GDET3 Aufgaben & Lösungen - RWTH Aachen University

Jens-Rainer Ohm Aufgaben und Lösungen zu Grundgebiete der Elektrotechnik 3 Signale und Systeme Ausgabe 2024 © RWTH Aachen University, Institut für Nachrichtentechnik ( ) 2024, http://www.ient.rwth-aachen.de. Nur zur Verwendung als Begleitmaterial in der Vorlesung „Grundgebiete der Elektrotechni...

Jens-Rainer Ohm Aufgaben und Lösungen zu Grundgebiete der Elektrotechnik 3 Signale und Systeme Ausgabe 2024 © RWTH Aachen University, Institut für Nachrichtentechnik ( ) 2024, http://www.ient.rwth-aachen.de. Nur zur Verwendung als Begleitmaterial in der Vorlesung „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ an der RWTH Aachen. Kopieren und Weitergabe nicht gestattet. Inhaltsverzeichnis Aufgaben 1 Aufgaben zu Kapitel 1........................................... 1 Aufgaben zu Kapitel 2........................................... 4 Aufgaben zu Kapitel 3........................................... 9 Aufgaben zu Kapitel 4........................................... 15 Aufgaben zu Kapitel 5........................................... 22 Aufgaben zu Kapitel 6........................................... 25 Aufgaben zu Kapitel 7........................................... 26 Aufgaben zu Kapitel 8........................................... 31 Lösungen 35 Aufgaben zu Kapitel 1........................................... 35 Aufgaben zu Kapitel 2........................................... 41 Aufgaben zu Kapitel 3........................................... 48 Aufgaben zu Kapitel 4........................................... 55 Aufgaben zu Kapitel 5........................................... 67 Aufgaben zu Kapitel 6........................................... 71 Aufgaben zu Kapitel 7........................................... 74 Aufgaben zu Kapitel 8........................................... 80 Aufgaben Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 1 Zu Kapitel 1 Aufgabe 1.1 Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion H(F ) der folgenden Netzwerke. Die Übertragungsfunktionen sind nach Betrag und Phase darzustellen. Diskutieren Sie die Ergebnisse. R R U1 L U2 U1 C U2 Aufgabe 1.2 Auf den Eingang eines Netzwerkes mit der komplexen Übertragungsfunktion H(F ) = |H(F )| e jφ(F ) wird eine kosinusförmige Eingangsspannung u1 (t) = û1 cos(2πF t + φ1 ) gegeben. Geben Sie die Spannung u2 (t) an den Ausgangsklemmen als Funktion von Betrag und Phase der Übertragungsfunktion an. u1 (t) H(f ) u2 (t) Aufgabe 1.3 Skizzieren Sie folgende Signale:   t a) ε(−t) ; ε(1 − t) ; ε ; ε(1 − t2 ) T b) rect(t − 1) ; rect(2 − t) ; rect(2t + 1) c) r(t) = t · ε(t) und damit r(t) − r(t − T ) mit T > 0 d) rect(t) · cos(2πF t) für F ∈ {0,5, 1, 10}   t+b e) rect für a = ±2 und b = ±1 oder b = ±0 a Zt f) g(t) = ε(τ ) dτ −∞ © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 2 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 1.4 Prüfen Sie die folgenden Transformationen g(t) = Tr{s(t)} daraufhin, ob diese lineare und/oder zeitin- variante Systeme beschreiben. d a) g(t) = s(t) dt b) g(t) = s(−t) c) g(t) = 1 + s(t) d) g(t) = s(t) · m(t) [m(t) beliebig und unabhängig von s(t)] e) g(t) = s2 (t)   t f) g(t) = s 3 g) g(t) = s(t − 2) + s(t + 2) Zt h) g(t) = s(τ ) dτ −∞ Aufgabe 1.5 Berechnen und skizzieren Sie: a) g(t) = ε(t) ∗ rect(t) b) g(t) = rect(t) ∗ rect(t)     c) g(t) = ε(t) e−t ∗ ε(t) e−t Aufgabe 1.6 Berechnen Sie     ε(t) ∗ et · ε(t) und ε(t) ∗ et · ε(t). Aufgabe 1.7 Ein LTI-System antwortet auf ein Signal s(t) mit g(t). s(t) g(t) 1 1 LTI 1 2 1 2 t t Skizzieren Sie die Antwort des LTI-Systems auf folgende Eingangssignale: a) s(t) − s(t − 2) b) s(t) + 2s(t + 1)   t c) s 2 RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 3 Aufgabe 1.8     d d Zeigen Sie, dass gilt: s(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ s(t) dt dt Aufgabe 1.9 Zwei beliebige Signale s(t) mit der Fläche As und g(t) mit der Fläche Ag werden gefaltet. Zeigen Sie, dass das Faltungsprodukt die Fläche As · Ag hat. Aufgabe 1.10 Skizzieren Sie die Antwort eines Differentiators und eines Integrators auf die folgenden Signale. s1 (t) s2 (t) a a a) b) T t T 2T t Aufgabe 1.11 Ein LTI-System mit Impulsantwort  h(t) antwortet auf das Eingangssignal s(t) = Λ(t) mit dem Ausgangs- 1 signal g(t) = rect t −. Bestimmen Sie h(t). 2 Aufgabe 1.12 1 Die Impulsantwort eines RC-Systems lautet h(t) = ε(t) e T. Überprüfen Sie folgende Aussagen: −t T a) Das System ist kausal. b) Das System ist amplitudenstabil. Aufgabe 1.13 Gegeben sei folgendes Netzwerk: R u1 (t) C u2 (t) R·C =T U2 (F ) a) Geben Sie die Übertragungsfunktion H(F ) = des Netzwerkes an. U1 (F ) b) Berechnen Sie die Sprungantwort hε (t) des Netzwerkes durch Integration der Impulsantwort. c) Bestimmen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus b) die Ausgangsspannung u2 (t) für den unten dargestellten zeitlichen Verlauf der Eingangsspannung u1 (t). u1 (t) U0 T t d) Skizzieren Sie die Ausgangsspannung u2 (t) unter Angabe von allen charakteristischen Größen. © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 4 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Zu Kapitel 2 Aufgabe 2.1 Berechnen Sie die Laplace-Transformierten S(p), sofern sie existieren. Ermitteln Sie den Konvergenzbe- reich der Laplace-Transformierten, indem Sie eine Bedingung für p bestimmen, so dass (2.6) konvergiert. a) s(t) = sin(t) · ε(t) b) s(t) = sin(t) 2t c) s(t) = e · ε(t − T ) d) s(t) = t · e2t · ε(t) e) s(t) = sinh(2t) · ε(−t) Aufgabe 2.2 Beweisen Sie die Linearität der Laplace-Transformation: s(t) = a1 s1 (t) + a2 s2 (t) S(p) = a1 S1 (p) + a2 S2 (p) L ←→ Geben Sie den Konvergenzbereich R von S(p) an, wenn R1 bzw. R2 die Konvergenzbereiche bzgl. S1 (p) und S2 (p) sind. Aufgabe 2.3 Gegeben sind die Laplace-Transformierten zweier rechtsseitiger Signale: 2p + 3 3p + 1 S1 (p) = und S2 (p) =. p2 + 3p + 2 p2 + 4p + 3 a) Berechnen Sie die Pole von S1 (p) und geben Sie den Konvergenzbereich an. b) Berechnen Sie die Pole von S2 (p) und geben Sie den Konvergenzbereich an. c) Berechnen Sie die Pole und Nullstellen von S1 (p) + S2 (p) und geben Sie den Konvergenzbereich an. Aufgabe 2.4 Entscheiden Sie, welches der nachfolgenden Pol-Nullstellen-Diagramme mit dem jeweils eingezeichneten Konvergenzbereich (grau unterlegt) richtig oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Welche der Systeme sind stabil, nicht stabil oder diesbezüglich nicht definiert (soweit existent)? Geben Sie, sofern