Forces et Statique - Chapitre 1 PDF

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Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Forces et Statique Chapitre 1 : notions préliminaires Simon Gsell [email protected] Aix-Marseille Université (AMU) Institut de Recherche sur les Phénomènes Hors Équilibre (IRPHE) Septembre 2024 Forces et statique, chapitre 1 1 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Quelques informations pratiques Emploi du temps Evaluation 16 cours/TD de 2h en 5 mini-exams au cours du semestre: groupe questions cours et TD notées sur 5 (CC) Un partiel fin Octobre (P) Infos et contact Un examen en fin de semestre (ET) AMeTICE (Cours, TD, NF = Max (ET; 0,2*P + 0,2*CC + corrigés) 0,6*ET) [email protected] Forces et statique, chapitre 1 2 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Méthodes de travail Présence en classe Révision régulière Régularité Posture active en cours Réflexivité Activité Compréhension des Auto-évaluation objectifs du cours Révision active en faisant des exercices Auto-critique Forces et statique, chapitre 1 3 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Objectif de ce cours Savoir prédire les conditions mécaniques nécéssaires pour qu’un objet reste immobile... ou savoir prédire sa chute ! Exemples issus des TDs ou des examens Le chat va t-il tomber ? Forces et statique, chapitre 1 4 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Objectif de ce cours Savoir prédire les conditions mécaniques nécéssaires pour qu’un objet reste immobile... ou savoir prédire sa chute ! Exemples issus des TDs ou des examens La mêlée va t-elle céder ? Forces et statique, chapitre 1 4 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Objectif de ce cours Savoir prédire les conditions mécaniques nécéssaires pour qu’un objet reste immobile... ou savoir prédire sa chute ! Exemples issus des TDs ou des examens Le bateau va t-il chavirer ? Forces et statique, chapitre 1 4 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Objectif de ce cours Savoir prédire les conditions mécaniques nécéssaires pour qu’un objet reste immobile... ou savoir prédire sa chute ! Exemples issus des TDs ou des examens L’avion peut-il se maintenir en l’air ? Forces et statique, chapitre 1 4 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Chapitre 1 : notions préliminaires Forces et statique, chapitre 1 5 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Qu’est-ce que la mécanique ? Forces et statique, chapitre 1 6 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Qu’est-ce que la mécanique ? Définition de la mécanique Etude du mouvement des objets et ensembles d’objets matériels Applications quotidiennes et industrielles Transport, Energie, Biologie/santé/sport, Arts/culture... futura-sciences.com Forces et statique, chapitre 1 7 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Qu’est-ce que la mécanique ? Définition de la mécanique Etude du mouvement des objets et ensembles d’objets matériels Applications quotidiennes et industrielles Transport, Energie, Biologie/santé/sport, Arts/culture... totalenergies.fr Forces et statique, chapitre 1 7 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Qu’est-ce que la mécanique ? Définition de la mécanique Etude du mouvement des objets et ensembles d’objets matériels Applications quotidiennes et industrielles Transport, Energie, Biologie/santé/sport, Arts/culture... clinicallab.com SBNation.com Forces et statique, chapitre 1 7 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Qu’est-ce que la mécanique ? Définition de la mécanique Etude du mouvement des objets et ensembles d’objets matériels Applications quotidiennes et industrielles Transport, Energie, Biologie/santé/sport, Arts/culture... Forces et statique, chapitre 1 7 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Qu’est-ce