Fizika_skripta_objedinjeno PDF

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, I predavanje, 2017. Kinematika materijalne tačke 1 Mehaničko kretanje Mehanika je oblast fizike koja se bavi mehaničkim kretanjem i mehaničkim uzajamnim dejstvima tela. Mehaničko kretanje se manifestuje promenom položaja tela u odnosu na dr...

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, I predavanje, 2017. Kinematika materijalne tačke 1 Mehaničko kretanje Mehanika je oblast fizike koja se bavi mehaničkim kretanjem i mehaničkim uzajamnim dejstvima tela. Mehaničko kretanje se manifestuje promenom položaja tela u odnosu na druga tela. U ovom kursu mehaničko kretanje se kratko naziva kretanje. Telo u odnosu na koje se prati i opisuje kretanje naziva se sistem referencije1 ili referentni sistem. Definicija trajektorije. Geometrijsko mesto uzastopnih položaja proizvoljne tačke tela u prostoru prema usvojenom sistemu referencije je putanja ili trajektorija tačke tela. Mehanika se deli na kinematiku i dinamiku. Kinematika je opisni deo mehanike koji definiše parametre kretanja, ali ne razmatra uzroke kretanja materijalnih objekata. Uzrocima kretanja se bavi dinamika. Mehanika izučava kretanje na dva osnovna modela. Prvi model je materijalna tačka ili čestica. To je materijalni objekt čije se dimenzije mogu zanemariti u odnosu na dimenzije trajektorije (Lobj ≪ Ltraj ). Kao primer navedimo kretanje Zemlje oko Sunca. Poluprečnik Zemlje je RZ ≈ 6400 km, dok je poluprečnik orbite Zemlje RSZ ≈ 150 · 106 km. Zbog RZ ≪ RSZ Zemlja se može smatrati materijalnom tačkom pri analizi njenog kretanja oko Sunca. Primetimo još da kinematika ne uzima u obzir materijalnost tela (masu), tako da je u kinematici dovoljno govoriti o tački. Drugi model je apsolutno kruto telo ili kratko kruto telo. Kruto telo je materijalni objekt koji ne menja oblik i dimenzije pod spoljnim uticajem. Rastojanje između bilo koje dve tačke krutog tela je konstantno tokom kretanja. 2 Opis kretanja materijalne tačke U zavisnosti od oblika trajektorije materijalne tačke kretanje može biti pravolinijsko ili krivolinijsko. Poseban slučaj krivolinijskog kretanja materijalne tačke je kružno kretanje. U opštem slučaju, da bi se opisalo kretanje materijalne tačke, prvo se izabere sistem referencije (bira se tako da opis kretanja bude što jednostavniji). Zatim se definišu parametri koji na jedinstven način definišu položaj materijalne tačke. Broj parametara kojima se opisuje kretanje materijalne tačke u: prostoru je n = 3 (na primer, 3 Dekartove koordinate); ravni: n = 2; duž prave linije: n = 1. Postoje 3 načina opisivanja kretanja materijalne tačke (takođe svih materijalnih objekata): 1 Uobičajeni nazive je i sistem reference. 1  1. vektorski; 2. koordinatni (analitički); 3. prirodni. 3 Vektorski opis kretanja materijalne tačke Prema vektorskom načinu opisivanja kretanja položaj materijalne tačke određuje se pomoću njenog vektora položaja (radijus vektora): M : ~r. (1) Početak radijus vektora je u tački O koja se naziva (pol). Tačka O pripada sistemu referencije u odnosu na koji se predstavlja i opisuje kretanje i koji je vezan za neko drugo telo. Kraj vektora O je u materijalnoj tački u datom vremenskom trenutku. Slika 1: Vektorski opis kretanja. ∆~r je pomeraj. Na slici 1 prikazan je vektor položaja u vremenskim trenucima t1 i t2 , kada materijalna tačka prolazi kroz tačke M1 i M2 trajektorije, repsektivno. Vektori položaja materijalne tačke u ova dva vremenska trenutka su ~r(t1 ) i ~r(t2 ). Na slici je prikazan i jedinični vektor (ort) radijus vektora ~er = ~r/|~r| u vremenskim trenucima t1 i t2. Primetimo da je |~er | = 1 i, dakle, ~er je, slično drugim ortovima koje ćemo definisati tokom ovog kursa, bezdimenziona veličina. Priraštaj vektora položaja od vremenskog trenutka t1 do vremenskog trenutka t2 , ∆~r = ~r(t2 ) − ~r(t1 ), (2) naziva se pomeraj. Razlika dva vremenska trenutka t2 i t1 je vremenski interval: ∆t = t2 − t1. (3) Da bi se opisalo kretanje, potrebno je poznavati zavisnost vektora položaja od vremena: ~r = ~r(t) = r(t)~er (t); r(t) ≥ 0. (4) Tri nezavisna parametra kojima se opisuje kretanje su: 2  1. moduo (intenzitet) ~r: |~r| = r; 2. pravac ~r; 3. smer ~r. Definišimo sada hodograf vektora. Definicija hodografa vektora. Svaki promenljivi vektor sa fiksnim početkom u prostoru svojim krajem opisuje hodograf tog vektora. Tako je trajektorija materijalne tačke hodograf vektora položaja materijalne tačke. 4 Brzina Uočimo položaje M1 i M2 materijalne tačke na trajektoriji u trenucima t i t+∆t, respektivno, kao što je prikazano na slici 2. Pomeraj materijalne tačke u vremenskom intervalu je ∆~r = ~r(t + ∆t) − ~r(t). (5) Srednja vrednost vektora brzine u vremenskom intervalu ∆t je: ∆~r ~vsr =. (6) ∆t Slika 2: Vektori srednje i trenutne brzine. Ako je ∆t veliko,2 na osnovu izračunatog ~vsr , u opštem slučaju, nije moguće detaljno opisati kretanje između M1 i M2 (materijalna tačka je, na primer, između M1 i M2 mogla da se zaustavi, da krene u suprotnom smeru, da se ponovo zaustavi i da ponovo krene ka tački M2 ). Detaljan opis kretanja materijalne tačke može se dobiti smanjenjem vremenskog intervala, ∆t → 0: ∆~r d~r ~v = lim = = ~r˙. (7) ∆t→0 ∆t dt 2 Za veliko ∆t, trajektoriju, u opštem slučaju, ne može dobro aproksimirati duž koja se poklapa sa vektorom pomeraja ∆~ r. 3  Ova veličina se naziva brzina ili vektor brzine i predstavlja trenutnu brzinu, odnosno brzinu u trenutku t. Definicija brzine. Vektor brzine materijalne tačke jednak je prvom izvodu vektora položaja tačke po vremenu. Treba primetiti da su vektori srednje brzine ~vsr i trenutne brzine ~v kolinearni sa vektorima pomeraja ∆~r i d~r, respektivno. Srednja brzina ima pravac tetive koja seče trajektoriju između tačaka M1 i M2 , dok trenutna brzina ima pravac tangente na trajektoriju u tački M1. Naime, u graničnom procesu ∆t → 0 orijentaciju vektora brzine određuju tačka M1 i njoj beskonačno bliska tačka. Stoga elementarni (diferencijalno mali) vektor pomeraja d~r ima pravac tangente na trajektoriju i orijentisan je u smeru kretanja materijalne tačke. Na osnovu d~r = ~v dt, (8) sledi da je vektor d~r kolinearan sa ~v i da dva vektora imaju isti smer. Put je rastojanje između dve tačke trajektorije mereno duž trajektorije, odnosno dužina trajektorije između dve tačke koje joj pripadaju. Primetimo da se za ∆t → 0 dužina trajektorije može aproksimirati diferencijalno malim pravolinijskim segmentom, tako da je elementarni put dat izrazom: dS = |d~r| = |~v dt| = |~v |dt. (9) Ovde je uzeta u obzir činjenica da se u kursu bavimo analizom karakteristika kretanja u proizvoljnom vremenskom trenutku t na osnovu njihovih vrednosti u nekom prethodnom trenutku (t0 ), pri čemu vreme kontinualno raste, od vremenskog trenutka t0 do t, stoga je dt > 0.3 Intenzitet brzine je: ∆~r |∆~r| |∆~r| |d~r| dS v = |~v | = lim = lim = lim = =. (10) ∆t→0 ∆t ∆t→0 |∆t| ∆t→0 ∆t dt dt Na osnovu prethodnog sledi: intenzitet brzine jednak je prvom izvodu puta po vremenu; pravac vektora brzine kolinearan je sa tangentnom na trajektoriju; smer vektora brzine je smer kretanja materijalne tačke. SI merna jedinica za brzinu je metar u sekundi: m [v] =. (11) s Ako je ~v = const kretanje se naziva ravnomerno pravolinijsko kretanje. 