möglich, die Bildfunktion H(p) und die zugehörige Zeitfunktion h(t) an. H0 = 1 Im H0 = 1 Im a) b) −3 −2 −1 1 2 −3 −2 −1 1 2 Re Re H0 = 1 Im H0 = 1 Im c) d) −3 −2 −1 1 2 −3 −2 −1 1 2 Re Re RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 5 H0 = 1 Im H0 = 1 Im e) f) −3 −2 −1 1 2 −3 −2 −1 1 2 Re Re H0 = 1 Im H0 = 1 Im g) h) −3 −2 −1 1 2 −3 −2 −1 1 2 Re Re H0 = 1 Im H0 = 1 Im 2 1 i) j) −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 Re Re −1 −2 H0 = 1 Im H0 = 1 Im 2 1 k) l) −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 Re Re −1 −2 © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 6 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ H0 = 1 Im H0 = 1 Im 2 (3) m) n) −2 −1 1 2 −3 −2 −1 1 2 Re Re −2 H0 = 1 Im H0 = 1 Im 2 2 (2) (4) o) p) −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 Re Re −2 −2 Aufgabe 2.5 Berechnen Sie die inverse Laplace-Transformierte s(t) von 2 − 2p S(p) = , (p + 1)(p + 2)(p + 5) wobei der Konvergenzbereich Re{p} > −1 ist, mit Hilfe der Partialbruchzerlegung (2.30)ff. im Skript. Aufgabe 2.6 Berechnen Sie die inverse Laplace-Transformierte s(t) von 2p − 1 S(p) = , Re{p} > −1 (p + 1)3 (p + 4) mit Hilfe der Partialbruchzerlegung (2.46) (Polstelle des Grades 3) im Skript. Aufgabe 2.7 Eine sinusförmige  Wechselspannungsquelle  u1 (t) = A sin(2πf0 t) wird zum Zeitpunkt t = 0 auf einen L R/L-Hochpass = T geschaltet. R a) Geben Sie die Laplace-Übertragungsfunktion H(p) des Systems an. b) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte U1 (p) der Anregungsfunktion u1 (t) für t > 0. c) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte U2 (p) der Ausgangsspannung u2 (t). d) Berechnen Sie damit den Spannungsverlauf u2 (t) am Ausgang. RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 7 Aufgabe 2.8 Man betrachte den RLC-Schwingkreis aus Abb. 2.5 (im Skript) bzw. sein Pol-/Nullstellendiagramm Abb. 2.6 (im Skript). a) Zeigen Sie, dass das System für positive Werte R, L und C immer stabil ist. b) Geben Sie Beziehungen zwischen R, L und C an, so dass sich ein Butterworth-Tiefpassfilter der Grenzfrequenz fg ergibt. Aufgabe 2.9 Bestimmen Sie die Übertragungsfunktionen H(p) der folgenden Systeme als Funktion von H1 (p) und H2 (p). H1 (p) a) + b) c) + + H1 (p) H2 (p) + H1 (p) H2 (p) H2 (p) Aufgabe 2.10 Es sollen die dargestellten Operationsverstärkerschaltungen betrachtet werden (aktive Filter 1. Ordnung). Die Operationsverstärker sind als ideal anzunehmen (Eingangswiderstand Ri → ∞, Ausgangswiderstand Ra → 0, Verstärkung v0 → ∞). U2 (p) Berechnen Sie jeweils die Übertragungsfunktion H(p) = der Netzwerke. Skizzieren Sie die jeweili- U1 (p) gen Pol-Nullstellen-Diagramme und schraffieren Sie die zugehörigen Konvergenzbereiche. C R − − R u1 (t) + u1 (t) C + u2 (t) u2 (t) a) b) R2 C R2 − − R1 u1 (t) + u1 (t) R1 + u2 (t) C u2 (t) c) d) C2 R C2 − − u1 (t) C1 + u1 (t) R + u2 (t) C1 u2 (t) e) f) © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 8 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 2.11 Bestimmen Sie die Laplace-Übertragungsfunktion des dargestellten aktiven Filters 2. Ordnung. Die Ope- rationsverstärker sind als ideal anzunehmen (Eingangswiderstand Ri → ∞, Ausgangswiderstand Ra → 0, Verstärkung v0 → ∞). R C2 R R − u1 (t) + u0 (t) C1 u2 (t) RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 9 Zu Kapitel 3 Aufgabe 3.1 Man betrachte das folgende Netzwerk aus Aufgabe 1.1: R R = 1 kΩ u1 (t) L u2 (t) L = 1 mH T = L/R = 1 µs Auf den Eingang wird die Spannung u1 (t) gegeben: u1 (t) = 1 V + 1 V cos(2πF t) − 0,3 V cos(6πF t) mit F = 100 kHz a) Bestimmen Sie Betrag und Phase der Übertragungsfunktion bei den Frequenzen F und 3F. b) Berechnen Sie nun die Ausgangsspannung u2 (t). c) Skizzieren Sie die Eingangsspannung   u1 (t) und die Ausgangsspannung u2 (t). Betrachten Sie auch 1 (qualitativ) den Grenzfall F ≫. T Aufgabe 3.2 Die geraden und ungeraden Komponenten eines Signals s(t) sind definiert in (3.47) – (3.49) im Skript. Skizzieren Sie sg (t) und su (t)   t 1 a) für s(t) = rect − , T 2   t 1 b) für s(t) = rect − , T 4   t 1 c) für s3 (t) = j · rect −. T 2 Aufgabe 3.3 Die unten dargestellte mit T periodische Funktion sp (t) soll durch die reelle Fourier-Reihe ∞ X sp (t) = Sp (0) + 2 [Re{Sp (k)} cos(2πkF t) − Im{Sp (k)} sin(2πkF t)] k=1 beschrieben werden. sp (t) 1 ··· ··· −T − T2b Tb T t 2 Beweisen Sie, dass im Fall gerader reellwertiger Funktionen, also für sp (−t) = sp (t) die Imaginärteile der Fourier-Reihe generell verschwinden. © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 10 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 3.4 Beschreiben Sie die folgende mit T periodische Funktion sp (t) (Sägezahnfunktion) mit Hilfe der reellen Fourier-Reihe gewichteter Sinus- und Cosinusfunktionen (s. Aufgabe 3.3). sp (t) 1 T T t 2 −1 Beweisen Sie dann, dass im Fall reeller ungerader Funktionen, also für sp (−t) = −sp (t) die Realteile der Fourier-Reihe generell verschwinden. Aufgabe 3.5 Beschreiben Sie die unten abgebildete mit T periodische Funktion sp (t) mit Hilfe der reellen Fourier-Reihe gewichteter Sinus- und Cosinusfunktionen. sp (t) 1 T T t 2 −1 Beweisen Sie , dass im Fall reeller vollständig symmetrischer Funktionen, also für   T sp t + = −sp (t) 2 alle geraden Koeffizienten der Fourier-Reihe verschwinden. Aufgabe 3.6 Die unten abgebildete mit T periodische Funktion sp (t) (Dreiecksfunktion) soll durch eine reelle Fourier- Reihe gewichteter Sinus- und Cosinusfunktionen beschrieben werden. sp (t) 1 T T t 2 a) Bestimmen Sie den Gleichanteil Sp (0) von sp (t). b) Ermitteln und vergleichen Sie die Symmetrien der Funktionen sp (t) und fp (t) = (sp (t) − Sp (0)). c) Berechnen Sie die Fourier-Reihenkoeffizienten von sp (t) und vergleichen Sie sie mit den aus der Symmetrie erwarteten Eigenschaften. RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 11 Aufgabe 3.7 sp (t) 1 T T t 2 −1 a) Bestimmen Sie die Fourier-Reihenkoeffizienten Sp (k) der oben abgebildeten mit T periodischen Funktion sp (t) über die Integraldefinition. Verifizieren Sie das Ergebnis durch Vergleich mit den Real- und Imaginärteil-Koeffizienten aus Aufgabe 3.4. Skizzieren Sie |Sp (k)| , φp (k) , Re{Sp (k)} und Im{Sp (k)}. b) Skizzieren Sie die um T 2 verschobene Funktion sp1 (t) = sp (t − T 2 ). Bestimmen Sie mit Hilfe des Verschiebesatzes deren komplexe Fourier-Reihenkoeffizienten Sp1 (k) und skizzieren Sie das Ergebnis einmal nach Betrag und Phase und einmal nach Real- und Imaginärteil.
