 DIN A 2A0 1189 x 1682 15 A0 841 x 1189 10 A 1* 594 x 841 10 A2 420 x 594 10 A3 297 x 420 10 * Formato para trabajos A 4** 210 x 297 5 industriales. ** Formato indicado para A5 148 x 210 5 trabajos escolares. A6 105 x 148 5 La norma establece la forma de plegar los planos. Este se hará en zig-zag, tanto en sentido vertical como horizontal, hasta dejarlo reducido a las dimensiones de archivado. También se indica en esta norma que el cuadro de rotulación, siempre debe quedar en la parte anterior y a la vista.  11 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 CAJETINES Se debe colocar dentro de la zona de dibujo, y en la parte inferior derecha, siendo su dirección de lectura, la misma que el dibujo. La finalidad del Cajetín es indicar por medio de títulos o letreros, la identificación general de la lámina y otras informaciones importantes y datos complementarios del Dibujo. ROTULADO Es el arte de escribir letras, palabras, números y signos sobre un plano, dibujos o gráficos siguiendo ciertas normas como son: el tipo de letra y número, relación entre las letras minúsculas y mayúsculas, separación entre línea y línea. La Rotulación se puede hacer a mano o con instrumentos especialmente diseñados como la plantilla, las letras transferibles y otros. Los Dibujos Técnicos requieren y necesitan la rotulación para aclarar lo que el dibujo solo no puede expresar. La presentación de la rotulación debe ser de esmerada claridad y pulcritud. Tipos de Rotulado según el grado de inclinación ¾ DIN 16: la letra está inclinada 75° con respecto a la horizontal. ¾ DIN 17: Es recta (vertical). Tipo de Rotulado según el instrumento con el cual se realice Rotulación a mano alzada (A utilizar en el curso de Dibujo) Rotulación con instrumentos Rotulación con Leroy Rotulación letraset Rotulación en computadora.  12 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 SISTEMAS DE MEDIDA Un sistema de medida está conformado por un conjunto de unidades estándar unificadas con objeto de garantizar la uniformidad y equivalencia en las mediciones, así como facilitar todas las actividades tecnológicas industriales y comerciales. En el Dibujo Técnico se utilizan dos sistemas de Medidas: Sistema Internacional (S.I.): toma sus unidades a partir del sistema métrico decimal. La unidad de medida para el Dibujo Técnico es el milímetro (mm). ISO, DIN y COVENIN rigen sus normas bajo este sistema. Sistema Inglés (ó Sistema Imperial): toma como unidad de medida para el Dibujo Técnico la pulgada (plg). ASME y ANSI rigen sus normas bajo este sistema. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS TRIÁNGULOS Es todo polígono de 3 lados. Clasificación según sus lados ¾ Equilátero: tiene sus tres lados iguales ¾ Isósceles: tiene dos lados iguales ¾ Escaleno: no tiene lados iguales. Clasificación según sus ángulos. ¾ Rectángulo: tiene un ángulo recto (90°) ¾ Acutángulo: tiene 3 ángulos agudos (ángulos < 90°) ¾ Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso (ángulo > 90°) Construcción de un triángulo equilátero dado un lado ¾ Sea AB el lado dado con abertura AB, se hace centro con el compás en A y posteriormente en B para trazar los dos arcos que al cortarse nos dará el punto C. Al unir C con A y B se obtiene el triángulo pedido.  13 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 CUADRADO Es un polígono con 4 lados iguales y con ángulos de 90° Construcción de un cuadrado dado un lado ¾ Sea L el lado dado, se traza un segmento AB igual al lado y por el extremo A se levanta una perpendicular. ¾ Con la abertura AB y centro en A, se traza un arco para obtener el punto E. ¾ Haciendo centro en B y E, se trazan los arcos que determinan F. ¾ Se unen EF y BF PENTÁGONO Dada la circunferencia construir un Pentágono ¾ Se traza el diámetro AB y radio CO perpendicular. ¾ Se hace centro en B con radio OB se determina un O arco y se determina M. ¾ Haciendo centro en M con abertura MC se traza el arco CD distancia igual a la quinta parte. Dado el lado, construir el pentágono ¾ Prolónguese el lado dado AB por el extremo B ¾ Con abertura AB se hace centro en A y B, sucesivamente, para trazar dos arcos indefinidos. ¾ A partir de B, se levanta una perpendicular hasta obtener el punto C en su intersección con uno de los arcos. ¾ Se busca la mediatriz M de la recta AB y haciendo centro en ese punto, se traza el arco CD con abertura MC. ¾ Haciendo centro en A, con abertura AD, se corta el primer arco en el punto E y haciendo centro en B, se corta el segundo arco en el punto G. ¾ Siempre con la misma abertura AD, se hace centro en A y B, para describir el arco cuyo corte se verifica en el punto F.  14 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Otra solución del problema anterior ¾ Sea el lado dado. ¾ Se le busca el punto medio M y por el se baja una perpendicular sobre la cual se lleva por tres veces consecutivas la mitad de AB, obteniendo el punto 1, 2, y 3. ¾ Desde ese ultimo, se trazan dos rectas que pasen por A y B Respectivamente. ¾ Con abertura AB, se hace centro en A y se corta sobre la prolongación de la recta 3ª el punto C. ¾ El mismo procedimiento se lleva a cabo en el extremo B, para obtener el punto D. ¾ Manteniendo la abertura AB, se hace centro en C y D para determinar el punto E, quinto vértice del pentágono. HEXÁGONO Dado el lado, construir el Hexágono ¾ Haciendo centro en los extremos A y B del lado dado con esa misma abertura (AB), se describen los dos arcos cuya intersección señala el punto O, centro de la circunferencia. ¾ Con centro en O y abertura OA, se describe la circunferencia sobre la cual se lleva la distancia AB por seis veces consecutivas. HEPTÁGONO A Dada la circunferencia, construir un Heptágono ¾ Se traza el radio OA y haciendo centro en A, se toma C B la abertura AO para describir el arco CB. ¾ Se unen mediante una recta los puntos C y B, siendo una de las mitades, CM o MB, igual a un séptimo de la circunferencia, luego se lleva la distancia CM siete veces.  15 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Dado el lado, construir el Heptágono ¾ Se prolonga el lado AB, por un de sus extremos (B) duplicando (AC). ¾ Haciendo centro en A Y C, con abertura AC, se describen dos arcos para obtener en su corte el punto D. ¾ Se Une D con A y D con B. ¾ Se busca la bisectriz al ángulo de vértice A; esta, al encontrarse con la recta DB, determina el punto O, centro de la circunferencia que contiene AB siete veces a partir de D. Otro Procedimiento: L r= +L Donde, L= lado y r = radio 7 OCTÁGONO Dado el lado, construir el Octágono ¾ Al lado dado, AB, se le levanta una perpendicular por el punto M, donde se hará centro para trazar una semicircunferencia con abertura MA. ¾ Esta semicircunferencia determina sobre la perpendicular el punto C, centro de un segundo arco de radio CA, que nos proporcionará sobre la perpendicular el punto O. ¾ Con centro en O y radio OA, se traza una circunferencia sobre la cual se lleva la recta AB ocho veces.  