Final Exam PDF

FinnEm Asst 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟔: 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑏𝑦 𝑒𝑎𝑐ℎ 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑜𝑙𝑙𝑜𝑤𝑖𝑛𝑔 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒𝑠: A) 𝑥 = 3𝑡 2 + 2 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 2𝑡 − 1 , 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 1 ≤ 𝑡 ≤ 4. 0 B) 𝑥 = 𝑡 2 − 2𝑡 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 3𝑡 , 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 1 ≤ 𝑡 ≤ 4. 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟕: 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑟𝑐 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒 𝐶 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒𝑑 𝑏𝑦 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜...

FinnEm Asst 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟔: 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑏𝑦 𝑒𝑎𝑐ℎ 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑜𝑙𝑙𝑜𝑤𝑖𝑛𝑔 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒𝑠: A) 𝑥 = 3𝑡 2 + 2 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 2𝑡 − 1 , 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 1 ≤ 𝑡 ≤ 4. 0 B) 𝑥 = 𝑡 2 − 2𝑡 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 3𝑡 , 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 1 ≤ 𝑡 ≤ 4. 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟕: 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑟𝑐 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒 𝐶 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒𝑑 𝑏𝑦 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠3𝜃 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛3𝜃 , 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. exam 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑎𝑡 = 1 6 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟖: 𝑨) 𝐼𝑓 𝑟 = 3 𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑎) 𝑇ℎ𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝜃 = π/3 exam 𝑑𝑟 𝑏) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑜𝑖𝑑 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑡ℎ𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 (𝐻𝑖𝑛𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 ) 𝑑𝜃 𝑑𝑟 𝑐) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑜𝑖𝑑 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑡ℎ𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝐻𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 ) 𝑑𝜃 𝜋 𝜋 𝑩) 𝐼𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠3𝑡 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛3𝑡 , 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑏𝑦 𝑡ℎ𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒 𝐶, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 ≤𝑡≤ 6 3 1 𝑠𝑖𝑛2 𝑎𝑡 = (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑡) 7 2 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟗: 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒, 𝑓𝑜𝑐𝑢𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑥 𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑜𝑙𝑙𝑜𝑤𝑖𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 A) 𝑦 2 = −16𝑥 Sketch 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 = 𝐹𝑜𝑐𝑢𝑠 = 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑥 => B) (𝑥 − 2)2 = −10𝑦 − 30 iHse Sketch x 431 4114 14 4It 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 = gem.si 𝐹𝑜𝑐𝑢𝑠 = 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑥 => 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟏𝟎: 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟, 𝑓𝑜𝑐𝑖 𝑎𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑜𝑙𝑙𝑜𝑤𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑠 (𝑥+3)2 (𝑦−2)2 Ch 2Jgm.w A) + =1 (𝑎𝑛 𝐸𝑙𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒) 