c) Wie b), jedoch für die um T 4 verschobene Funktion sp2 (t) = sp t − T 4. Aufgabe 3.8 f (t) π2 −π π t Die oben dargestellte Funktion f (t) besteht stückweise aus Parabeln. Im Intervall −π ≤ t ≤ π gilt: f (t) = t2. Für die Funktion f (t) ist die folgende Reihenentwicklung bekannt:   cos t cos 2t cos 3t f (t) = A − 4 − + − ··· 12 22 32 Die Größe A stellt den Gleichanteil von f (t) dar. Es soll nun das unten dargestellte, in seinem zeitlichen Verlauf der Funktion f (t) ähnliche Spannungssignal sp (t) betrachtet werden. sp (t) 1 −T /2 T /2 t T T a) Durch welche Parabel wird sp (t) im Intervall − ≤t≤ beschrieben? 2 2 b) Wie groß ist der Gleichanteil sp = Sp (0) von sp (t)? c) Bestimmen Sie durch geeignete Substitution anhand der Reihenentwicklung von f (t) eine Fourier- Reihe Sp (k) für sp (t). d) Berechnen Sie aus den Fourier-Reihenkoeffizienten Sp (k) den (Wechselanteil-)Effektivwert Seff = p Ls von sp (t). 1 π4 X∞ Hinweis: = n=1 n4 90 © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 12 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 3.9 Eine mit T periodische Rechteckimpulsfolge sp (t) nach Aufgabe 3.3 wird über einen R/L-Hochpass über- tragen. R s(t) L g(t) Berechnen Sie das Ausgangssignal gp (t) mit Hilfe der Fourier-Reihenentwicklung von sp (t). Aufgabe 3.10 s(t) 1 −1 1 t a) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte S(f ) des oben abgebildeten Dreieckimpulses s(t). b) Die Funktion s(t) werde nun mit der Periode T = 2 periodisch wiederholt, so dass sich die periodi- sche Funktion sp (t) ergibt. sp (t) 1 −3 −2 −1 1 2 3 t Bestimmen Sie die Fourier-Reihenkoeffizienten Sp (k) von sp (t), indem Sie in S(f ) den Übergang f → nF (mit F = T1 ) machen. Aufgabe 3.11 s(t) 1 − 12 1 2 t Berechnen Sie die Fouriertransformierte S(f ) des obigen Rechteckimpulses s(t). Aufgabe 3.12 s0 (t) 1 −1 1 t −1 a) Berechnen Sie die Fouriertransformierte S0 (f ) der obigen Zeitfunktion s0 (t). RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 13 b) Gegeben sei nun folgende Zeitfunktion s(t): s(t) 1 1/2 −1 1 t Zerlegen Sie s(t) folgendermaßen in eine gerade und eine ungerade Funktion: s(t) = sg (t) + su (t) 1 mit sg (t) = [s(t) + s(−t)] 2 1 und su (t) = [s(t) − s(−t)]. 2 c) Bestimmen Sie sg (t) und su (t) sowie die zugehörigen Fouriertransformierten Sg (f ) und Su (f ). Be- stimmen Sie durch Überlagerung S(f ). d) Welche Zusammenhänge bestehen allgemein zwischen den geraden und ungeraden Funktionsteilen von s(t) und Real- und Imaginärteil von S(f )? Aufgabe 3.13 1 S(f ) 2 −1 1 f a) Bestimmen Sie mittels inverser Fourier-Transformation die zu S(f ) gehörige Zeitfunktion s(t). b) Welchen Wert hat die Fläche unter der Zeitfunktion s(t)? c) Welche Energie Es besitzt die Zeitfunktion s(t)? Aufgabe 3.14 1 a) Berechnen Sie jeweils über ein Intervall der Länge T = und mit m, n ∈ N: F Z (i) sin(2πmF t) sin(2πnF t)dt T Z (ii) e j2πmF t e−j2πnF t dt T b) Funktionssysteme {φk (t)} mit der Eigenschaft Z φm (t)φ∗n (t)dt = 0 , m ̸= n m, n ∈ N T werden orthogonal (über ein Intervall der Länge T ) genannt. Sie sind weiterhin orthonormal über [T ], wenn gilt: Z 2 |φk (t)| dt = 1 k ∈ N T © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 14 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ (i) Definieren Sie die Beispiele aus a) als Funktionssysteme φk (t). Sind diese orthogonal bzw. orthonormal über [T ]? (ii) Zeigen Sie, dass bei Signalen X s(t) = ck φk (t) (ck komplex, φk (t) orthonormal) allgemein gilt: k Z X 2 2 |s(t)| dt = |ck | T k Aufgabe 3.15 Bestimmen Sie die Hilbert-Transformierte der folgenden Signale: a) s(t) = rect(t) b) s(t) = si(πt) c) s(t) = cos(2πF t) d) s(t) = exp(j2πF t) RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 15 Zu Kapitel 4 Aufgabe 4.1 Ein ideales Abtastsystem wird durch ∞ X g(t) = s(t) · δ(t − nT ) n=−∞ beschrieben. Ist das System linear? Ist es zeitinvariant? Aufgabe 4.2 s(t) = cos(2πF t) wird ideal mit einer der folgenden Abtastraten abgetastet: 3 5 9 r1 = F; r2 = F und r3 = F. 4 4 4 a) Bestimmen und skizzieren Sie die Fourier-Transformierten Sa (f ) der abgetasteten Signale für die drei Fälle. b) Die abgetasteten Signale werden jeweils durch einen idealen Tiefpass H(f ) der Grenzfrequenz fg = 1,2 · F bandbegrenzt. Bestimmen Sie die Ausgangssignale für die drei Fälle. 1 c) Welche minimale Abtastrate r = liefert eine fehlerfreie Rekonstruktion von s(t) mit dem Tiefpass T nach b)? Aufgabe 4.3  1 − f  für |f | ≤ fg , Ein Signal mit dem Spektrum S(f ) = fg habe eine Grenzfrequenz fg = 4 kHz.  0 sonst, a) Wie groß ist die Nyquist-Rate rN bei idealer Abtastung? Skizzieren Sie das Spektrum Sa (f ) des abgetasteten Signals. b) Zur Rekonstruktion des Signals aus dem abgetasteten Signal soll ein Tiefpass HRek (f ) mit endlicher Flankensteilheit verwendet werden. HRek (f ) 1 −f2 −f1 f1 f2 f 1 Wie müssen Abtastrate r = und f1 mindestens gewählt werden, damit eine fehlerfreie Interpo- T lation möglich ist? c) Skizzieren Sie das Spektrum Sa (f ) des abgetasteten Signals nach b). Aufgabe 4.4 Das Signal s(t) = 2fg si(2πfg t) wird a) mit der Nyquist-Rate rN = 2fg b) mit der doppelten Nyquist-Rate abgetastet. Skizzieren Sie das Spektrum des abgetasteten Signals und den Interpolationsvorgang qualitativ (wie Abb. 4.6 im Skript). © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 16 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 4.5 Ein Tiefpasssignal der Grenzfrequenz fg wird mit der Nyquistrate rN = 2fg ideal abgetastet und durch eine Treppenkurve sTre (t) näherungsweise rekonstruiert. a) Bestimmen Sie die Treppenkurve sTre (t) im Zeit- und Frequenzbereich. b) Geben Sie die Übertragungsfunktion eines Filters an, mit dem s(t) aus sTre (t) fehlerfrei rekonstruiert werden kann. (Zeitverzögerungen werden nicht berücksichtigt!) c) Zeigen Sie, dass ein derartiges Filter durch die skizzierte Schaltung realisiert werden kann. idealer sTre (t) + s(t) Tiefpass fg HR (f ) Bestimmen Sie HR (f ). Aufgabe 4.6 Gegeben ist der zeitdiskrete Rampenimpuls s(n) = n[ε(n) − ε(n − 5)]. Skizzieren Sie damit folgende Signale a) s(n) b) s(n + 2) c) s(−n) d) s(1 − n) e) 2s(n) · ε(n − 2) f) s(2n) n X g) s(n) · δ(n − 2) h) g(n) = s(m) m=−∞    s n n gerade, i) s(n) − s(n − 1) j) g(n) = 2 0 n ungerade. Aufgabe 4.7 Zwei zeitdiskrete Rechteckfunktionen s1 (n) und s2 (n),