16 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Dada la circunferencia, construir el octágono ¾ Se trazan dos diámetros perpendiculares entre sí, que determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A, B, C y D. ¾ Se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos de 90º, formados por los diámetros trazados anteriormente. ¾ Las intersecciones de las bisectrices con la circunferencia dará origen a los puntos E, F, G y H. ¾ Al unir los 8 puntos obtenidos se obtendrá el octágono Construcción de Ovalo dado el eje mayor ¾ Se divide el eje mayor en cuatro partes. ¾ Con radio 1, 3 se determina el punto C-C’ ¾ Con radio A – 1 se traza un circulo ¾ Se trazan rectas desde C y D’ con 1 y 3 Construcción de un ovalo dado los dos ejes ¾ Se traza la recta AC ¾ Se resta OB de CO a partir de O ¾ Luego la diferencia se lleva desde C sobre la recta AC ¾ Se determina E se saca el punto medio M y se le traza una perpendicular que corte al eje mayor en F y al menor. ¾ Con abertura OF y OG se hallan los puntos simétricos ¾ Luego se centran los radios. POLIEDROS Los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares. En los poliedros distinguimos las siguientes características: Caras: son los planos que lo limitan o que lo determinan. Hay caras basales y caras laterales. Aristas: son las líneas de intersección entre dos caras del poliedro. Vértices: puntos donde se cortan las aristas.  17 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Diagonal: son rectas que unen a dos vértices que no están situados en la misma cara. Hay otros elementos en los poliedros los cuales son: Poliedros regulares Son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales, y en cada uno de sus vértices convergen el mismo número de caras. Un poliedro regular tiene: ¾ Centro: es el punto del cual equidistan todos sus vértices y todas sus caras. ¾ Radio: es la distancia desde el centro del poliedro hasta los vértices del mismo. ¾ Apotema: es la distancia que hay desde el centro del poliedro hasta el centro de las caras. Los únicos poliedros regulares son: ¾ El TETRAEDRO: Formado por tres triángulos equiláteros. Está formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices ¾ El CUBO o HEXAEDRO: Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. ¾ El OCTAEDRO: Formado por ocho triángulos equiláteros. Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.  18 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 ¾ El DODECAEDRO: Formado por doce pentágonos regulares. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices. ¾ El ICOSAEDRO: Formado por veinte triángulos equiláteros. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices. Poliedros irregulares Un poliedro irregular está limitado por caras poliédricas, que pueden presentar diferentes formas. En este tipo de poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares. Los poliedros irregulares más comunes son los prismas, las pirámides, y todas sus variedades. Prismas Son poliedros que tienen dos caras denominadas bases, representadas por polígonos iguales y paralelos y otras caras laterales que varían en cantidad y que generalmente son paralelogramos. Según sus bases pueden ser: ¾ Regulares: si sus bases son polígonos regulares ¾ Irregulares: si sus bases no son polígonos regulares. Según sus aristas pueden ser: ¾ Recto: cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases (Fig. 1) ¾ Oblicuo: cuando sus aristas laterales no son perpendiculares a sus bases (Fig. 2)  19 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Pirámides Una pirámide es un poliedro limitado por un polígono (base de la pirámide) y por triángulos (caras de la pirámide).Son caracterizadas por tener sus caras triangulares unidas por un vértice común y su base formada por un polígono unida a las caras por cada uno de sus lados, así pues, si la pirámide tiene de base un triángulo se llamará triangular, un cuadrado, cuadrangular, etc. Clasificación de las pirámides ¾ Pirámide Regular: es aquella que representa en su base un polígono regular, su centro coincide con la recta de la altura y sus aristas son todas iguales. ¾ Pirámide irregular: es aquella que tiene alguna de sus aristas diferentes por lo cual el vértice no coincide con el centro de la base, aunque esta sea un polígono regular.  20 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 INSTRUCCIONES PARA ELABORAR UNA LÁMINA 1. En un formato A4, trazar el margen y el cajetín según las indicaciones dadas en la figura del instructivo No. 1 2. Planifique la lámina de manera tal que represente una buena distribución del espacio disponible para dibujar 3. El conocimiento de líneas y rotulación es imprescindible en la elaboración y representación de la lámina siguiendo las normas vigentes establecidas. 4. Utilizar correctamente los útiles de dibujo. 5. La lámina debe presentar: calidad en el trazado de las líneas, buena rotulación y excelente limpieza. Instructivo No. 1 TOPICO Alfabeto de líneas y rotulación OBJETIVO Introducción al conocimiento correcto del alfabeto de las líneas y la rotulación para su aplicación en el presente curso. ACTIVIDAD En dos formatos A4 represente las líneas tal como se ve en el ejercicio No. 1 (uno con instrumentos y otro a mano alzada) y en otro formato A4, realice el ejercicio No. 2 de rotulación. INSTRUCCIONES Trace el margen y el cajetín según las indicaciones dadas. Planifique su lámina de tal manera que represente una buena distribución del espacio disponible para dibujar. Para el ejercicio No. 1 trazar las líneas con instrumentos con una separación de 5 mm intercalando los lápices 2H y HB y luego realice una segunda lámina a mano alzada. Para el ejercicio No. 2 rotular a mano alzada letras mayúsculas, trazando líneas guías con una separación de 6 mm y 4 mm, utilizando para rotular el espacio de 4 mm.  21 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Ejercicio No. 1 Ejercicio No. 2  22 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 UNIDAD II. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Geometría Descriptiva: Es la ciencia que estudia la representación exacta de los objetos. Objetivo: El objeto de la Geometría Descriptiva es como lo dice su nombre, describir los objetos que se encuentran en el espacio. Estos objetos son tridimensionales y la Geometría Descriptiva los representa sobre una superficie plana o sea en 2 dimensiones. El conocimiento de la Geometría Descriptiva es indispensable para poder representar correctamente los objetos gráficamente; al dibujar cualquier objeto tenemos que tener presente el sistema de proyecciones utilizado y cumplir con sus correspondientes propiedades. Los problemas de la Geometría Descriptiva pueden ser resueltos en dos formas distintas: numérica y gráficamente. Proyecciones: Es la representación de los objetos en un lugar donde no existe. Para representar un objeto sobre una superficie se usa el método de proyecciones. Método de Proyecciones Punto Recta Plano Elementos que intervienen en la proyección - Punto de observación: ojo, foco de luz. - Objeto observado. - La superficie de proyección: pantalla, plano. Tipos de Proyección 1- Proyección Cónica: tiene lugar cuando el punto de observación esta en el finito. Las proyecciones forman un cono.  23 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 2- Proyección Cilíndrica: Se origina cuando el punto de observación esta en el infinito, las proyecciones serán paralelas entre si y la proyección obtenida es un cilindro. Dentro de la proyección cilíndrica se tienen: a) Proyección oblicua b) Proyección ortogonal Cuando el ángulo entre el plano de Cuando los rayos de proyección proyección y el rayo de forman un ángulo recto proyección no es recto con el plano de proyecciones. Sistema de Proyecciones - Sistema Acotado. Ej. Planos topográficos - Sistema diédrico. Ej. Representación de objetos en plano vertical y horizontal - Sistema axonométrico. Ej. Visión volumétrica, detalles arquitectura e instalaciones. - Sistema cónico. Ej. Perspectiva de un objeto. Sistema Diédrico Es el procedimiento de proyectar un elemento sobre dos planos, llamado también de doble proyección ortogonal. El sistema diédrico refiere los problemas espaciales a dos planos perpendiculares entre si, plano horizontal y vertical, dividiendo el espacio en cuatro diedros formados por: - Plano de proyección horizontal - Plano de proyección vertical - Plano lateral.  