36 20 𝑆𝑒𝑚𝑖𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟 𝑎𝑥𝑖𝑠 => 𝑆𝑒𝑚𝑖𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟 𝑎𝑥𝑖𝑠 => C𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟 = 𝐹𝑜𝑐𝑖 = Sketch 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 = 𝐶𝑜 − 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 = 8  𝜋 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟏𝟏: 𝐴) 𝐼𝑓 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝑎𝜃, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑏𝑦 𝑡ℎ𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒 𝑟, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 0 ≤ 𝜃 ≤ 4 (𝑎 ∈ 𝑅) 𝐵) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑡ℎ𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑖𝑐 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑖𝑒𝑠 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠: 𝑖) 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥 (3,2) 𝑎𝑛𝑑 𝑓𝑜𝑐𝑢𝑠 (3,6) x̅ 𝑖𝑖) 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑢𝑠 (−4,0), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑥 𝑥 = 2 𝑖𝑖𝑖) 𝐸𝑙𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 (±5,0) 𝑎𝑛𝑑 𝑓𝑜𝑐𝑖 (±4,0) 10 Ass 2  𝑪𝒐𝒍𝒍𝒆𝒈𝒆 𝒐𝒇 𝑬𝒏𝒈𝒊𝒏𝒆𝒆𝒓𝒊𝒏𝒈 (𝑪𝑬𝑰𝑻) 𝑪𝒐𝒖𝒓𝒔𝒆: 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒖𝒔 𝑰𝑰𝑰 (𝑴𝒂𝒕𝒉 𝟐𝟎𝟑) 𝑰𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒐𝒓: 𝑫𝒓. Hakim Garalleh − 𝑨𝒔𝒔𝒊𝒈𝒏𝒎𝒆𝒏𝒕 𝟐 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒔, 𝑻𝒉𝒆𝒊𝒓 𝑨𝒑𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔, 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒔 𝒂𝒏𝒅 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒊𝒕𝒚 𝑺𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕 𝑵𝒂𝒎𝒆: … … ….. … … … ….. … … … … … … … …....... 𝑺𝒆𝒄: … … 𝑰𝑫: … … ….. … … … ⃗ = 〈2, −3, 1〉 𝑎𝑛𝑑 𝑣 = 〈4, −5, 2〉, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑: 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟏: 𝐴) 𝐼𝑓 𝑢 exam O 1) 3 𝑢 ⃗ −5𝑣 = O2) 3 𝑢⃗ − 5𝑘 = O3) |2 𝑢 ⃗ + 3 𝑣| = O ⃗ = 〈3, −1, 2〉 𝑎𝑛𝑑 𝑣 = 〈−2, −4, 1〉 ? (𝑈𝑠𝑒 𝐷𝑜𝑡 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡) 4) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑢 O ⃗ = 〈2, −1, 0〉 𝑎𝑛𝑑 𝑣 = 〈4, −1, −1〉 ? (𝑈𝑠𝑒 𝐶𝑟𝑜𝑠𝑠 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡) 5) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑢 1  ⃗ = 〈𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 〉 𝑎𝑛𝑑 𝑣 = 〈𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 〉 𝑎𝑟𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑠ℎ𝑜𝑤 𝑡ℎ𝑎𝑡 ⃗⃗⃗ 𝐵) 𝐼𝑓 𝑢 𝑢.𝑣⃗⃗⃗ = 𝑣 ⃗⃗. 𝑢 ⃗⃗ 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟐: 𝐴) 𝑢 ⃗ 𝑎𝑛𝑑 𝑣 𝑎𝑟𝑒 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑖𝑓𝑎𝑛𝑑 𝑜𝑛𝑙𝑦 𝑖𝑓 𝑢 ⃗⃗⃗. 𝑣 ⃗⃗⃗ = 0 , 𝑠ℎ𝑜𝑤 𝑡ℎ𝑎𝑡? ⃗ = 〈−2, 4, 5〉 𝐵) 𝑖) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑒𝑙𝑠 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢 exam 0 𝑖𝑖) 𝑠ℎ𝑜𝑤 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛾 = 1 X2N exa 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟑: 𝐴) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓 𝑣 = 〈−2, 3, 0〉 𝑜𝑛𝑡𝑜 ⃗ = 〈−2, 1, −3〉 ? 𝑢 2 yexum 𝐵) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓 𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 + 2𝑘 𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑢 ⃗ = −𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘? 𝐶) 𝑆ℎ𝑜𝑤 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑡ℎ𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢 ⃗ 𝑥 𝑣 𝑖𝑠 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑡𝑜 𝑏𝑜𝑡ℎ 𝑢 ⃗ 𝑎𝑛𝑑 𝑣, 𝑠ℎ𝑜𝑤 𝑡ℎ𝑎𝑡? 3  8 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟒: 𝐴) 𝐹𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑦 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢 ⃗ , 𝑣 𝑎𝑛𝑑 𝑧 , 𝑠ℎ𝑜𝑤 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝒊) 𝑣 𝑥 𝑢 ⃗ = −(𝑢 ⃗ 𝑥 𝑣) 6 ⃗. (𝑣 𝑥 𝑧) = (𝑢 𝒊𝒊) 𝑢 ⃗ 𝑥 𝑣). 