s1|2 (n) = ε(n + M1|2 ) − ε n − (M1|2 + 1) (6.21) mit M1 = 2 und M2 = 5, werden miteinander gefaltet. Skizzieren Sie g(n) = s1 (n) ∗ s2 (n). Aufgabe 4.8 Gegeben ist das folgende zeitdiskrete Filter s(n) + δ(n − 1) g(n) a) Skizzieren Sie g(n) für s(n) = δ(n). b) Skizzieren Sie g(n) für s(n) = ε(n). RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 17 Aufgabe 4.9 Gegeben ist s(n) = δ(n) + 2δ(n − 1) − δ(n − 3) und h(n) = 2δ(n + 1) + 2δ(n − 1). Skizzieren Sie g1 (n) = s(n) ∗ h(n + 2) und g2 (n) = s(n + 2) ∗ h(n). Aufgabe 4.10  n 1 Ein LSI-System habe die Impulsantwort h(n) = ε(n). 5 a) Wie muss a gewählt werden, so dass h(n) + ah(n − 1) = δ(n)? b) Wie lautet die Impulsantwort h1 (n) des faltungsinversen Systems, d.h. so dass h(n) ∗ h1 (n) = δ(n)? c) Skizzieren Sie das Blockschaltbild eines IIR-Filters mit der Impulsantwort h(n). Aufgabe 4.11 1 Ein kausales LSI-System wird durch die Differenzengleichung g(n) = g(n − 1) + s(n) beschrieben. Wie 4 lautet die Impulsantwort h(n)? Aufgabe 4.12 Ein LSI-System wird durch folgende Differenzengleichung beschrieben: g(n) − 2g(n − 1) = s(n) + 2s(n − 2). a) Skizzieren Sie die Struktur des diskreten Filters. b) Bestimmen Sie die Impulsantwort h(n). Aufgabe 4.13 Bestimmen Sie die Fourier-Transformierten der folgenden zeitdiskreten Signale: a) δ(n − n0 ) b) s(n − n0 ) c) δ(n − 1) + δ(n + 1) d) δ(n + 2) − δ(n − 2) e) s(n) = a|n| für |a| < 1 f) s(n) − s(n − 1) g) s(n) + s(n − 1) h) n · s(n)  n−1 1 i) s(n) = ε(n − 1) 2 Aufgabe 4.14 Gegeben ist ein zeitdiskreter Rechteckimpuls s(n) = δ(n + 1) + δ(n) + δ(n − 1). a) Bestimmen Sie seine Fourier-Transformation Sa (f ). Skizzieren Sie Sa (f ) und geben Sie die Lage der Nullstellen in der ersten Periode an. b) Berechnen Sie die z-Transformation S(z) und skizzieren Sie die Pole und Nullstellen in der kom- plexen z-Ebene.
c) Verifizieren Sie Sa (f ), indem Sie S z = e j2πf bilden. Vergleichen Sie die Lage der Nullstellen von S(z) mit den Nullstellen von Sa (f ). © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 18 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 4.15  n  n 1 1 Gegeben ist das zeitdiskrete Signal s(n) = 7 · ε(n) − 6 · ε(n). 3 2 a) Bestimmen Sie die z-Transformierte S(z). b) Skizzieren Sie in der z-Ebene die Pole und Nullstellen und geben Sie den Konvergenzbereich an. Aufgabe 4.16 1 Gegeben ist die z-Transformierte S(z) =
. 1 − 31 z −1 (1 − 2z −1 ) a) Skizzieren Sie alle Pole und Nullstellen in der z-Ebene. b) Geben Sie drei mögliche Konvergenzbereiche und die Eigenschaften der zugehörigen zeitdiskreten Signale s1,2,3 (n) an. c) Für welchen Konvergenzbereich existiert auch eine Fourier-Transformierte? Aufgabe 4.17 3 − 56 z −1 1 Gegeben ist die z-Transformierte S(z) = 1 −1

, |z| >. 1− 4z 1 − 13 z −1 3 a) Bestimmen Sie über eine Partialbruchzerlegung und mit Tabellenbenutzung s(n). 1 1 b) Der Konvergenzbereich sei nun < |z| <. Bestimmen Sie s(n). 4 3 1 c) Der Konvergenzbereich sei nun |z| <. Bestimmen Sie s(n). 4 1 d) Geben Sie für den Konvergenzbereich |z| > eine Schaltung zur Erzeugung von s(n) aus einem 3 Einheitsimpuls δ(n) an. Aufgabe 4.18 Gegeben ist die z-Transformierte S(z) = 4z 2 + 2 + 3z −1 , 0 < |z| < ∞. Bestimmen Sie s(n). Aufgabe 4.19 Gegeben ist die Differenzengleichung eines Systems (s. Aufgabe 4.12) g(n) − 2g(n − 1) = s(n) + 2s(n − 2). a) Bestimmen Sie durch Anwendung der z-Transformation die Übertragungsfunktion H(z). b) Begründen Sie anhand der Lage der Pole und Nullstellen in der z-Ebene, ob das System stabil und kausal ist. RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 19 Aufgabe 4.20 Gegeben ist ein IIR-Filter gemäß folgender Abbildung: s(n) Σ 2 g(n) z −1 G(z) a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) = und geben Sie unter Beachtung der Kau- S(z) salität des Filters den Konvergenzbereich an. b) Skizzieren Sie das Pol-Nullstellendiagramm in der z-Ebene und kennzeichnen Sie den Konvergenz- bereich. Ist das System stabil? c) Bestimmen Sie die Impulsantwort des Filters. Aufgabe 4.21 Ein weiteres IIR-Filter ist gegeben s(n) Σ g(n) z −1 z −1 Σ G(z) a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) =. S(z) b) Skizzieren Sie das Pol-Nullstellendiagramm in der z-Ebene und kennzeichnen Sie den Konvergenz- bereich. c) Bestimmen Sie h(n) nach Partialbruchzerlegung von H(z) und Anwendung der Tabelle 4.3. Aufgabe 4.22 Gegeben sind h1 (n) und h3 (n) h1 (n) h3 (n) 3 3 2 2 1 1 −2 −1 1 2 3 4 n −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 n Gesucht wird h2 (n) für das gilt: h3 (n) = h1 (n) ∗ h2 (n). a) Bestimmen Sie zunächst H1 (z) mit Angabe des Konvergenzbereichs. b) Skizzieren Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm und kennzeichnen Sie den