5 Ubrzanje Iz iskustva je poznato da se brzina u opštem slučaju menja u funkciji vremena. Primeri kretanja objekata čija se brzina menja su brojni, a jedan od najočiglednijih primera je padanje objekata u blizini Zemlje. Brzina ovih 3 Iako je diferencijal vremena dt > 0, diferencijal promenljive koja zavisi od vremena može biti manji od nule. Na primer, ako je proizvoljna funkcija f (t) opadajuća, df < 0. 4 objekata se menja linearno sa vremenom.4 Ovo kretanje je po svojim osobinama različito od kretanja rakete koja se lansira u vasionu. Da bi se detaljnije opisalo kretanje, uvodi se ubrzanje, koje omogućava razlikovanje različitih kretanja. Tako je tipično ubrzanje rakete oko 20 puta veće od ubrzanja objekta koji pada pod uticajem Zemlje. Slika 3: Uz definiciju ubrzanja. Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici u dva vremenska trenutka (videti sliku 3). Definišimo najpre srednju vrednost vektora ubrzanja: ∆~v ~asr =. (12) ∆t Trenutno ubrzanje (ubrzanje u trenutku t) je: ∆~v d~v ~a = lim = = ~v˙. (13) ∆t→0 ∆t dt S obzirom da je: ~v = ~r˙, (14) lako se dobije: d2~r   d~v d d~r ~a = = = = ~r¨. (15) dt dt dt dt2 Prema tome: ~a = ~v˙ = ~r¨. (16) Definicija ubrzanja. Vektor ubrzanja materijalne tačke jednak je drugom izvodu vektora položaja tačke po vremenu. Karakteristike vektora ubrzanje su: 1. intenzitet: |~a| = |~v˙ | = |~r¨|; 2. pravac: poklapa se sa tangentnom na hodograf vektora brzine; 3. smer: ka konkavnoj (unutrašnjoj) strani trajektorije. 4U realnim uslovima značajan je uticaj atmosfere, pa je zavisnost brzine od vremena samo približno linearna. 5  Merna jedinica za ubrzanje je metar u sekundi na kvadrat: m [a] =. (17) s2 Ako je ~a = const kretanje se naziva ravnomerno promenljivo pravolinijsko kretanje. 6 Kooordinatni (analitički) opis kretanja Prema koordinatnom (analitičkom) načinu, kretanje materijalne tačke opisuje se funkcijama q = q(t), koje predstavljaju promene koordinata materijalne tačke tokom vremena. Ovakav način opisivanja kretanja naziva se koordinatni ili analitički način opisivanja kretanja. Funkcije q = q(t) nazivaju se parametarske jednačine kretanja materijalne tačke. Drugi nazivi za parametarske jednačne kretanja su: kinematske jednačine kretanja ili konačne jednačine kretanja. Primetimo da q = q(t) nisu jednačine već funkcije vremena. Eliminacijom vremena iz ovih jednačina dobijaju se jednačine kretanja u koordinatnom obliku, koje mogu biti napisane u implicitnoj ili eksplicitnoj formi. Jednačine kretanja u koordinatnom obliku u datom koordinantom sistemu kratko se nazivaju jednačine kretanja. Postoji više koordinantih sistema koji su pogodni za opisivanje različitih oblika kretanja: Dekartov koordinatni sistem, polarni koordinatni sistem, cilindrični koordinatni sistem, sferni koordinanti sistem itd. 6.1 Dekartov koordinatni sistem U Dekartovom koordinatnom sistemu ose x, y i z su nepokretne (fiksne) i međusobno upravne (videti sliku ??). Položaj materijalne tačke u vremenskom trenutku t određen je pomoću Dekartovih koordinata materijalne tačke u tom vremeskom trenutku: M : (x(t), y(t), z(t)). (18) Jedinični vektori (ortovi) pojedinih osa su: ort x ose: ~i ≡ ~ex ; ort y ose: ~j ≡ ~ey ; ort z ose: ~k ≡ ~ez. Svaki jedinični vektor ima pravac i smer odgovarajuće ose i intenzitet jednak 1: |~i| = |~j| = |~k| = 1. (19) Treba primetiti da su sva tri orta konstantni (vremenski nepromenljivi), jer su ose nepokretne: ~i = const; ~j = const; ~k = const. (20) Zavisnost radijus vektora materijalne tačke od vremena može se izraziti pomoću parametarskih jednačina kretanja: ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k. (21) 6  Slika 4: Dekartov koordinatni sistem. Dužina (intenzitet) radijus vektora je: p |~r(t)| = x2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t). (22) Orijentacija vektora ~r određena je pomoću kosinusa pravca (direkcionih kosinusa):   ~r(t) · ~i = r cos α = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k · ~i = x(t). (23) Ovde je α ugao koji vektor položaja materijalne tačke u trenutku t zaklapa sa x osom. Kosinus α je: x(t) cos α = cos ∢(~r,~i) =. (24) r(t) Slično se mogu izvesti izrazi za kosinuse uglova koje ~r(t) zaklapa sa y i z osom, y(t) cos β = cos ∢(~r, ~j) = , (25) r(t) z(t) cos γ = cos ∢(~r, ~k) = , (26) r(t) respektivno. Lako se pokaže da je: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. (27) Treba primetiti da je α = α(t), β = β(t) i γ = γ(t). Na osnovu poslednjeg izraza lako se zaključi da su dva ugla nezavisna (α i β, na primer). Ta dva ugla određuju pravac i smer vektor položaja materijalne tačke u trenutku t. Ako se iz parametarskih jednačina x = x(t) i y = y(t) eliminiše vreme dobije se:  x = x(t) F1 (x, y) = 0 ili y = f1 (x). (28) y = y(t)  Slično je:  y = y(t) F2 (y, z) = 0 ili z = f2 (y). (29) z = z(t) 7 F1 (x, y) i F2 (y, z) (ili y = f1 (x) i z = f2 (y)) su površi u čijem preseku se nalazi trajektorija. Primer. Parametarske jednačine kretanja materijalne tačke su: x(t) = A sin ωt, (30a) y(t) = A cos ωt, (30b) z(t) = kt, (30c) gde su A, ω i k pozitivne konstante (A, ω, k = const). Na osnovu prve dve parametarske jednačine u (30) lako se izvede jednačina prve površi: x2 + y 2 = A2 , (31) koja je napisana u implicitnoj formi i predstavlja jednačinu cilindra. Na osnovu prve i treće jednačine u (30) dobije se:  z x(z) = A sin ω. (32) k Ovo je druga površ čija je jednačina u Dekartovom koordinatnom sistemu napisana u eksplicitnoj formi x = f2 (z). U preseku dve površi je trajektorija, koja predstavlja helikoidu (zavojnu liniju). 