Chapitre 15 Mécanique VI Résolution de problèmes PDF

Chapitre 15 Mécanique VI Résolution de problèmes et collisions Pr François Bochud FBM – BMed – module B1.1 Cours de physique générale  Objectifs Résoudre des problèmes de mécanique en appliquant les lois de conservation après avoir analysé la nature des forces et m...

Chapitre 15 Mécanique VI Résolution de problèmes et collisions Pr François Bochud FBM – BMed – module B1.1 Cours de physique générale  Objectifs Résoudre des problèmes de mécanique en appliquant les lois de conservation après avoir analysé la nature des forces et moments en présence Citer les correspondances existant entre les grandeurs associées à des mouvements linéaires et angulaires Calculer la vitesse et l'énergie cinétique d'objets réalisant des chocs purement élastiques ou purement inélastiques Résolutions de Ne pas débuter par "chercher la formule" problèmes de physique Tout d'abord s'imprégner de la situation et la confronter avec nos connaissances théoriques et pratiques – l'intuition joue un grand rôle Faire une représentation schématique – où sont les forces ? – y a-t-il des symétries ? – que se passerait-t-il si une des masses était beaucoup plus grande ? – que se passerait-t-il si on attendait un temps infini ? Exemple de problème à résoudre Les êtres humains peuvent-ils changer le mouvement de la Terre en sautant tous en même temps ? Hypothèses : 1. Toute la population humaine se place au même endroit 2. La population saute en même temps à une hauteur h = 50 cm Quelle sera la modification de la vitesse de la Terre ? Hypothèses : 1. Toute la population humaine se place au même endroit 2. La population saute en même temps à une hauteur h = 50 cm Quelle sera la modification de la vitesse de la Terre ? masse Terre mT >> masse population mp mouvement uniformément accéléré (g) la vitesse en fin de chute dépend de h conservation de l'énergie mécanique Emec = Epot + Ecin conservation de la quantité de mouvement p  Hypothèses : 1. Toute la population humaine se place au même endroit 2. La population saute en même temps à une hauteur h = 50 cm h Quelle sera la modification de la vitesse de la Terre ? modélisation du problème instant initial toute la population est à h = 0.5 m instant final la population collisionne la Terre avec une vitesse vp quelle sera la vitesse de la Terre, vT ?  Hypothèses : 1. Toute la population humaine se place au même endroit 2. La population saute en même temps à une hauteur h = 50 cm h Quelle sera la modification de la vitesse de la Terre ? Emec = Epot,0 = mp g h modélisation du problème Emec = Ecin,t = ½ m vp2 = Epot,0 instant initial toute la population est à h = 0.5 m 1 2 mpvp2 = mpgh vp2 = 2gh instant final vp = 3.13 m/s la population collisionne la Terre avec conservation E an moment une vitesse vp v x2 = v02 + 2a0 ( x − x0 ) vp2 = 2g ( h ) de la équations de la cinétique mvt uniformément accéléré Collision quelle sera la vitesse de la Terre, vT ?  Hypothèses : 1. Toute la population humaine se place au même endroit 2. La population saute en même temps à une hauteur h = 50 cm vp = 3.13 m/s Quelle sera la modification de la vitesse de la Terre ? conservation de la quantité de mouvement = 8.109. 65 ≈ 5.1011 kg juste avant la collision mpvp + mTv T = (mp + mT )vp+T juste après la collision ≈ 2.1024 kg =0 mpvp + mTv T vp+T = = 2.6 ⋅ 10 −13 m/s referentiel (mp + mT ) por rapporteterre  Hypothèses : 1. Toute la population humaine se place au même endroit 2. La population saute en même temps à une hauteur h = 50 cm Quelle sera la modification de la vitesse de la Terre ? Le transfert de quantité de mouvement va rapidement se disperser horizontalement mesurable avec un sismographe sous forme d'onde sismique = 2.6 ⋅ 10 −13 m/s Type de grandeur Mouvement linéaire Mouvement angulaire Etat temps t temps t position (linéaire) x position angulaire θ qté de mouvement p = mv