𝑧 4 Dexan 𝐵) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑎 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡𝑜 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑡ℎ𝑟𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑃(1,2, −3), 𝑄(2, −1,5) 𝑎𝑛𝑑 𝑅(−1,2,2) ? - 𝐶) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜 𝑡ℎ𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑃(−1,3,5), 𝑄(2, −5,0) 𝑎𝑛𝑑 𝑅(−1,1, −1) ? nm 𝐷) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑓𝑜𝑟 𝑡ℎ𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 c 𝑡ℎ𝑟𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝐴(1, −2, 3) 𝑎𝑛𝑑 𝐵(3, 2, 0). - 5 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟔: 𝑬𝒗𝒂𝒍𝒖𝒂𝒕𝒆 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦 1) lim (𝑥,𝑦) → (0,0) 3𝑥2 + 𝑦2 I II cost sin W 𝑥2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑦 2) lim (𝑥,𝑦) → (0,0) 𝑥2 + 2𝑦2 7  𝑥𝑦 + 𝑦𝑧2 + 𝑥𝑧2 3) lim (𝑥,𝑦,𝑧) → (0,0,0) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧4 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟕: 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑒𝑡 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑎𝑡 𝑤ℎ𝑖𝑐ℎ 𝑒𝑎𝑐ℎ 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢 𝑥−𝑦 1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1−𝑥2 − 𝑦2 2) ℎ(𝑥, 𝑦) = ln |𝑥2 + 𝑦2 − 4| 8 Ass 3  𝑪𝒐𝒍𝒍𝒆𝒈𝒆 𝒐𝒇 𝑬𝒏𝒈𝒊𝒏𝒆𝒆𝒓𝒊𝒏𝒈 (𝑪𝑬𝑰) 𝑪𝒐𝒖𝒓𝒔𝒆: 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒖𝒔 𝑰𝑰𝑰 (𝑴𝒂𝒕𝒉 𝟐𝟎𝟑) 𝑰𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒐𝒓: 𝑫𝒓.Hakim Garalleh − 𝑨𝒔𝒔𝒊𝒈𝒏𝒎𝒆𝒏𝒕 𝟑 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒐𝒇 𝑺𝒆𝒗𝒆𝒓𝒂𝒍 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔, 𝒂𝒏𝒅 𝑫𝒐𝒖𝒃𝒆𝒍 𝒂𝒏𝒅 𝑻𝒓𝒊𝒑𝒍𝒆 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍𝒔 𝑺𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕 𝑵𝒂𝒎𝒆: … … ….. … … … ….. … … … … … … … …....... 𝑺𝒆𝒄: … … 𝑰𝑫: … … ….. … … … o 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟏: 𝑨) 1) 𝐼𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln|𝑥 + √𝑥2 + 𝑦2 |, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑: 𝒊) 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝒊𝒊) 𝑓𝑦𝑥 (0,1) = 𝑥−𝑦 2) 𝐼𝑓 ℎ(𝑥, 𝑦) = , 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑: 𝑥+𝑦 𝒊) ℎ𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝒊𝒗) ℎ𝑦𝑦 (−2,4) = 1 3) 𝐼𝑓 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑛−1 (𝑦𝑧) , 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑: 𝒊) 𝑔𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝒊𝒊) 𝑔𝑥𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑑 𝑑𝑢 𝒊𝒊𝒊) 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑑𝑥 (sin−1 (𝑢)) = √1 − 𝑢2 𝒊𝒗) 𝑔𝑦𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = G 𝑑𝑓 𝑩) 𝑖) 𝐼𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 , 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑡, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑧 𝑖𝑖) 𝐼𝑓 𝑧 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥𝑦) , 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑥 = 𝑡 𝑒 𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 2𝑠 − 𝑒 −𝑡 , 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 (𝑠 = 0) 𝑑𝑠 2  𝑑𝑤 𝑖𝑖𝑖) 𝐼𝑓 𝑤 = ln|√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 |, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑎𝑛𝑑 𝑧 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 , 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑑𝜃 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟐: 𝑨) 𝐼𝑓 𝑧 + 𝑥 3 − 6𝑥𝑦 = 4, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 , , , , 𝑎𝑛𝑑 (𝐼𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑧 3  s 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟑: 𝑨) 𝟏) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒 𝑡𝑜 𝑡ℎ𝑒 𝑒𝑙𝑙𝑖𝑝𝑡𝑖𝑐 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑑 𝑧 = 5𝑥 2 + 2𝑦 2 𝑎𝑡 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 (1, −1,7). 