7 Vektor brzine u Dekartovom koordinantom sistemu Posmatrajmo kretanje u Dekartovom koordinatnom sistemu i pretpostavimo da su poznate parametarske jedna- čine kretanja: x = x(t), (33a) y = y(t), (33b) z = z(t). (33c) Slika 5: Vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu. Koristeći izraz za vektor brzine ~v = ~r˙ i izraz za vektor položaja u Dekartovom koordinatnom sistemu ~r = x~i + y~j + z~k, kao i činjenicu da su ortovi osa Dekartovog koordinatnog sistema konstantni vektori, vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu je: 0 0 0 d~r d ~ dx dy dz d~i✕ ✁ d~j✁ ✕ d~k✁ ✕ xi + y~j + z~k = ~i + ~j + ~k + x ✁ + y ✁ + z ✁.   ~v = ~r˙ = = (34) dt dt dt dt dt ✁dt ✁dt ✁dt 8 Prema tome, izraz za vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu je: ~v = ~vx + ~vy + ~vz = vx~i + vy~j + vz~k. (35) Ovde su ~vx , ~vy i ~vz komponente vektora brzine duž pojedinih osa (~vx je x komponenta vektora brzine i tako redom), kao što je prikazano na slici 5, a vx , vy i vz su projekcije vektora brzine na pojedine ose (vx je x projekcija vektora brzine i tako redom). Pojedine projekcije su, dakle: dx vx = ẋ = , (36a) dt dy vy = ẏ = , (36b) dt dz vz = ż =. (36c) dt Intenzitet vektora brzine je: q p v = |~v | = vx2 + vy2 + vz2 = ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 , (37) gde je ẋ2 ≡ (ẋ)2 itd. Orijentacija vektora brzine određena je kosinusima pravca: vx cos α = cos ∢(~v ,~i) = (38a) |~v | vy cos β = cos ∢(~v , ~j) = (38b) |~v | vz cos γ = cos ∢(~v , ~k) = , (38c) |~v | gde su α, β i γ uglovi koje ~v zakpala sa pojedinim koordinatnim osama. Slika 6: Vektor brzine materijalne tačke koja se kreće u xy ravni. Poseban slučaj je kretanje u xy ravni: x = x(t), (39a) y = y(t), (39b) ilustrovano na slici 6. Vektor položaja je u ovom slučaju: ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j. (40) Vektor brzine je: ~v = ~r˙ = vx~i + vy~j. (41) 9 Ovde je: vx = ẋ, vy = ẏ. (42) Intenzitet vektora brzine je: q p v = |~v | = vx2 + vy2 = ẋ2 + ẏ 2. (43) Kosinusi pravca su: vx cos α = cos ∢(~v ,~i) = , (44a) |~v | vy cos β = cos ∢(~v , ~j) =. (44b) |~v | Slika 7: Pravolinijsko kretanje materijalne tačke. Drugi poseban slučaj je pravolinijsko kretanje, na primer duž x ose (videti sliku 7): x = x(t). (45) Vektor položaja je u ovom slučaju: ~r(t) = x~i. (46) Vektor brzine je: ~v = ~r˙ = vx~i = ẋ~i. (47) Intenzitet vektora brzine je: v = |~v | = |vx | = |ẋ|. (48) Kosinus pravca je:  vx 0,  brzina ima smer x ose cos α = = ±1 ⇒ α =. (49) |~v | π, brzina ima suprotan smer od smera x ose  Ako je poznato: vx = vx (t), (50a) vy = vy (t), (50b) vz = vz (t), (50c) i ako su poznati granični uslovi: x(t = 0) = x0 , (51a) y(t = 0) = y0 , (51b) z(t = 0) = z0 , (51c) 10 mogu se izvesti parametarske jednačine kretanja: x = x(t), (52a) y = y(t), (52b) z = z(t). (52c) Primer. Poznajući vx = vx (t) može se odrediti x u bilo kom vremenskom trenutku, tako što se reši diferencijalna jednačina dx = vx (t) (53) dt razdvajanjem promenljivih: dx = vx (t)dt. (54) Potrebno je integraliti levu i desnu stranu: Zx1   Zt1 dx = vx (t)dt , (55) x0 0 gde je x0 = x(t = t0 ), a x1 = x(t = t1 ). Uočimo da granice integrala na levoj strani odgovaraju granicama integrala na desnoj strani. Rešenje je: Zt1 x1 − x0 = vx (t)dt, (56) 0 gde je: Zx1 x1 − x0 = dx. (57) x0 Da bi se rešio integral na desnoj strani potrebno je poznavati vx (t). Na ovaj način se dobija vrednost koordinate x1 u trenutku t1. Zamenom x1 → x, t → t′ i t1 → t dobija se rešenje diferencijalne jednačine 53 u proizvoljnom vremenskom trenutku: Zt x(t) = x0 + vx (t′ )dt′. (58) 0 Jednostavnosti radi koristimo isti simbol za gornju granicu integracije i promenljivu po kojoj se integrali, iako ove dve veličine imaju različito značenje. Rešenje diferencijalne jednačine je, prema tome, dato izrazom: Zt x(t) = x0 + vx (t)dt, (59) 0 što predstavlja parametarsku jednačinu kretanja. Poseban slučaj je ravnomerno pravolinijsko kretanje, za koje vx (t) = const. Rešavanjem integrala u izrazu za x(t) dobije se: x(t) = x0 + vx t. (60) Drugi poseban slučaj je ravnomerno promenljivo pravolinijsko kretanje sa početnom brzinom vx (t = 0) = vx0. U ovom slučaju brzina je linearne funkcija vremena, vx (t) = vx0 + at, a = const, što će kasnije biti pokazano. U ovom slučaju: at2 x(t) = x0 + vx0 t +. (61) 2 11  M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1. Zamenom izraza za vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu, ~v = vx~i + vy~j + vz ~k, (1) u izraz za ubrzanje, d~v ~a = , (2) dt dobije se: dvx~ dvy ~ dvz ~ ~a = i+ j+ k = v̇x~i + v̇y~j + v̇z ~k, (3) dt dt dt pri čemu je uzeto u obzir da su ~i, ~j i ~k konstantni vektori. Koristeći vx = ẋ, vy = ẏ i vz = ż sledi: ~a = ẍ~i + ÿ~j + z̈~k. (4) Slika 1: Komponente ubrzanja u Dekartovom koordinatnom sistemu. Izraz za vektor ubrzanja može se pisati u obliku: ~a = ~ax + ~ay + ~az , (5) gde su ~ax , ~ay i ~az komponente vektora ubrzanja (videti sliku 1): ~ax = ax~i, (6a) ~ay = ay~j, (6b) ~az = az~k. (6c) Ovde ax , ay i az označavaju projekcije vektora ubrzanja na pojedine ose Dekartovog koordinatnog sistema: ax = v̇x = ẍ (7a) ay = v̇y = ÿ (7b) az = v̇z = z̈. (7c) 1 Na osnovu poznatih zavisnosti projekcija ubrzanja od vremena, ax = ax (t), (8a) ay = ay (t), (8b) az = az (t) (8c) i početnih uslova, x(t = 0) = x0 ; vx (t = 0) = vx0 , (9a) y(t = 0) = y0 ; vy (t = 0) = vy0 , (9b) z(t = 0) = z0 ; vz (t = 0) = vz0 , (9c) mogu se odrediti parametarske jednačine kretanja: x = x(t), (10a) y = y(t), (10b) z = z(t). (10c) Primer. Posmatrajmo pravolinijsko kretanje duž x ose za koje je poznato ax = ax (t) i početni uslovi x(t = 0) = x0 i vx (t = 0) = vx0. Na osnovu dvx = ax (t), (11) dt razdvajanjem promenljivih sledi: dvx = ax (t)dt. (12) Integralimo ovu jednačinu od 0 do t: Zvx   Zt dvx = ax (t)dt. (13) vx0 0 Lako se dobije: Zt vx − vx0 = ax (t)dt, (14) 0 odnosno: Zt vx (t) = vx0 + ax (t)dt. (15) 0 Koristeći vx = dx/dt, za upravo određeno vx (t) i poznat početni uslov x = x(t) dobija se x(t), kao što je objašnjeno u primeru na prvom času predavanja. Kao poseban primer razmotrimo ravnomerno promenljivo pravolinijsko kretanje, za koje ax = const. Koristeći (15) dobije se: vx (t) = vx0 + ax t, (16) a zatim: a x t2 x(t) = x0 + vx0 t + , (17) 2 2 što je izvedeno na prvom času predavanja. Drugi primer je slučaj linearne zavisnosti ubrzanja od vremena, ax (t) = kt, k = const. Koristeći (15), dobije se: kt2 vx (t) = vx0 +. (18) 2 Rešenje diferencijalne jednačine dx/dt = vx (t) je parametarska jednačina kretanja: kt3 x(t) = x0 + vx0 t +. (19) 6 2 Polarni koordinatni sistem Polarni koordinatni sistem se koristi za opis kretanja u ravni. Posmatrajmo trajektoriju u xy ravni i opišimo kretanje tako što merimo rastojanje materijalne tačke od koordinatnog početka ρ = |~r i ugao koji vektor položaja zaklapa sa x osom, koji ćemo označiti ϕ. ρ i ϕ su koordinate u polarnom koordinatnom sistemu i nazivaju se: ρ: poteg (radijus) ϕ: polarni ugao. Rastojanje od pola koordinatnog sistema do materijalne tačke je nenegativno, ρ ≥ 0. Osa x je referentna za računanje polarnog ugla i naziva se polarna osa, a smer obrnut od kazaljke na satu je referentni smer za polarni ugao. Slika 2: Polarni koordinatni sistem Položaj materijalne tačke u proizvoljnom vremenskom trenutku t u polarnom koordinantom sistemu određen je sa ρ(t) i ϕ(t): M : (ρ(t), ϕ(t)), (20) gde su ρ(t) i ϕ(t) parametarske jednačine kretanja: ρ = ρ(t) (21a) ϕ = ϕ(t) (21b). Pravac vektora položaja je radijalni pravac, a pravac upravan na njega i usmeren kao referentni smeru za polarni ugao je cirkularni pravac. Jedinični vektori ova dva pravca ~eρ i ~eϕ , postavljeni kao na slici 2, određuju 3 polarnu ravan (zapravo xy ravan). Oba vektora imaju jedinični intenzitet, a orijentacija im zavisi od orijentacije ~r (nije konstantna): ~eρ = ~eρ (t), (22a) ~eϕ = ~eϕ (t). (22b) Ako se iz ove dve funkcije eliminiše vreme, dobija se jednačina kretanja u koordinatnom obliku, koja može biti implicitno ili eksplicitno napisana:  ρ = ρ(t)  F (ρ, ϕ) = 0 ili ρ = ρ(ϕ). (23) ϕ = ϕ(t) Primetimo da je zavisnost vektora položaja od vremena u polarnom koordinatnom sistemu data izrazom: ~r(t) = ρ(t)~eρ (t). (24) Takodje, primetimo: ρ ≥ 0, (25a) ϕ ≶ 0. (25b) Veze između koordinata u Dekartovom i polarnom koordinatnom sistemu su: p ρ= x2 + y 2 , (26a) y ϕ = arctg , (26b) x a obrnuto: x = ρ cos ϕ, (27a) y = ρ sin ϕ. (27b) Primer. Date su parametarske jednačine kretanja ρ(t) = R(1 + cos ωt), (28a) ϕ(t) = ωt, (28b) gde su R i ω pozitivne konstante (R, ω = const > 0). Jednačina kretanja u koordinatnom obliku je: ρ(ϕ) = R(1 + cos ϕ). (29) Ovo je jednačina kardioide. 3 Cilindrični koordinatni sistem Kao i u polarnom sistemu definišemo polarnu osu (x osa Dekartovog koordinatnog sistema). Treba odrediti projekciju tačke M trajektorije kroz koju prolazi materijalna tačka u vremenskom trenutku t na xy ravan. To je 4  Slika 3: Cilindrični koordinatni sistem. tačka P na slici 3. Odredi se zatim rastojanje tačke P od pola O, što predstavlja poteg (radijus) ρ. Slično kao u polarnom koordinantom sistemu, pravac od O ka P je radijalni pravac, a osa ostavljena duž ovog pravca je radijalna osa. Pored ρ odredi se ugao ϕ koji duž OP zaklapa sa polarnom (x) osom. Pri tome je x osa referentna za računanje uglova, a pozitivan smer ugla ϕ je suprotan od smer kazaljke na časovniku. Pravac normalan na poteg u xy ravni je cirkularni pravac, a osa postavljena duž ovog pravca je cirkularna osa. Osa koja je normalna na polarnu ravan je z osa i naziva se aksijalna osa, a odgovarajući pravac je aksijalni pravac. Jedinični vektori u cilindričnom koordinatnom sistemu su ~eρ , ~eϕ i ~ez , postavljeni duž radijalne, cirkularne i aksijalne ose, respektivno. Za razliku od Dekartovog koordinatnog sistema, gde su sva tri jedinična vektora konstantni, u cilindričnom sistemu samo je ~ez = const, dok ~eρ i ~eϕ zavise od vremena: ~eρ = ~eρ (t), (30a) ~eϕ = ~eϕ (t), (30b) ~ez = const. (30c) Cilindrični koordinatni sistem se koristi za opis kretanja u (trodimenzionom) prostoru, pri čemu je položaj materijalne tačke u proizvoljnom vremenskom trenutku t opisan parametarskim jednačinama kretanja: ρ = ρ(t), (31a) ϕ = ϕ(t), (31b) z = z(t). (31c) Dakle, položaj tačke M trajektorije kroz koju prolazi materijalna tačka u trenutku t je: M : (ρ(t), ϕ(t), z(t)). (32) Vektor položaja materijalne tačke je: ~r(t) = ρ(t)~eρ (t) + z(t)~ez. (33) Eliminacijom vremena iz parametarskih jednačina kretanja dobija se jednačina trajektorije u koordinatnom obliku. Na primer, najpre eliminacijom vremena iz prve i druge parametarske jednačine, a zatim eliminacijom 5 vremena iz prve i treće parametarske jednačine u (31a) dobija se: F1 (ρ, ϕ) = 0, (34a) F2 (ρ, z) = 0, (34b) respektivno. Ovo su jednačine dve površi u čijem preseku se nalazi trajektorija. Umesto F1 (ρ, ϕ) = 0 i F2 (ρ, z) = 0 dve površi mogu biti zadate funkcijama napisanim u eksplicitnoj formi, ρ = ρ(ϕ) i z = z(ρ). Primer. Parametarske jednačine kretanja materijalne tačke su: ρ(t) = R, (35a) ϕ(t) = ωt, (35b) z(t) = kt, (35c) gde su R, ω, k pozitivne konstante (R, ω, k = const > 0). Lako se utvrdi da trajektorija ima oblik helikoide, čje su parametarske jednačine u Dekartovom koordinatnom sistemu: x(t) = R cos ωt, (36a) y(t) = R sin ωt, (36b) z(t) = kt. (36c) 4 Izvod proizvoljnog jediničnog vektora koji rotira u xy ravni Slika 4: Rotacija jediničnog vektora oko z ose. Posmatrajmo vektor ~e sa početkom u polu O Dekartovog koordinatnog sistema čiji se vrh kreće po kružnoj 6 putanji u xy ravni.1 U Dekartovom koordinantnom sistemu: ~e = cos ϕ~i + sin ϕ~j. (37) Izvod ovog vektora po vremenu je: d~e dϕ dϕ = − sin ϕ ~i + cos ϕ ~j, (38) dt dt dt odnosno d~e   ~e˙ = = ϕ̇ − sin ϕ~i + cos ϕ~j. (39) dt S druge strane: ~i ~j ~k ~ez × ~e = 0 0 1 = − sin ϕ~i + cos ϕ~j. (40) cos ϕ sin ϕ 0 Prema tome, d~e ~e˙ = = ϕ̇(~ez × ~e) = ϕ̇ × ~e⊥. (41) dt Vektor ~e⊥ = ~ez × ~e je normalan na vektor ~e i nalazi se u xy ravni (videti sliku). Ako označimo ovaj vektor sa ~e⊥. Primer. Odredimo prve izvode d~eρ /dt i d~eϕ /dt. Relevantni vektorski proizvodi su: ~eρ ~eϕ ~ez ~ez × ~eρ = 0 0 1 = ~eϕ (42) 1 0 0 i ~eρ ~eϕ ~ez ~ez × ~eϕ = 0 0 1 = −~eρ. (43) 0 1 0 Prema tome, d~eρ = ϕ̇~eϕ (44) dt i d~eϕ = −ϕ̇~eρ. (45) dt Vektor ~e⊥ se nalazi u xy ravni, a njegova orijentacija se određuje prema pravilu desne zavojnice, na način kako se određuje orijentacija vektorskog proizvoda ~ez × ~e. Smer ~e˙ zavisi od znaka ϕ̇. Ako vektor ~e rotira kao na slici, smer ~e˙ se poklapa sa smerom ~e⊥ ; ako vektor ~e rotira u smeru suprotnom od prikazanog na slici, smer ~e˙ je suprotan od smera ~e⊥. 