Konvergenzbereich. c) Bestimmen Sie h2 (n) durch Ausnutzung der Faltungseigenschaften der z-Transformation. Welchen Konvergenzbereich hat H2 (z)? © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 20 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 4.23 Die Sprungantwort gε (n) eines zeitdiskreten Systems mit der Übertragungsfunktion H1 (z) sei gegeben:  n 1 gε (n) = n · ε(n) ε(n) H1 (z) gε (n) 2 a) Bestimmen Sie die z-Transformierte Gε (z) der Sprungantwort des Systems und geben Sie den Konvergenzbereich an. b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H1 (z) und den zugehörigen Konvergenzbereich. c) Bestimmen Sie die Impulsantwort h1 (n). Aufgabe 4.24 Am Eingang der folgenden Kettenschaltung mit H1 (z) aus Aufgabe 4.23 liegt eine zeitdiskrete Folge s(n). s(n) H1 (z) H2 (z) s(n − n0 ) a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H2 (z), so dass am Ausgang die zeitverzögerte Folge s(n − n0 ) erscheint. b) Bestimmen Sie die Impulsantwort h2 (n). c) Wie groß muss die Zeitverzögerung n0 mindestens gewählt werden, damit sich H2 (z) physikalisch realisieren lässt? Skizzieren Sie eine einfache Realisierung für H2 (z). Aufgabe 4.25 Der ideale Differentiator hat die Übertragungsfunktion H(f ) = j2πf. Ein zeitdiskretes System soll diese 1 Übertragungsfunktion im Bereich |f | ≤ möglichst gut annähern. 2 a) Skizzieren Sie die Übertragungsfunktion Ha (f ) des idealen zeitdiskreten Differentiators. (−1)n b) Zeigen Sie, dass die Impulsantwort des Filters lautet: h(n) = für n ̸= 0. Welchen Wert n muss h(0) annehmen? c) Eine einfache, kausale Näherung an die Impulsantwort h(n) lautet h0 (n) = δ(n)−δ(n−2). Skizzieren Sie die zugehörige Übertragungsfunktion (Betrag). Aufgabe 4.26 Ein Signal s(t), dessen Fouriertransformierte S(f ) nur im Bereich f0 < |f | < 2f0 von Null verschieden ist, wird mit der Rate 2f0 abgetastet. Wie kann s(t) aus den Abtastwerten zurückgewonnen werden? Aufgabe 4.27 Bestimmen Sie die DFT-Koeffizienten für die folgenden diskreten periodischen Signale. Verwenden Sie jeweils eine DFT-Länge über M Abtastwerte, die der Periode des Signals entspricht. a) s(n) wie unten dargestellt.   π  2π b) s(n) = sin n cos n 3 2 RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 21 π  c) s(n) periodisch mit M = 4 und s(n) = 1 − sin n für 0 ≤ n ≤ 3. 4 π  d) s(n) periodisch mit M = 12 und s(n) = 1 − sin n für 0 ≤ n ≤ 11. 4 (i) s(n)... 1... −14 −7 7 14 21 n (ii) s(n)... 1... −18 −12 −6 6 12 18 n © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 22 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Zu Kapitel 5 Aufgabe 5.1 Ein idealer Kurzzeit-Integrator besitzt die Impulsantwort   1 t 1 h(t) = rect −. T T 2 =s(t) z }| { k k + 12 a) Berechnen Sie das Ausgangssignal g(t) = cos(2πF t) ∗h(t) für die Fälle F = und F =. T T b) Bestimmen Sie S(f ), H(f ) und interpretieren Sie das Ergebnis aus a) im Frequenzbereich. Aufgabe 5.2 a) Beschreiben Sie einen RC-Tiefpass (R · C = T ) durch |H(f )| und φ(f ) (vgl. Aufgabe 1.1). b) Berechnen Sie das Dämpfungsmaß a(f ), die Phasenlaufzeit tp (f ) und die Gruppenlaufzeit tg (f ). c) Ist der RC-Tiefpass ein linearphasiges System? Treten bei Übertragung rein sinusförmiger Signale Phasenverzerrungen auf? d) Welche Verzerrungen erfährt eine periodische Rechteckimpulsfolge der Periode T ? Aufgabe 5.3 RC-Tiefpass − R·C =T + a) Bestimmen Sie die Impulsantwort h(t) des Systems. b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(f ) mit Hilfe der Fourier-Transformation. c) Skizzieren Sie die Schaltung eines Vierpols mit einem Widerstand R und einem Kondensator C mit der gleichen Übertragungsfunktion H(f ). L d) Wie c) mit Widerstand R und Induktivität L. Wie muss die Zeitkonstante gewählt werden? R Aufgabe 5.4   1 t 1 Ein „Kurzzeit-Integrator“ mit der Impulsantwort h1 (t) = rect − soll mit einem Laufzeitglied T1 T1 2 (hL (t) = δ(t − t0 )) und einem RC-Tiefpass (RC = T ) wie abgebildet approximiert werden. + RC- Tiefpass a hL (t) − a) Wie müssen R · C = T , der Faktor a sowie t0 gewählt werden, damit die Impulsantwort h(t) des Systems um maximal 1% von der idealen Rechteckform h1 (t) abweicht? b) Skizzieren Sie die reale Impulsantwort h(t). RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 23 Aufgabe 5.5 a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(f ) der rückwirkungsfreien Kettenschaltung zweier iden- tischer RC-Tiefpässe (R · C = T ). b) Bestimmen und skizzieren Sie die Impulsantwort h(t) der Kettenschaltung. c) Bestimmen Sie die Impulsantwort des RLC-Systems (Abb. 2.5 im Skript) für den Grenzfall (b = 0) aus (2.40). Geben Sie Beziehungen für R, L und C an, so dass sich identische Eigenschaften mit der RC-Kettenschaltung ergeben. Aufgabe 5.6 + δ(t − T ) h(t) a) Bestimmen Sie Impulsantwort h(t) und Übertragungsfunktion H(f ) des „Kammfilters“ nach Betrag und Phase. b) Bestimmen und skizzieren Sie das Dämpfungsmaß a(f ) sowie das Phasenspektrum φ(f ). Aufgabe 5.7 a) Betrachten Sie s für das RLC-Netzwerk (Abb. 2.5 im Skript) die Impulsantwort h(t) für den Fall  2  2 R 1 R 1 R a= , β= − mit >. 