que la mécanique ? Définition de la mécanique Etude du mouvement des objets et ensembles d’objets matériels Cinématique : étude des Dynamique : étude des liens mouvements de manière entre un mouvement et ses descriptive (positions, vitesses, causes (les forces), prédiction du accélérations). mouvement Forces Mouvements (ou absence de mouvement !) Cinématique Dynamique Forces et statique, chapitre 1 8 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Qu’est-ce que la statique ? Comprendre les objets en mouvements, c’est d’abord comprendre les objets immobiles ! Problèmes de statique : déterminer les conditions à satisfaire pour qu’un système matériel soit à l’équilibre, pour que tous ses points soient immobiles au cours du temps. Forces et statique, chapitre 1 9 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Quelles sont les différentes formes de la matière ? Forces et statique, chapitre 1 10 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les formes de la matière : la forme solide Echelle microscopique Echelle macroscopique Interactions fortes entre Présente une forme propre et molécules (ou entre atomes) des propriétés élastiques Petits déplacements autour Est quasiment incompressible d’une position d’équilibre Distance inter-moléculaire ∼ 10−10 m − 10−9 m Forces et statique, chapitre 1 11 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les formes de la matière : la forme liquide Echelle microscopique Echelle macroscopique Interactions plus faibles entre Ne présente pas de forme molécules (ou entre atomes) propre Déplacements relatifs des S’écoule en présence de molécules contraintes Distance inter-moléculaire Reste incompressible ∼ 10−10 m Forces et statique, chapitre 1 12 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les formes de la matière : la forme gazeuse Echelle microscopique Echelle macroscopique Interactions faibles entre Ne présente pas de forme molécules (chocs) propre Déplacements relatifs des S’écoule en présence de molécules contraintes Distance inter-moléculaire Est compressible ! ∼ 10−9 m alstom.com Forces et statique, chapitre 1 13 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les modèles en mécanique Solide Liquide Gaz Fluides Solides Solides indéformables déformables Mécanique des milieux continus Translation Translation/ uniquement rotation Mécanique du Mécanique du point matériel corps rigide Forces et statique, chapitre 1 14 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les principes de la mécanique classique Forces et statique, chapitre 1 15 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les principes de la mécanique classique : La notion de référentiel Pour décrire le mouvement d’un système matériel il faut pouvoir le repérer : savoir donner sa position dans l’espace à un instant donné, ce qui se fait au moyen d’un référentiel Un repère Objet de référence définissant les longueurs et les directions de l’espace O = Solide de référence auquel on attache un trièdre (e⃗x , e⃗y , e⃗z ) Forces et statique, chapitre 1 16 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les principes de la mécanique classique : La notion de référentiel Pour décrire le mouvement d’un système matériel il faut pouvoir le repérer : savoir donner sa position dans l’espace à un instant donné, ce qui se fait au moyen d’un référentiel Une horloge Phénomènes périodiques de référence, naturels ou non, qui permettent de mesurer des durées. Horloge de référence + origine des temps = chronologie Forces et statique, chapitre 1 17 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les principes de la mécanique classique : Le Principe Fondamental de la Dynamique Il existe au moins un référentiel R, dit référentiel galiléen, dans lequel le mouvement d’un point matériel M est décrit par la loi : P⃗ m⃗aM/R = Fext→M Définitions m est la masse du point matériel M ⃗aM/R est l’accélération de M dans R F⃗ext→M est une force extérieure s’appliquant sur le point M Forces et statique, chapitre 1 18 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les principes de la mécanique classique : Le Principe Fondamental de la Dynamique Il existe au moins un référentiel R, dit référentiel galiléen, dans lequel le mouvement d’un point matériel M est décrit par la loi : P⃗ m⃗aM/R = Fext→M Précisions sur les forces Le PFD est une équation vectorielle : les forces extérieures sur M sont représentées par des vecteurs. Ces forces s’appliquent en un point bien particulier de l’espace : le point M. Une force est caractérisée par une norme, une direction, un sens d’application et un point d’application : c’est un vecteur lié. Forces et statique, chapitre 1 19 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les principes de la mécanique classique : Le Principe Fondamental de la Dynamique Il existe au moins un référentiel R, dit référentiel galiléen, dans lequel le mouvement d’un point matériel M est décrit par la loi : P⃗ m⃗aM/R = Fext→M Vecteur Force = norme + direction + sens + point d'application Vecteur lié Forces et statique, chapitre 1 20 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les principes de la mécanique classique : Le Principe Fondamental de la Dynamique Il existe au moins un référentiel R, dit référentiel Galiléen, dans lequel le mouvement d’un point matériel M est décrit par la loi : P⃗ m⃗aM/R = Fext→M Précautions importantes pour le PFD Il faut préciser le référentiel R dans lequel on se place et préciser qu’il faut le supposer galiléen pour pouvoir y écrire le PFD. Il faut bien préciser le système matériel auquel on s’intéresse. Attention, c’est important pour définir les forces externes ! Il faut déterminer les forces externes qui seront importantes pour la dynamique du système. Forces et statique, chapitre 1 21 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les principes de la mécanique classique : Le Principe des Actions Réciproques Soient M1 et M2 deux points matériels distincts, F⃗M1 →M2 la force exercée par M1 sur M2 et F⃗M2 →M1 la force exercée par M2 sur M1. Dans tout référentiel R : F⃗M1 →M2 + F⃗M2 →M1 = 0. −−−→ Les forces F⃗M1 →M2 et F⃗M2 →M1 sont colinéaires à M1 M2. Forces et statique, chapitre 1 22 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les principes de la mécanique classique : Les lois de Newton Première loi : principe d’inertie Il existe des référentiels dits galiléens dans lesquels un point matériel isolé est animé d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme. Deuxième loi : PFD Dans un référentiel galiléen, l’accélération ⃗aM/R d’un point matériel de masse m soumis à une force F⃗ext→M est donnée par : F⃗ext→M ⃗aM/R = m Troisième loi : PAR Les interactions entre deux points matériels satisfont au principe des actions réciproques. Forces et statique, chapitre 1 23 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Qu’est ce qu’un point matériel ? La mécanique du point matériel s’applique à l’étude des solides indéformables en translation (=forme et orientation constantes) La mécanique du point matériel est un modèle destiné à décrire le mouvement d’un solide dont on néglige les mouvements de rotation et de déformation. Forces et statique, chapitre 1 24 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Qu’est ce qu’un système matériel statique ? Un système matériel est statique dans un référentiel R si tous ses points y présentent une accélération nulle. Pour un système initialement immobile, on dira que le système est statique si il conserve cette immobilité. Un point matériel M statique dans un référentiel R vérifie donc ⃗aM/R = ⃗0 Dans un repère galiléen, on a P⃗ M est statique ⇐⇒ Fext→M = ⃗0. Forces et statique, chapitre 1 25 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Qu’est ce que la mécanique classique ? Mécanique classique : science contruite à partir de ces principes fondamentaux Un grand succès dans de nombreux domaines (astronomie, transports, énergie, etc) mais... De nouvelles théories se sont avérées nécessaires pour rendre compte de certaines expériences : Mécanique relativiste pour les très hautes énergies, issue des théories de relativité restreintes et de relativité générale (Einstein). Mécanique quantique aux échelles atomiques et subatomiques. Forces et statique, chapitre 1 26 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Validité et hypothèses de la mécanique classique La mécanique classique est valide lorsque l’expérience considérée vérifie les bonnes conditions. Hypothèses de la mécanique classique On peut connaitre simultanément et avec une précision aussi élevée que l’on veut vitesse et position d’un point matériel. Tous les référentiels peuvent partager la même chronologie, c’est-à-dire que le temps s’écoule de la même façon dans tous les référentiels. L’espace est euclidien, c’est-à-dire que l’espace vectoriel associé est muni d’un produit scalaire qui permet de définir longueurs et angles de façon unique. L’espace et le temps sont continus. Forces et statique, chapitre 1 27 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Cadre physique : dimensions, unités, étalons Forces et statique, chapitre 1 28 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Cadre physique : dimensions L’étude du mouvement (ou de l’absence de mouvement) des objets matériels nécessite le recours aux longueurs (L), aux temps (T) et aux masses (M), qui sont des grandeurs physiques dites de base. Chacune de ces grandeurs est appelée dimension. Notation et opérations On utilise les crochets [ ] pour désigner la dimension d’une quan- tité physique [α] = L signifie que α est une longueur [v ] = L/T = L · T −1 signifie que v est une... vitesse PFD : dimension d’une force [F ] = M · L · T −2 Forces et statique, chapitre 1 29 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Unités et étalons Ces grandeurs (longueurs, masses, temps) sont quantifiées par comparaison à des étalons et exprimées au moyen d’unités. Dans certains domaines, il est crucial de définir un système d’unités universelles Vive le système métrique ! Devenu Système International (SI) Forces et statique, chapitre 1 30 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Système International (SI) 3 grandeurs principales en mécanique Temps : la seconde (s). Basée sur la fréquence de transition hyperfine de l’atome de Césium (mécanique quantique) ; mesurée par des horloges atomiques. Longueurs : le mètre (m). Trajet parcouru par la lumière pendant un certain nombre de secondes. Masses : le kilogramme (kg ). Basée sur la constante de Planck. Grandeurs bonus : le Newton ! Unité des forces, 1N = 1kg · m · s −2 Attention : ce n’est pas une grandeur de base ! Forces et statique, chapitre 1 31 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Système International (SI) Autres unités du système international Intensités électriques : l’ampère (A) Températures : le kelvin (K ) Quantités de matière : la mole (mol) Intensités lumineuses : la candela (cd) Forces et statique, chapitre 1 32 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Opérations sur les dimensions et grandeurs physiques Règles importantes pour les opérations On ne peut additionner que des grandeurs de même dimension La dimension du produit/rapport entre deux grandeurs est le produit/rapport de leurs dimensions Il existe des nombres sans dimensions obtenus par la division entre deux grandeurs de même dimensions. Les fonctions mathématiques telles que cos, sin, tan, ln, log , exp, etc ne s’appliquent