5 Vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo kretanje u xy ravni opisano parametarskim jednačinama ρ = ρ(t) i ϕ = ϕ(t) i izvedimo izraz za vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu: d~r dρ d~eρ ~v = ṙ = = ~eρ + ρ = ρ̇~eρ + ρ~e˙ ρ. (46) dt dt dt 7  Slika 5: Vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu. Kao što smo pokazali u prethodnom poglavlju, izvod vektora ~eρ po vremenu je d~eρ ~e˙ ρ = = ϕ̇~eϕ , (47) dt tako da je izraz za brzinu: d~r dρ d~eρ ~v = ṙ = = ~eρ + ρ = ρ̇~eρ + ρϕ̇~eϕ. (48) dt dt dt Slika 6: Ilustracija nalaženja izvoda jediničnog vektora ~eρ po vremenu. Odredimo d~eρ /dt na drukčiji način, koristeći: d~eρ ∆~eρ = lim. (49) dt ∆t→0 ∆t Priraštaj vektora ∆~eρ od vremenskog trenutka t do vremenskog trenutka t + ∆t ilustrujmo pomoću geometrijske konstrukcije prikazane na slici 6, gde su prikazani vektori položaja u vremenskim trenucima t i t + ∆t. Koristeći jednakost uglova sa paralelnim kracima, lako se zaključi da je ugao između vektora ~eρ u dva vremenska trenutka jednak priraštaju polarnog ugla ∆ϕ tokom vremenskog intervala ∆t. Stoga je trougao koga grade vektori ~eρ (t), ~eρ (t + ∆t) i ∆~eρ = ~eρ (t + ∆t) − ~eρ (t) jednakokraki trougao. 1 Vektor ~e rotira oko ose z, a poluprečnik kružne putanje jednak je 1. 8  Odredimo intenzitet, pravac i smer vektora ∆~eρ za ∆t → 0. Ako ∆t → 0, tada |∆ϕ| → 0. Pored toga, označimo ugao između osnovice (duž ∆~eρ ) i kraka jednakokrakog trougla (duži ~eρ (t) i ~eρ (t + ∆t)) sa α. Za posmatrani jednakokraki trougao važi: 1 |~eρ✚ |∆~eρ | = 2✚ ❃ | · sin ∆ϕ 2 ≈2 ∆ϕ 2 = |∆ϕ|. Odavde sledi |d~eρ | = |dϕ|; zbir uglova u jednakokrakom trouglu je 2α+ ∆ϕ = π, odakle sledi α = π/2 − ∆ϕ/2, što znači da za ∆t → 0, π kada ∆ϕ → 0, α → 2. Dakle, limt→0 ∆~eρ = d~eρ je vektor normalan na vektor ~eρ , tj ima pravac vektora ~eϕ ; na osnovu trougla prikazanog na slici 6 sledi da je smer d~eρ u smeru porasta ugla ϕ; dakle d~eρ ima smer jediničnog vektora ~eϕ , ako je dϕ > 0, a suprotnog je smera od ~eϕ , ako je dϕ < 0. Za mali ugao ∆ϕ: ∆~eρ ≈ ∆ϕ · ~eϕ , (50) odnosno: ∆~eρ ∆ϕ ≈ · ~eϕ , (51) ∆t ∆t Za ∆t → 0 (i ∆ϕ → 0): d~eρ = dϕ · ~eϕ. (52) Prema tome: d~eρ dϕ = ~eϕ , (53) dt dt odnosno: ~e˙ ρ = ϕ̇~eϕ. (54) Odavde sledi već izvedeni izraz za vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu: ~v = ρ̇~eρ + ρϕ̇~eϕ. (55) |{z} | {z } ~ vρ ~ vϕ Ovde su: ~vρ = ρ̇~eρ : radijalna komponenta vektora brzine; ~vϕ = ρϕ̇~eρ : cirkularna komponenta vektora brzine. Projekcije vektora brzine u polarnom koordinatnom sistemu su: vρ = ρ̇: radijalna projekcija vektora brzine; vϕ = ρϕ̇: cirkularna projekcija vektora brzine. Intenzitet vektora brzine u polarnom koordinatnom sistemu je q v = |~v | = vρ2 + vϕ2 , (56) a orijentacija vektora brzine određena je odgovarajućim kosinusima pravca: vρ cos ∢(~v , ~eρ ) = (57a) |~v | vϕ cos ∢(~v , ~eϕ ) =. (57b) |~v | 9 6 Vektor brzine u cilindričnom koordinatnom sistemu Izraz za vektor brzine u cilindričnim koordinatama dobija se uopštavanjem izraza za vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu za slučaj kretanja materijalne tačke u prostoru, kada je vekor položaja materijalne tačke: ~r(t) = ρ(t)~eρ (t) + z(t)~ez. (58) Uzmimo u obzir da je ~ez = const i da je: d(ρ~eρ ) dρ dϕ = ~eρ + ρ ~eϕ. (59) dt dt dt Lako se dobije: ~v = ~r˙ = ρ̇~eρ + ρϕ̇~eϕ + ż~ez , (60) |{z} | {z } |{z} ~ vρ ~ vϕ ~ vz gde su ~vρ , ~vϕ i ~vz , radijalna, cirkularna i aksijalna komponenta vektora brzine; vρ = ρ̇, vϕ = ρϕ̇ i vz = ż su odgovarajuće projekcije brzine: radijalna, cirkularna i aksijalna, redom. 7 Vektor ubrzanja u polarnom koordinatnom sistemu Pretpostavimo da su poznate parametarske jednačine kretanja u polarnom koordinatnom sistemu: ρ = ρ(t), (61a) ϕ = ϕ(t) (61b) i iskoristimo izraz za vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu: ~v = ρ̇~eρ + ρϕ̇~eϕ. (62) Slika 7: Vektor ubrzanja u polarnom koordinatnom sistemu. Vektor ubrzanja je: dρ̇ d~eρ dρ dϕ̇ d~eϕ ~a = ~v˙ = ~eρ + ρ̇ + ϕ̇~eϕ + ρ ~eϕ + ρϕ̇. (63) dt dt dt dt dt 10  Slika 8: Ilustracija nalaženja izvoda orta ~eϕ po vremenu. Izvod vektora ~eρ po vremenu smo ranije odredili: d~eρ /dt = ϕ̇~eϕ. Stoga se izraz za ubrzanje u polarnom koordinatnom sistemu može pisati u obliku: ~a = ρ̈~eρ + 2ρ̇ϕ̇~eϕ + ρϕ̈~eϕ + ρϕ̇~e˙ ϕ. (64) Izvod vektora ~eϕ po vremenu smo takođe ranije odredili: ~e˙ ϕ = −ϕ̇~eρ. (65) Ipak, ilustrujmo postupak nalaženja d~eϕ /dt pomoću geometrijske konstrukcije polazeći od definicionog izraza: d~eϕ ∆~eϕ = lim. (66) dt ∆t→0 ∆t Slično kao kod izvođenja izraza za ~e˙ ρ , odredimo najpre konačni priraštaj vektora ~eϕ pri kretanju materijalne tačke od vremenskog trenutka t do vremenskog trenutka t + ∆t (videti sliku 8). Na osnovu jednakosti uglova sa normalnim kracima sledi da je ugao između ~eϕ (t) i ~eϕ (t + ∆t) jednak promeni polarnog ugla ∆ϕ. Ako ∆t → 0, tada |∆ϕ| → 0. Trougao vektora ~eϕ (t), ~eϕ (t + ∆t) i ∆~eϕ = ~eϕ (t + ∆t) − ~eϕ (t) je jednakokraki trougao, sa uglom pri osnovici α = π/2 − ∆ϕ. Jednostavnim ramatranjem ovog trougla može se doći do nekoliko rezultata na osnovu kojih se može odrediti ~e˙ ϕ. 1 Dužina priraštaja vektora ~eϕ je |∆~eϕ | = 2|~eϕ |· sin ∆ϕ 2 |~eϕ✚ ≈✚ ❃ | |∆ϕ| = |∆ϕ|. Ovde je korišćena aproksimacija sin(∆ϕ/2) ≈ ∆ϕ/2. Intenzitet diferencijalno male promene vektora ~eϕ je |d~eρ | = |dϕ|. Ako ∆t → 0, tada ∆ϕ → 0, tako da je ugao pri osnovici α → π2. Ovo znači da je vektor d~eϕ = lim∆t→0 ∆~eϕ normalan na vektor ~eϕ , odnosno d~eϕ ima pravac vektor ~eρ. Ako je dϕ > 0, kao u trouglu prikazanom na slici, smer d~eϕ je suprotan od smera ~eρ , a ako je dϕ < 0, d~eϕ ima isti smer kao ~eϕ. Na osnovu prethodnog sledi da je za malo ∆ϕ: ∆~eϕ ≈ −∆ϕ · ~eρ , (67) odnosno: ∆~eϕ ∆ϕ ≈− · ~eρ , (68) ∆t ∆t 11 Za ∆t → 0 (kada ∆ϕ → 0): d~eϕ = −dϕ · ~eρ (69) i d~eϕ ∆~eϕ dϕ = lim = − ~eρ , (70) dt ∆t→0 ∆t dt odnosno ~e˙ ϕ = −ϕ̇~eρ. (71) Na osnovu poslednjeg rezultata i izraza (64) direktno sledi: ~a = (ρ̈ − ρ(ϕ̇)2 )~eρ + (2ρ̇ϕ̇ + ρϕ̈)~eϕ. (72) | {z } | {z } ~ aρ ~ aϕ Ovde je: ~aρ = aρ~eρ — radijalna komponenta vektora ubrzanja; ~aϕ = aϕ~eϕ — cirkularna komponenta vektora ubrzanja. Projekcije vektora ubrzanja u polarnom koordinatnom sistemu su: aρ = ρ̈ − ρ(ϕ̇)2 — radijalna projekcija vektora ubrzanja; aϕ = 2ρ̇ϕ̇ + ρϕ̈ = (1/ρ)d(ρ2 ϕ̇)/dt — cirkularna projekcija vektora ubrzanja. Intenzitet vektora ubrzanja je: q a = |~a| = a2ρ + a2ϕ. (73) Orijentacija vektora brzine određena je pomoću kosinusa pravca: aρ cos α = cos ∢(~a, ~eρ ) = , (74a) |~a| aϕ cos β = cos ∢(~a, ~eϕ ) =. (74b) |~a| 8 Vektor ubrzanja u cilindričnom koordinatnom sistemu Vektor ubrzanja u cilindričnim koordinatama dobija se jednostavnim proširenjem izraza za vektor ubrzanja u polarnom koordinatama. Koristimo: ~v = ~vρ + ~vϕ + ~vz , (75) gde je ~vz = vz ~ez , a ~ez = const. Vektor ubrzanja je: ~a = ~v˙ ρ + ~v˙ ϕ + ~v˙ z. (76) Izraze za prva dva sabirka na desnoj strani ove jednakosti smo već izveli u prethodnom poglavlju, dok je treći sabirak ~v˙ z = z̈~ez. Dakle, ~a = (ρ̈ − ρ(ϕ̇)2 )~eρ + (2ρ̇ϕ̇ + ρϕ̈)~eϕ + z̈~ez.. (77) | {z } | {z } |{z} ~ aρ ~ aϕ ~ az ~aρ , ~aϕ i ~az su radijalna, cirkularna i aksijalna komponenta vektora brzine, a odgovarajuće projekcije su: 12  aρ = ρ̈ − ρ(ϕ̇)2 — radijalna projekcija vektora ubrzanja; aϕ = 2ρ̇ϕ̇ + ρϕ̈ — cirkularna projekcija vektora ubrzanja; az = z̈ — aksijalna projekcija vektora ubrzanja. Slično kao u polarnom koordinantnom sistemu, orijentacija vektora ubrzanja određena je konsinusima pravca, kojih sada ima 3. 