2L LC 2L LC 2L Berechnen Sie hierzu die Fourier-Übertragungsfunktion H(f ). b) Es sei R = 0. Bei welcher Frequenz f0 wird das System schwingen (Oszillator)? Skizzieren Sie |H(f )|. Z eax Hinweis: eax sin(bx)dx = [a sin(bx) − b cos(bx)] a2 + b2 Aufgabe 5.8 Berechnen und skizzieren Sie Impulsantwort und Übertragungsfunktion eines Bandpasssystems mit hT (t) = j · rect(t) und f0 = 10. Wie lässt sich dieses Bandpasssystem mit Hilfe von Tiefpässen reali- sieren? Aufgabe 5.9 Berechnen und skizzieren Sie hT (t) und HT (f ) eines idealen Bandpasssystems, wenn f0 gleich der oberen Grenzfrequenz ist. Berechnen Sie h(t) aus hT (t). Aufgabe 5.10 Ein Butterworth-Tiefpass mit n energiespeichernden Elementen (Induktivitäten und Kapazitäten) hat die Übertragungsfunktion 1 |H(f )| = r  2n 1+ f fg a) Wie groß ist das Dämpfungsmaß bei der „Grenzfrequenz“fg ? © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 24 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ b) Skizzieren Sie |H(f )| für die Filtergrade n ∈ {1,2} und n → ∞. Für welche n und fg ergibt sich die Betragsübertragungsfunktion der RC-Tiefpass-Schaltung? c) Welcher Filtergrad n ist notwendig, damit das Dämpfungsmaß a(f ) im Bereich |f | ≤ 0,8 fg weniger als 1 dB ansteigt? RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 25 Zu Kapitel 6 Aufgabe 6.1 s(t) sei ein beliebiges Energiesignal mit Energie Es. Welche Energie hat das skalierte Signal   t + t0 s1 (t) = a · s ? T Aufgabe 6.2 Berechnen Sie die Abhängigkeit der Kreuzkorrelationsfunktion φE f g (τ ) von der Autokorrelationsfunktion φE ss (τ ) in folgender Schaltung: f (t) s(t) h1 (t) h2 (t) g(t) Aufgabe 6.3 Bestimmen Sie für die folgenden Zeitfunktionen s(t) die Autokorrelationsfunktion φE ss (τ ), das Amplitu- dendichtespektrum S(f ) sowie das Energiedichtespektrum |S(f )|2. Überlegen Sie für jeden Fall, in welcher Reihenfolge die Bestimmung der Funktionen am einfachsten erfolgen kann. a) Rechteckimpuls b) Dreieckimpuls c) si-Funktion d) Gauß-Impuls e) s(t) = δ(t) + δ(t − T ) Aufgabe 6.4 Zeigen Sie, dass gerade und ungerade Komponenten eines beliebigen reellen Signals zueinander orthogonal sind. Aufgabe 6.5 a) Berechnen Sie die Leistung und die Autokorrelationsfunktion φLss (τ ) der Signale s1 (t) = a cos(2πt), s2 (t) = a sin(2πt) und s3 (t) = ε(t). b) Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion der Signale s1 (t) und s2 (t). Aufgabe 6.6 Zwei Energiesignale werden addiert (subtrahiert). Unter welcher Bedingung ist die Gesamtenergie gleich der Summe der einzelnen Energien? Aufgabe 6.7 Berechnen und skizzieren Sie Autokorrelationsfunktion, Amplitudendichtespektrum und Energiedichte- spektrum eines Bandpasssignals mit dem äquivalenten Tiefpasssignal   t sT (t) = rect T 10 bezüglich der Mittenfrequenz f0 =. T © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 26 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Zu Kapitel 7 Aufgabe 7.1 Gegeben ist eine Schar von Gleichspannungen k s(t) = Ak für k ∈ N. Die Amplitude Ak kann einen der Werte 0 V oder 2 V annehmen, die jeweils mit gleichen Wahrschein- lichkeiten vorkommen. a) Wie groß sind die Scharmittelwerte E{s(t1 )} , E{s2 (t1 )} , E{s3 (t1 )} und E{s(0) · s(t1 )} für t1 = 0 s und t1 = 15 s? Ist der Prozess stationär? b) Wie groß sind die entsprechenden Zeitmittelwerte für die zwei möglichen Amplituden? Ist der Prozess ergodisch? Aufgabe 7.2 Für die Musterfunktionen k s(t) eines ergodischen Prozesses werden wie folgt Kurzzeitmittelwerte gebildet:   ZT 1 k m(T ) = k s(t)dt. T 0 a) Sind die k m(T ) für alle k gleich oder ist m(T ) eine Zufallsgröße? b) Wie groß ist E{m(T )} im Vergleich zu k s(t)? Aufgabe 7.3 Zufallssignale si (t) aus N verbunden stationären Prozessen mit den Mittelwerten msi und den Streuungen σs2i werden addiert. Berechnen Sie die Leistung des Summenprozesses, wenn µsi sj (0) = 0 für i ̸= j. Aufgabe 7.4 Am Eingang eines RC -Systems der Impulsantwort 1 h(t) = ε(t) · e− RC t RC liegt weißes Rauschen der Leistungsdichte N0. a) Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum ϕgg (f ) des Ausgangsprozesses und daraus dessen Lei- stung Lg. b) Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion φgg (τ ) und daraus Lg. Aufgabe 7.5 Zwei LTI-Systeme mit den Impulsantworten h1 (t) und h2 (t) sind eingangsseitig parallel geschaltet. h1 (t) g(t) s(t) h2 (t) f (t) Am Eingang dieser Schaltung liegt ein stationärer Zufallsprozess mit der Autokorrelationsfunktion φss (τ ). RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 27 a) Zeigen Sie, dass für die Kreuzkorrelationsfunktion φgf (τ ) der Ausgangssignale gilt φgf (τ ) = φss (τ ) ∗ φE h1 h2 (τ ). b) Zeigen Sie, dass bei Anregung mit weißem Rauschen und bei Orthogonalität der Impulsantworten beider Systeme φgf (0) = 0 gilt. c) Welche Bedingung müssen die Filter erfüllen, damit g(t) und f (t) unkorreliert sind, also µgf (τ ) = 0 ist? Aufgabe 7.6 Auf den Eingang eines LTI-Systems der Impulsantwort h(t) wird weißes Rauschen n(t) der Leistungs- dichte N0 gegeben. Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion und das Kreuzleistungsdichtespektrum zwischen Eingangs- und Ausgangssignal. Wie lässt sich das Ergebnis zur Messung der Impulsantwort benutzen? Aufgabe 7.7 Weißes Rauschen n(t) der Leistungsdichte N0 wird auf einen idealen Bandpass h(t) der Bandbreite f∆ und der Mittenfrequenz f0 gegeben. Bestimmen Sie für den Ausgangsprozess g(t) = n(t) ∗ h(t) a) das Leistungsdichtespektrum, b) Mittelwert, quadratischen Mittelwert und Streuung, c) die Autokorrelationsfunktion, d) die Kreuzkorrelationsfunktion zum Eingangsprozess. f∆ e) Der Eingangsprozess wird gleichzeitig auf einen idealen Tiefpass der Grenzfrequenz fg ≤ f0 − 2 gegeben. Wie lautet die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen den Ausgangsprozessen des Tief- und Bandpasses? Aufgabe 7.8 Zwei verbunden stationäre Prozesse s(t) und g(t) sind unkorreliert. Sie besitzen die Leistungsdichtespek- tren ϕss (f ) = rect(f ) + 