moment cinétique L 0 = I0 ω E cinétique (linéaire) Ecin = ½ mv2 E cinétique angulaire Ecin = ½ I0 ω2 Mouvement vitesse (linéaire) v vitesse angulaire ω accélération (linéaire) a accélération angulaire α Mouvement a = a0 x = x0 + v0t + 12 a0t 2 α = α0 ϑ = ϑ0 + ω0t + 12 α 0t 2 uniformément v(t=0) = v0 v = v0 + a0t ω(t=0) = ω0 ω = ω0 + α 0t accéléré x(t=0) = x0 v x2 = v02 + 2a0 ( x − x0 ) θ(t=0) = θ0 ω 2 = ω02 + 2α 0 (ϑ − ϑ0 ) Résistance au masse (inertielle) m moment d'inertie I0 changement Changement du force F=ma moment M = I0 α mouvement  A long terme, le nombre de "têtes" est associé avec un plus grand risque de démence JAMA Neurol. 2021;78(9):1057-1063. doi:10.1001/jamaneurol.2021.2403 Photo : 24 Heures, 17.09.2021  La collision dure un 1. correct certain temps (Δt>0), 2. faux pendant lequel la balle et la tête sont en 3. aucune contact et conservent idée leurs formes ! sinon, cela violerait la conservation de p et de l'énergie pendant le temps d'arrêt (p=0 et E=0 ?)  3ème loi de Newton 2ème loi de Newton le sol produit la force de réaction la force de réaction varie au cours du temps et modifie la direction de la balle cette force délivre de la quantité de mouvement à la balle dp F= ⇒ p = ∫ F dt dt YouTube Steve Mould, How backspin ACTUALLY works - in super slow motion, https://youtu.be/hgcEIKHCI00?si=VhgrqCcW6sAJXZKd  mur v2 = v1 v2 < v1 v2 = 0 v1 v1 v1 collision collision collision purement partiellement purement élastique élastique inélastique https://fr.freepik.com/photos-premium/texture-naturelle-glace-hiver-bulles-blanches-fissures-lac-gele-resume-historique-glace-fissures-surface-du-lac-baikal-gele_41002809.htm  mur v2 = v1 v2 < v1 v2 = 0 v1 v1 v1 collision collision collision purement partiellement purement élastique élastique inélastique Durant la collision il ya un court instant pendant lequel les 2 corps se déforment sans significativement changer de position Au moment ou la compression est maximale l'énergie cinétique peut se trouver momentanément stockée au niveau moléculaire cette énergie est restituée immédiatement après sous forme d'énergie cinétique (énergie cinétique initiale peut avoir servi a rompre définitivement des liaisons moléculaires ou avoir été transformé en chaleur et énergie vibratoire) A l'échelle microscopique les collision sont presque toujours élastique (particules d'un gaz ) lorsque ce n' est pas le cas l'énergie est dissipée sous forme de rayonnement A l'échelle macroscopique des objets rigides peuvent être fabriques de manière à être très élastique de sorte que les collisions génèrent très peu de chaleur et de vibrations : les vitesses de rebond sont pratiquement égales aux vitesses initiales et le collision peut être considérée comme purement élastique. En médecine les collisions se manifestent lorsque elles sont inélastiques et que l'énergie cinétique est dissipée pour fracturer un os ou distendre un ligament Les automobiles sont conçues de manière à favoriser la composante inélastique afin de dissiper l'énergie cinétique par déformation tout en protégeant l'espace a proximité des occupant permettant d'éviter que l'énergie cinétique du véhicule ne soit transférée aux occupants tout en augmentant le temps de la décélération du véhicule et des occupants ( les airbags et ceintures de sécurité complètent le processus en prolongeant la durée de la décélération et en minimisant les contacts entre le passager et les parties contondantes du véhicule  Exemple de problème Collision purement elestique Quel rapport de masse m/m2 l'énergie transmise de l'objet 1e objet 2 soit maximal ? pour que Av. collision Ap. collision # Es - Si l'objet au reposle Terre et que la collision est est purement télastique , l'objet en mouvement rebondit avec la même vitesse La quantité d'énergie cinétique transmise à la Terre sera nulle.. - Lorsqu'un objet lourd fait une collision avec un objet beaucoup plus