9 Prirodni opis kretanja (prirodni koordinatni sistem) Po prirodnom načinu opisivanja najpre se na trajektoriju postavi referentna tačka i orijentiše trajektorija, a zatim odredi kako se rastojanje materijalne tačke od referentne tačke, koje se naziva lučna koordinata s, menja u funkciji vremena, s = s(t) (videti sliku 9). Referentna tačka je proizvoljno izabrana tačka trajektorije, dok je trajektoriji moguće dati jednu od dve orijentacije. Lučna koordinata ima algebarsko značenje i znak s je određen prema orijentaciji trajektorije: ako je materijalna tačka u datom vremenskom trenutku (t) na pozitivnoj (negativnoj) strani trajektorije tada je s(t) > 0 (s(t) < 0). Uočimo da su i pređeni put S i lučna koordinata s rastojanja merena duž trajektorije. Ipak S i s se razlikuju: S je uvek pozitivno, dok s može imati negativnu vrednost. Pored toga pređeni put je rastojanje između dve tačke trajektorije, dok je lučna koordinata rastojanje proivoljne tačke na trajektorije od referentne tačke. Promena lučne koordinate i pređeni put nisu međusobno jednaki ukoliko materijalna tačka menja smer kretanja. Slika 9: Prirodni koordinatni sistem. Da bi se opisalo kretanje potrebno je znati jednačinu kretanja materijalne tačke duž trajektorije s = s(t). Na prvi pogled može se učiniti da postoji samo jedan parametar kojim se opisuje kretanje. U stvari, u opštem slučaju kretanje je opisano pomoću 3 parametra. To su: (i) oblik trajektorije; (ii) referentna tačka i orijentacija; (iii) zavisnost lučne koordinate od vremena s = s(t). U prirodnom koordinatnom sistemu se definišu 3 karakteristična pravca (za dati položaj materijalne tačke): tangenta, prava koja je tangentna na trajektoriju u datoj tački (prolazi kroz datu tački njoj beskonačno blisku tačku; 13  Slika 10: Pravci i ravni u prirodnom koordinatnom sistemu. normala, prava koja je normalna na trajektoriju i koja leži u ravni koja je određena sa još dve beskonačno bliske tačke koje pripadaju trajektoriji; binormala, prava koja je normalna na tangentu i normalu - normalna na ravan u kojoj leže tangenta i normala. Primetimo da je vektor brzine orijentisan duž tangente, vektor normalnog ubrzanja (videti kasnije) ima pravac normale, a vektor ugaone brzine (videti kasnije) ima pravac binormale. Orijentaciju tangente, normale i binormale određuju tri jedinična vektora: ~eτ : jedinični vektor tangente; ~en : jedinični vektor normale; ~eb : jedinični vektor binormale. Pored navedenih pravaca, definišu se i karakteristične ravni (u kojima leže po dva jedinična vektora): (~eτ , ~en ): oskulatorna ravan; (~en , ~eb ): normalna ravan; (~eb , ~eτ ): tangencijalna ravan. Poseban slučaj je pravolinijsko kretanja gde nije moguće na jedinstven način odrediti orijentaciju ~en i ~eb. Drugim rečima, ~en može biti proizvoljno orijentisan u ravni normalnoj na pravu duž koje se kreće materijalna tačka. Pošto se postavi vektor ~en , odredi se vektor ~eb , koji je normalan i na trajektoriju i na ~en. 10 Vektor brzine u prirodnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo kretanje materijalne tačke u prirodnom koordinatnom sistemu, kao što je prikazano na slici 11. Pretpostavimo da je poznata jednačina kretanja materijalne tačke duž trajektorije s = s(t). (78) Na osnovu opšteg izraza za vektor brzine sledi: d~r d~r ds d~r ds d~r ~v = ~r˙ = = = =v. (79) dt dt ds dt dt ds 14  Slika 11: Uz izvođenje izraza za brzinu u prirodnom koordinatnom sistemu. Ovde v označava algebarsku vrednost intenziteta vektora brzine:2 ds v= = ṡ. (80) dt Primetimo da je upravo definisana algebarska vrednost prvi izvod lučne koordinate po vremenu, gde je lučna koordinate rastojanje mereno duž trajektorije. Ovo rastojanje može imati negativni znak. Podsetimo se da je dS |~v | = , (81) dt gde je S tastojanje između 2 tačke trajektorije koje je uvek pozitivno i rastuća je funkcija vremena. Da bi ilustrovali vezu znaka v i orijentacije trajektorije na slici 12 prikazane su dva slučaja: (a) v > 0 i (b) v < 0. Ako je v > 0 smer vektora brzine se poklapa sa smerom jediničnog vektora tangente, dok je za v < 0 smer vektora brzine suprotan od smera jediničnog vektora tangente. Diferencijalno mali put i apsolutna vrednost diferencijalno male promene lučne koordinate su jednaki (za diferencijalno malo vreme materijalna tačka ne menja smer kretanja): dS = |ds| (82) pa je apsolutna vrednost v = ds/dt jednaka intenzitetu brzine: |v| = |~v |. (83) Zapravo je v intenzitet brzine materijalne tačke kome je dat znak + ili − u zavisnosti od smera kretanja. Ako se lučna koordinata menja suprotno od usvojene pozitivne orijentacije trajektorije, tada je v < 0. Ako je zavisnost algebarske vrednosti intenziteta brzine od vremena poznata v = v(t), tada se pomoću diferencijalne jednačine ds = v(t)dt (84) može odrediti zavisnost lučne koordinate od vremena s = s(t). 2 Primetimo da se ista oznaka koristi za intenzitet i algebarsku vrednost intenziteta brzine. U datom kontekstu je obično jasno o kojoj se od dve veličine radi. Ukoliko se intenzitet brzine i algebarska vrednost intenziteta brzine pojave u istom izrazu, intenzitet brzine ćemo označavati sa |~v|. 