24 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Cuadrantes (o diedros) Eje de coordenadas Plano único Representación de Punto, Coordenadas del Punto (Lámina de dibujo) Plano de canto Nomenclatura: Un punto en el espacio se identifica con letras mayúsculas A, B, C. Coordenadas del Punto: - I Cuadrante A (X, Y, Z) __Sistema Europeo - II Cuadrante B (X, -Y, Z) - III Cuadrante C (X, -Y, -Z)__Sistema Americano - IV Cuadrante D(X, Y, -Z) - Punto en la Línea de Tierra E (X,0, 0) - Plano vertical F (X, 0, ± Z) - Plano horizontal G (X, ± Y, 0)  25 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Ejercicios de Punto Representar cada punto en el eje de coordenadas de acuerdo a los cuadrantes. A (20, 35, 39) B (32, -21, 30) C (41, -36, - 43) D (55, 67, -74) E (66, 0,0) F (72, 0, 46) G (83, 49, 0)  26 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 REPRESENTACIÓN DE LA RECTA La Línea recta es infinita, pero queda definida por dos puntos que se toman sobre ella, luego para hallar sus proyecciones bastará con proyectar sus dos puntos extremos. La recta se identifica con letras minúsculas. Punto sobre una recta: Sí un punto esta sobre una línea recta, las proyecciones de este punto también están sobre las proyecciones de dicha línea recta. TIPOS DE RECTAS Recta Cualquiera: Recta que tiene una posición cualquiera en el espacio con respecto a los planos de proyección. b A (20, 35, 35) B (50, 60, 75) Recta Horizontal: Recta paralela al plano horizontal, tiene la misma cota, la proyección vertical es paralela a línea de tierra, la proyección horizontal forma ángulo β cualquiera con la línea de tierra y tiene verdadero tamaño. VT VT  27 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Recta Frontal: Recta paralela al plano vertical, tiene el mismo vuelo, la proyección vertical forma ángulo α cualquiera con la línea de tierra, tiene verdadero tamaño, su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra. VT VT Recta Vertical o de Pie: Recta perpendicular al plano horizontal, proyección vertical perpendicular a la línea de tierra y tiene su verdadero tamaño, la proyección horizontal es un punto. VT VT Recta de punta: recta perpendicular al plano vertical, proyección horizontal perpendicular a la línea de tierra y tiene su verdadero tamaño, la proyección vertical es un punto. VT VT Recta de perfil: recta paralela al plano lateral o de perfil, sus dos proyecciones son perpendiculares a la línea de tierra. VT  28 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Recta paralela a la línea de tierra: recta paralela a los dos planos de proyección y carece de trazas. Sus dos proyecciones son paralelas a la línea de tierra y están en su verdadero tamaño. VT VT VT VT Recta en Plano Vertical Recta en Plano Horizontal Verdadero Tamaño de la Recta El verdadero tamaño de la recta “VT” es la distancia real que existe entre sus dos puntos extremos. Siempre que una recta sea paralela a alguno de los planos de proyección, su proyección sobre ese plano tendrá su verdadero tamaño. El ángulo α que se opone a ∆z (diferencia de cota) es el ángulo de incidencia que forma la recta con el plano horizontal y β con el plano vertical.  29 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Trazas de la Recta Se denomina trazas de una recta a los puntos de intersección de la recta con los planos de proyección. Traza Horizontal “H”: Es el punto de intersección de la recta con el plano horizontal Traza Vertical “V”: Es el punto de intersección de la recta con el plano vertical. Las trazas son los puntos de paso de la recta de un cuadrante a otro. Una recta no tiene traza en el plano de proyección cuando es paralelo a ese plano. Cuadrantes que atraviesa una Recta Las trazas son los puntos de paso de la recta de un cuadrante a otro. Una recta puede atravesar como máximo tres cuadrantes.  30 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Posición Relativa de dos Rectas Dos rectas pueden tener tres posiciones relativas una con respecto a la otra. - Rectas Paralelas: Cuando en el espacio hay dos rectas paralelas sus proyecciones siempre son paralelas. - Rectas que se Cortan: Si dos rectas se cortan tienen un punto común, el punto de intersección. - Rectas que se Cruzan: Dos rectas que se cruzan no tienen ningún punto en común en el espacio y tampoco lo tendrán en sus proyecciones.  31 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Ejercicio a) A (30, -50,12) B (88, 22, -40) b) C (35, 28, 50) D (85, -28, -6) Dadas las rectas se pide: -Proyección de la recta -Nombre de la recta -Trazas de la recta -Cuadrantes que atraviesa la recta -Verdadero tamaño de la recta a) b)  32 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 EJERCICIOS DE PUNTO Y RECTA 1) Realizar la proyección de los siguientes puntos, visualícelos en el espacio y en planos abatidos e indique en que cuadrante se encuentran. a) A (20, 41,28) b) A (23, 45,30) B (35,-18,30) B (54 ,-70,26) C (42,-31,-41) C (90, 22,-38) D (54,52,-64) D (35, 34,-65) E (63, 0, 0) E (76, 0, 52) F (70, 0, 38) F (118, 54, 0) G (78, 43, 0) G (140, 0, 0) 2) Dadas las siguientes rectas se pide: a) Proyección de la recta b) Nombre de la recta c) Trazas de la recta d) Cuadrante que atraviesa la recta e) Verdadero tamaño de la recta a) A (40, 20, -30) b) E (30, -30, 50) c) H(20, -10, 40) B (85, 29, -5) F(30, -30, 10) I(70, 40 ,-48) d) J(20, 35, -20) e) C(29, -31,-11) f) M(18, 14, 11) K(20, 09, 0) D(84,-31, -43) N(73, 42, 27) g) O(37, -7, 22) h) Q(29, 21, 51) I) S(40, 36, -13) P(37, -35, 22) R(84, -31, -43) T(40, -13, -35) j) U(40, 30, -10) k) G(22, 40, 30) l) Ñ(14,-47,-16) V(40, -30,-35) H(65, 15, 30) O(72, -25, 39) m) P(18, -20,-17) n) C(16, -64, -25) ñ) H(19, 28, 60) S(86, 32, 28) E(86,10, 32) K(85, 50, -69)  33 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 PLANOS Un plano en el espacio queda determinado fundamentalmente por cinco condiciones geométricas. 1. Tres puntos: Que no están sobre una línea recta. 2. Dos rectas que se cortan 3. Dos rectas paralelas 4. Un punto y una recta 5. Por sus trazas Que en esencia son dos rectas que se cortan en la línea de tierra, siendo la traza vertical una recta contenida en plano vertical y la traza horizontal una recta situada en el plano horizontal.  34 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Recta en el plano dado Se da el plano ab y se quiere conocer la proyección vertical de la recta “c” sabiendo que esta en el plano. Punto en el plano dado Se conoce el plano ab y la proyección vertical del punto M. Determinar su proyección horizontal sabiendo que está en el plano. Se pasa una recta “c” por el punto M y se busca la proyección en el horizontal. Rectas Características del Plano Se denomina recta característica de un plano a una recta horizontal y frontal Recta Horizontal del Plano: Es la que estando contenida en el plano, es paralela al plano horizontal y paralela a la traza horizontal. Su proyección vertical es paralela a la línea de tierra. Su proyección horizontal es paralela a la traza horizontal. Las rectas horizontales que puedan tomarse en un plano son infinitas y solo tienen traza vertical.  