qu’à des grandeurs sans dimensions. Exemples Combien font “un mètre”+ “3 degrés” ?! Forces et statique, chapitre 1 33 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Opérations sur les dimensions et grandeurs physiques Règles importantes pour les opérations On ne peut additionner que des grandeurs de même dimension La dimension du produit/rapport entre deux grandeurs est le produit/rapport de leurs dimensions Il existe des nombres sans dimensions obtenus par la division entre deux grandeurs de même dimensions. Les fonctions mathématiques telles que cos, sin, tan, ln, log , exp, etc ne s’appliquent qu’à des grandeurs sans dimensions. Exemples Les unités d’une vitesse sont les mètres par seconde (m.s −1 ). Quelles sont les unités d’une force ? Forces et statique, chapitre 1 33 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Opérations sur les dimensions et grandeurs physiques Règles importantes pour les opérations On ne peut additionner que des grandeurs de même dimension La dimension du produit/rapport entre deux grandeurs est le produit/rapport de leurs dimensions Il existe des nombres sans dimensions obtenus par la division entre deux grandeurs de même dimensions. Les fonctions mathématiques telles que cos, sin, tan, ln, log , exp, etc ne s’appliquent qu’à des grandeurs sans dimensions. Exemples Les angles n’ont pas d’unité ! Forces et statique, chapitre 1 33 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Opérations sur les dimensions et grandeurs physiques Bonne pratiques très importantes à noter Un résultat numérique doit impérativement être donné avec ses unités Il faut séparer expressions littérales et valeurs numériques Il faut toujours vérifier l’homogénéité d’un résultat, c’est à dire vérifier les dimensions de l’expression finale Exemples La distance Terre-Lune est de 42. Forces et statique, chapitre 1 34 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Opérations sur les dimensions et grandeurs physiques Bonne pratiques très importantes à noter Un résultat numérique doit impérativement être donné avec ses unités Il faut séparer expressions littérales et valeurs numériques Il faut toujours vérifier l’homogénéité d’un résultat, c’est à dire vérifier les dimensions de l’expression finale Exemples v = d/t = 22.3/12.1m.s −1 = 1.92m.s −1 Forces et statique, chapitre 1 34 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Opérations sur les dimensions et grandeurs physiques Bonne pratiques très importantes à noter Un résultat numérique doit impérativement être donné avec ses unités Il faut séparer expressions littérales et valeurs numériques Il faut toujours vérifier l’homogénéité d’un résultat, c’est à dire vérifier les dimensions de l’expression finale Exemples La force F s’écrit F = mL/T... vraiment ?! Forces et statique, chapitre 1 34 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Cadre mathématique : les vecteurs Forces et statique, chapitre 1 35 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Mini-test : vecteurs et produit scalaire 1 Dans le repère (O, e⃗x , e⃗y ), tracer le vecteur u ⃗ qui a pour origine le point A de coordonnées A(1, 0) et pour extrémité le point B(2, 2). Calculer les composantes du vecteur u ⃗ dans le repère (O, e⃗x , e⃗y ). Calculer la norme (le module) du vecteur u ⃗. Considérant le vecteur ⃗ v de composantes (0, 2), calculer les produits scalaires suivants : u⃗·⃗v, v ·u ⃗ ⃗, ⃗ v · e⃗x et ⃗ v · e⃗y. O Forces et statique, chapitre 1 36 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Mini-test : vecteurs et produit scalaire 1 Dans le repère (O, e⃗x , e⃗y ), tracer le vecteur u ⃗ qui a pour origine le point A de coordonnées A(1, 0) et pour extrémité le point B(2, 2). B Calculer les composantes du vecteur u ⃗ dans le repère (O, e⃗x , e⃗y ). Calculer la norme (le module) du vecteur u ⃗. Considérant le vecteur ⃗ v de composantes (0, 2), calculer les produits scalaires suivants : u⃗·⃗v, v ·u ⃗ ⃗, ⃗ v · e⃗x et ⃗ v · e⃗y. O A Composantes et norme du vecteur u⃗       xB − xA 2−1 1 ⃗= u = = yB − yA 2−0 2 q √ √ u ∥ = ux2 + uy2 = 12 + 22 = 5 ∥⃗ Forces et statique, chapitre 1 36 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Mini-test : vecteurs et produit scalaire 1 Dans le repère (O, e⃗x , e⃗y ), tracer le vecteur u ⃗ qui a pour origine le point A de coordonnées A(1, 0) et pour extrémité le point B(2, 2). B Calculer les composantes du vecteur u ⃗ dans le repère (O, e⃗x , e⃗y ). Calculer la norme (le module) du vecteur u ⃗. Considérant le vecteur ⃗ v de composantes (0, 2), calculer les produits scalaires suivants : u⃗·⃗v, v ·u ⃗ ⃗, ⃗ v · e⃗x et ⃗ v · e⃗y. O A Produits scalaires ⃗·⃗ u v = ux vx + uy vy = 1 × 0 + 2 × 2 = 4 v ·u ⃗ ⃗ = vx ux + vy uy = 4 v · e⃗x = vx = 0 ⃗ v · e⃗y = vy = 2 ⃗ Forces et statique, chapitre 1 36 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Définition d’un vecteur On peut voir un vecteur ⃗a comme l’objet qui relie deux points de l’espace : un point de départ et un point d’arrivée, par ⃗ On parlera de vecteur lié. exemple OA. De manière général, un vecteur n’est pas lié : l’information qu’il contient ne décrit que le déplacement, c’est à dire une direction, un sens et une longueur (notée ∥⃗a∥). A Les vecteurs ont des dimensions ! O Forces et statique, chapitre 1 37 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Quelques propriétés des vecteurs La somme de deux vecteurs existe et est un vecteur : ⃗a + ⃗b = ⃗c Commutativité de la somme : ⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a Existence d’un élément neutre, c’est à dire du vecteur nul ⃗0 et pour tout vecteur ⃗a d’un vecteur opposé −⃗a tel que ⃗a − ⃗a = ⃗0 On peut multiplier ⃗a par un scalaire λ, le résultat λ⃗a est un vecteur de même direction, de longueur |λ|∥⃗a∥, de même sens si λ > 0 et de sens opposé si λ < 0. -λa λ>0 a+b b -a a λa b a a Forces et statique, chapitre 1 38 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Le produit scalaire Le produit scalaire ⃗a · ⃗b = ∥⃗a∥∥⃗b∥ cos α Quelques propriétés Le produit scalaire a une dimension physique égale au produit des dimensions de ⃗a et ⃗b ⃗a · ⃗b = 0 si ⃗a et ⃗b sont orthogonaux (ou nuls) Le produit scalaire est lié à la norme : ∥⃗a∥2 = ⃗a · ⃗a b Les deux vecteurs n’ont pas b besoin d’avoir la même origine ! a a Forces et statique, chapitre 1 39 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Le produit scalaire WHAT IF I TOLD YOU THE UNIVERSE IS FULL OF SCALAR PRODUCTS Forces et statique, chapitre 1 40 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Base orthonormée Base orthnormée 3D Base (e⃗1 , e⃗2 , e⃗3 ) telle que les vecteurs sont orthogonaux entre eux. On note e⃗i · e⃗j = δij Symbole de Kronecker O δij = 1 si i = j δij = 0 si i ̸= j Dans ce cours, nous utilis- erons toujours des bases or- thnormées Forces et statique, chapitre 1 41 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Les composantes d’un vecteur Un vecteur ⃗a = OM ⃗ se décompose sur cette base : ⃗a = a1 e⃗1 + a2 e⃗2 + a3 e⃗3 M Que vaut ⃗a · e⃗1 ? a · e⃗1 = (a1 e⃗1 + a2 e⃗2 + a3 e⃗3 ) · e⃗1 ⃗ = a1 e⃗1 · e⃗1 + a2 e⃗2 · e⃗1 + a3 e⃗3 · e⃗1 = a1 × 1 + a2 × 0 + a 3 × 0 O = a1 Les composantes de ⃗a dans (e⃗1 , e⃗2 , e⃗3 ) s’écriventsous a1 forme de colonne : a2  Les vecteurs ne sont pas forcément a3 liés Forces et statique, chapitre 1 42 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Somme de deux vecteurs dans une même base L’addition de deux vecteurs ⃗a et ⃗b se traduit par l’addition de leurs composantes dans la même base (e⃗1 , e⃗2 , e⃗3 ) ⃗c = ⃗a + ⃗b = (a1 + b1 )e⃗1 + (a2 + b2 )e⃗2 + (a3 + b3 )e⃗3 b2 a a2 b2 b c a2 b1 a1 b1 a1 Les composantes du vecteur ⃗c = ⃗a + ⃗b dans le (e⃗1 , e⃗2 , e⃗3 ) sont :   a1 + b1 a2 + b2  a3 + b3 Forces et statique, chapitre 1 43 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Produit scalaire dans une base Dans une base orthonorméee : ⃗a · ⃗b = (a1 e⃗1 + a2 e⃗2 + a3 e⃗3 ) · (b1 e⃗1 + b2 e⃗2 + b3 e⃗3 ) = a1 b1 e⃗1 · e⃗1 + a1 b2 e⃗1 · e⃗2 +... = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 √ q Norme d’un vecteur : ∥⃗a∥ = ⃗a · ⃗a = a12 + a22 + a32 L’angle formé par deux vecteurs vérifie : ⃗a · ⃗b a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 cos(α) = =q ∥⃗a∥∥⃗b∥ q a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 Forces et statique, chapitre 1 44 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Mini-test : vecteurs et produit scalaire 2 Dans le repère (O, e⃗x , e⃗y , e⃗z ), tracer le vecteur u ⃗ qui a pour origine le point A de coordonnées A(0, 1, 0) et pour extrémité le point B(2, 2, 0). Calculer les composantes du vecteur u ⃗ dans le repère (O, e⃗x , e⃗y , e⃗z ). Calculer la norme (le module) du vecteur u ⃗. Considérant le vecteur ⃗ v de composantes (0, 2, 2), O calculer les produits scalaires suivants : u ⃗·⃗v, v ·u ⃗ ⃗, ⃗ v · e⃗x , ⃗ v · e⃗y et ⃗ v · e⃗z. Calculer les composantes du vecteur u v. ⃗+⃗ Forces et statique, chapitre 1 45 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Mini-test : vecteurs et produit scalaire 2 Dans le repère (O, e⃗x , e⃗y , e⃗z ), tracer le vecteur u ⃗ qui a pour origine le point A de coordonnées A(0, 1, 0) et pour extrémité le point B(2, 2, 0). Calculer les composantes du vecteur u ⃗ dans le repère (O, e⃗x , e⃗y , e⃗z ). Calculer la norme (le module) du vecteur u ⃗. A Considérant le vecteur ⃗ v de composantes (0, 2, 2), O calculer les produits scalaires suivants : u ⃗·⃗v, v ·u ⃗ ⃗, ⃗ v · e⃗x , ⃗ v · e⃗y et ⃗ v · e⃗z. Calculer les composantes du vecteur u v. ⃗+⃗ B Composantes et norme du vecteur u ⃗       xB − xA 2−0 2 ⃗ = yB − yA  = 2 − 1 = 1 u zB − zA 0−0 0 q √ √ u ∥ = ux2 + uy2 + uz2 = 22 + 12 + 02 = 5 ∥⃗ Forces et statique, chapitre 1 45 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Mini-test : vecteurs et produit scalaire 2 Dans le repère (O, e⃗x , e⃗y , e⃗z ), tracer le vecteur u ⃗ qui a pour origine le point A de coordonnées A(0, 1, 0) et pour extrémité le point B(2, 2, 0). Calculer les composantes du vecteur u ⃗ dans le repère (O, e⃗x , e⃗y , e⃗z ). Calculer la norme (le module) du vecteur u ⃗. A Considérant le vecteur ⃗ v de composantes (0, 2, 2), O calculer les produits scalaires suivants : u ⃗·⃗v, v ·u ⃗ ⃗, ⃗ v · e⃗x , ⃗ v · e⃗y et ⃗ v · e⃗z. Calculer les composantes du vecteur u v. ⃗+⃗ B Produits scalaires ⃗·⃗ u v = ux vx + uy vy + uz vz = 2 × 0 + 1 × 2 + 0 × 2 = 2 v ·u ⃗ ⃗ = vx ux + vy uy + vz uz = 2 v · e⃗x = vx = 0 ⃗ v · e⃗y = vy = 2 ⃗ v · e⃗z = vz = 2 ⃗ Forces et statique, chapitre 1 45 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Mini-test : vecteurs et produit scalaire 2 Dans le repère (O, e⃗x , e⃗y , e⃗z ), tracer le vecteur u ⃗ qui a pour origine le point A de coordonnées A(0, 1, 0) et pour extrémité le point B(2, 2, 0). Calculer les composantes du vecteur u ⃗ dans le repère (O, e⃗x , e⃗y , e⃗z ). Calculer la norme (le module) du vecteur u ⃗. A Considérant le vecteur ⃗ v de composantes (0, 2, 2), O calculer les produits scalaires suivants : u ⃗·⃗v, v ·u ⃗ ⃗, ⃗ v · e⃗x , ⃗ v · e⃗y et ⃗ v · e⃗z. Calculer les composantes du vecteur u v. ⃗+⃗ B Vecteur u ⃗+⃗ v       ux + vx 2+0 2 ⃗+⃗ u v = uy + vy  = 1 + 2 = 3 uz + vz 0+2 2 Forces et statique, chapitre 1 45 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Fonction trigonométriques de base la lo sin(θ) lo cos(θ) = sin(θ) = tan(θ) = = lh lh cos(θ) la lh lo la lo = lh sin(θ) = la tan(θ) Forces et statique, chapitre 1 46 / 62 Préambule Objets de la méca. Etats de la matière Principes de la méca. Cadre physique Cadre mathématique Cercle trigonométrique >0 >0 >0 >0