15  Slika 12: Algebarska vrednost intenziteta brzine ima: (a) pozitivan znak, (b) negativna znak. Za dt > 0 važi: |d~r| = |~v dt| = |~v |dt = |v|dt = |vdt| = |ds|, (85) S obzirom da je: dS = |d~r|, (86) primetimo i da: dS = |ds|, (87) što smo već zaključili. Na osnovu (85) sledi: d~r |d~r| = = 1. (88) ds |ds| Ovo znači da je d~r/ds jedinični vektor. Vektor brzine ~v ima pravac tangente na trajektoriju, što je i pravac jediničnog vektora tangente ~eτ. Prema tome, s obzirom da pravac i smer ~v određuje d~r/ds, lako se zaključi da d~r/ds ima pravac jediničnog vektora tangente. Jedinični vektor tangente može imati dva suprotna smera u zavisnosti od orijentacije trajektorije, kao što je prikazano na slici 12. Pri tome: za ds > 0 vektor d~r ima isti smer kao vektor ~eτ ; za ds < 0 vektor d~r ima suprotan smer od smera ~eτ. Prema tome d~r/ds je u smeru ~eτ. Uzimajući u obzir upravo izvedene zaključke o intenzitetu, pravcu i smeru d~r/ds, sledi: d~r ∆~r = lim = ~eτ. (89) ds ∆s→0 ∆s Prema tome, izraz za vektor brzine u prirodnom koordinatnom sistemu je: ~v = v~eτ. (90) Primer. Razmotrimo ravnomerno pravolinijsko kretanje u prirodnim koordinatama, kao što je prikazano na slici 13. U ovom slučaju algebarska vrednost intenziteta brzine v je konstantna: v(t) = v = const. Na osnovu ds = v(t)dt (91) 16 i za poznatu vrednost lučne koordinate u vremenskom trenutku t = 0 (s(t = 0) = s0 ) direktno sledi: Zs Zt ds = v(t)dt. (92) s0 0 Za v(t) = v = const lako se dobije: s(t) = s0 + vt. (93) Slika 13: Ravnomerno pravolinijsko kretanje u prirodnom koordinantnom sistemu. 17  M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, III predavanje, 2017. 1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo trajektoriju materijalne tačke prikazanu na slici 1. Smatramo da se deo trajektorije između tačaka M1 i M2 može aproksimirati kružnim lukom poluprečnika R razapetim nad uglom ∆ϕ. Krug sa centrom u tački C koji najbolje aproksimira krivu u tački P naziva se oskulatorni krug. Ovaj krug sadrži tačku P i njoj dve beskonačno bliske tačke i, dakle, nalazi se u oskulatornoj ravni. Jedinični vektor tangente pri kretanju materijalne tačke menja orijentaciju, tako da je u vremenskom intervalu ∆t priraštaj jediničnog vektora tangente ∆~eτ , kao što je prikazano na slici. Na osnovu jednakosti uglova sa normalnim kracima, lako se ustanovi da je ugao koji zaklapaju ~eτ (t) i ~eτ (t + ∆t) jednak ∆ϕ. Pored toga, trougao △AM1 B je jednakokraki, tako da je ugao koji zaklapaju ~eτ (t) i ~eτ (t + ∆t) sa ∆~eτ jednak β = π/2 − ∆ϕ/2. Slika 1: Uz izvođenje izraza za vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu. Iskoristimo izvedeni izraz za brzinu u prirodnom koordinatnom sistemu: ~v = v~eτ. (1) Ubrzanje je: d~v d(v~eτ ) dv d~eτ ~a = = = ~eτ + v. (2) dt dt dt dt Primetimo da se, dok se materijalna tačka kreće po kružnom luku (delu oskulatornog kruga), vrh vektora ~eτ kreće po kružnom luku sa centrom u tački M1 , odnosno vektor ~eτ rotira u oskulatornoj ravni. Stoga se može koristiti izvedeni izraz za prvi izvod jediničnog vektora koji rotira u ravni, koji u kontekstu prirodnog koordinatnog sistema ima oblik: d~eτ Rϕ̇ d(Rϕ) ds v = ϕ̇(~eb × ~eτ ) = ϕ̇~en = ~en = ~en = ~en = ~en. (3) dt R dt dt R Izraz za vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu je: v2 ~a = ~aτ + ~an = v̇~eτ + ~en , (4) R 1 gde su dv ~aτ = v̇~eτ = ~eτ , (5) dt vektor tangencijalnog ubrzanja i v2 ~an = ~en (6) R vektor normalnog ubrzanja, respektivno. Prvi izvod jediničnog vektora tangente može se odrediti pomoću geometrijske konstrukcije, na sličan način kako su određeni izvodi jediničnih vektora ~eρ i ~eϕ. Najpre izvršimo zamenu promenljive d~eτ d~eτ ds d~eτ = =v. (7) dt ds dt ds Izraz za ubrzanje u prirodnom koordinantom sistemu je, dakle: dv d~eτ ~a = ~eτ + v 2. (8) dt ds Primetimo da je: |∆~eτ | ≈ |∆ϕ|. (9) Takođe: |∆s| ≈ R|∆ϕ|, (10) gde je ∆s = s(t2 ) − s(t1 ). Intenzitet vektora d~eτ /ds je, prema tome: d~eτ |∆~eτ | |∆ϕ| 1 = lim = lim = = K, (11) ds ∆s→0 |∆s| ∆s→0 R|∆ϕ| R gde je K krivina trajektorije u datoj tački trajektorije (tački M1 ). Ako ∆s → 0 tada ∆ϕ → 0, a ugao na osnovici jednakokrakog trougla formiranog od ~eτ (t), ~eτ (t + ∆t) i ∆~eτ je:   π ∆ϕ π β = lim − =. (12) ∆ϕ→0 2 2 2 Ovo znači da d~eτ /ds ima pravac normale na trajektoriju. Primetimo da se smer d~eτ poklapa sa smerom ~en ako je ds > 0, dok je za ds < 0 smer d~eτ suprotan od smera ~en. Dakle, u opštem slučaju smer d~eτ /ds se poklapa sa smerom ~en. Sledi, dakle, da je izraz za vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu: v2 ~a = v̇~eτ + ~en , (13) R ~ u datoj tački trajektorije (u datom vremenskom što je već pokazano. Definišimo vektor krivine trajektorije K trenutku): ~ = K~en. K (14) Izraz za vektor ubrzanja je: ~ ~a = v̇~eτ + v 2 K. (15) Primetimo da se aτ i an definišu za proizvoljno krivolinijsko kretanje. Pri tome se aτ , an , R i K odnose na datu tačku trajektorije, odnosno dati vremenski trenutak. Vektor normalnog ubrzanja uvek je usmeren ka centru krivine trajektorije u datoj tački (tačka M1 na slici 1). Lako se zaključi da je stoga vektor vektor ubrzanja 2 Slika 2: (a) Ubrzano krivolinijsko kretanje. (b) Usporeno krivolinijsko kretanje. (c) Ravnomerno krivolinijsko kretanje. materijalne tačke uvek usmeren ka konkavnoj strani trajektorije. Vektor ~a nema komponentu u pravcu binormale, što znači da leži u oskulatornoj ravni. Ukoliko je poznata zavisnost aτ = aτ (t) moguće je odrediti zavisnost v(t) rešavanjem diferencijalne jednačine dv = aτ (t). (16) dt Razdvajanjem promenljivih dv = aτ dt, (17) i integraljenjem Zv Zt dv = a(t)dt , (18) v0 0 dobija se rešenje u formi: Zt v(t) = v0 + aτ (t)dt. (19) 0 Ako je, na primer, aτ = const, lako se dobije: v(t) = v0 + aτ t. (20) Na sličan način, koristeći dobijenu zavisnost algebarske vrednosti intenziteta brzine od vremene i ds = v(t), (21) dt dobije se: 1 s(t) = s0 + v0 t + aτ t2. (22) 2 Treba primetiti da oblik dobijene jednačine kretanja materijalne tačke duž trajektorije s = s(t) za aτ = const ne zavisi od oblika trajektorije. Bez gubitka opštosti, da bismo razmotrili kako kretanje zavisi od znaka aτ , pretpostavićemo da se smer brzine poklapa sa orijentacijom trajektorije. U zavisnosti od smera ~aτ u odnosu na smer ~v mogu se razlikovati tri slučaja krivolinijskog kretanja. 