35 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 α α Recta Frontal del Plano: Es la que estando contenida en el plano, es paralela al plano vertical y paralela a la traza vertical. Su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra y su proyección vertical, paralela a la traza vertical, solo tiene traza horizontal. α α Trazas del Plano Las trazas del plano son casos particulares de las rectas características del plano. Plano definido por las trazas α α α α 6 α α α  36 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Traza horizontal del plano: Es una recta horizontal del plano de altura 0, la proyección vertical está en la línea de tierra. La traza horizontal en el espacio representa la intersección del plano “ab” con el plano horizontal. Traza Vertical o frontal del plano: La traza vertical representa en el espacio la intersección del plano “ab” con el plano vertical. Es una recta frontal del plano de vuelo cero. β β β β Ejemplo Determinar la proyección desconocida del punto M en un plano dado por sus trazas h y f, conociendo la proyección horizontal del punto M o la proyección vertical del punto M. Recta horizontal M(X, Y, ¿) Recta frontal M(X, ¿, Z) β β β β Posiciones Principales de un Plano Para poder determinar la forma del plano con respecto a los planos de proyección es conveniente conocer sus rectas características o sus trazas. 1. Plano Cualquiera. Plano no perpendicular a ninguno de los planos de proyección, es un plano de posición general o de posición cualquiera.  37 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 2. Plano Perpendicular solo a uno de los planos de proyección a. Proyectante frontal - Plano de Canto o de Punta Es un plano perpendicular al plano vertical, con el plano horizontal forma un ángulo cualquiera, la traza horizontal es una recta de punta perpendicular a la línea de tierra. β β β β b) Proyectante Horizontal - Plano Vertical Es un plano perpendicular al plano horizontal, con el plano vertical forma un ángulo cualquiera. La traza vertical es una recta vertical perpendicular a la línea de tierra. α α α α c) Proyectante de perfil - Plano paralelo a la Línea de Tierra Plano perpendicular al plano lateral. Tiene sus trazas paralelas a la línea de tierra.  38 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 α α α α 3. Plano Perpendicular a dos Planos de Proyección a) Plano horizontal: Es paralelo al plano horizontal. La traza horizontal está en el infinito, los puntos del plano tienen cota constante. α α b) Plano Frontal. Plano paralelo al plano vertical de proyección. La traza vertical está en el infinito. α α  39 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 c) Plano de Perfil. Es un plano paralelo al plano lateral y también es perpendicular a la línea de tierra. Todas las rectas del plano son de perfil. α α α α Recta de Máxima Pendiente (mp) Es aquella que determina el mayor ángulo que forma dicho plano con el plano horizontal H. Es perpendicular a la traza horizontal del plano; por lo tanto su proyección horizontal también lo será. El triangulo rectángulo AV A h B h tiene por cateto la cota A y la proyección horizontal A h B h de la recta de máxima pendiente, siendo el ángulo α con vértice en B h el ángulo que forma el plano dado con el plano horizontal. La recta de máxima pendiente es perpendicular a todas las rectas horizontales del plano. Para obtener el ángulo α en verdadero tamaño se construye abatido el citado triangulo. α ∆ α α α ∆ α  40 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Recta de Máxima Inclinación (mi) Es la recta que determina el mayor ángulo que forma dicho plano con el plano vertical. El triangulo rectángulo C v Dv D h tiene por catetos el vuelo D y la proyección vertical CV DV de la recta de máxima inclinación, siendo el ángulo con vértice en CV, el ángulo β que forma el plano dado con el plano vertical. Es perpendicular a todas las rectas frontales del plano. Para obtener el ángulo β en verdadera amplitud en la representación se construye el abatimiento del triángulo. α ∆ α α β ∆ α  41 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 EJERCICIOS DE TRAZAS DEL PLANO Y VERDADEROS TAMAÑOS 1.- Dado el plano α por tres puntos ABC se pide: a) Proyección del plano b) Trazas del plano c) Verdadero tamaño de la recta AB en la proyección vertical d) Nombre de la recta AB A (45, 15, 27) B (98, 25, 72) C (66, 61, 12) 2.- Dado el plano β por rectas que se cortan a y b se pide: a) Proyección del plano b) Trazas del plano c) Verdadero tamaño de la recta b en la proyección horizontal e) Nombre de la recta b a D (14, 88, 13) E (64, 7, 51) b F (3, 44, 61) G (97, 32, 5) 3.- Dado el plano δ por rectas paralelas c y d se pide: a) Proyección del plano b) Trazas del plano c) Verdadero tamaño de la recta c en la proyección vertical d) Nombre de la recta c c I (32, 7, 25) L (126, 49, 86) d J (70, 38, 25 ) K (165, 82, 86) 4.- Dado el plano α por una recta a y un punto O se pide: a) Proyección del plano b) Trazas del plano c) Verdadero tamaño de la recta a en la proyección horizontal d) Nombre de la recta a A N (63, - 6, - 44) O (6, -78, -13) M (28, 21, 63)  42 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 EJERCICIOS DE MÁXIMA PENDIENTE Y MÁXIMA INCLINACIÓN 1- Dado el plano α por su recta de máxima pendiente se pide: a- Hallar las trazas del plano b- Hallar un triangulo equilátero ABC perteneciente a α, donde AB está situado en la recta de máxima pendiente, el punto B está más lejos del observador con un alejamiento de 00 mm, el lado AB mide 46mm. mp R (45, 50, 00) P (120, 00, 75) 2- Dado el plano α por su recta de máxima inclinación se pide: a- Hallar las trazas del plano b- Hallar un triangulo equilátero ABC perteneciente a α, donde AB, está situado en la recta de máxima inclinación, el punto B está más cerca del observador, con un alejamiento de 47 mm, el lado AB, mide 50mm. mi M (69, 00, 67) N (137, 47, 00) 3- Dada la recta de máxima inclinación del plano β se pide: a- Hallar las trazas del plano β b- Construir un cuadrado de 56mm de lado sabiendo que el centro del mismo esta en el punto O y una diagonal es una horizontal. mi O (76, 34, 30) F (97, 65, 50) 4- Dada la recta de máxima inclinación del plano β se pide: a- Hallar las trazas del plano β b- Construir un cuadrado de 50mm de lado sabiendo que el centro del mismo esta en el punto O y un diagonal es una horizontal, represéntelo con su visibilidad. mi O (96, 26, 21) M (107, 09, 35) 5- Dado el plano α por la recta de máxima pendiente se pide: a- Hallar las trazas del plano α b- Las proyecciones de un triangulo equilátero 64mm de lado, sabiendo que el punto O es el centro del triangulo y el vértice que tiene menor vuelo se encuentra sobre una horizontal, la base AB se encuentra paralela a la recta de máxima pendiente. mp O (90, 41, 28) R(125, 6, 74)  43 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 6- Construir un pentágono con centro en el punto “O” y vértice en el punto A; dicho pentágono está ubicado en el plano α, el cual está dado por la recta de máxima pendiente. mp A (70, 45, 18) O (95, 28, 47) 7- Construir un hexágono con 30 mm de radio, cuyo lado es paralelo a la traza horizontal. El centro de la figura se encuentra en el punto “O”. mp O(110, 47, 49) E( 81, 62, 12) 8- Dado α por la recta de máxima inclinación, determinar las proyecciones de un hexágono sabiendo que sus lados son de 30 mm, con centro en M, y una diagonal es una frontal. mi M (106, 45, 35) R (81, 62, 12) 9- Representar las proyecciones de un