liger au repos l'objet en mouvement continue sa trajectoire sans changer de direction en 2 , , repos est lèger : Si les masses des 2 objets sont très différentes très per d'energie ciritique est cédée par perdant dautant moins de vitesse que l'objet initialement au , l'objet en mouvement L'énergie cinétique transmise sera maximale si les 2 objets sont de masses similaires. - Si la collision est purement élastique toutes les forces sont conservatrices : l'énergie mécanique est conserve. - Pendant le court instant où à lieu la collision l'énergie potentielle gravitationale (mgh) he varie pas , Quant à l'energie potentielle élastique présente à l'interieur. des corps en mouvement elle augmente , dans la pre phase de la collision puis est entièrement restitute sous forme d'energie cinétique après la colvision : La quantité de mouvement est conservée Ein = En = Em Ema + = Emer EmaVe + P = pl = MV + MeVe = Mer + MzV2 Solution = On memevet : me Le observe qu'un maximum d'energie cinétique est transmise du Corps en mouvement corps lorsque les masses sont egales : au au repos Ce l'énergie transferttransmis est total puisque 100 % de Ve" = CmV1 + (mz-M1) Ve cintetique est m1 + m2  Collision purement inélastique Quelle proportion maximale peut être transmise d'un objet 1 en mouvement à un objet 2 au repos ? Avant Après v ⑭ #mer = Les 2 corps se déplacent ensemble à la même vitesse après collision - Les forces ne sont pas conservatives : pas de conservation de l'énergie cinetique. - L'absence de forces exterieure implique que la quantité de mouvement est conservée p = p = mev + mzVz = (M1 + mz) v Solution v 1 = meV1 + maVz m1 + m2 La vitesse après collision est égale à celle du centre de masse avant la collision Le , lorsque Mais la transfert d'energie est une fois encore maximal m = my. comme Vitesse après collision est celle du centre de masse elle vant la moitié de la vitesse initialle de l'objet 1. L'énergie cinétique dependant du carre de la vitesse la proportion transmise est 4 fois moins importante (1/22 = 114)  collision purement élastique collision purement inélastique  m1 , v1   m1 , v1′   m1 , v1   ⇒    ⇒ ( m1 + m2 , v ′ )  2 2  2 2 m , v m , v ′  m2 , v2  conservation de la quantité de mouvement p = p ' ⇒ m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′ p = p ' ⇒ m1v1 + m2v2 = ( m1 + m2 ) v ′ conservation de l'énergie cinétique PAS de conservation de l'énergie cinétique ′ ⇒ Ecin = Ecin 1 2 m1v12 + 21 m2v22 = 21 m1v1′2 + 21 m2v2′2 (car il y a dissipation pendant la collision) Par Simon Steinmann — Travail personnel, CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=660525  collision purement inélastique  m1 , v1    ⇒ ( m1 + m2 , v ′ )  m2 , v2  conservation de la quantité de mouvement p = p ' ⇒ m1v1 + m2v2 = ( m1 + m2 ) v ′ m1v1 + m2v2 v′ = m1 + m2 Par Simon Steinmann — Travail personnel, CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=660525  collision purement élastique  m1 , v1   m1 , v1′   ⇒   2 2  2 2 m , v m , v ′ conservation de la quantité de mouvement v′ = ( m1 − m2 ) v1 + 2m2v2 m1 + m2 1 p = p ' ⇒ m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′ 2m1v1 + ( m2 − m1 ) v2 v2′ = conservation de l'énergie cinétique m1 + m2 ′ ⇒ Ecin = Ecin 1 2 m1v12 + 21 m2v22 = 21 m1v1′2 + 21 m2v2′2 Par Simon Steinmann — Travail personnel, CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=660525  collision purement élastique si m1 = m2 = m & v2 = 0  m1 , v1   m1 , v1′   ⇒ m , v ′  v′ = ( m − m ) v1 + 2m × 0 = 0 =0  2 2  2 2 m , v 1 m+m 2m colision 2mv1 + ( m − m ) v2 2mv1 v2′ = = = v1 > - Tr ---- m+m 2m v′ = ( m1 − m2 ) v1 + 2m2v2 m1 + m2 1 2m1v1 + ( m2 − m1 ) v2 v2′ = m1 + m2 Par DemonDeLuxe (Dominique Toussaint) — Travail personnel, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1028855 Par Simon Steinmann — Travail personnel, CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=660525  si m1