2δ(f ) und ϕgg (f ) = Λ(f ). a) Wie groß sind Mittelwerte, Leistungen und Streuungen der beiden Prozesse? b) Skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum des Summenprozesses f (t) = s(t) + g(t). Wie lautet seine Autokorrelationsfunktion? Wie groß sind seine Leistung und Streuung? c) Die Prozesse werden miteinander multipliziert, p(t) = s(t) · g(t). Bestimmen Sie den Mittelwert E{p(t)} des Produktprozesses. Aufgabe 7.9 Zeitdiskretes weißes Rauschen der Leistung N wird differenziert. Berechnen und skizzieren Sie das resul- tierende Leistungsdichtespektrum. Wie groß ist die Leistung? Hinweis: Benutzen Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 4.25. © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 28 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 7.10 Skizzieren Sie Verteilungs- und Verteilungsdichtefunktion für die folgenden (determinierten) Zeitfunktio- nen (sofern nicht anders angegeben, identisch lange Zeitabschnitte) s(t) s(t)... 1... 1...... a) b) t t s(t) s(t)... 1...... 1... c) d) t t s(t) s(t) 1... 1......... e) f) 1 1 2 t t s(t) s(t) 1......... 1... 1 4 g) h) 1 1 1 t 2 t Aufgabe 7.11 Gegeben ist ein stationärer Zufallsprozess s(t) mit der Verteilungsdichtefunktion   1 x−b ps (x) = rect a a sowie der Leistung Ls = 2. a) Bestimmen Sie für b = 1 den Mittelwert ms , die Varianz σs2 und den Wert a. Nun sei b = 0. Bei dem Prozess  handelt es sich um tiefpassbegrenztes Rauschen mit dem Leistungsdich- f tespektrum ϕss (f ) = rect. 2fg b) Bestimmen Sie die Grenzfrequenz fg und die Autokorrelationsfunktion φss (τ ).   f Der Prozess wird über das folgende System mit h(t) H(f ) = rect übertragen. fg f (t) h(t) s(t) + g(t) c) Skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum ϕgg (f ). d) Bestimmen Sie die Autokorrelationsfunktion φgg (τ ) sowie die Leistung Lg des Ausgangsprozesses. e) Bestimmen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion φsf (τ ) = φss (τ ) ∗ h(t) ϕsf (f ) = ϕss (f ) · H(f ). RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 29 Aufgabe 7.12 Es sind zwei Funktionsverläufe gegeben. 1 γ 4 (i) (ii) −2 2 −α α a) Begründen Sie, ob es sich bei i) bzw. ii) möglicherweise um Verteilungsdichtefunktionen handelt. b) Begründen Sie, ob es sich bei i) bzw. ii) möglicherweise um Autokorrelationsfunktionen stationärer Prozesse handelt. Aufgabe 7.13 Ein Zufallsprozess s(t) ist gegeben durch k s(t) = A cos(2πt + φk ), mit φk gleichverteilt im Bereich [0, 2π]. a) Begründen Sie, dass Folgendes gilt: E{s(t1 )} = k s(t), mit t1 , k beliebig. π b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion Ps (x) anhand einer Musterfunktion k s(t) mit φk = −. 2 Hinweis: Betrachten Sie eine halbe Periode des Zufallssignals. c) Skizzieren Sie qualitativ die Verteilungsdichtefunktion ps (x). Aufgabe 7.14 1 ∞ X Die Pulsfolge f (t) = an ·Λ (t − 3n) mit an binär und Prob [an = 1] = Prob [an = 0] = ist gegeben. n=−∞ 2 a) Bestimmen Sie pf (x) und Pf (x). b) Bestimmen Sie mf und Lf. Aufgabe 7.15    X 1 ∞ √ Es wird das Signal s(t) = t · rect t − ∗ δ(t − n) betrachtet. 2 n=−∞ a) Skizzieren Sie s(t) im Bereich −2 ≤ t ≤ 2. b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion Ps (x) und die Verteilungsdichtefunktion ps (x). c) Berechnen Sie den Mittelwert ms , die Leistung Ls und die Varianz σs2 von s(t). Aufgabe 7.16   t Am Eingang eines LTI-Systems mit Impulsantwort h(t) = rect liegen Musterfunktionen eines sta- τ  2 tionären Gauß-verteilten Prozesses s(t) mit φss (τ ) = Λ an. 2 a) Skizzieren Sie φE hh (τ ). b) Geben Sie Ls , ms und ps (x) an. c) Bestimmen Sie Lg , mg und pg (x) am Ausgang von h(t). © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 30 Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 7.17 Es wird ein LTI-System mit der Impulsantwort h(t) betrachtet. a) Am Eingang des Systems liegt weißes Rauschen der Leistungsdichte N0 an. Es wird φsg (τ ) = N0 δ(τ ) − N0 δ(τ − 1) als Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingang und Ausgang von h(t) gemes- sen. Geben Sie h(t) und φE hh (τ ) an. b) Es wird nun das Signal s1 (t) = 2 · rect(t) an den Eingang von h(t) angelegt. Bestimmen Sie die Autokorrelationsfunktion φE g1 g1 (τ ) des Ausgangssignals g1 (t). c) Geben Sie die Energie Eg1 von g1 (t) an. RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Übungsaufgaben „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 31 Zu Kapitel 8 Aufgabe 8.1 − → Am Eingang einer leerlaufenden Leitung der Länge l liegt eine Spannungsquelle mit U0 und dem Innen- − → widerstand Zi. − → − → a) Berechnen Sie das Verhältnis der Leerlaufspannung U2 zu U0. − → → − 3π b) Es sei Zi = Z (Wellenwiderstand der Leitung) und αl = ln 5 sowie βl =. 4 − → U2 Berechnen Sie −→ in dB. U0 Aufgabe 8.2 − → − → U2 Die Leitung nach 8.1 werde mit Za belastet. Berechnen Sie − →. U0 a) in allgemeiner Form, b) für eine verlustfreie Leitung, d.h. R = G = 0, ′ ′ π c) für α = 0 und l =. 2β → − d) Welche Größe muss der Wellenwiderstand Z bei der Leitung nach c) haben, damit bei reellen − → Abschlüssen U2 möglichst groß wird? Aufgabe 8.3 Für eine verlustlose Leitung ist der Verlauf des Eingangswiderstandes in Abhängigkeit von der Leitungs- länge zu berechnen, wenn a) das Leitungsende kurzgeschlossen, b) das Leitungsende offen ist. Aufgabe 8.4 − → − → Berechnen Sie den Eingangswiderstand Z1 einer verlustlosen Leitung, die mit Za abgeschlossen ist, in → − − → allgemeiner Form und für die Werte Z = 60 Ω, Za = 30 Ω, wenn die Leitungslänge λ λ 2π a) l = und b) l = beträgt (Es gilt: λ = ). 