heptágono contenido en un plano dado por su recta de máxima pendiente, si se conoce que O es el centro y el vértice se encuentra sobre la recta mp y sobre el plano vertical de proyección. mp O (96, 25, 40) P (105, 0, 80) 10- Determinar las proyecciones de un heptágono con centro en el punto O y sobre la recta mp y un vértice sobre la recta mp y de altura cero. mp (120,15, 78) O(90, ?, ?) (80, 60, 10) 11- Representar las proyecciones de un hexágono contenido en el plano, si se conoce que A y B son vértices diametralmente opuestos. mi A (60, 60, 15) B (100, 20, 40) 12- Dada la recta mi se pide: construir una estrella de base heptagonal con centro en el punto “o”, vértice en el plano vertical y sobre la recta de máxima inclinación. Determinar las trazas del plano. mi O (90, 24, 42) P (126, 52, 17)  44 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 13- Dado el plano α por los puntos R, S y O se pide: a- Determinar las trazas del plano b- Determinar las proyecciones de un heptágono ubicado en este plano, si se conoce que el centro del mismo es el punto “O” y que uno de sus vértices se encuentra en el plano horizontal de proyección y sobre la recta de máxima pendiente. R (133, 35, 00) S (40, 00, 105) O (88, 38, 37)  45 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 INTERSECCIONES Intersección de dos planos Si dos planos tienen un punto común, tienen necesariamente una recta en común que pasa por ese punto; por consiguiente la recta es el elemento en común de dos planos que se interceptan y es suficiente conocer dos de sus puntos para definirla. Intersección de planos característicos Plano Horizontal α Plano horizontal α Plano paralelo a la línea de tierra. β Plano de canto β Proyectante Frontal β Plano Frontal β Plano Frontal α Plano Perfil α  46 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Proyectante Frontal α Proyectante Horizontal α Proyectante Horizontal β Plano paralelo a la línea de tierra β Máx. Trazas VT Cuadrantes Máx. Plano Plano Recta pendiente No. de la de la que Inclinación δ β Intersección de la recta recta atraviesa de la recta recta 1 // H // L.T. // L.T. No H, V I No No 2 // H P.P.F. 3 P.P.F. // V 4 // V // L 5 P.P.F. P.P.H. 6 P.P.H. // L.T. Intersección de dos Planos dados por las trazas La común intersección de dos planos es una recta, y como tal se necesitan dos puntos para determinarla. Cuando los planos se dan por las trazas, los puntos de intersección entre las trazas definirán la recta de intersección “i” entre los dos planos.  47 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Intersección de una recta con un plano Para determinar el punto de penetración, podemos suponer que detrás o delante de la recta C existe otra recta “t” que tiene la misma proyección vertical de la recta “c” (cv = tv ; recta tapada) y que está contenida en el plano “ab”. Luego se determinará la proyección horizontal th. Intersección de plano de canto con otro plano Se conoce el plano α de canto y otro plano ab. La recta de intersección del plano α con otro plano cualquiera debe estar en proyección vertical siempre sobre la recta fvα (por tratarse de plano de canto)  48 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Intersección de plano de canto con otro plano dado por las trazas Determinando la intersección de las trazas respectivas se obtiene los puntos 1, 2 y la recta de intersección. Intersección de dos Planos Teniendo dos planos α y β, la intersección de estos dos planos será una recta, a menos que los planos sean paralelos. Esta recta se define por dos puntos. La solución se determina por el método de la recta tapada.  49 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Visibilidad - Líneas de construcción se realizan con línea de trazo continuo fino - Líneas visibles se representan con línea de trazo continuo grueso - Línea invisible se representa con línea a trazos --------- Visibilidad en proyección horizontal Para determinar la visibilidad en proyección horizontal se determina un cruce de rectas entre los planos en proyección horizontal, luego se comparan en proyección vertical las cotas de las rectas que se cruzan. La recta que posea mayor cota se verá en proyección horizontal. Visibilidad en proyección vertical Para determinar la visibilidad en proyección vertical se determina un cruce de rectas entre los planos en proyección vertical, luego se comparan en proyección horizontal los vuelos de las rectas que se cruzan. La recta que posea mayor vuelo se verá en proyección vertical.  50 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 EJERCICIOS DE INTERSECCIÓN Y VISIBILIDAD 1) Dado el plano α y β se pide hallar la intersección y la visibilidad a) A(30, 23, 35) M(145, 30, 10) α B(110,95,100) β N (70, 15, 90) C(122, 75, 65) P(45, 85, 40) D(50, 10, 8) b) A(22, 74, 88) R(18, 35, 21) α B(63, 20, 93) β P(86,84, 89) C(81, 51, 8) Q(96, 72, 58) D(26, 100, 52) c) A(10,24,80) Q(13, 26, 60) α B(48,30,40) β R(40, 100, 19) C(70, 70, 53) S(80, 40, 90) D(60, 88, 65) F(35, 28, 80) d) A(18, 92, 19) Q(13, 42, 38) α B(16, 74, 34) β R( 31, 32,23) C(57, 18, 95) S(78, 59, 30) D(96, 21,78) T(53, 105, 97) e) A(41, 25, 11) R(40, 42, 86) α B(63, 9, 50) β P(35, 98, 42) C(138, 26, 98) Q(137,0, 42) D(117, 80, 11) f) A(105, 5, 80) E(66, 60, 97) α B(80,10, 30) β F(30, 20, 28) C(10,65, 13) G(100, 40,16) D(36, 60, 63) g) A(44,21,34) J(85,87,24) B(137,41,111) L(105,93,0) C(137,68,80) M(53,125,12) α D(104,57,57) β N(83,12,105) E(104,71,41) O(104,8,91) F(153,143,10) G(136,136,0) H(44,28,26)  51 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 PERPENDICULARIDAD El ángulo no goza de la propiedad proyectiva. El ángulo recto no se proyecta como tal, a menos que uno de los lados sea paralelo al plano de proyecciones. Tenemos una recta horizontal “h”, una recta cualquiera “a” perpendicular a “h”, la cual estará contenida en un plano vertical α perpendicular a ”h”. La recta “a” se proyectará en el horizontal bajo ángulo recto con respecto a “h”. La proyección vertical de esta recta cualquiera “a” es arbitraria. Una recta “a” que sea perpendicular a una recta horizontal (h) se proyecta en la proyección horizontal bajo ángulo recto. De forma análoga. Una recta “a” que sea perpendicular a una frontal (f) se proyecta en la proyección vertical bajo ángulo recto. Trazar por “M” una recta “a” perpendicular a la recta “h” que se corte con ella. El ángulo recto se proyecta en la proyección horizontal como recto, en el vertical se conoce el punto 1v  52 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Recta perpendicular a un plano Si una recta es perpendicular a un plano, es perpendicular u ortogonal a todas las rectas de este plano. Una recta corta perpendicularmente a un plano cuando su proyección horizontal es perpendicular a la traza H del plano y su proyección vertical perpendicular a la traza V del plano. En caso de que carezcamos de la traza del plano, la condición de perpendicularidad se distingue cuando la proyección horizontal de la recta es perpendicular a la proyección horizontal de una recta horizontal del plano y cuando la proyección vertical de la recta es perpendicular a la proyección vertical de una recta frontal del plano. a a a a Plano perpendicular una recta El plano lo podemos definir mediante una recta horizontal y una recta frontal. Si este plano es perpendicular a una recta “p”, esta recta es perpendicular a la recta h y siendo esta recta paralela al plano horizontal, habrá de manifestarse la perpendicularidad entre las proyecciones horizontales de ambas rectas. Lo mismo sucederá en el plano vertical con respecto a la recta frontal.  