3  U prvom slučaju, prikazanom na slici 2(a), tangencijalno ubrzanje je orijentisano kao vektor brzine, tako da je dv aτ (t) > 0 ⇒ > 0, (23) dt što znači da se intenzitet brzine povećava u funkciji vremena. Ovde je dakle reč o ubrzanom kretanju (po datoj krivolinijskog putanji). U drugom slučaju, prikazanom na slici 2(b), tangencijalno ubrzanje je suprotno orijentisano od vektora brzine, tako da je dv aτ (t) < 0 ⇒ < 0, (24) dt što znači da intenzitet brzine opada u funkciji vremena. Ovde je dakle reč o usporenom kretanju. U trećem slučaju, prikazanom na slici 2(c), tangencijalno ubrzanje je jednako nuli u svakom vremenskom trenutku, tako da je: dv aτ (t) = 0 ⇒ = 0 ⇒ v = const. (25) dt Poslednji oblik kretanja, sa konstantnim intenzitetom brzine, je ravnomerno krivolinijsko kretanje. Kod rav- nomernog krivolinijskog kretanja vektor ubrzanje je orijentisan ka centru trajektorije u tački u kojoj se nalazi materijalna tačka u datom vremenskom trenutku, odnosno samo je normalna komponenta ubrzanja različita od nule. U ovom slučaju vektor brzine i vektor ubrzanja zaklapaju pravi ugao. Intenzitet ubrzanja jednak je: s  2 p v2 a = a2τ + a2n = (v̇)2 +. (26) R Orijentacija vektora ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu definisana je kosinusima pravca prema tangenti i normali:1 aτ cos ∢(~a, ~eτ ) = , (27) |~a| an cos ∢(~a, ~en ) =. (28) |~a| 2 Sektorska brzina Pri kretanju materijalne tačke njen radijus vektor u vremenskom intervalu ∆t prebriše površinu ∆P. Ako je vremenski interval ∆t mali, prebrisana površina radijus vektorom materijalne tačke može se aproksimirati površinom trougla prikazanog na slici 3. Sektorska brzina određuje kako se u toku vremena vrši prebrisavanje površine radijus vektorom materijalne tačke. Prebrisanoj površini pridružimo vektorsko svojstvo. Intenzitet vektora ∆P~ je |∆P~ | = ∆P , pravac ∆P~ je normalan na prebrisanu površinu, a smer ∆P~ određuje se pomoću pravila desne zavojnice u odnosu na smer kretanja materijalne tačke (smer kretanja ~r). Vektor prebrisane površine je, dakle, 1 ∆P~ = (~r × ∆~r). (29) 2 Sektorska brzina je: ∆P~ 1 ∆~r ~vS = lim = lim ~r ×. (30) t→0 ∆t t→0 2 ∆t 1 Konsinus pravca prema binormali u svakom vremenskom trenutku jednak je nuli. 4  Slika 3: Vektor prebrisane površine ∆P~. Koristeći ~v = ~r˙ = lim∆t→0 ∆~r/∆t, za vekor sektorske brzine dobije se: 1 ~vS = ~r × ~v. (31) 2 Merna jedinica za sektorsku brzinu je kvadratni metar u sekundi: m2 [vS ] =. (32) s Izraz za sektorsku brzinu u Dekartovom koordinatnom sistemu je: ~i ~j ~k 1 ~vS = x y z. (33) 2 ẋ ẏ ż Ako je kretanje u xy ravni, ~i ~j ~k 1 1 ~vS = x y 0 = (xẏ − ẋy)~k, (34) 2 2 ẋ ẏ 0 što znači da je vektor sektorske brzine normalan na ravan kretanja materijalne tačke. Izraz za sektorsku brzinu u cilindričnom koordinatnom sistemu je: ~eρ ~eϕ ~ez 1 ~vS = ρ 0 z. (35) 2 ρ̇ ρϕ̇ ż Ako se materijalna tačke kreće u polarnoj ravni ~r = ρ~eρ , (36) ~v = ρ̇~eρ + ρϕ̇~eϕ. (37) Sektorska brzina je: 1 1 ~vS = ~r × ~v = ρ~eρ × (ρ̇~eρ + ρϕ̇~eϕ ), (38) 2 2 5  1 ✿0 ~vS = ρρ̇~eρ✘×✘~e✘ ρ 2 ✘ 1 (39) + ρ2 ϕ̇ ~eρ × ~eϕ. 2 | {z } ~ ez Konačno, 1 2 ~vS = ρ ϕ̇~ez. (40) 2 Algebarska vrednost intenziteta sektorske brzine je: 1 2 vS = ρ ϕ̇. (41) 2 Primetimo da je vektor ~vS normalan na polarnu ravan, a smer sektorske brzine zavisi od znaka prvog izvoda polarnog ugla ϕ po vremenu: ϕ̇ > 0: ~vS je u smeru ~ez ; ϕ̇ < 0: ~vS je u suprotnom smeru od ~ez. Naposletku primetimo da na osnovu izraza za cirkularno ubrzanje 1 d 2 aϕ = (ρ ϕ̇) (42) ρ dt i izraza (41) sledi 2 d(vS ) 2v̇S aϕ = =. (43) ρ dt ρ 3 Srednja vrednost vektora brzine, pređeni put i srednja vrednost intenziteta vektora brzine Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici, tako da je vektor pomeraja u vremenskom intervalu of t1 do t2 (∆t = t2 − t1 ) jednak ∆~r. Srednja vednost vektora brzine, u oznaci ~vsr ili h~v i, je: ∆~r ~vsr ≡ h~v i =. (44) ∆t S obzirom da je: Z∆~r   Zt2 d~r = ~v (t)dt , (45) 0 t1 srednja vrednost vektora brzine je: R t2 t1 ~v (t)dt ~vsr =. (46) t2 − t1 Posmatrajmo dijagrame zavisnosti algebarske vrednosti intenziteta vektora brzine v(t) i intenziteta vektora brzine |~v |(t), koji su prikazani isprekidanom i punom linijom na slici, respektivno. Treba primetiti da se u vremenskim intervalima t ∈ [t1 , t′ ] i t ∈ [t′′ , t2 ] zavisnosti v(t) i |~v |(t) poklapaju, jer je v(t) > 0. Elementarni pređeni put u vremenskom intervalu [t, t + dt] jednak je: dS = |ds| = |v(t)dt| = |v(t)|dt = |~v |(t)dt. (47) 6  Slika 4: Uz definiciju srednje vrednosti vektora brzine. Pređeni put u vremenskom intervalu od t1 do t2 je: Zt2 St1 ,t2 = |~v |(t)dt. (48) t1 Ako je |~v |(t) = const, tada je pređeni put: Zt2 St1 ,t2 = |~v | dt = |~v |(t2 − t1 ). (49) t1 Ako zavisnost algebarske vrednosti intenziteta vektora brzine v(t) ima oblik prikazan na slici 5, pređeni put od t1 do t2 je: Zt2 Zt′ Zt′′ Zt2 St1 ,t2 = |~v |(t)dt = v(t)dt + (−v(t))dt + v(t)dt. (50) t1 t1 t′ t′′ Srednja vrednost intenziteta vektora brzine je: St1 ,t2 h|~v |i = hvi =. (51) t2 − t1 Slika 5: Ilustračija izračunavanja pređenog puta. 7 4 Veza između vektora brzine u Dekartovim i polarnim koordinatama Posmatramo kretanje u polarnoj (xy ravni). Podsetimo se da su veze između Dekartovih i polarnih koordinata: x = ρ cos ϕ (52a) y = ρ sin ϕ. (52b) Pored toga, projekcije brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu su: vx = ẋ (53a) vy = ẏ. (53b) Takođe, projekcije brzine u polarnom koordinatnom sistemu su: vρ = ρ̇ (54a) vϕ = ρϕ̇. (54b) Projekcije brzine u Dekartovim koordinatama su: d dρ dϕ vx = ẋ = (ρ cos ϕ) = cos ϕ − ρ sin ϕ = vρ cos ϕ − vϕ sin ϕ, (55) dt dt dt d dρ dϕ vy = ẏ = (ρ sin ϕ) = sin ϕ + ρ cos ϕ = vρ sin ϕ + vϕ cos ϕ. (56) dt dt dt Veza između projekcija brzina u dva kooordinatna sistema može se predstaviti u matričnoj formi:      v cos ϕ − sin ϕ v  x =    ρ. (57) vy sin ϕ cos ϕ vϕ | {z } T Ako su poznate vx i vy , projekcije vρ i vϕ se određuju na osnovu:        vρ v x cos ϕ sin ϕ v   = T −1   =    x , (58) vϕ vy − sin ϕ cos ϕ vy gde je T −1 inverzna matrica matrici T. 5 Određivanje aτ i an na osnovu parametarskih jednačina kretanja u Dekartovom i polarnom koordinatnom sistemu Smatramo da su poznate parametarske jednačine kretanja materijalne tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu: x = x(t), (59a) y = y(t), (59b) z = z(t). (59c) Pretpostavimo da se orijentacija trajektorije u prirodnom koordinatnom sistemu poklapa sa smerom brzine u trenutku t. Ukoliko ovo nije ispunjeno kretanje u trenutku t može se opisati tako što se obrne orijentacija trajektorije. 8  Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu je: ~a = ~aτ + ~an = aτ ~eτ + an~en. (60) Pomnožimo skalarno ovaj izraz sa ~v = v~eτ :  (~v = v~eτ )· ~a = aτ ~eτ + an~en. (61) S obzirom da su vektori ~eτ i ~en međusobno ortogonalni (~eτ · ~en = 0), sledi: ~v · ~a = v~eτ · (aτ ~eτ + an~en ) = vaτ. (62) Na osnovu činjenice da se orijentacija trajektorije poklapa sa sm