2 4 β Aufgabe 8.5 Ein Koaxialkabel der Länge l = 20 m kann als verlustlos betrachtet werden. Es wird eingangsseitig durch → − eine 16 MHz Wechselspannung von 1 Veff gespeist. Skizzieren Sie den Verlauf U (s) über die Kabellänge l, a) wenn das Leitungsende offen ist und → − b) wenn die Leitung mit dem Wellenwiderstand Z abgeschlossen ist. √ s Hinweis: Für die Leitung gilt: L′ C ′ = 3,466 · 10−9. m Berechnen Sie β und damit die örtliche Wellenlänge λ. © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT Lösungen Lösungen „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 35 Zu Kapitel 1 Aufgabe 1.1 a) Z 1 u1 (t) = R i(t) + u2 (t) mit i(t) = u2 (t)dt L Z R ⇒ u1 (t) = u2 (t) dt + u2 (t) L Lineare Systeme: mit u1 (t) = Be j2πF t („Eigenfunktion“) ⇒ u2 (t) = B · H(F )e j2πF t damit: 1 j2πF T L H(F ) = = mit T = 1+ R 1 + j2πF T j2πF L R |2πF T | p ⇒ |H(F )| = p = H(F ) · H ∗ (F ) und 1 + (2πF T ) 2    0 Im {H(F )} für Re{H(F )} ≥ 0 , φ(F ) = arctan ± κ(F ) · π mit κ(F ) = Re {H(F )} 1 für Re{H(F )} < 0.   1 ⇒ φ(F ) = arctan 2πF T RL-Hochpass: |H(F )| 1 φ(F ) √1 π 2 2 π 4 −R L R L 2πF −R L R L 2πF − π4 − π2 b) d u2 (t) u1 (t) = i(t) · R + u2 (t) mit i(t) = C dt d u2 (t) ⇒ u1 (t) = R · C + u2 (t) mit u1 (t) = B · e j2πF t dt 1 ⇒ H(F ) = mit T =R·C 1 + j2πF RC 1 |H(F )| = p φ(F ) = arctan(−2πF T ) 1 + (2πF T )2 RC -Tiefpass: |H(F )| 1 π 2 φ(F ) √1 2 π 4 1 RC 1 1 1 − RC 2πF − RC 2πF RC − π4 − π2 © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 36 Lösungen „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 1.2 n o u1 (t) = û1 cos(2πF t + φ1 ) = Re û1 e j(2πF t+φ1 ) n o u2 (t) = Re û1 e j(2πF t+φ1 ) · H(F ) mit H(F ) = |H(F )| e jϕ(F ) ⇒ u2 (t) = û1 |H(F )| cos (2πF t + φ1 + ϕ(F )) Aufgabe 1.3  1 für t ≥ 0 , a) ε(t) = 0 sonst. t
ε T ε(−t) ε(1 − t) 1 1 1 T >0 (i) (ii) (iii) 1 1 T t t t
  ε t = ε − |Tt | ε(1 − t2 ) 1 1 T T 1/2 , b) rect(t) = 1 für |t| ≤ 1/2. rect(t) rect(t − 1) 1 1 (i) (ii) − 12 1 1 1 3 2 t 2 2 t rect(2t + 1) = rect(2 − t) = rect(−[t − 2])  
rect 2 t + 12 1 1 (gespiegelt) (gestaucht) (iii) (iv) 1 3 2 5 − 12 2 2 t t c) r(t) = t · ε(t) r(t) − r(t − T ) T T (i) (ii) T t T t RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Lösungen „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 37 d) rect(t) · cos(2πF t) rect(t) · cos(2πF t) 1 1 F =1 1 F = 2 − 12 1 2 (i) (ii) − 12 1 2 t t −1 rect(t) · cos(2πF t) 1 F = 10 (iii) − 12 1 2 t   t+b e) rect für a = ±2, b = ±1 und b = 0. a

rect t+b a rect t+b a 1 1 b=0 b = +1 b = −1 a = ±2 a = ±2 a = ±2 (i) (ii) −1 1 −2 −1 1 2 t t a=2 Dehnung a = −2 Dehnung und Spiegelung f) g(t) = t · ε(t) 2 ε(t) 1 1 2 t Aufgabe 1.4 ( ) X ! X X Lineares System: Tr ai si (t) = ai Tr {si (t)} = ai gi (t) i i i Zeitinvariant: Tr{s(t − t0 )} = g(t − t0 ) d a) g(t) = s(t) ( dt ) X d X X d X Tr ai si (t) = ai si (t) = ai si (t) = ai gi (t) ⇒ linear i dt i i dt i d Tr {s(t − t0 )} = s(t − t0 ) = s′ (t − t0 ) = g(t − t0 ) ⇒ zeitinvariant dt © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 38 Lösungen „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ b) g(t) ( = s(−t) ) X X X Tr ai si (t) = ai si (−t) = ai gi (t) ⇒ linear i i i Tr {s(t − t0 )} = s(−t − t0 ) ̸= g(t − t0 ) = s(−t + t0 ) ⇒ nicht zeitinvariant c) g(t) ( = 1 + s(t) ) X X X Tr ai si (t) = 1 + ai si (t) ̸= ai gi (t) ⇒ nicht linear i i i Tr {s(t − t0 )} = 1 + s(t − t0 ) = g(t − t0 ) ⇒ zeitinvariant d) g(t) ( = s(t) · m(t)) (z. B. Modulator) X X X X Tr ai si (t) = m(t) · ai si (t) = ai si (t)m(t) = ai gi (t) ⇒ linear i i i i Tr {s(t − t0 )} = s(t − t0 ) · m(t) ̸= g(t − t0 ) = s(t − t0 ) · m(t − t0 ) ⇒ nicht zeitinvariant e) g(t) = s2 (t) ⇒ nicht lin., aber zeitinv.   t f) g(t) = s „Dehnung“ ( 3 ) X X   X t Tr ai si (t) = ai si = ai gi (t) ⇒ linear 3 i  i  i   t t t0 Tr {s(t − t0 )} = s − t0 ̸= g(t − t0 ) = s − ⇒ nicht zeitinv. 3 3 3 g) g(t) = s(t − 2) + s(2 + t) ⇒ linear und zeitinv. Zt h) g(t) = s(τ ) dτ −∞ ( ) Zt X Zt X X X Tr ai si (t) = ai si (τ )dτ = ai si (τ )dτ = ai gi (t) ⇒ linear i −∞ i i −∞ i Zt Tr {s(t − t0 )} = s(τ − t0 )dτ = g(t − t0 ) ⇒ zeitinvariant −∞ Aufgabe 1.5 a) g(t) Z∞ 1 g(t) = ε(t) ∗ rect(t) = ε(τ ) · rect(t − τ )dτ −∞   1   0 für t < −   2     − 12 1 1 1 1 1 1 2 t = t+ für − ≤ t ≤ = t+ rect(t) + ε t −   2 2 2 2 2   1 1 für t > 2  1 − |t| für |t| ≤ 1 , b) g(t) = rect(t) ∗ rect(t) = g(t)=Λ(t) 0 sonst. 1 −1 1 t     c) g(t) = ε(t) · e−t ∗ ε(t) · e−t = t · e−t · ε(t) g(t) 0,37 1 t RWTH Aachen University, IENT © 2024 Ohm Lösungen „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ 39 Aufgabe 1.6     ε(t) ∗ et · ε(t) = ε(t) · et − 1   ε(t) ∗ et · ε(t) = ε(t) · et ⇒ Multiplikation und Faltung nicht vertauschbar. Aufgabe 1.7 g(t) − g(t − 2) 1 a) s(t) − s(t − 2) ⇒ g(t) − g(t − 2) 1 2 3 4 t g(t) + 2g(t + 1) 2 b) s(t) + 2s(t + 1) ⇒ g(t) + 2g(t + 1) −1 1 2 t g(t) + g(t − 1) 1 nur für dieses spezielle Signal! ↓ c) s(t/2) = s(t) + s(t − 1) ⇒ g(t) + g(t − 1) 1 2 3 t Aufgabe 1.8   d s(t) ∗ h(t) = [δ ′ (t) ∗ s(t)] ∗ h(t) = s(t) ∗ δ ′ (t) ∗ h(t) = s(t) ∗ h′ (t) dt mit Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der Faltungsalgebra. Aufgabe 1.9     Z∞ Z∞ Z∞ Z∞ Z∞ A=  s(τ )g(t − τ )dτ  dt = s(τ )  g(t − τ )dt dτ = Ag s(τ )dτ = Ag · As −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ | {z } =Ag Aufgabe 1.10 s1 (t) s1 (t) ∗ ε(t) a s′1 (t) a·T (a) a) T T t t T t (−a) s2 (t) s2 (t) ∗ ε(t) a aT s′2 (t) a T aT 2 b) T 2T t T 2T t T 2T t − Ta © 2024 Ohm RWTH Aachen University, IENT 40 Lösungen „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ Aufgabe 1.11