53 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Si de da la recta “a”, por el punto B trazar un plano perpendicular a la recta. a a Plano perpendicular a otro plano que contenga recta dada Se da el plano α por las trazas y una recta m. Trazar un plano β que pase por m y perpendicular a α. Para satisfacer debe existir por lo menos una recta del plano β perpendicular al plano α, basta con tomar sobre la recta m un punto A y por el trazar una recta p perpendicular al plano α. El plano “m, p” es perpendicular al plano α. a a  54 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Recta perpendicular a otra recta Dada la recta a, trazar una recta perpendicular a “a” que pase por el punto M. Para determinar esta recta, se necesita: 1.- Trazar un plano α perpendicular a la recta “a” que pase por el punto M, con h y f 2.- Se busca la intersección de la recta “a” con el plano α 3.- En este plano α esta contenida la recta pedida. 4.- La recta “MI” es la recta pedida Recta perpendicular a otra recta contenida en un plano dado Dada la recta “a” y el plano β construir recta p contenida en el plano β perpendicular a “a”. 1.-Se determina la intersección I de la recta a con el plano β 2.-En el punto I de levanta plano δ perpendicular a la recta “a” 3.-Se halla la intersección con β que es la solución  55 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 PARALELISMO En todos los sistemas de proyección cilíndrica se conserva el paralelismo, como propiedad proyectiva. Dos rectas que en el espacio están paralelas, se proyectan también paralelas. Dos planos paralelos Para que dos planos sean paralelos es condición necesaria y suficiente que existan dos direcciones de recta de un plano. Si tenemos un plano dado por dos rectas que se cortan a y b, para trazar un plano paralelo al plano dado por el punto A, basta con pasar por el punto A una recta a’ paralela a “a” y otra recta b’ paralela a b, que pasa también por el punto A. Plano paralelo a otro dado por sus trazas Por un punto M trazar un plano paralelo al plano h’, f’. Se trazan las rectas paralelas a h’ y f’ por el punto M, se determinan las trazas de las rectas y se proyectan las nuevas trazas, que deben ser paralelas a las originales. Dos planos paralelos tienen sus rectas características paralelas y también sus trazas.  56 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 a a a a Plano paralelo a una recta Por una recta “a” trazar un plano paralelo a otra recta d. Sobre la recta “a” se elige un punto cualquiera “M” y por este punto se traza una recta “b”, paralela a la dirección dada “d”. El plano ab es el plano pedido. Recta Paralela a un Plano Por el punto “A” trazar una recta paralela al plano “ab”. El lugar geométrico es un plano paralelo al dado, que pasa por “A”. En este caso tenemos que trazar una recta c’, paralela a “c” la cual está en el plano “ab”. Se determina la c’h del plano “ab” y trazamos la recta pedida ch y que pasa por el punto “A”.  57 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Recta Paralela a dos Planos Si una recta debe ser paralela a dos plano, deberá ser paralela también a una dirección de estos dos planos; esta condición se cumple en la intersección de dos planos. Dado los planos “ab” y “cd” se quiere trazar por el punto M una recta paralela a los dos planos. Para ello se determina la intersección “i” de los dos planos y se traza la recta paralela “m” a ella por el punto dado M. Ejercicios. 1.- Dado el punto A y una recta r hállese la distancia del punto a la recta. A (75, 40, 37) r T (80, 0, 50) Q (40, 50, 0) 2.-Hallar la traza de un plano que corte perpendicularmente a un segmento TQ por su punto medio Q ( 40, 47, 0) T ( 80, 0, 40) 3.-Construir un triangulo rectángulo con vértice en el punto A y cateto sobre la recta MN, la hipotenusa es una paralela al plano β A (65 65,115) Q (170,35, 60) α M (52, 21, 35) β R (44,106, 103) N (170, 78, 64) P (151,106, 10) Procedimiento 1.- Se pasa un plano α perpendicular a la recta “a “con h y f 2.-Se halla la intersección de la recta con el plano α se obtiene Iv =B 3.-Se halla la intersección de la recta “a” con el plano β se encuentra I. 4.-Se halla la intersección de la recta P con el plano β  58 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 PROBLEMAS MÉTRICOS La solución de varios problemas métricos en la proyección ortogonal en realidad, es la aplicación de lo analizado anteriormente, o sea: intersección, paralelismo, perpendicularidad, etc. Ahora se indican los pasos necesarios para la obtención de la solución correspondiente. 1.- Distancia entre dos puntos Es todo lo relacionado con el verdadero tamaño. ∆ ∆ ∆ ∆ 2.- Distancia del punto al plano. Para determinar la distancia del punto A al plano α. 1.- Por el punto A se levanta una recta “p” perpendicular al plano α. 2.- Se busca el punto de intersección “I “ entre la recta “p” y el plano α. 3.-El segmento AI es igual a la distancia pedida. p  59 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 3.- Distancia de un punto A a una recta “b” Para determinar la distancia del punto a la recta: 1.- Se construye un plano α que pase por el punto A y que sea perpendicular a la recta “b” (Plano dado por las rectas características del plano, la horizontal y la frontal) 2.- Se busca el punto de intersección “I” entre la recta b y el plano α 3.- La menor distancia del punto A a la recta b es el segmento AI. 4.- Distancia entre dos planos paralelos 1.- Se determina un punto A sobre el plano β 2.- El problema se transforma en el caso 2: Distancia de un punto a un plano  60 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 5.- Distancia entre dos rectas paralelas. 1.-Se determina un punto A sobre la recta A 2.- El problema se transforma en el caso 3: Distancia de un punto a una recta. Lugar Geométrico Es la figura geométrica que contiene todos los puntos que cumplen una cierta y determinada propiedad, y recíprocamente todos los puntos de esta figura, cumplen una cierta y determinada propiedad. Punto equidistante de otros dos y que esté sobre recta dada. Determinar un punto equidistante de los puntos A y B, el cual está situado sobre la recta b. Se determina el lugar geométrico, que es el plano α perpendicular a la recta AB, el cual se levanta por el punto medio del segmento AB, el punto que se pide debe estar sobre la recta b. Solución: 1.- Se une el segmento AB y se le determina el punto medio M. 2.- Se levanta un plano α perpendicular al segmento AB en el punto M (con el plano formado con las rectas características del plano: horizontal y frontal). 3.- Se halla la intersección de la recta b con el plano α 4.- Los segmentos AI y BI determinan el punto equidistante a la recta b, para ellos los verdaderos tamaños deben ser iguales.  61 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Perpendicular Común La perpendicular común es una recta que se corta con las rectas a y b bajo ángulo recto. La dirección de esta recta se determina previamente y la dirección es perpendicular a un plano paralelo a la recta a y b. Solución 1.- Definir un punto A sobre la recta “a”. Si sobre la recta “a” se encuentra un punto A se toma el mismo punto. 2.- Por el punto A se traza una recta b’ paralela a la recta b, determinándose el plano ab’ = α 3.- Determinar las rectas características del plano α (horizontal y frontal) 4.- Definir un punto B sobre la recta “b”. Si sobre la recta b se encuentra un punto B se toma el mismo punto. 