𝟐) 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛: 𝒊) 𝑇 = (𝑦 + 1)2 𝑙𝑛(2𝑥 3 ) 𝒊𝒊) 𝑊 = 𝑧 2 𝑒 5𝑦+𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑤 𝑩) 𝐼𝑓 𝑤 = 𝑥 3 + 2𝑦 3 + 3𝑥𝑧 2 , 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠4𝑡 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛3𝑡 𝑎𝑛𝑑 𝑧 = 𝑡𝑎𝑛2𝑡, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 (𝑡 = 1) 𝑑𝑡 4  𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟒: 𝑨) 𝐼𝑓 𝑥 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 − 𝑥𝑦 2 = 6 , 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 , , 𝑎𝑛𝑑 (𝑈𝑠𝑒 𝐼𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑩) 𝐼𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 2 − 6 𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑡 (1, −1) 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑖𝑡𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑡ℎ𝑒𝑟𝑒. 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟓: 𝑨) 𝐼𝑓 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠4𝑦 + 𝑒 3𝑥𝑦 𝑎𝑛𝑑 𝑢 ⃗ = 〈𝜋/2,0〉 , 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝒊) ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝒊𝒊) 𝐷𝑢 𝑓(0, 𝜋) = 5 𝑩) 𝐼𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑥 + 𝑒 𝑥𝑦 + 3𝑧 2 𝑎𝑛𝑑 𝑢 ⃗ = 〈𝜋/2,0,3〉 , 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝒊) ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝒊𝒊) ∇𝑓(1/2,0,2) = 𝒊𝒊𝒊) 𝐷𝑢 𝑓(1/2,0,2) = −1 −𝑓 ′ (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝑓(𝑥)) = √1 − (𝑓(𝑥))2 𝑪) 𝐼𝑓 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥 + 𝑒 𝑧𝑦 − 𝜋𝑦 2 = 1 − 𝜋 , 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒 𝑡𝑜 𝑡ℎ𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑎𝑡 𝑡ℎ 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 (1, −1,0) √𝜋 2 𝑧 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟔: 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑡𝑒 𝑨) ∫ ∫ ∫ 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 0 0 0 6  3 √9−𝑥2 3 𝑩 ) 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑡𝑒 ∫−3 ∫−√9−𝑥2 ∫√9−𝑥2 √𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 (𝐻𝑖𝑛𝑡: 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒) 𝜋/6 𝜋/2 2 𝑪) 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑡𝑒 ∫0 ∫0 ∫1 𝜌2 𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙 = 7  5 and 3 ch Partz final Clairaut’s Theorem 𝑪𝒍𝒂𝒊𝒓𝒂𝒖𝒕′ 𝒔 𝑻𝒉𝒆𝒓𝒐𝒆𝒎: 𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑓 𝑖𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑑 𝑜𝑛 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑘 𝐷 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑛𝑠 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑎, 𝑏. 𝐼𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑓𝑥𝑦 𝑎𝑛𝑑 𝑓𝑦𝑥 𝑎𝑟𝑒 𝑏𝑜𝑡ℎ 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠 𝑜𝑛 𝐷, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑥𝑦 𝑎, 𝑏 = 𝑓𝑦𝑥 𝑎, 𝑏. 𝑬𝒙𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆 𝟏: 𝑨) 𝐼𝑓 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 2 , 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑠ℎ𝑜𝑤 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑖𝑒𝑠 𝑡ℎ𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓 𝐶𝑙𝑎𝑖𝑟𝑎𝑢𝑡 ′ 𝑠 𝑡ℎ𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚 𝑎𝑡 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 1,2. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛: 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 2 ➔ 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 4𝑥𝑦 ➔ 𝑓𝑥𝑦 1,2 = 4 (1) (2) = 8 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 2 𝑦 ➔ 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 4𝑥𝑦 ➔ 𝑓𝑦𝑥 1,2 = 4 (1) (2) = 8 𝑬𝒙𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆 𝟗 find 𝑬𝒙𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆 𝟗 find