5.- Por el punto B trazar una recta p perpendicular al plano α. 6.- Las rectas p y b definen el plano β 7.- Determinar la intersección de la recta “a” con el plano β. 8.- Trazar una recta p’ paralela a “p” por el punto “I” 9.- El punto de corte de p’ con la recta b es igual al punto I’ 10.- El segmento I I’ define la menor distancia entre la recta a y b que determina la perpendicular común.  62 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311  63 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 EJERCICIOS DE PERPENDICULAR COMÚN 1) Encontrar las proyecciones de un cubo, tal que, las rectas a y b representen diagonales de caras opuestas del mismo. a A (50, 54, 47) b B(105, 40, 83) C(90, 35, 32) D(120, 142, 0) 2) Encontrar las proyecciones de un cubo, tal que, las rectas a y b representen aristas de caras opuestas del mismo. a A (50, 54, 47) b B(105, 40, 83) C(90, 35, 32) D(120, 142, 0) 3) La recta a es una de las diagonales de la base de una pirámide de base cuadrada, la recta b, es paralela a la otra diagonal y pasa por el vértice de tal pirámide. Construir las proyecciones de la pirámide mostrando su visibilidad, si se sabe además que el punto A es uno de los vértices de la pirámide a A(94, 74, 30) b B(40,107, 113) C(15, -84, 134) D(170, 15, 70) 4) Las rectas a y b son medianas de caras opuestas de un prisma cuya base es un triangulo equilátero de lado 60mm. Encontrar las proyecciones del prisma mostrando su visibilidad, si se sabe que el vértice que esta sobre la mediana a tiene mayor cota que el centro de la cara correspondiente y que el vértice que está sobre la mediana b tiene menor cota que el centro de esa otra cara. a A(51, 27, 70) b B(107, 124, 54) C(117, 94, 121) D(161,-10, 10) 5) Dada las rectas “a” y “b” construir un prisma de base hexagonal, mostrando su visibilidad, si las rectas dadas son diagonales de caras opuestas. Además, se sabe que sobre estas rectas se encuentran los vértices con mayor altura en la cara correspondiente. La base del prisma está inscrita en una circunferencia de radio 35 mm. a A(50, 28, 75) b B(105, 121, 56) C(150, 126, 157) D(140, 29, 29) 6) Dadas las rectas “a” y “b” se pide: determinar las proyecciones de un prisma regular recto de base pentagonal, si se conoce que sobre la recta “a” se encuentra el vértice “A” de la base y además se sabe que esta recta es una de las medianas de la base y que la recta “b” es paralela a la otra mediana de la base que contiene el vértice consecutivo al vértice “A” el cual tiene mayor altura que el punto “A”. Hallado el prisma represéntelo con su visibilidad.  64 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 a A(45, 33, 114) b B(86, 24, 17) C(86, 112, 38) D(140, 43, 110) 7) Dadas las rectas "a" y "b", se pide determinar las proyecciones de un cubo, si se conoce que sobre la recta "a" se encuentra una arista de la cara más elevada del cubo y el vértice más a la derecha. Adicionalmente se sabe que sobre la recta "b" se encuentra la diagonal de la cara más baja del cubo, y sobre esta misma recta se encuentra el vértice más a la izquierda. Hallado el cubo, represéntelo con su visibilidad. a A(56,72,78) b B(10,00,91) C(119,41,57) D(108,34,00)  65 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 REBATIMIENTO Rebatimiento El rebatimiento es un método indirecto utilizado para obtener un plano en verdadero tamaño y consiste en rotar un plano alrededor de la recta horizontal (o frontal), hasta que dicho plano sea paralelo al plano horizontal o plano vertical. Se tiene un plano dado por las trazas horizontal y frontal y se quiere rebatir el plano alrededor de la traza horizontal (recta h. Cota = 0) hasta que coincida con el plano horizontal. La traza horizontal es el eje de rebatimiento y conserva su posición (h = hR ) y se denomina charnela. a a a Ar=A Rebatimiento de un punto por verdaderos tamaños 1.- El punto se conserva siempre en un plano perpendicular al eje de rebatimiento, el cual se proyecta como la recta ph. 2.- La distancia AB entre el punto A y el eje de rebatimiento, debe verse en la proyección rebatida en verdadero tamaño. 3.- Se busca el verdadero tamaño de AB y se coloca a partir del eje de rebatimiento BR sobre la recta ph obteniéndose el punto AR. 4.- Para la proyección desrebatida (horizontal) se hacen los pasos inversos, siendo los verdaderos tamaños paralelos entre sí.  66 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 a ∆ a ∆ a ∆ ∆ a Rebatimiento de la Traza La traza horizontal es el eje de rebatimiento. Se toma un punto X sobre la traza vertical, el segmento XV BV se proyecta en verdadero tamaño por estar sobre la frontal. Las proyecciones del punto B (BV, Bh) y BR están ubicadas en el mismo lugar por estar sobre la línea de tierra (BV = Bh = BR). El punto XR debe estar sobre la recta perpendicular ph y a la vez conserva la distancia XV BV = XR BR , por esta razón la traza vertical rebatida es la XR BR = fR a a a a a  67 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Rebatimiento de un punto M del Plano por rectas horizontales Se traza una recta horizontal “c”, por el punto M, esta recta corta la traza f en el punto Xv, el cual se proyecta sobre la recta “p” para encontrar la traza rebatida fR. El punto MR está sobre la recta CR y sobre la recta de referencia de rebatimiento Mh-MR. Para el desrebatimiento se usa el procedimiento a la inversa. Este procedimiento puede ser utilizado con rectas frontales. a a a a a Rebatimiento de un Punto y una Recta Para rebatir un punto P o bien una recta como QM, hay que abatir el plano que contenga a dicho elemento. Para llevar los puntos M y P al plano rebatido se llevan sobre la recta perpendicular a la traza H del plano, se consigue la fR y se obtiene el punto MR y se une con QR y se obtiene la recta MQ rebatida a si mismo PR, ya que dicho punto pertenece a la recta. a a a a a  68 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Rebatimiento de un punto por Homología Se rebate el punto A por el método general. Para rebatir el punto M podemos trazar la recta Ah Mh que es del plano y se corta con la recta hh en el punto 1h el cual es igual a 1r, a la recta Ah Mh1h corresponde a la recta rebatida 1R AR. El punto MR está sobre esta recta y además sobre la recta que pasa por Mh y es perpendicular al eje (rayo de homología). a ∆ a a ∆ a  69 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Proyección de una Circunferencia -La proyección ortogonal de una circunferencia es una elipse. Cuando una circunferencia está situada en un plano paralelo al plano de proyección su proyección es la misma circunferencia. -Si está situada en un plano perpendicular al plano de proyecciones, toda la circunferencia se proyecta como un segmento igual al diámetro. -Si la circunferencia está situada en un plano cualquiera, la excentricidad de la elipse respectiva será mayor de cero y mayor que el radio. A, B, C, D = Vértice O = Centro HG = Secante, recta que corta la elipse en dos puntos. T = Tangente, recta que tiene con la elipse un único punto común, es perpendicular a la bisectriz de los radios vectores. EF y TQ = Radios Conjugados, las tangentes levantadas en los extremos de diámetro conjugados son // a estos. AB y CD = Diámetros principales. AB = Diámetro Mayor CD = Diámetro Menor.  70 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 EJERCICIO DE REBATIMIENTO 1.- Dado el plano h, f por las trazas se pide: construir una pirámide de base hexagonal paralela a plano horizontal y con altura de 60 mm. Dicha base está contenida en una circunferencia tangente a los dos planos de proyección, con centro en “O” S(28, 0, 0) f Q(47, 0, 18) O(87, 32, 29) S(28, 0, 0) h R(80,60, 0) 2.- Dado el plano OPQ = β se pide: Construir una pirámide de base heptagonal con altura de 70mm, dicha base está contenida en una circunferencia tangente al plano horizontal, con centro en “O” y un lado paralelo al plano horizontal. El vértice tiene mayor cota que la base. O(89, 32, 32) β P(119, 13, 90) Q(146, 55, 59) 3.- Construir las proyecciones de un prisma hexagonal, tangente al plano vertical, si se sabe que su centro es “O”, la base está dada por el plano ABC = α y su altura es 80 mm. Determinar su visibilidad. A(30, 0, 0) α B(90, 0, 60) O(120, 30, ?) C(100, 50, 0) 4.- Construir una pirámide de base pentagonal de lado 53mm, si el centro de la base es “O” y “P” es el punto medio de una arista de la base. El plano de la base está dado por α= OPQ. El vértice tiene mayor cota que el punto “O” con altura de 70mm. O(106, 18, 40) P(87, 25, 10) Q(180, 85, 0) 5.- Dada la recta “a”, construir una pirámide de base pentagonal mostrando su visibilidad, tangente a la traza horizontal, su base se encuentra en un plano formado por rectas paralelas “a” y “b”, el punto “O” se encuentra en la recta “a”, se sabe además que el vértice de la pirámide tiene mayor cota que el punto “O” con altura de 52mm. a A(95, 8, 69) B(130, 53, 18) O(111, ?, ?) b C(135, 25, 74)  71 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 6.- Construir un prisma de base pentagonal mostrando su visibilidad, si se sabe que el punto “O” es el centro de una cara ubicada en el plano α “OPQ” y el punto “A” es un vértice. La otra cara se encuentra a 110 mm de altura. O (135, 40, 30) P (100, 75, -25) Q (190, 110, 0) A (167, 50, ?) 7.- Construir una pirámide recta de base pentagonal con centro de base en el punto “O” y un vértice del pentágono en el punto “A”, la base de la pirámide está situada en el plano “AOM”. El vértice de la pirámide está en el plano β que es paralelo al plano α y que pasa por el punto R. A (80, 12, 37) O (52, 31, 41) M (26, 0, 130) R (162, 19, 26) 8.- Dado el plano "α" por los puntos A, O y P, Representar las proyecciones de un prisma de base pentagonal, si se conoce que el punto "O" es el vértice que posee mayor altura de la base, además se sabe que el lado del pentágono que pasa por dicho punto es paralelo al plano vertical. La otra cara del prisma se encuentra ubicada en un plano "β", paralelo al plano "α" y que pasa por el punto "S". Adicionalmente, se sabe que el pentágono tiene 35 mm de lado. A(98,22,13) O(59,32,39 P(10,132,0) S(180,50,40)  72 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA Noriega, Francisco. “Geometría descriptiva y grafismo arquitectónico” Osers, Harry. “El estudio de la Geometría Descriptiva” Izquierdo Asensi, Fernando. “Geometría Descriptiva” http://www.unet.edu.ve/~jmgarcia  73 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 UNIDAD III. ESCALAS, ACOTAMIENTO Y REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS ESCALAS La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos. Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo. Se define la ESCALA como “la proporción que existe entre las dimensiones del dibujo y las dimensiones reales del objeto”, esto es: DIBUJO ESC = REALIDAD DIBUJO = ESCALA * REALIDAD DIBUJO REALIDAD = ESCALA Ejemplo: Calcular la escala que se ha utilizado para dibujar un cuadro cuyo lado mide en la realidad 500 mm y en el dibujo 250 mm. Realidad = 500 mm. D 250 1 Dibujo = 250 mm. ESC = = = R 500 2 ESC =? Ejercicios ESC.1: 2 Calcular la escala que se ha utilizado para dibujar una tapa cuyo lado mide en la realidad 150 mm, y en el dibujo 300mm. D 300 2 ESC = ? ESC = = = Realidad = 150 mm. R 150 1 Dibujo = 300mm. ESC.2 : 1 Determine las dimensiones que debe tener en el dibujo un tornillo cabeza de reloj de 5mm de diámetro y si se ha elegido una escala de 5:1.  74 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Dibujo=? Dibujo = ESC x Realidad Realidad = 5 mm. Dibujo = 5 x 5 = 25 mm. ESC = 5:1 1 Escalas métricas e inglesas ¾ Escala métrica: La unidad lineal de medida en los dibujos mecánicos es el milímetro. Se recomiendan las escalas multiplicadoras de 2 y 5. ¾ Escala inglesa: Son escalas graduadas en pulgadas y por lo general están representadas como fracciones de distintos valores que equivalen a 1 pulgada. Tipos de escalas ¾ Escala numérica: Una escala numérica se representa mediante una fracción cuyo numerador representa el dibujo y el denominador representa el tamaño real. Ejemplo: 1/400 ó ESC. 1:400. ¾ Escala gráfica: no se indican mediante el uso de números sino que nos señala la longitud a la que corresponde una determinada distancia en un plano o mapa. 5 10 15 30 Km Escalas normalizadas ¾ Escala Natural: es la empleada para la representación gráfica de objetos que tienen la misma dimensión tanto en el dibujo como en la realidad. Su valor normalizado se representa así: ESC. 1:1 ¾ Escala de Reducción: Se emplea para la representación gráfica de objetos que tienen una dimensión mayor que la del dibujo. Su valores normalizados se representan así: ESC. 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50 … ¾ Escala de Ampliación: Se emplea para la representación gráfica de objetos que tiene una dimensión menor que la del dibujo. Su valores normalizados se representan así: ESC. 2:1, 5:1, 10:1 … Cocientes: El cociente obtenido en la ecuación de escalas (E=D/R) se compara con los cocientes presentados en una “Tabla de cocientes”, y si coincide con uno de ellos, ésta será la escala apropiada para utilizar, en la representación de los objetos.  75 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 ESCALA COCIENTES 2:1 2 1:1 1 1:1.25 0.8 1:2 0.5 1:2.5 0.4 1:5 0.2 1:10 0.1 1:20 0.05 1:25 0.04 1:7.5 0.13 Escalímetro: Es un instrumento de dibujo que permite obtener medidas en seis escalas diferentes. Cada una de las caras está graduada en unidades equivalentes a un metro. Es un instrumento que se emplea para medir las escalas normales. ESC: 1:50 ----------1m ----------1000mm. ESC: 1:5------------0.1 m -------100 mm. ESC: 1.100---------1m ----------1000 mm ESC: 1:10----------0.1m --------100 mm. ESC: 1:1------------0.01 m ------10 mm.  76 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 Instructivo No. 2 TOPICO Escalas OBJETIVO Identificar y manejar las diferentes escalas que aparecen en el escalímetro ACTIVIDAD Calcular la escala de cada una de las figuras, luego dibujarlas de acuerdo a la escala indicada y señalar cual es la transformación que presentó la figura al dibujarla. Representar segmentos de acuerdo al valor señalado manejando las diferentes escalas indicadas. INSTRUCCIONES En un formato A4 trace el margen y el cajetín, dibuje cada figura planificando una buena distribución del espacio. ESC: _____ Dibujar ESC. 2:1 ESC: _____ Dibujar ESC. 1:2 360 Representar los siguientes segmentos: 740 mm en ESC. 1:12,5; 1:10; 1:7,5 250 mm es ESC. 1:5; 1:2,5; 1:2 Ejemplo: ESC: _____ Dibujar ESC. 1:10  77 DIBUJO 1 0079 Y DIBUJO 2311 ACOTAMIENTO La acotación es el proceso de anotar, mediante líneas, cifras, signos y símbolos, las mediadas de un objeto, sobre un dibujo previo del mismo, siguiendo una serie de reglas y convencionalismos, establecidos mediante normas. Acotar: es indicar medidas reales del objeto. Las cotas son completamente independientes de la escala del dibujo porque su valor numérico es siempre